质心质心运动定理
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质心运动定理
质心运动定理
质心运动定理是质点系动量定理的另一种形式,可由质点系动量定理直接导出。
即将P＝Mvc代入质点系动量定理dP/dt＝∑Fe，得：Mdvc/dt＝∑Fe或Mac ＝∑Fe——称为质心运动定理.(∵ac＝dvc/dt)
即：质点系的质量M与质心加速度ac的乘积等于作用于质点系所有外力的矢量和(外力主矢量)。
可见：只有外力才能改变质点系质心的运动。
定理的推论
根据这个定理可推知：
①质点系的内力不能影响它的质心的运动；例如跳水运动员自跳板起跳后，不论他在空中再做何种动作，采取何种姿势，由于外力(重力)并未改变，所以运动员的质心在入水前仍沿抛物线轨迹运动；
②如果作用于质点系上外力的矢量和始终为零，则质点系的质心作匀速直线运动或保持静止；
③若作用于质点系上外力的矢量和在某轴上的投影始终为零，则质点系质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。
第一章质心
离地面 y 0 ，顶端以恒定速度 v 沿墙面下滑。时刻t梯子质心C的加速度
=_______ 。
y
A
xB y A l
rC xB i y A j
l/2
l
dy
A
dt
v
y A t y
y A y vt
rC
l y vt i y vt j
L
L
m
3
dx
x
练习： 一直杆，质量为m，长为L,线密度为λ∝ 2 。求其质量中心。
dm dx cx dx
2
m
1 3
dm cx dx cL
0
3
3m
dm dx 3 xdx
L
L
xc
2
xdm
m
L
0
0
3m 3
x dx
3
L
m
x
3
L
4
dx
x
练习： 一直杆，质量为m，长为L,线密度为λ∝x2。求其质量中心。
l/2
l
dy
A
dt
v
y A t y
y A y vt
rC
l y vt i y vt j
yA
xC
v
O
C
B
yC
x
xB
y vt
d rC
v
aC
=_______ 。
y
A
xB y A l
rC xB i y A j
l/2
l
dy
A
dt
v
y A t y
y A y vt
rC
l y vt i y vt j
L
L
m
3
dx
x
练习： 一直杆，质量为m，长为L,线密度为λ∝ 2 。求其质量中心。
dm dx cx dx
2
m
1 3
dm cx dx cL
0
3
3m
dm dx 3 xdx
L
L
xc
2
xdm
m
L
0
0
3m 3
x dx
3
L
m
x
3
L
4
dx
x
练习： 一直杆，质量为m，长为L,线密度为λ∝x2。求其质量中心。
l/2
l
dy
A
dt
v
y A t y
y A y vt
rC
l y vt i y vt j
yA
xC
v
O
C
B
yC
x
xB
y vt
d rC
v
aC
高二物理竞赛课件：质心(center of mass) 质心运动定理
一、质点对定点的角动量
说角动量时，
t 时刻， 如图 ，
必须指明是对 哪个固定点的
定义 L r P 为质点对固定点o 的角动量
大小：L rP 方向：垂直于
sri，nP
rmv sin
组成的平面
[SI] kgm 2/s
o r
L
P
m
力对定点的力矩
说力矩时，也
t 时 刻,如图,
必须指明是对 哪个固定点的
例 已知1/4圆M, m由静止下滑,求
t1→t2 过程中M移动的距离 S。 解： 选（M+m）为体系
水平方向: 合外力=0，质心静止
t1时刻
m
t2时刻
Mபைடு நூலகம்
M
m
x -R O
体系质心
X1
MxmR Mm
x-S -S O
体系质心
X
2
M
x
M
SmS
m
质心静止 X1 X 2
M
移动的距离
S
m Mm
R
思路:与处理动量定理 动量守恒问题相同
等于质点角动量的增量。
M 和L 是对惯性系中的同一固定点的。
角动量定理 Mdt dL
t2
Mdt ΔL
t1
若 M 0 则 L 0 角动量守恒定律
讨论
1）动量守恒与角动量守恒
是相互独立的定律。 如行星运动
2）有心力—力始终指向一点
直升飞机
动量不守恒 角动量守恒
质点在有心力作用下运动时角动量守恒
M r F 0 角动量守恒
o
F
mi
ri c质心
rc
o
重心是指各质点所受重力的合力作用点。
物理-质心与质心运动定理
x
——动量中心系
在质质心心参位考矢系中r：C x 质心速度 υC
0drC
dt
0
质点系m的i总i 动m量C 0
质心系是零动量系
质心的运动轨迹？
——抛物线.
0 O x1
m xC x2 C
mx
二、 质心运动定理
锥体为什么会上滚？
锥体上滚是由其质（重）心下降所引起的。
令人称奇的“水往高处流”。
上坡省力，下坡费劲的“怪坡 ”
三、 质心参考系
【质心参考系】：以质心为坐标原点的参考系。
y
r2
O
y
mi
m2 ri
ri
C
rC m1 r1
m1
l
C
m2
x
O
xC
m2 m1 m2
l
m1
l
C
m2
m1l1 m2l2
l1
l2
（与坐标系无关）
质心坐标与所选坐标系有关，
但质心相对物体各部分位置是确定的.
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
y
Rdθ
dθ
R
θ
O R cos θ
y R sin θ
x
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
C 恒矢量
当质点系所受合外力为零时，其质心保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变。 ——质心的“惯性运动”
质心的“惯性运动”与质点系动量守恒等价！
随堂练习
例：设有一枚炮弹发射的初速率为 0，发射角为 ，它飞 行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直 下落，另一个水平抛出，求这两部分的着地点（忽略空气 阻力）。
(1) 直角坐标系中的质心坐标
2 质心 质心运动定理
将质心的位置矢量 rC 对时间t求导，可得出
质心运动的速度为
dri m drC i dt vC dt m
mi v i m
由此可得
mvC mi vi
上式等号右边就是质点系的总动量
p mv C
即：质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动 速度的乘积。
质心、质心运动定理
质心 质心运动定理
一．质心
当我们把一匀质薄三角板斜 向抛出时，它的空间运动很 复杂，但实际观测表明，在 薄板上有一点C仍然在作抛 物线运动。C点的运动规律 就象把薄板的质量都集中在 C点，全部的外力也象时作 用在C点一样。这个特殊点C 就是质点系统的质心。
2
质心运动定理 证明： 质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的动速度的乘积。
根据牛顿第二定律的微分形式
dp dv C F m ma C dt dt
上式表明无论质点怎样运动，质点系的总质量与质心加速 度的乘积总等于质点系所受全部外力的矢量和，这就是质 心运动定理。它对刚体同样适用。
4
第十章 质心运动定理
这两个结论称为质心运动守恒定理。 这两个结论称为质心运动守恒定理。 质心运动守恒定理
问题1 两个相同均质圆盘， 问题1：两个相同均质圆盘，初始时刻皆静止于光 滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用， 滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用，但作用 位置不同（如图示），哪个圆盘跑得更快？ ），哪个圆盘跑得更快 位置不同（如图示），哪个圆盘跑得更快？
maC = ∑miaCi = ∑F i
E
dr E C maC = m 2 = ∑F i dt
－－质心运动定理 －－质心运动定理
2
HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY
自然表示法： 自然表示法：
dvC E maCt = m = ∑F it dt 2 vC E maCn = m = ∑F in
ρ
maCb = 0 = ∑FE ib
特殊情形： 特殊情形：
dr E C maC = m 2 = ∑F i dt
2
HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY
2
HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY
3-3 质心 质心运动定律
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点: r 连续分布的质点 r = c
∫
r rdm m
质点系的 动
：
v v P = m vC
质心运动定律
dv v ex vd C v F =m = maC t
13
v m ri i
m
m
v r2
rc
c v
v r1 m1
o
mi r r rc = ∑ ri m i
z
x
mi m : 总质量， 权重 m
r r 即：质心位矢 rc 是各质点位矢 ri
的加权平均。 的加权平均。
3
质心在直角系的计算公式 r r r r r N ∑ m r ri = xi i + yi j + zi k r i =1 i i rc = N u N r r N r M r r r ∑ mi xi i + ∑ mi yi j + ∑ mi yi k r i =1 i =1 rc = xc i + yc j + zc k = i =1 m
xc =
∑
N
i =1
m i xi m
z
r r1
m1
m2
yc =
∑ ∑
N
i =1
m i yi m
O x
r r2
r r c
C (xc, yc, zc )
r mN rN
y
zc =
i =1
m i zi m
4
离散质点系： 离散质点系：
v rC =
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点 r rc =
2-1 质心 质心运动定理
Ch2 运动的守恒量和守恒定律§2-1质点系的内力外力质心质心运动定理§2-1 质心质心运动定理动量守恒定律1、质点系的内力和外力质心质心的位置例：任意三角形的每个顶点有一质量m 的小球，求/r m r M =∑G Gz yOΔm ir微元分割！例3-7 求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
3、质心运动定理质心运动定理G G G G G d v1 G m 1 a1 = m 1 = F1 外 + f 12 + f 13 + " + f 1 n , dt G G G G G d v2 G m 2a2 = m 2 = F2 外 + f 21 + f 23 + " + f 2 n , dt G G G G G d vn G = Fn外 + f n 1 + f n 2 + " + f n ( n − 1) , m nan = m n dt G G G G 由于内力 f12 + f 21 = 0," , f in + f ni = 0, ...由牛顿第二定律:""∴G ∑ m i ai =G ∑ F i外11/18中国矿业大学（北京）质心运动定理G ∑ m i ai =G ac =G ∑ F i外 G ∑ m i aiG ac =G ∑ Fi外∑m∑m=G ∑ Fi外 Mi∑G G Fi外 = M a ci质心运 动定理不管物体质量如何分布，也不管外力作用在物体 什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全都集 中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质 点的运动一样。
12/18 中国矿业大学（北京）补充例题1例1 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用 绳彼此拉对方。
开始时静止，相距为l。
问他们将在何 处相遇？m2m1Ox20x10x13/18中国矿业大学（北京）补充例题1解：可直接由质心运动定律求出。
初始静止时，小孩系统的质 心位置： m 1 x 10 + m 2 x 20 1 xc = m1 + m 2m2C xcx10m1∑G G G Fi外 = M a c ⇒ a c = 0O x20x质心位置，在过程中应该始终保持静止。
质心与质心运动定理
xc
mi xi
i 1
N
m
同理对 y 和 z 分量
m1
l1
r1
rc
l2
m2
r2
m1 (rc r1 ) m2 (r2 rc )
m1l1= m2l2
m1 r1 m2 r2 rc m1 m 2
O
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
质心运动定理
一 、质心(center of mass)
N个粒子系统，可定义质量中心
z
mi
rc
ri
y
rc
m i ri
N i 1 N
mi
i 1
m i ri
N i 1
x
m
1.质心位置与坐标系的选择有关，但质 心相对质点系是一个特定的位置。 2.外力作用在质心上，质点系内各质点 的运动状态相同
dt
dt
1.内力不改变质心的运动状态，但可以改变各质点的运动状态 如炮弹爆炸时，质心轨迹为抛物线
2.质点系所受合外力为零，则动量守恒，此时质心的速度不变
i
质心的运动只与系统所受的合外力相关
drc d ri 质点系的总动量 m m i v i dt dt dv c dP总 mv c mi v i m P总
m ac F
F外 mac
rc
xc
r dm m xdm
m
Z
Y
r
O
X
dm
例： 一均匀直杆，质量为M，长为L, 求其质量中心
解：1、建立坐标系 2、取微元dx dm=dx, 坐标为x
0
__3.3 质心 质心运动定理
同理， 同理，
例1 已知一半圆环半径为 R，质量为 。 ，质量为M。 它的质心位置。 质心位置 求 它的质心位置。 解 建坐标系如图 取 dl
y
dθ
M dl = Rdθ dm= Rdθ dm = λdl πR x = Rcosθ y = Rsinθ
yc
dm
θ
∫ ydm = ∫ =
M
π
0
M Rsinθ dθ 2R π = (< R) M π
1. 质心速度与质点系的总动量 质心速度与质点系的总动量
r rc = r ∑ mi ri
i
∑m
i
i
v v dr v υ c = c = ∑ miυ i dt i
v ∑ mi = P m
i
r v P = mυc
v
r v P = ∑ miυi
i
mυ c
C
m
2. 质心运动定理 质心运动定理 运动定理——质点系的动量定理 质点系的动量定理 v v v dυ c v v F外 ac = = ∑ mi ai ∑ mi = F外 m dt i i
dυc r =m ＝mac dt
v
r r dP F外 = dt
∫
t2
t1
r r P r F外 dt = ∫ r dP P0
讨论
r F外
1）质心运动定理（质点系动量定理） ）质心运动定理（质点系动量定理） 微分形式和积分形式： 微分形式和积分形式： r r r dP r r t2 r = mac （F外 = ） ∫ F外dt = P P0
(1)
( 2)
m X = l (1 cosθ ) M +m
课后问题： 课后问题： 选一个参考系， 选一个参考系，使得质心在此参考系中 那么质点系的总动量恒为零， 静 止，那么质点系的总动量恒为零， 这说法正确吗？ 这说法正确吗？
12.3质心运动定理(理论力学课件).
（12.10）
mi ri rc
2.质心的力学意义
m
① 若质点系中各质点的质量相等，则：
m r1 m r2 ...... m rn rc m m ...... m r1 r2 ...... rn 1 ri n n
1/n 与 i 无关，为公因子。
e F ix 0, px cont
运动分析：t=0 时系统静止； t时刻：车v，人v+vr
可知
t 0
px 0 0
y
车重W，人重Q，某瞬时人相对小 车的速度为vr，试求此时的车速v？
e F ix 0, px cont
vr Q
v
o
N1
W
N2
x
t=0时系统静止； t：车v，人v+vr 可知
（3）
将质心c的运动方程等式两端微分得：
y
m2 2 x e cos t c m1 m2 （4） y m2 e 2 sin t c m1 m2
c1
m 1g m2g
c
c2 e
x
t
Rx Ry
(4)质心运动微分方程：
m1 m2 xc m2e 2 cos t Rx 2 m m y m e sin 1 2 c 2 Ry m1 g m2 g
习题12.19 均质杆AB，长2L，铅直地静置于光滑
水平面上受到微小扰动后，无初速地倒下。求杆AB在
倒下过程中，点A的轨迹方程。
y A Co , C B , FN B mg , A
x
解：以均质杆AB为研究对象，并以杆AB铅直时的 轴线为 y轴，建立图示坐标系。AB杆倒下过程中所受外力 有：重力mg，光滑水平面的法向反力FN， 杆在倒下的过程中有：
质心 质心运动定理
求: 它的质心位置。
y
d
C 0.64R
dm
x
解: 建坐标系如图
取 dl
o
M M Rd d dm dl R
x R cos y R sin
M d 0.
R sin 0 M
xc
x dm
M
R cos 0 M
说明: 质点系动量等于总质量与质心速度的积
dP 质点系动量定理 F外 d t
2. 质心的加速度及其动力学规律
质点系动量 P mv c 说明: (1)质心运动状态只取决于外力，与内力无关 (2)若 F外 0 则 ac 0 vc 常矢量
dvc F外 m mac dt
质心 质心运动定理
一、 质心(the center of mass) 质心位矢 坐标
xc
rc
mi r i m
i i
z
mi
mx
ri
rc
r1
m1
m2
yc
m mi y i
o
y
m
i i
zc
mz m
x
对于质量连续分布的系统 rc
rdm m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
M
d 0
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass) 1. 质心的速度 dri m dr i miv i d mi ri c d t ( ) vc m dt m m dt mv c mi v i P 质点系动量 P mv c
y
d
C 0.64R
dm
x
解: 建坐标系如图
取 dl
o
M M Rd d dm dl R
x R cos y R sin
M d 0.
R sin 0 M
xc
x dm
M
R cos 0 M
说明: 质点系动量等于总质量与质心速度的积
dP 质点系动量定理 F外 d t
2. 质心的加速度及其动力学规律
质点系动量 P mv c 说明: (1)质心运动状态只取决于外力，与内力无关 (2)若 F外 0 则 ac 0 vc 常矢量
dvc F外 m mac dt
质心 质心运动定理
一、 质心(the center of mass) 质心位矢 坐标
xc
rc
mi r i m
i i
z
mi
mx
ri
rc
r1
m1
m2
yc
m mi y i
o
y
m
i i
zc
mz m
x
对于质量连续分布的系统 rc
rdm m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
M
d 0
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass) 1. 质心的速度 dri m dr i miv i d mi ri c d t ( ) vc m dt m m dt mv c mi v i P 质点系动量 P mv c
2_9质心与质心运动定理
例3 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落 地点为xC 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相 等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水 平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解： 在爆炸的前后，质心始终
只受重力的作用，因此， 质心的轨迹为一抛物线， 它的落地点为xc 。
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2 mx2 xC 2m
dV r 2 dz
而
r a sin z a cos , 2 dV a sin d a cos
a 1 cos d cos
3 2
r a sin
z
z a cos x
a
0 设 u cos ，则 v z dV zdV a 4 1 1 u2 udu 2 a 3 zc 0 3 V dV
x1c R
y
O
x
1 2 小圆板质量为 m1 R， 4 质心坐标为
2
3 余下的质量为 m2 R 2，质心坐标用 x 2 c表示，则 4
1 3 2 R R R 2 x2 c 2 4 0 4 2 R
R x2c 6
例2
求半径为a的均质半圆球的质心
解：如图，以球心O为原点建立坐标系.将半球体划 分为若干半径为r厚为dz的平板状薄圆，体积元为dV
令
m1r1 m2 r2 rc m1 m2
（2）n个质点系统
分量形式
xc
i
rc
mi ri
m
i
i i
i
i
m x m
i i i
i
质心质心运动定理
第五章质心刚体质心运动定理ca m F v v =合外质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。
牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。
特殊的质点系——刚体m1l5.1.2 质点系动力学量的分解质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。
在质心系中质心静止==c c v r v v常矢量质心系中的运动图象各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。
质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。
质点系的动量质点系的动量等于质心的动量c p p v v =质点系相对质心的动量总是为零0=′=′∑ii i v m p vv 质点系中各质点m i 相对质心的运动),(i i v r ′′v v m iO Ci r ′v ir v Cr v 在任一参考系中质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系核反应中的资用能质点系的角动量i c i i c i v v v r r r ′+=′+=v v v v v v ,∑×=iii i v m r L v v v ∑∑∑∑′×′+×⎟⎠⎞⎜⎝⎛′+⎟⎠⎞⎜⎝⎛′×+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=i i i i c i i i i i i c c i i c v m r v r m v m r v m r L v v v v v v v v v ∑′×′=′×=′+=ii i i c c c c v m r L v m r L L L L vv v v v v v v v , ,质点系的角动量可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和同一参考点质心为参考点m iOCi r ′v ir v Cr v 其中5.1.3 质心参考系质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力ci a m v −在质心系中质点系的动能定理和角动量定理质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。
§2-4质心 质心的运动定律
系统所受外力与系统质心运动加速度的关系为 质心运动定理 质心的运动只由合外力决定， 质心的运动只由合外力决定，内力不能改变质 心的运动情况。 心的运动情况。 太原理工大学物理系
质心处的质点（质点系总质量） 质心处的质点（质点系总质量）代替质点系 整体的平动. 整体的平动
4.合外力为零时质心的运动 合外力为零时质心的运动 如果系统所受的外力之和为零 由质心运动定理 得到 太原理工大学物理系
直角坐标系下动量守恒定律的分量形式
=常量 常个小孩， 例1 质量为 1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为 。问他们 将在何处相遇？ 将在何处相遇？
m1
m2 O
当人站在船的左端时 当人站在船的右端时
y
′ d = x2 − x2
o
x
太原理工大学物理系
§2-4 质心 质心运动定律 一、质心 质心就是大量质点组成的质点系的质量中心， 质心就是大量质点组成的质点系的质量中心， 就是大量质点组成的质点系的质量中心 质心运动反映了质点系的整体运动趋势。 质心运动反映了质点系的整体运动趋势。 质心具有长度的量纲， 质心具有长度的量纲，描述与质点系有关的某 一空间点的位置。 一空间点的位置。 对于N个质点组成的质点系： 对于 个质点组成的质点系： 个质点组成的质点系 各质点的质量 各质点对同一坐标的位矢
=常矢量 常矢量 当质点系的合外力为零时， 当质点系的合外力为零时，质心静 止或作匀 速直线运动。 速直线运动。 =常矢量 常矢量 系统的总动量保持不变,叫做动量守恒定律. 系统的总动量保持不变 叫做动量守恒定律 叫做动量守恒定律 若质点系x向分动量守恒，质心在 向匀速直线 若质点系 向分动量守恒，质心在x向匀速直线 向分动量守恒 运动(或静止 或静止)。 运动 或静止 。 太原理工大学物理系
质心运动定理公式
质心运动定理公式
《质心运动定理公式》是物理学中一个重要的定理，它描述了质点在牛顿力学中的运动规律。
它指出，在牛顿力学中，一个质点的运动轨迹是一个椭圆，其中质心是椭圆的中心，它是质点的动量的守恒定律的结果。
质心运动定理的公式为：质点的轨迹方程为：
x²/a²+y²/b²=1，其中a为椭圆的长轴，b为椭圆的短轴，x为质点的横坐标，y为质点的纵
坐标。
质心运动定理公式的发现对物理学的发展具有重要意义，它可以用来描述质点运动的轨迹，也可以用来解释物体运动的规律，比如太阳系中行星的运动轨迹就是椭圆，它们的轨迹就是质心运动定理的结果。
此外，质心运动定理公式也可以用来描述其他物理现象，比如电子在原子核中的运动轨迹也是椭圆，它们的运动轨迹也是质心运动定理的结果。
质心运动定理公式是一个重要的定理，它可以用来描述物体运动的规律，为物理学的发展做出了重要贡献。
质心-质心运动定理
质心 质心运动定理
一、 质心(the center of mass)
质心位矢
rc
mir i m
坐标
xc
mi
x i
m
yc
mi
y i
m
z
ri
o x
mi
rc
m2
m1 r1
y
zc
mi zi m
对于质量连续分布的系统
rc
rdm
m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
y
d
求: 它的质心位置。 解: 建坐标系如图 取 dl
dm
dl
M
R
Rd
M
d
C dm
0.64R
o
x
x Rcos y Rsin
yc
ydm
Rsin M d
0
0.64R
M
M
xc
xdm
R cos M d
0
0
M
M
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass)
1. 质心的速度
vc drc d (
解:炮弹炸裂前后所受外力始终是重力,所以炮弹炸裂
对质心运动没有影响, m1和m2落地时, 炮弹的质心坐标
为 xc= 2R0
y
由 xc
mi xi 得
mi
o
m1x1 m2 x2 m1 m2
2R0
m1 m2 炮弹质心轨迹
x1=R0 xc=2R0
x x2=?
将 x1 = R0
代入得 x2 = 5R0
miri )
mi
dri dt
一、 质心(the center of mass)
质心位矢
rc
mir i m
坐标
xc
mi
x i
m
yc
mi
y i
m
z
ri
o x
mi
rc
m2
m1 r1
y
zc
mi zi m
对于质量连续分布的系统
rc
rdm
m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
y
d
求: 它的质心位置。 解: 建坐标系如图 取 dl
dm
dl
M
R
Rd
M
d
C dm
0.64R
o
x
x Rcos y Rsin
yc
ydm
Rsin M d
0
0.64R
M
M
xc
xdm
R cos M d
0
0
M
M
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass)
1. 质心的速度
vc drc d (
解:炮弹炸裂前后所受外力始终是重力,所以炮弹炸裂
对质心运动没有影响, m1和m2落地时, 炮弹的质心坐标
为 xc= 2R0
y
由 xc
mi xi 得
mi
o
m1x1 m2 x2 m1 m2
2R0
m1 m2 炮弹质心轨迹
x1=R0 xc=2R0
x x2=?
将 x1 = R0
代入得 x2 = 5R0
miri )
mi
dri dt
质心质心运动定理
可知
yC 0
取宽度为dx的面积元，设薄板每单位
面积的质量为，则此面积元的质量
为
dm 2xdx
xc
xdm
a/ 2 2 x2dx
0
2a
M
1 a2
3
2
例2：确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标
Y
由对称性知： xC 0
dy
已知薄圆盘的质心位于 圆心，取厚度为dy的薄圆盘 为质量微元。
zC z d m / m 体分布 d m dV
质心与重心（center of gravity）是两个不同的概
念，重心是地球对物体各部分引力的合力(即重力)的
作用点，质心与重心的位置不一定重合。
思考：重合条件？
例1求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心
位置。
解：取坐标轴如图，根据对称性分析
一、质心
质心（center of mass）是与质量分布有关的一个代表 点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。
Y
质心具有长度的 量纲，描述与质 点系有关的某一 空间点的位置。
C
O 抛手榴弹的过程
X
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
对于N个质点组成的质点系：
m1, m2 , , mi , ，mN
相遇时有： x1 x2 xC
质心定义可得
xc
m2 x20 m1x10 m1 m2
两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的 质心相遇。
例3 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l 。问他 们将在何处相遇？
解：把两个小孩和绳看作 一个系统，水平方向不受 外力，故质心是静止的。 任取两个小孩连线上一点
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zC z d m / m
d m dl dm dS d m dV
质心与重心（center of gravity）是两个不同的概 念，重心是地球对物体各部分引力的合力(即重力)的 作用点，质心与重心的位置不一定重合。 思考：重合条件？
3-9 质心 质心运动定律
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3-9 质心 质心运动定律
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由牛顿第二定律得
m1a1 F1 F12 F13 F1n
m2 a2 F2 F21 F23 F2 n mn an Fn Fn 2 Fn3 Fnn
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相遇时有： x1 x2 xC 质心定义可得
m2 x20 m1 x10 xc m1 m2
两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的 质心相遇。
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例1求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心 位置。 取坐标轴如图，根据对称性分析 解： 可知 y 0
C
取宽度为dx的面积元，设薄板每单位 面积的质量为，则此面积元的质量 为
dm 2 xdx
xc
xdm
M
a/ 2
0
2 x dx
2
1 2 a 2
2 a 3
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(m mi )
yC mi yi / m
zC mi zi / m
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对于质量连续分布的物体
质心的位矢： 分量式：
xC x d m / m
rC r d m / m
(m dm)
线分布 面分布 体分布
yC y d m / m
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二、质心运动定理 由质心位矢公式：
质心的速度为
d r i m i d rC mi vi d t vC dt mi mi 质心的加速度为 d vi m mi ai d vC i d t aC dt mi mi
3-9 质心 质心运动定理
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一、质心
3-9 质心 质心运动定律
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质心（center of mass）是与质量分布有关的一个代表 点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。
Y 质心具有长度的 量纲，描述与质 点系有关的某一 空间点的位置。
yc
ydm
m
R 2 0
R
0
y( R 2 y 2 ) d y 2R 3 / 3
R
R y 2 d y 2 3( R 2 y 2 y 4 / 2) 0
4R / 3
3
4R3
3R 4 / 2 3 R 3 4R / 3 8
质心在距球心3R/8对称轴y轴上
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例3 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l 。问他 们将在何处相遇？
解：把两个小孩和绳看作 一个系统，水平方向不受 外力，故质心是静止的。 任取两个小孩连线上一点 为原点，向右为x轴为正向。设开始时小孩的坐标 分别为x10、x20，在任意时刻的坐标为x1和x2。
3-9 质心 质心运动定律
例2：确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标 由对称性知：
Y
xC 0
dy
R
已知薄圆盘的质心位于 圆心，取厚度为dy的薄圆盘 为质量微元。
O
X
d m R y d y
2 2
yc
ydm m
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对于系统内成对的内力
mi ai F i
aC
F12 F21 0,, Fin Fni 0,
mi ai
m
Fi maC
i
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3-9 质心 质心运动定律
Fi Mac
质心运 动定理
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。
C质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
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对于N个质点组成的质点系：
m1 , m2 ,, mi ,，mN r1 , r2 ,, ri ,，rN
质心的位矢：
rC mi ri / m
直角坐标系中的分量式：
xC mi xi / m