1.2复数的有关概念
新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义 复数的几何意义课件北师大版必修第二册
z1，z2 对应的点之间的距离．
思考2：复数模的几何意义是什么？ 提示：复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足 条 件 |z| ＝ r 的 点 Z 的 轨 迹 为 以 原 点 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 , |z|<r 表 示 圆 的 内 部,|z|>r表示圆的外部．
C．(0,0)
D．(－1,－1)
3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．Z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
(A ) (D )
4．已知复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则 z ＝___1_－__2_i _.
[解析] 因为 z＝1＋2i，所以 z ＝1－2i.
5．已知复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点位于第二象限，则实数 m 的范围为__(_1_，___2_)_.
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解．
[解析] (1)两个复数对应的点分别为 A(10,7)，B(－6，1)，则 C(2,4)．故 其对应的复数为 2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)，B→C＝O→C－O→B＝ (－3,1)，所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
[解析] 因为复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点(m2－2，m－1)位于 第二象限，所以 m2－2<0，且 m－1>0，所以 1<m< 2.
1.2复数的几种表示形式
(3) | z | | z |;
P6
arg z - arg z , ( arg z π );
| z |2 z z .
z
|z| Im z
Re z
z2
z1 z2
z1
z1 - z2
|z| z
arg z arg z
|z| z
P8
证 | z1 z2 |2 (z1 z2 )( z1 z2 ) (z1 z2 )( z1 z2 )
复数 z 的乘幂，记为 zn , 即 zn z z z .
n个
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。
法则 设 z r ei , 则 zn (r ei )n r n ein .
三、复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 棣莫弗(De Moivre)公式 由 zn (r ei )n r n ein 以及复数的三角表示式可得
欧拉
Leonhard Euler (1707～1783)
瑞士数学家、自然科学家
十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献， 而且把数学推至几乎整个物理领域。
附：人物介绍 —— 欧拉
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。 以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。 一生共写下了 886 本书籍和论文。
注: 复数 0 的模为 0，辐角无意义。
一、复数的几何表示
2. 复数的模与辐角
主辐角 对于给定的复数 z 0 , 设有 满足： Arg z 且 - π π ,
则称 为复数 z 的主辐角或辐角主值，记作 arg z .
由此就有如下关系： Arg z arg z 2kπ , k 0 , 1, 2 , .
数学复数高考知识点总结
数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。
在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。
1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。
1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。
1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。
二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。
2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。
2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。
2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。
复数的模的平方
复数的模的平方一、复数的定义和表示1.1 复数的概念复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分组成。
复数可以表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。
1.2 复数的表示复数可以用直角坐标系中的点来表示。
实数部分对应于x轴，虚数部分对应于y轴，复数对应于平面上的一个点。
二、复数的模的定义2.1 复数的模复数的模表示复数到原点的距离，也可以理解为复数的绝对值。
复数z=a+bi的模记作|z|，它的计算公式为：|z| = √(a² + b²)2.2 复数的模的性质复数的模具有以下性质： - |z| ≥ 0，即模的值非负 - |z| = 0 当且仅当 z = 0，即模为0的复数只有0本身 - |z₁z₂| = |z₁| |z₂|，即复数乘积的模等于各因子模的乘积 - |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|，即复数和的模小于等于各复数模的和三、复数模的平方3.1 复数模的平方复数模的平方是指复数的模的平方值，记作|z|²。
复数z=a+bi的模的平方可以通过以下方式计算：|z|² = (a² + b²)3.2 复数模的平方的意义复数模的平方在某些问题中具有重要的意义，例如： - 在物理学中，复数模的平方可以表示电磁场的强度。
- 在概率论中，复数模的平方可以表示概率的大小。
四、复数模的平方的应用4.1 电磁场的强度在电磁学中，复数模的平方可以表示电磁场的强度。
电磁场的强度与复数模的平方成正比，即强度越大，复数模的平方值越大。
4.2 概率的大小在概率论中，复数模的平方可以表示概率的大小。
概率的大小与复数模的平方成正比，即概率越大，复数模的平方值越大。
五、复数模的平方的计算方法5.1 直接计算可以直接使用复数的实部和虚部的值，通过计算公式|z|² = (a² + b²)来计算复数模的平方。
1-2复变函数基本概念
§1.2 复数函数授课要点：区域的概念，闭区域，复变函数的极限，连续的概念。
难点：极限概念及其与实变函数中相关概念的区别1、 邻域：以0z 为圆心，以任意小ε半径作圆，则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。
注意，这里说的是“圆内”，“圆边”上的不算。
内点、外点和边界点：设有一个点集E ，若0z 及其领域均属于点集E ，则称0z 为E 的“内”，若0z 及其邻域均不属于E ，则0z 为外点，若0z 的每个领域内，既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则称0z 为E 的边界点，边界点的全体称为E 的边界线。
区域：（1）全由内点组成 （2）具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折线连起来，且折线上的点全都属于该点集。
闭区域：区域B 及其边界线所组成的点集称为闭区域，用B 表示。
练习: 下面几个图所示的，哪个是区域？答：(a),(b)皆为区域，(a)为单通区域，(b)为复连通区域，(c)不是区域.例子： ||z r <代表一个圆内区域||z r <代表一个圆外区域12||r z r <<代表一个圆环区域将上面三个式中的 < 换成 ≤， > 换成 ≥，则变成闭区域。
注意：区域的边界并不属于区域，闭区域和区域是两个概念2、复变函数定义：形式和实变函数一样，()w f z =复变函数的定义域不再限于实轴上某个区间，而是复平面上的某个区域. 函数的值域也可以对应复平面上的某个区域（也可能不是）：变量：z x iy =+函数：()(,)(,,)w f z u x y iv x y ==+复变函数的实部和虚部都是一个二元函数（实函数），关于二元实变函数的很多理论都可用于复变函数中（形式可能有所变化）极限：设函数f (z )在0z 点的领域内有定义，如果存在复数A ，对于任意的0ε>，总能找到一个()0δε>，使得：当0||z z δ-<时，恒有|()|f z A ε-<，则称0z z →时f (z )的极限为A ，即0lim ()z z f z A →=对于非数学专业的学生而言，这段话略显晦涩，一个不太严格但直观的表述是：当z 以任意方式逼近0z ，()f z 都逼近A不会因为z 逼近方式之不同，而导致()f z 逼近不同的值，或者发散举例：（1）222()()xy f z i x y x y=+++ 222(,)xy u x y x y =+ 2222lim 22(,)010kx k u x y x x ky k y ==→++→ 结果将因k 之不同而不同，故极限不存在.（2）实变函数例子1()f x x= 0lim ()x f x +→=+∞， lim ()x xf x -→=-∞ 连续：00lim ()()z z f z A f z →== 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+，所以，复变函数的连续问题，可以归结为两个二元实变函数的连续问题。
1.2.11.1.2复平面及复数的几何意义
二、复数向量表示法
y
1 点表示法
y
复数 z x i y 可以由复平面上
的点(x , y)表示。
O
2 向量表示法
y
复数 z x i y 还可以由
y
从原点指向点P 的向量 OP 表示。
O
z xiy
x, y
x
x
z xiy
P x, y
x
x
三、复数的模与辐角
1.模
若 z x i y 是一个不为0 y
1 复平面的定义 2 复数的表示法 3 复数的模与辐角
一、复平面的定义
一个复数 z x i y 由一个有序实数对(x , y)唯一确定，
而有序实数对与平面上的点一一对应。
因此，一个建立了直角坐标系的平面可以用来 表示全体复数，横轴上的点表示实数，称为实轴； 虚轴上的点表示纯虚数，称为虚轴，该坐标平面 称为复平面或 z 平面。
y
z2
z1
z1
O
x
O
x
z1 z2
显然，z1 z2 表示两点 z1和z2 z2 之间的距离。
三、复数的模与辐角
2. 辐角
y
以正实轴为始边，以向量 y
OP 为终边的角的弧度数
叫做 z 的辐角x, y
x
x
三、复数的模与辐角
2. 辐角
说明：
① 复数的辐角有无穷多个值；
x 0, y 0 x 0, y 0
其中 π arctan y π .
2
x2
的复数，将其所对应的向量 y
OP 的长度称为 z 的模，
z r
z xiy
P x, y
记作 z x2 y2 .
O
x
高等数学复数教材
高等数学复数教材高等数学是大学阶段重要的数学学科，其中复数是其中一个重要的概念。
本教材旨在介绍高等数学中的复数，并提供相关的理论知识和求解方法。
第一章：复数的引入1.1 复数的定义复数由实数部分和虚数部分组成，可以表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
1.2 复数的基本运算包括复数的加法、减法、乘法和除法，以及实数与复数的加法、减法、乘法和除法。
1.3 复数的复共轭复数的复共轭可表示为a - bi的形式，其中a和b与原复数相同，但虚部的符号相反。
第二章：复数的性质与运算2.1 复数的代数形式与三角形式复数可以以代数形式表示为a + bi，也可以以三角形式表示为r(cosθ + isinθ)，其中r是模长，θ是辐角。
2.2 复数的乘除运算复数的乘法与除法可通过代数形式和三角形式进行计算，并且有相应的公式和性质。
2.3 复数的指数表示欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ将复数以指数形式表示，简化了一些复数运算。
第三章：复数方程与方程组3.1 一元复数方程介绍一元复数方程的概念，并提供求解一元复数方程的方法和步骤。
3.2 一元复数方程的应用探讨一元复数方程在实际问题中的应用，例如电路分析和振动问题等。
3.3 复数方程组介绍复数方程组的概念和解法，包括利用高斯消元法和矩阵法求解复数方程组。
第四章：复数函数与复变函数4.1 复数函数的定义与性质复数函数是将复数域映射到复数域的函数，包括实部函数、虚部函数、模函数和辐角函数等。
4.2 复数平面与复平面函数探讨复数平面和复平面函数的概念，复平面函数通过曲线表示和性质分析。
4.3 复变函数的解析性与全纯函数介绍复变函数的解析性和全纯函数的概念，以及复变函数的柯西-黎曼条件。
第五章：复数级数与幂级数5.1 复数级数的概念和性质介绍复数级数的收敛性和性质，包括绝对收敛和条件收敛等概念。
5.2 幂级数的概念与收敛域探讨幂级数的收敛域和收敛半径的计算方法，以及幂级数收敛的判别法则。
§1.2复数的表示法与运算法
§1.2 复数的表示法与运算法教学目的：了解复平面概念，熟练掌握复数的各种表示法及其相互转化；能灵活运用复数的各种表示进行相关的计算与证明．计算与证明．重点：灵活运用复数的各种表示法与运算性质熟练解决相灵活运用复数的各种表示法与运算性质熟练解决相 关问题．难点：模不等式证明，复数的三角表示，复数的模不等式证明，复数的三角表示，复数的 开方与复方程求解．开方与复方程求解． 教学过程： §1.2.1 复平面 1．复数与平面上的点 复数z x iy =+与有序实数与有序实数对(,)x y 一一对应，而有序实数对(,)x y 表示平面上的确定点，因此我们用平面上横坐标为x，纵坐标为y 的点来表示复数z x iy =+（如图1.1）.x 轴上的点对应着实数，故称x 轴为实轴；y 轴上的轴上的非原点非原点的点对应着纯虚数，故称y 轴为虚轴轴为虚轴..表示复数z 的平面（整个平面）称为复平面或z 平面.将复数与复平面的点不加区分，使得复数集就是一个平面点集，为图形的研究带来很多方便形的研究带来很多方便. .如：{}|Im 0z z >表示上半平面，左半平面为 Re 0z < 实轴的方程为Im 0z =；z 平面上虚轴的方程为Re 0z =；{}|0Re 1,0Im 1z z z ££££表示以0,1,1,i i +为 顶点的正方形. 2.复数与向量复数iy x z +=与坐标平面上的点一一对应与坐标平面上的点一一对应. . 在复平面上，在复平面上，复数z 与从原点指向与从原点指向 点z x iy =+的向量的向量 也构成一一对应的关系也构成一一对应的关系 （复数0对应着零向量）， 因此我们也能用平面上因此我们也能用平面上 从原点出发的向量从原点出发的向量表示复数表示复数. .例如，设111z x iy =+，222z x iy =+，则由图1.2 可以看出可以看出,,复数121212()()z z x x i y y +=+++表示表示 的向量就是复数1z 与2z 的和向量的和向量. . （如图1.2）又如又如, , 1212()z z z z -=+-表示表示的就是从2z 到1z 的向量的向量((如图1.3)例1 (1)写出圆方程()220++++=a x y bx cy d(,,,,0a b c d R a ι)的复数形式的方程. 解 设z x iy =+,则2211(),(),22=+=-×=+x z z y z z z z x y i代入原方程得2()()20az z b z z ic z z d ×++--+=, 即2()()20×+-+++=az z b ic z b ic z d若令 B b ic =+, 则上述方程可化为220×+++=az z Bz Bz d .(2) 写直线方程0++=ax by c (,,,,a b c R a b Î不同时为零)的复数形式的方程.解 设z x iy =+,则11(),()22x z z y z z i =+=-代入原方程得()()20a z z ib z z c +--+=, 若令A a ib =+,则 上述方程可化为20++=Az Az c . §1.2.2复数的模与辐角 1复数的模在复平面上，复数iy x z +=对应向量oz 的长度称为的长度称为复数z 的模(或绝对值), 其中x ,y 依次表示oz 沿x轴与y 轴的分量轴的分量((如图1.1).).记为记为z 或r ,即220==+³r z x y提问：2z 到1z 的的距离如何表示？22121212()()d z z x x y y =-=-+-例如 z 平面上以原点为心平面上以原点为心,,R 为半径的圆周的方程为=z R ;z 平面上以0z 为心为心,,R 为半径的圆周的方程为 0-=z z R ；思考问题：下列式子表示的意义 （1）34z i +=； （2）25z z i -=+；（3）Im(3)5z i +=.（#）2y =- 2.复数的辐角设iy x z +=（0z ¹）,称 对应向量的方向角（实轴正向到z 所表示的向量oz间的夹角）q 称为复数z 的辐角,记为记为 =Argz q （如图1.1）.由于tan =yx q ,且任一复数z （0z ¹）有无穷多个辐角,规定满足条件p p £<-z arg 的辐角为=Argzq的主值(或复数z 的主辐角),),记为记为记为 arg z .于是于是Argz z 2k 2kππ(arg )k Z =+Î复数z (0¹z )的主辐角z arg 与反正切Arc tan y x的主值arctan yx 有如下关系有如下关系::（如下图1.4，1.5） arcta arctan ,0,,002arg ,0,0arctan ,0,0n ,002ì>Îïï=>ïïï=+<³íïï-<<ïïï-=<ïîy x y R xx y z x y y x y x x y yx p p p p （）（，）（）（）（，）(其中其中0¹z ) 注意：1）当0=z 时， 0=z ；此时辐角没有意义.2）对于共轭复数有 ,arg arg ==-z z z z（0¹z 且不为负实数）；对负实数有arg arg z z p =＝.3）对于0¹z 复数z x iy =+，有cos ,sin x z Argz x z Argz ==.§1.2.3复数的模的三角不等式与恒等式Re =£z x z ,Im =£z y z , Re Im £+=+z x y z z 22×==z z z z 22+＝x y . 21==z z z zz z. 设111222,z x iy z x iy =+=+，则有三角不等式121212-£±£+z z z z z z ,例2（1）1212z z z z ×=×；（2）设12,z z 为任意复数，证明下式并说明它的几何意义.()22221212122z z z z z z ++-=+；（3）1212z z z z -£-.证明 （1）121212()()z z z z z z ×=××1122()()z z z z =×12z z =×.（2）∵）∵ 2121212()()z z z z z z +=++11122122z z z z z z z z =+++22121221z z z z z z =+++2212122Re()z z z z =++， 又∵又∵ 212121211122122()()z z z z z z z z z z z z z z -=--=--+ 22121221z z z z z z =+--2212122Re()z z z z =+-，∴ 两式相加得两式相加得两式相加得22221212122()z z z z z z ++-=+.它的几何意义是: 平行四边形的对角线的平方和等于它的相邻两边的平方和的两倍. （3）2121212()()z z z z z z -=--2212122Re()z z z z =+-，又因为又因为12121212Re()z z z z z z z z £==， 所以所以2222121212122()z z z z z z z z -³+-=-，从而从而 12z z -£12z z -， 同理可证 1212z z z z -£+ 故有故有 121212z z z z z z -£±£+思考:说明上述不等式在什么条件下取等号说明上述不等式在什么条件下取等号? ? §1.2.4.复数的三种表示1. 代数表示：而i z x y =+称为复数z 的代数形式.2. 三角表示：设=+z x iy （0z ¹），由直角坐标与极坐标的关系知由直角坐标与极坐标的关系知 i q q (cos sin )=+z r 称为称为z （0z ¹）的三角形式.其中r 是模，q 是辐角. （如图1.6解释两个量） 注意：1）复数的三角表示不唯一.2）设i 1111(cos sin )z r q q =+，i 2222(cos sin )z r q q =+，则 121212,2z z r r k q q p =Û==+（k 为整数）为整数）特别特别,,当1==r z 时i q q cos sin =+z 称为称为单位复数 3．指数表示式：由欧拉公式（Euler ）:i cos sin ie q q q =+,知复数z （0z ¹）表示成）表示成 =i z re q 称为指数形式. 例3 求下列复数的模、辐角、三角形式与指数形式.（1）22-i解22222(2)22-=+-=i ；2(22)arctan2224--=+=-+Arg i k k pp p ,(Zk Î)；42222[cos()sin()]2244--=-+-=i i i e p p p .（2）122-+i . 解 22122(12)24-+=-+=i ；25(122)(arctan )22612--+=++=+Argi k kp p p p(Îk Z )； 56551224[cossin]466-+=+=ii i ep p p .(3)212--i . 解 22212(2)(12)4--=-+-=i ；12(212)arctan 22Argi kp p ---=-++-223k p p =-+,(Îk Z )；23222124[cos()sin()]433---=-+-=i i i ep p p .（4）sin cos 55+i p p .解 sincos155i pp+=3222510()Argz k k p p p p p =-+=+(Îk Z )，sin cos 55i p p+＝31033cos sin 1010i i ep p p+=.课外练习：1.1.写出下列函数的三角形式写出下列函数的三角形式写出下列函数的三角形式 （1）12(cossin )44i i pp+=+.（2）设(cos isin )z r q q =+，求1z的三角表示的三角表示.. （3）设z =()23i-()2i -+，提示：arg z 为arctan arctan88p - . 2 .将复数将复数j j sin cos 1i +-（p j £<0）化为指数形式）化为指数形式. .提示：原式)22(2sin 2jp j -=i e.§1.2. 5 复数的乘、除法以及乘方、开方运算 重要结论：设111=i z r eq ,222=i z r e q ,则(1)12=z z Û 12=r r ,122=+k q q p ,(k 为任意整数为任意整数) )(2)12()1212+×=i z z r r eq q 复数乘法的几何意义：12z z ×表示将1z 所表示的向量逆时针旋转2Argz 并伸长2z 倍后所获得的向量倍后所获得的向量..（提问：i z ×及i z -×表示的意义是什么？）示的意义是什么？）(3) 除法 ()121122-=i z r e z r q q （同上叙述除法的几何意义）（同上叙述除法的几何意义）从而从而1212=z z z z , 1122=z z z z . 1212()=+Arg z z Argz Argz ；1122()=-zArg Argz Argz z思考题：如何理解：如何理解1212arg()arg arg z z z z ¹+；1122arg()arg arg z z z z ¹-例子：arg(),arg(1)2i pp =-=，3arg[()(1)]arg()arg()arg(1)22i i i pp-=-=-¹=+-(1)argarg()arg(1)arg()2i i ip-===--.33argarg()233i i ip-+=-=-¹--3arg(33)arg(33)2i i p -+---=.例4 用复数的三角形式计算（1）(13)(3)+--i i .解： 因为 132(cos sin )33+=+i i p p ， 5532[cos()sin()]66--=-+-i i p p所以所以所以 (13)(3)+--i i ＝4[cos()sin()]22-+-i p p ＝4-i .（2）212+-ii .解：1125(cosarctansinarctan )22+=+i i ，125[cosarctan(2)sinarctan(2)]-=-+-i iÞ212+-i i＝1cos[arctan arctan(2)]2--1sin[arctan arctan(2)]2+--icos sin 22i i =+=p p . 注意运用反三角恒等式：arcsin arccos ,[1,1]2x x x p +=Î- arctan arccot ,2x x x R p+=Î.当0x >时，1arctan arccot x x= .提问：设(cos sin )z r i q q =+，则1z= . #：111(cos sin )[cos()sin()]i i z r rq q q q =-=-+-. §1.2.5 复数的乘方与开方运算1. 幂：通常把n 个复数z 的乘积nz z z z ×××= 称为z 的n 次幂记为nz .若0¹z , 记iz re q= ，则，则qq q (cos sin )==+n n in n z r e r n i n ,特别特别当1=r 时,有 qq q cos sin =+inen i n -----棣莫弗公式（De Moivre ） 2.方根：设0¹z ，通常把满足方程z w n = (2³n 为整数)的复数w 称为复数z 的n 次方根,记为=nw z .记=i z re q ,e i wjr =将它们代入方程将它们代入方程=nw z 得n in i e re jqr =,从而从而 n r r =,2=+n k j q p ，于是，于是nr r =(算术根算术根),), 2+=k nq pj ,0,1,2,,1k n =- .且复数z 的n 次方根为2()k i n n nk k w z req p+==,0,1,2,,1k n =- .结论：复数(0)z z ¹的n 次方根共有n 个,它们均匀地它们均匀地分布在以原点为心分布在以原点为心, , nr 为半径的圆周上为半径的圆周上..（如图1.7）注意：复数的乘、除运算以及下面的幂(乘方)、开方运算用复数的三角形式或指数形式较简单.例5 求38-的复指数表示式.解 因为因为 88-=ie p ，所以所以 223333882++-==k k iieep p p p (0k =,1,2).例6 用复数三角表示计算3(13)+i . 解 33(13)[2(cos sin )]33+=+i i p p8(cos sin )8=+=-i p p .例7 解方程（1）320z -=；（2）320z += （3）320z i +=.（4）310-+=z i .解 （1）320z -=可化为可化为 32z =，方程的三个根为，方程的三个根为3222((cossin)(0,1,0,1,2)2)33k k z i k p p =+=.（2）320z +=可化为可化为 32z =-， 13[2(cos sin )]p p =+z i 6222(cos sin )33p p p p ++=+k ki(0,1,2)k =为方程的三个根为方程的三个根. .（3）320+=z i 可化为可化为 32=-z i ， 13{2[cos()sin()]}22=-+-z i p p622222(cossin)(0,1,2)33-+-+=+=k k i k pppp为方程的三个根为方程的三个根. . （4）310-+=z i 可化为可化为3312(cos sin )44=-Þ=+z i z i p p6882(cos sin )(0,1,2)1212++Þ=+=k k z i k p p p p .例8 求q 3cos 及q 3sin (用q cos 与q sin 来表示来表示). ). 解： 由棣莫弗公式知由棣莫弗公式知33(cos sin )cos3sin3i i ei qq q q q +==+又 3(cos sin )i q q +3223cos 3cos sin (3cos sin sin )i q q q q q q =-+-比较两式的实部与虚部得比较两式的实部与虚部得323cos3cos 3cos sin 4cos 3cos q q q q q q =-=-, 233sin33cos sin sin 3sin 4sin q q q q q q =-=-.小结：1.在行复数运算时注意公式与法则以及复数三角形式与指数形式的应用，需注意复数的三角形式计算形式必须符合三角形式的要求角形式的要求..同时注意复数开方，开几次方则有几个根；开方时，以指数形式表示简单时，以指数形式表示简单..2.两个三角形式的复数相等时,辐角可以相差2p 的整数倍.3.利用复数的三角形式很容易解释复数乘法、除法、乘方的几何意义的几何意义. .4. 解复方程时先将方程化为最简型，再开方解复方程时先将方程化为最简型，再开方.. 易犯错误：1.且复数开方运算时根表示易出错误且复数开方运算时根表示易出错误..主要是特殊角的三角函数值不熟悉的三角函数值不熟悉. . 2.解复方程错误多解复方程错误多. .作业：.(2),(3)3118.(1),(2),(3),(5)1416.(1).P；；。
第五章复数的几何意义【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
由 = ,得(x-1,y-3)=(2,2),
即 x-1=2,y-3=2,解得 x=3,y=5,
故点 D(3,5),其对应的复数为 3+5i.
(2)因为 B(0,-1),C(2,1),
所以直线 BC 的方程为 x-y-1=0,
|1-3-1|
所以点 A 到直线 BC 的距离 d=
上,故选ABC.
答案ABC
微练习2
若x-2+yi和3x-i(x,y∈R)互为共轭复数,则x=
,y=
.
解析由题意,可得
答案-1
1
-2 = 3,
= -1,
故
= 1,
= 1.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
复数与点的对应关系
例1求实数a分别取何值时,复数
下列条件:
(1)在复平面的第二象限内.
=(3,10),而=(0,-3),于是 D(3,7).
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的向量
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得
.
=(a,b).
3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对
激趣诱思
知识点拨
例1求实数a分别取何值时,复数
四、共轭复数
+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件:
复数z=a+bi(a,b∈R)用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内点Z的坐标是(a,b),而非(a,bi).
这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴.
《复变函数》教案
《复变函数》教案第一章：复数的概念与运算1.1 复数的基本概念介绍复数的定义：形如a + bi 的数，其中i 是虚数单位，i^2 = -1。
解释实部和虚部的概念。
强调复数是实数域的拓展。
1.2 复数的运算掌握复数加法、减法、乘法和除法的运算规则。
举例说明复数运算的实质：代数形式的运算。
1.3 复数的几何表示引入复平面（复数坐标系）。
讲解复数在复平面上的表示：点的坐标。
介绍共轭复数的概念及其在复平面上的表示。
第二章：复变函数的定义与基本性质2.1 复变函数的定义给出复变函数的定义：定义在复平面上的函数，输入为复数，输出也为复数。
强调函数的连续性和可导性。
2.2 复变函数的基本性质介绍复变函数的奇偶性、周期性和可积性等基本性质。
举例说明这些性质的应用和判定方法。
2.3 复变函数的极限与连续性讲解复变函数在一点或一点的邻域内的极限概念。
强调复变函数的连续性及其与实变函数连续性的联系。
第三章：解析函数3.1 解析函数的定义引入解析函数的概念：在其定义域内具有无穷导数的复变函数。
解释解析函数的导数性质：解析函数是解析的，即在其定义域内每个点上都可以求导。
3.2 解析函数的例子举例说明常见解析函数：三角函数、指数函数、对数函数等。
强调解析函数在复平面上的图形特点：没有奇点。
3.3 解析函数的积分讲解解析函数的积分性质：解析函数在其定义域内积分路径无关。
介绍柯西积分定理和柯西积分公式。
第四章：积分变换4.1 傅里叶变换引入傅里叶变换的概念：将一个函数从时域转换到频域的积分变换。
讲解傅里叶变换的数学表达式及其物理意义。
4.2 拉普拉斯变换介绍拉普拉斯变换的概念：解决偏微分方程的积分变换方法。
强调拉普拉斯变换的应用领域：工程和物理学。
4.3 其他积分变换简要介绍希尔伯特变换、哈特莱变换等其他积分变换。
强调这些变换在信号处理等领域的应用。
第五章：复变函数在几何中的应用5.1 复数与几何的关系强调复变函数与复数几何的紧密联系。
1.2复数的有关概念
表示，向量OZ 的模叫做复数z的模，记作 |z|或|a＋bi|，那么|a＋bi|的计算公式
是什么？
y
b
Z：a＋bi
| a bi | a 2 b2
Oa x
问题探
究5、设向量a，b分别表示复数z1，z2， 若a＝b，则复数z1与z2的关系如何？ 规定：相等的向量表示同一个复数.
6、若|z|＝1，|z|＜1，则复数z对应 复平面内的点的轨迹分别是什么？
1 数系的扩充和复数的引入 1.2 复数的几何意义
界首一中 余若飞
复习巩
固 1.虚数单位i的基本特征是什么？ （1）i2＝－1； （2）i可以与实数进行四则运算，且原
有的加、乘运算律仍然成立. 虚数单位i的引入解决了负数不能
开平方的矛盾，并将实数集扩充到了
复数集。
复习巩 固
2.复数的一般形式是什么？复数相等 的充要条件是什么？
形成结
论一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各
象限内的点分别表示什么样的数？
y
b
Z：a＋bi
实轴上的点表示实数；O a x 虚轴上的点除原点外都表示纯虚数， 各象限内的点表示虚部不为零的虚数.
问题探 究
1、用有向线段表示平面向量，向量的
大小和方向由什么要素所确定？
有向线段的始点和终点.
2、用坐标表示平面向量，如何根据向
5.实数与数轴上的点一一对应，从 而实数可以用数轴上的点来表示，这 是实数的几何意义，根据类比推理， 复数也应有它的几何意义.因此，探究 复数的几何意义就成为一个新的学习 内容.
问题探 究
1、在什么条件下，复数z惟一确定？ 给出复数z的实部和虚部
2、设复数z＝a＋bi（a，b∈R），以 z的实部和虚部组成一个有序实数对 （a，b），那么复数z与有序实数对 （a，b）之间是一个怎样的对应关系？
数学复数知识点总结
数学复数知识点总结数学复数是在实数的基础上构造的一种数，它包含了实数无法涵盖的一类数。
复数在数学中拥有广泛的应用，尤其在电路分析、信号处理、量子力学等领域发挥着重要的作用。
本文将对数学复数的相关概念、性质和运算法则进行总结，帮助读者更好地理解和应用复数。
一、复数的定义和基本概念复数由实部和虚部组成，一般表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.1 复数的实部和虚部:实部和虚部是复数的两个独立部分。
实部表示复数在实数轴上的投影，常用Re(z)表示；虚部表示复数在虚数轴上的投影，常用Im(z)表示。
1.2 复数的共轭:设z=a+bi为一个复数，其共轭复数为z*=a-bi。
共轭复数的实部与原复数相同，而虚部符号相反。
1.3 复数的模和辐角:复数的模表示复数到原点的距离，用|z|表示。
模的计算公式为|z|=√(a²+b²)。
复数的辐角表示复数与正实轴的夹角，用arg(z)表示。
二、复数的运算法则复数的运算法则与实数的运算法则有很多相似之处，但也存在一些特殊的规则。
2.1 加法和减法:复数的加法和减法运算只需将实部和虚部进行相应的计算。
即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
2.2 乘法:复数的乘法是通过将两个复数的实部和虚部进行展开计算得到。
即(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
2.3 除法:复数的除法需要借助共轭复数进行计算。
即(a+bi)÷(c+di)=((a+bi)×(c-di))/(c²+d²)。
三、复数的指数和对数运算与实数类似，复数也可以进行指数和对数运算。
3.1 复数的指数形式:复数可以用指数形式表示为z=r×e^(iθ)，其中r为模，θ为辐角。
指数形式可以简化复数的运算，并方便表示周期性现象。
复数和平面向量知识点总结
复数和平面向量知识点总结一、复数的定义和性质1.1 复数的定义复数是形如 a+bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i²=-1。
1.2 复数的加减法复数的加减法与实数类似，直接对应实部和虚部进行运算。
1.3 复数的乘法复数的乘法满足交换律，结合律和分配律。
(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci - bd = (ac-bd) + (ad+bc)i1.4 共轭复数若 z=a+bi，则其共轭复数为 z* =a-bi。
共轭复数的性质是 z*z = |z|² = a² + b²，其中 |z| 表示z 的模。
1.5 复数的除法复数的除法可以借助共轭复数进行运算。
1.6 复数的几何意义复平面上，复数 a+bi 对应于坐标为 (a, b) 的点，即复数与点的对应关系。
复数的模 |z| 对应于复平面上点到原点的距离，幅角 arg(z) 对应于复平面上与正实轴的夹角。
二、平面向量的定义和性质2.1 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有向线段，通常用 (x, y) 表示。
其中 x 和 y是有向线段在 x 轴和 y 轴上的投影长度。
2.2 平面向量的加法平面向量的加法采用平行四边形法则，也可以通过坐标表示进行运算。
2.3 平面向量的数量积平面向量的数量积定义为a•b = |a||b|cosθ，其中 |a| 和 |b| 是向量的模，θ 是 a 和 b 的夹角。
2.4 平面向量的叉乘平面向量的叉乘定义为a×b = |a||b|sinθn，其中 n 是向量 a 和 b 所在平面上的法向量。
2.5 平面向量的应用平面向量广泛应用于几何、物理等领域，包括力、速度、位移等概念。
三、复数与平面向量的关系3.1 复数与平面向量的对应关系复数 z=a+bi 可以看作是平面向量 (a, b)，二者之间存在一一对应的关系。
3.2 复数与平面向量的加法和乘法复数的加法和乘法与平面向量的加法和数量积类似，可以通过坐标表示进行运算。
高中数学北师大版选修1-2+1.2复数的有关概念+教案
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
北师大版数学高二-选修2试题 5-1.2复数的有关概念
一、选择题1．复数z ＝cos θ＋isin θ(π2<θ<π)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解析】 因为π2<θ<π，所以cos θ<0，sin θ>0，故z 在复平面内对应的点位于第二象限．【答案】 B2．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3【解析】 由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12. 【答案】 A3．下列命题：①复平面内x 轴上的点都表示实数；②复平面内y 轴上的点都表示纯虚数；③虚数对应的点都不在坐标轴上；④虚数对应的点都不在x 轴上．其中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③【解析】 x 轴上的点对应的复数虚部为0，故表示实数，而x 轴以外的点虚部不为0，故表示虚数，因此仅①④为真命题．【答案】 B4．复数z 与它的模相等的充要条件是( )A ．z 为纯虚数B ．z 是实数C ．z 是正实数D ．z 是非负实数【解析】 设z ＝a ＋b i ，a ＋b i ＝a 2＋b 2等价于b ＝0且a ＝|a |，故选D.【答案】 D5．(2013·潍坊高二检测)如果复数z ＝3＋a i ，满足|z －2|<2，则实数a 的取值范围为( )A ．(－22，22)B ．(－2,2)C ．(－1,1)D ．(－3，3)【解析】 ∵z ＝3＋a i ，∴z ＝3－a i ，∴|z －2|＝|3－a i －2|＝|1－a i|，∴|z －2|<2⇔|1－a i|<2⇔1＋a 2<2⇔a 2<3⇔－3<a < 3. 【答案】 D二、填空题6．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)对应的点在第一象限，则实数m 的取值范围为________．【解析】 复数z 对应的点在第一象限需⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞0，4m 2－8m ＋3＞0，解得：m ＜－1－52或m ＞32. 【答案】 (－∞，－1－52)∪(32，＋∞)7．已知复数z 满足：z ＝(a 2＋1)＋8i ，且|z |＝10，则z ＝________.【解析】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)．由题意⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a 2＋1，y ＝8，x 2＋y 2＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，故z ＝6＋8i. 【答案】 6＋8i8．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R)的模是3，则y x 的最大值是________．【解析】 由题意(x －2)2＋y 2＝3，它表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，而y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线斜率，故数形结合得y x 的最大值为 3.【答案】3三、解答题9．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则有(a ＋a 2＋b 2)＋b i ＝2＋8i ， 故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－15，b ＝8，故z ＝－15＋8i. 10．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：(1)位于第四象限？(2)位于x 轴负半轴上？【解】 (1)要使复数z 对应的点位于第四象限，需⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15＞0，m 2＋3m －28＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜3或m ＞5，－7＜m ＜4， 则m 的取值范围是{m |－7＜m ＜3}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15＜0，m 2＋3m －28＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3＜m ＜5，m ＝－7或m ＝4， ∴当m ＝4时，z 在复平面内的对应点位于x 轴负半轴上．11．已知z 1＝x 2＋x 2＋1i ，z 2＝(x 2＋a )i 对任意的x ∈R 均有|z 1|>|z 2|成立，试求实数a 的取值范围．【解】 ∵|z 1|＝x 4＋x 2＋1，|z 2|＝|x 2＋a |，且|z 1|>|z 2|， ∴x 4＋x 2＋1>|x 2＋a |，即(1－2a )x 2＋(1－a 2)>0恒成立．不等式等价于①：1－2a ＝0，a ＝12，即a ＝12时，0·x 2＋(1－14)>0恒成立． 或②：⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，Δ＝－4(1－2a )(1－a 2)<0，∴－1<a <12. ∴a ∈(－1，12)．综上可得，a 的取值范围是{a |－1<a ≤12}.。
实际相乘法知识点总结
实际相乘法知识点总结实际相乘法的基本知识点包括复数的基本概念和运算法则、实际相乘法的具体步骤以及实际相乘法在实际问题中的应用。
接下来，我将从这些方面详细介绍实际相乘法的知识点。
一、复数的基本概念和运算法则1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，通常用a+bi表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
例如，2+3i就是一个复数，其中实部为2，虚部为3。
1.2 复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，只是需要将实部和虚部分别相加或相减。
例如，(2+3i)+(5+4i)=7+7i，(2+3i)-(5+4i)=-3-i。
1.3 复数的乘法复数的乘法使用实际相乘法进行计算，即先将两个复数按实部和虚部进行相乘，然后合并结果得到新的复数。
例如，(2+3i)×(5+4i)=10+8i+15i+12i^2=10+23i-12=-2+23i。
1.4 复数的除法复数的除法是通过乘以倒数进行计算的，即将分子分母都乘以分母的共轭复数，然后进行实际相乘法。
例如，(2+3i)/(5+4i)=(2+3i)×(5-4i)/(5+4i)×(5-4i)=10+8i+15i-12i^2/41=10+23i+12/41=10/41+23/41i。
1.5 复数的模复数的模是实数与虚数的平方和的平方根。
例如，复数2+3i的模为sqrt(2^2+3^2)=sqrt(13)。
1.6 复数的共轭复数的共轭是将虚部取负得到的复数。
例如，复数2+3i的共轭为2-3i。
二、实际相乘法的具体步骤2.1 将两个复数表示成实部和虚部的形式假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都为实数。
我们首先需要将这两个复数表示成实部和虚部的形式，即a+bi和c+di。
2.2 计算两个复数的实际相乘然后，我们将两个复数按实部和虚部进行相乘，即(a+bi)×(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2。
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虚数的起源
虚数要追溯虚数出现的轨迹，就要联系与它相对实数的出现过程。
我们知道，实数是与虚数相对应的，它包括有理数和无理数，也就是说它是实实在在存在的数。
有理数出现的非常早，它是伴随人们的生产实践而产生的。
无理数的发现，应该归功于古希腊毕达哥拉斯学派。
无理数的出现，与德谟克利特的“原子论”发生矛盾。
根据这一理论，任何两个线段的比，不过是它们所含原子数目的经。
而勾股定理却说明了存在着不可通约的线段。
不可通约线段的存在，使古希腊的数学家感到左右为难，因为他们的学说中只有整数和分数的概念，他们不能完全表示正方形对角线与边长的比，也就是说，在他们那里，正方形对角线与边长的比不能用任何“数”来表示。
西亚他们已经发现了无理数这个问题，但是却又让它从自己的身边悄悄溜走了，甚至到了希腊最伟大的代数学家丢番图那里，方程的无理数解仍然被称为是“不可能的”。
“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。
后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。
人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题。
像x²+1=0这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解。
12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。
他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是平方数。
这等于不承认方程的负数平方根的存在。
到了16世纪，意大利数学家卡尔达诺在其著作《大术》（《数学大典》）中，把记为1545R15-15m这是最早的虚数记号。
但他认为这仅仅是个形式表示
而已。
1637年法国数学家笛卡尔，在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。
1545年意大利米兰的卡尔达诺发表了文艺复兴时期最重要的一部代数学著作，提出了一种求解一般三次方程的求解公式：
形如：x3+ax+b=0的三次方程解如下：
当卡丹试图用该公式解方程x3-15x-4=0时他的解是：
在那个年代负数本身就是令人怀疑的，负数的平方根就更加荒谬了。
因此卡丹的公式给出x=(2+j)+(2-j)=4。
容易证明x=4确实是原方程的根，但卡丹不曾热心解释的出现。
认为是“不可捉摸而无用的东西”。
直到19世纪初，高斯系统地使用了i这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示a+bi，称为复数，虚数才逐步得以通行。
由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。
笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。
”欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说：“一切形如,√-1，√-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。
对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。
”
继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示。
后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。
现在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。
i的性质
i的高次方会不断作以下的循环：
i1 = i
i2= - 1 i3 = - i i4 = 1。