质心质心运动定理

3-9 质心 质心运动定律
例2：确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标 由对称性知：
Y
xC 0
dy
R
已知薄圆盘的质心位于 圆心，取厚度为dy的薄圆盘 为质量微元。
O
X
d m R y d y
2 2


yc
ydm m
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一、质心
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Hale Waihona Puke Baidu
质心（center of mass）是与质量分布有关的一个代表 点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。
Y 质心具有长度的 量纲，描述与质 点系有关的某一 空间点的位置。
(m mi )
yC mi yi / m
zC mi zi / m
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对于质量连续分布的物体
质心的位矢： 分量式：
xC x d m / m
rC r d m / m
(m dm)
线分布 面分布 体分布
yC y d m / m
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由牛顿第二定律得
m1a1 F1 F12 F13 F1n
m2 a2 F2 F21 F23 F2 n mn an Fn Fn 2 Fn3 Fnn
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二、质心运动定理 由质心位矢公式：
质心的速度为
d r i m i d rC mi vi d t vC dt mi mi 质心的加速度为 d vi m mi ai d vC i d t aC dt mi mi
zC z d m / m
d m dl dm dS d m dV
质心与重心（center of gravity）是两个不同的概 念，重心是地球对物体各部分引力的合力(即重力)的 作用点，质心与重心的位置不一定重合。 思考：重合条件？
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C
O
抛手榴弹的过程
X
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
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对于N个质点组成的质点系：
m1 , m2 ,, mi ,，mN r1 , r2 ,, ri ,，rN
质心的位矢：
rC mi ri / m
直角坐标系中的分量式：
xC mi xi / m
例1求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心 位置。 取坐标轴如图，根据对称性分析 解： 可知 y 0
C
取宽度为dx的面积元，设薄板每单位 面积的质量为，则此面积元的质量 为
dm 2 xdx
xc
xdm
M

a/ 2
0
2 x dx
2
1 2 a 2
2 a 3
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yc
ydm
m
R 2 0

R
0
y( R 2 y 2 ) d y 2R 3 / 3
R
R y 2 d y 2 3( R 2 y 2 y 4 / 2) 0

4R / 3
3

4R3
3R 4 / 2 3 R 3 4R / 3 8
质心在距球心3R/8对称轴y轴上
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相遇时有： x1 x2 xC 质心定义可得
m2 x20 m1 x10 xc m1 m2
两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的 质心相遇。
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例3 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l 。问他 们将在何处相遇？
解：把两个小孩和绳看作 一个系统，水平方向不受 外力，故质心是静止的。 任取两个小孩连线上一点 为原点，向右为x轴为正向。设开始时小孩的坐标 分别为x10、x20，在任意时刻的坐标为x1和x2。
对于系统内成对的内力
mi ai F i
aC
F12 F21 0,, Fin Fni 0,
mi ai
m
Fi maC
i
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Fi Mac
质心运 动定理
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。