转化与化归的思想方法巩固练习
九、化归与转化思想专题(刘成宏)
九、化归与转化思想专题上海市向东中学 刘成宏经典例题【例1】若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于N M ,两点，求MN 的最大值．分析: 动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于N M ,两点, 横坐标相同，那么MN 就转化为N M ,两点纵坐标之差，即x x MN cos sin -=求最值．解: x x MN cos sin -==)4sin(2π-x 最大值为2．【例2】设点)0,(m M 在椭圆1121622=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点. 当MP 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．解：设),(y x P 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为1121622=+y x ，故44≤≤-x ．因为()y m x MP ,-=，2222312)4(4112241m m x m mx x -+-=++-=．依题意可知，当4=x 取得最小值．而[]4,4x ∈-， 故有44≥m ，解得1≥m ．又点M 在椭圆的长轴上，即44≤≤-m . 故实数m 的取值范围是]4,1[∈m ． 【例3】设R y x ∈,且x y x 62322=+，求22y x +的范围.分析:设22y x k +=，再代入消去y ，转化为关于x 的方程有实数解时求参数k 范围的问题.其中要注意隐含条件，即x 的范围.解:方法一、由023622≥=-y x x 得20≤≤x .设22y x k +=，则22x k y -=，代入已知等式得：0262=+-k x x ， 即x x k 3212+-=，其对称轴为3=x .由20≤≤x 得[]4,0∈k .所以22y x +的范围是：4022≤+≤y x . 方法二、 数形结合法（转化为解析几何问题）：由x y x 62322=+得 ()123122=+-y x ，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点.22y x +的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点.设圆方程为22y x +＝k ，代入椭圆中消y 得0262=+-k x x .由判别式40836==-=∆k k 得,所以22y x +的范围是：4022≤+≤y x .【例4】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记 ++++=n a a a S 21.若n ，n S kS ≤恒成立，求实数k 的最大值.解：（1） 3231=++n n S a ， ①∴ 当2≥n 时，3231=+-n n S a . ②由 ① - ②，得02331=+-+n n n a a a .311=∴+n n a a )2(≥n .又 11=a ，32312=+a a ，解得 312=a . ∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为31=q 的等比数列.11131--⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴n n n qa a （n 为正整数）.（2）由（1）知，23311111=-=-=qa S ，()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=nnnn qq a S 31123311311111.由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤n k 3112323，解得 nk ⎪⎭⎫⎝⎛-≤311．数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-n311单调递增，∴ 当1=n 时，数列中的最小项为32，∴ 必有32≤k ，即实数k 的最大值为32.【例5】设bax f x x ++-=+122)(（b a ,为实常数）．（1）当1==b a 时，证明：)(x f 不是奇函数； （2）设)(x f 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当)(x f 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．解：（1）举出反例即可．1212)(1++-=+x x x f ，511212)1(2-=++-=f ，412121)1(=+-=-f ，所以)1()1(f f -≠-，)(x f 不是奇函数；（2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，即bab a x x x x ++--=++-++--112222对定义域内任意实数x成立．化简整理得0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x，这是关于x 的恒等式，所以⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==21b a ．经检验都符合题意． （3）当⎩⎨⎧==21b a 时，121212212)(1++-=++-=+x x x x f ，因为02>x，所以112>+x ，11210<+<x，从而21)(21<<-x f ； 而4343)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数c 成立；所以可取D =R 对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立．当⎩⎨⎧-=-=21b a 时，)021*******)(1≠-+-=---=+x x f xx x （，所以当0>x 时，21)(-<x f ；当0<x 时，21)(>x f ； 1）因此取),0(+∞=D ，对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立． 1分 2）当0<c 时，3332>+-c c ，解不等式321121≤-+-x得：75lo g 2≤x ．所以取]75log ,(2-∞=D ，对任何属于D 的x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立．化归与转化思想检测题一、填空题（每小题4分，满分40分）1．使函数),606(20069)(2Z x x xx x f ∈≤≤+=取最小值的x 的值为___________. 2．设函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，且函数2()y x f x =-的图象过点(2,3)，则函数1()2y f x x -=-的图象一定过点 ．3．已知ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，ca bA B 2cos cos +-=，则B 的大小________. 4．函数)1arccos(2-=x y 的定义域为 ______ ． 5．锐角α满足34)cot (tan log sin -=+ααα，则=ααcos log tan ． 6．已知0y >x ,且0y －9－y =x x ,则y +x 的最小值为_____________．7．已知a 为正实数，直线a y x =+与圆422=+y x 交于B A ,两点，且||||OB OA OB OA -=+，其中O 为原点，则正实数a 的值为________.8．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22OP PF +的最小值为 ．9．数列{}n a 满足 ()1,0log 1log 1≠>+=+a a a a n a n a 且10010021=+++a a a ，则=+++10042a a a ．10．在圆5x y x 22=+内，过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,25有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为该等差数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差 ⎝⎛⎥⎦⎤∈31,61d ，则n 的取值构成的集合是 ．二、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须在规定区域内写出必要的步骤）11. (10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆交于,A B 两点．已知,A B． （1）求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值．12．(12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2BC =，4AB =，14CC =，E 在1BB 上，且11EB =，D F 、分别为111CC AC 、的中点. （1）求证：1B D ⊥平面ABD ；（2）求异面直线BD 与EF 所成的角； （3）求点F 到平面ABD 的距离．13．(12分)设A 、B 是双曲线1222=-y x 上的两点，点()2,1N 是线段AB 的中点（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？14.(12分)设)2(cos )22(cos )2sin()22sin(2)(22x x x x x f +--++-=ππππ（1）若)2,0(π∈x ，求)(x f 的最小值；（2）设]87,4[,2)42()(πππ∈+-=x m x f x g ，若)(x g 有两个零点， 求实数m 的取值范围．15. (14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n P S a 在直线(3)230m x my m -+--=上，*(,N m m ∈为常数，3)m ≠．（1）求n a ；（2）若数列{}n a 的公比()q f m =,数列{}n b 满足1113,=(),(*,2)2N n n b a b f b n n -=∈≥，求证：1{}nb 为等差数列，并求n b ； （3）设数列{}nc 满足2n n n c b b +=⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，且存在实数T 满足n T T ≥，(*)N n ∈，求T 的最大值．化归与转化思想检测题答案一、填空题：1. 15；2.（1,0）；3. 120°；4. ]2,2[-；5.21；6. 16；7． 2； 8．2； 解答提示：设(),P x y ，由()1,0F -得()2222221OP PF x y x y +=++++①因为点P 为椭圆上的任意一点，则2212x y =-，于是①式化为2222221212x OP PF x x ⎛⎫+=+++- ⎪⎝⎭223x x =++()212x =++．因为x ≤≤，而()212x ++图象的对称轴1x ⎡=-∈⎣，所以当1x =-时，22OP PF +有最小值为2． 9．aa+1100 ；10．{}6,5,4． 二、解答题：（满分60分） 11.解：（1）由已知得：cos 510αβ==． ∵,αβ为锐角∴sin αβ==． ∴ 1tan 2,tan 7αβ==． ∴12tan tan 7tan()311tan tan 127αβαβαβ+++===-⋅-⨯．--------------------6分 （2）∵22tan 44tan 21tan 143ααα===--- ∴41tan 2tan 37tan(2)1411tan 2tan 1()37αβαβαβ-+++===--⋅--⨯． ,αβ 为锐角，∴3022παβ<+<， ∴324παβ+=． -----------10分 12．解：（1）由条件得114DB DB BB ===22211BD DB BB ∴+=1.B D DB ∴⊥11,AB BCC B ⊥又面1BA B D ∴⊥ 1B D ABD ∴⊥面 ---------4分（2）取11B C 的中点 G ，连接GF GE 、.则//EG BD ，GEF ∴∠或其补角为BD EF 、所成角.111111,//A B BCC B GF A B ⊥ 面 11,FG BCC B ∴⊥面FG GE ∴⊥.EGF ∆在Rt 中,2,GE GF ==tan GEF ∴∠=BD EF ∴与所成角为 ---------8分（3）设F 到面ABD 的距离为d ，过B 作BH AC H ⊥于，则11BH ACC A ⊥面.F ABD B DAF V V --= ,1133ABD ADF S d S BH ∆∆∴⋅⋅=⋅⋅1111114424323222d ⎛∴⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝2d ∴=. ---------12分 13．解 （1）设AB ∶2)1(+-=x k y 代入1222=-y x整理得02)2()2(2)2(222=------k x k k x k ①………………2分设),(11y x A 、),(22y x B ，21,x x 为方程①的两根 所以022≠-k 且2212)2(2kk k x x --=+ 又N 为AB 中点，………………4分 有1)(2121=+x x ∴22)2(k k k -=-，解得1=k 故AB ∶1+=x y ………………6分 （2）解出)4,3(),0,1(B A -，得CD 的方程为x y -=3 与双曲线方程联立消y 有01162=-+x x ②记),(33y x C 、),(44y x D 及CD 中点),(00y x M 由韦达定理可得.6,300=-=y x …………8分∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x∴|MC |=|MD |=21|CD ………………10分 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x 即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆 ………………12分14.解：（1）)4sin(2cos sin )(π+-=--=x x x x f ………………3分∵4344πππ<+<x ∴x =2,4m in -=f π……………………………5分（2）设g (x )=]87,4[,22sin 2ππ∈+-x m x …………………………7分∵函数g (x )有两个零点∴方程]87,4[022sin 2ππ∈=+-x m x 当时有两个解……………9分∴y=m 2与y=]87,4[2sin 2ππ∈x x ，图象有两个交点.由图象得122-≤<-m ∴2122-≤<-m ……………………12分 15.解：（1）由题设，(3)230n n m S ma m -+--= ①1113(3)23013m m a ma m a m +∴-+--=⇒==+ ………………2分 由①，2n ≥时，11(3)230n n m S ma m ---+--=②①-②得，112(3)2()0,3n n n n n m m a m a a a a m ---+-=⇒=+ 12().3n n m a m -∴=+ …………3分（2）由（Ⅰ）知111112233,1,(),3223n n n n b m q b a b f b m b ---=====⨯++……………2分化简得： 12111111(1).333n n nn n b b b -+=+⇒=+-⨯=1{}n b ∴为等差数列，3.2n b n ∴=+………………2分（3）由（Ⅱ）知*2330,.24n n n c b b n N n n +=⋅=⋅>∈++n T 为数列{}n c 的前n 项和，因为0n c >，………………2分所以n T 是递增的， 1135n T T c ==≥， ………………2分所以要满足n T T ≥，(*)n N ∈，3.5T ∴≤所以T 的最大值是35. ………………1分。
转化与化归思想第二篇_转化与化归思想在握_何愁函数问题_王佩其
点拨数学有数充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果．如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误．例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义，在经过数学变换后，应将所得的结果按实际意义检验；解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持．同学们，数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外．我们在解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透，要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法．正如笛卡尔所说的：走过两遍的路就是方法．（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第二篇：转化与化归思想在握，何愁函数问题！■王佩其函数问题，是高考命题的核心问题之一．一般来说，高考中的函数问题综合性强，难度大，此类问题不仅考查了丰富多彩的函数知识，同时考查了考生的分析问题和解决问题的综合能力和创新能力．面对纷繁复杂的函数问题，我们该怎么办？转化与化归是“王道”！一、将数学表达式等价转化例1．已知f（x）为定义在实数集R上的奇函数，f（x）且［0，＋∞）在上是增函数．当0≤θ≤π2时，是否存在这样的实数m，使f（cos2θ－3））＋f（4m－2m cosθ）＞f（0）对所有的θ∈［0，π2］均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．解析：假设存在适合条件的m，由f（x）是R上的奇函数可得f（0）＝0．又在［0，＋∞）上是增函数，故f（x）在R上为增函数．由题设条件可得f（cos2θ－3））＋f（4m－2m cosθ）＞0．又由f（x）为奇函数，可得f（cos2θ－3））＞f（－4m＋2m cosθ）.∵f（x）是R上的增函数，∴cos2θ－3＞－4m＋2m cosθ.即cos2θ－m cosθ＋2m－2＞0．令cosθ＝t，∵0≤θ≤π2，∴0≤t≤1．于是问题转化为对一切0≤t≤1，不等式t2－m t＋2m－2＞0恒成立．∴t2－2＞m（t－2），即m＞t2－2恒成立．又∵t2－2t－2＝（t－2）＋2t－2≤4－22姨，当且仅当t＝2－2姨时取等号．∴m＞4－22姨．∴存在实数满足题设的条件，m＞4－22姨．点评：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思路，本题借助换元，将复杂的三角问题转化为普通的函数问题．二、利用特殊化将抽象向具体转化例2．若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解，则g［f（x）］不可能是（）A．x2＋x－15B．x2＋x＋15C．x2－15D．x2＋15解析：本题直接解不容易，不妨令f（x）＝x，则f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g（x），x－f［g（x）］＝0有实数解，即x－g（x）＝0有实数解．这样很明显得出结论，B选项能使x－g（x）＝0没有实数解，故本题选B．点评：从抽象到具体，再到抽象，能使我们从心理上感到非常轻松．像这样常见的抽象函数式有一次函数型：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m．对数函数型：f（xy）＝f（x）＋f（y）．幂函数型：f（x＋y）＝f（x）f（y）把抽象问题具体化是数学解题中常用的化归途径，它能帮助我们对抽象问题的理解和再认识，从而建立抽象语言与具体事物间的联系，实现抽象向具体的化归．三、通过换元实现函数之间的转化例3．已知函数f（x）＝（1）x，x∈［－1，1］，函数g（x）＝f2（x）－2af（x）＋3的最小值为h（a）．（1）求h（a）；（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为［n，m］时，值域为［n2，m2］．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．解析：（1）由f（x）＝（1）x的单调性可求出f（x）的值域，g（x）是以f（x）为变元的二次函数，令t＝（13）x，可求关于t的二次函数的最小值h（a）．因为x∈［－1，1］，所以（13）x∈［13，3］.设（13）x＝t，t∈［13，3］，则g（x）＝φ（x）＝t2－2at＋3＝（t－a）2＋3－a2．当a＜13时，h（a）＝φ（13）＝289－23a；当1≤a≤3时，h（a）＝φ（a）＝3－a2；当a＞3时，h（a）＝φ（3）＝12－6a．所以h（a）＝28－2a，（a＜1）3－a2，（13≤a≤3）12－6a.（a＞3∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈）34广东教育·高中2015年第2期GUAN G D ONG JIAO YU GAO ZHONG（2）由（1）知当m＞n＞3时h（a）的表达式，考察h（a）在［n，m］上的单调性，结合其值域［n2，m2］，可列出关于m，n的方程组求解m，n，如果有解则所求实数m，n存在，否则不存在．因为m＞n＞3，a∈［n，m］，所以h（a）＝12－6a．因为h（a）的定义域为［n，m］，值域为［n2，m2］，h（a）且为减函数，所以12－6m＝n2，12－6n＝m2∈，两式相减得6（m－n）＝（m－n）（m＋n）.因为m＞n，所以m－n≠0.故有m＋n＝6，但这与“m＞n＞3”矛盾，故满足条件的实数m，n不存在．点评：求解本题关键在于利用换元的思想方法，将原问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．四、正难则反转化例4．若对于任意t∈［1，2］，函数g（x）＝x3＋（m＋2）x2－2x在区间（t，3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g（x）在区间（t，3）上为单调函数．g′（x）＝3x2＋（m＋4）x－2，若g（x）在区间（t，3）上上总为单调函数，则：①g′（x）≥0在（t，3）上恒成立，或②g′（x）≤0在（t，3）上恒成立．由①得3x2＋（m＋4）x－2≥0，即m＋4≥2x－3x当x∈（t，3）时恒成立，∴m＋4≥2t－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤2－3x当x∈（t，3）时恒成立，则m＋4≤2－9，即m≤－37．∴函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数的的取值范围为－373＜m＜－5．点评：正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．五、主与次的转化例5．已知函数f（x）＝x3＋3ax－1，g（x）＝f′（x）－ax－5，其中f′（x）是f（x）的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，则实数x的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：由题意，知g（x）＝3x2－ax＋3a－5，令φ（a）＝（3－x）a＋＋3x2－5，－1≤a≤1．对－1≤a≤1，恒有g（x）＜0，即φ（a）＜0，∴φ（1）＜0，φ（－1）＜0∈，即3x2－x－2＜0，3x2＋x－8＜0∈，解得－2≤x≤1．故当x∈［－2，1］时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0．点评：合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，本题中通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现了两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在［－1，1］内关于a的一次函数小于0恒成立的问题．六、函数、方程、不等式之间的转化例6．设f（x）＝ln（x＋1）＋x＋1姨＋ax＋b（a，b∈R，且为常数），曲线y＝f（x）与直线y＝3x在（0，0）点相切．（1）求a，b的值；（2）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜9xx＋6．解析：（1）把函数问题转化为方程问题．由y＝f（x）的图像过点（0，0），代入得b＝－1．由y＝f（x）在（0，0）处的切线斜率为32，知y′│x＝0＝（1＋12x＋1姨＋a）│x＝0＝3＋a＝3，得a＝0．（2）把不等式问题转化为函数单调性问题．证：由基本不等式，当x＞0时，2（x＋1）·1姨＜x＋1＋1＝x＋2，故x＋1姨＜x＋1.记h（x）＝f（x）－9xx＋6，则：h′（x）＝1x＋1＋12x＋1姨－54（x＋6）2＝2＋x＋1姨2（x＋1）－54（x＋6）2＜x＋64（x＋1）－54（x＋6）2＝（x＋6）2－126（x＋1）4（x＋1）（x＋6）2.令g（x）＝（x＋6）3－216（x＋1），则当0＜x＜2时，g′（x）＝3（x＋6）2－216＜0.因此g（x）在（0，2）内是减函数，又由g（0）＝0，得g（x）＜0，所以h′（x）＜0．因此h（x）在（0，2）内是减函数，又由h（0）＝0，得h（0）＜0．于是当0＜x＜2时，f（x）＜9x．点评：函数、方程、不等式，三者之间存在着“天然”的联系，利用这种联系是破解函数问题的“法宝”．函数与导35广东教育·高中2015年第2期广东教育·高中2015年第2期点拨数学有数图2yyO－2Q P 2P 1数的综合性问题，历来是高考的压轴题．解决这类问题要注意：（1）综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；（2）及时地进行思维的转换，将问题等价转化，如本例中，将不等式问题转化为研究函数的单调性和最值问题．（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第三篇：三角函数，善于转化才会赢■毛美芳三角函数，作为第二类基本初等函数，是高考的必考内容，在高考中往往以中档题的身份“闪亮登场”．高考三角函数题难度虽然不大，但如果不善于转化，也很难“笑到最后”．三角函数，善于转化才会赢．那么，三角函数问题该如何转化呢？一、通过统一函数名转化函数的结构例1．求函数y ＝5sin x ＋cos2x 的最值．解析：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一．y ＝5sin x ＋（1－2sin 2x ）＝－2sin 2x ＋5sin x ＋1＝－2（sin x －54）2＋338．∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π（k ∈Z ）时y min ＝－2×8116＋338＝－6；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π（k ∈Z ）时y m ax ＝－2×1＋33＝4．点评：对于三角函数的最值问题，往往可以利用三角恒等变换公式，将其转化为形如y ＝A sin （ωx ＋φ）＋b 或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 等形式，进而采用相应的方法求最值．二、利用数形结合转化函数的表现形式例2．当0≤x ≤1时，不等式sin πx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：作出y 1＝sin πx 2与y 2＝kx 的图像，要使不等式sin πx 2≥kx 成立，由图1可知，需k ≤1．点评：图像是函数的另一种表现形式．数形结合可将抽象的代数问题转化成直观的几何问题求解，本题将不等式转化成两个函数图像的位置关系，当0≤x ≤1时，不等式sin πx ≥kx 恒成立，即当0≤x ≤1时，函数y 1＝sin πx 2的图像在函数y 2＝kx 的上方．作出两函数图像后比较，即可轻易得出k ≤1．三、将三角方程有解问题转化为函数值域问题例3．若方程2a ·9sin x ＋4a ·3sin x ＋a －8＝0有解，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：方程2a ·9sin x ＋4a ·3sin x ＋a －8＝0有解，等价于求a ＝8的值域．∵3sin x ∈［13，3］，∴2·9sin x ＋4·3sin x ＋1∈［239，31］，则a 的取值范围为8≤a ≤72．点评：“方程”变“函数”，“范围”变“值域”，体现了方程与函数的“内在联系”．四、将三角函数问题最值转化为解析几何问题例4．求函数y ＝3姨cos x 2＋sin x的最大值和最小值．解析：联想斜率公式k ＝y 1－y 2x 1－x 2，将原式变形为y 3姨＝cos x －0，则求y 的最值可转化为求点（sin x ，cos x ）与点（－2，0）的连线的斜率范围．设点P （sin x ，cos x ），Q （－2，0），则y 3姨可看成单位圆上的动点P 与点Q 连线的斜率，如图2：设直线OP 1的方程为y＝k （x ＋2），即kx－y＋2k ＝0，则圆心（0，0）到它的距离d ＝│2k │k 2＋1姨＝1．解得k 1＝－3姨3或k 2＝3姨3，所以－3姨3≤y 3姨≤3姨3，即－1≤y ≤1．故y m ax ＝1，y min ＝－1．点评：这类问题的特点是三角函数式以分式形式出现，且分子分母分别是cos x 和sin x 的一次式．五、通过合理变角转化例5．已知tan （α－β）＝1，tan α＝17，且α∈（0，π），β∈（π，π），求α－2β．解析：α－2β＝（α－β）－β，而已知条件没有β的三角函数式，所以首先要求出tan β的值，然后再根据已知条件利用两角差的正切公式，通过求tan （α－2β）的值进而求出α－2β的度数．∵tan （α－β）＝15，tan α＝177，图1xyy 1＝sin πx2y 2＝kx36。
第32练 转化与化归思想课件
(2)讨论f(x)在区间 －π4，π4 上的单调性.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解 ∵x∈－π4，π4， ∴2x－π3∈－56π，π6. 由 y＝sin x 的图象可知，当 2x－π3∈－56π，－π2， 即 x∈－π4，－1π2时，f(x)单调递减； 当 2x－π3∈－π2，π6， 即 x∈－1π2，π4时，f(x)单调递增.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
所以3a2＋1>0，解得 a>－1. 所以b<0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.(202X·江苏)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务， 7
则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_1_0__. 解析 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务， 基本事件总数 n＝C25＝10， 故全是男同学包含的基本事件个数 m＝C23＝3， 故选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率 P＝1－130＝170.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.(2015·全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球
面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
A.36π
B.64π
√C.144π
D.256π
解析 如图，要使三棱锥O－ABC即C－OAB的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB的距离， 即三棱锥C－OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R， 则 VO－ABC 最大＝VC－OAB 最大＝31×S△OAB×R＝13×12×R2×R＝16R3＝36，
二轮复习-----转化与化归思想---课件(27张)(全国通用)
x≤-1或x≥0
a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为
.
解析 ∵f(x)在R上是增函数,
∴由f(1-ax-x2)≤f(2-a),
得1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1].
∴a(x-1)+x2+1≥0对a∈[-1,1]恒成立.
用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正、余弦定理实现边
角关系的相互转化.
(2)换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简
单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法.
(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交
汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言
解析 设 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,则当 x=1 时,f(p)=0.所以 x≠1.
(0) > 0,
f(p)在 0≤p≤4 上恒正,等价于
(4) > 0,
(-3)(-1) > 0,
即 2
解得 x>3 或 x<-1.
-1 > 0,
第一部分
四、转化与化归思想
思想方法•聚焦诠释
命题热点一
∴-4<2C-4 <
2].
高频考点•探究突破
预测演练•巩固提升
-10-
第一部分
四、转化与化归思想
思想方法•聚焦诠释
命题热点一
命题热点二
命题热点三
高频考点•探究突破
预测演练•巩固提升
-11-
命题热点四
题后反思在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有
2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想(含答案)
2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想（含答案）在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题．三角函数，几何变换，因式分解，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想．常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等．转化思想亦可在狭义上称为化归思想．化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B ，通过解决问题B 来解决问题A 的方法．考点解读：有理数减法转化为有理数的加减，有理数的除法转化为有理数的乘法；多项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，异分母的分式相加减转化为同分母的分式相加减；数式的化归，递进式变化，构建起数式知识与方法的脉络．【例1】（2023·广东江门·统考一模）1．在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求234111112222+++++⋅⋅⋅的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设234111112222x =+++++⋅⋅⋅．则有234111*********x ⎛⎫=++++++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即112x x =+，解得2x =，故2341111122222+++++⋅⋅⋅=．类似地，请你计算：2468111113333+++++⋅⋅⋅=．（直接填计算结果即可）【变1】考点解读：从一般的三角形到等腰三角形、等边三角形，从平行四边形到矩形、菱形，试卷第2页，共14页A ．BEA ∠B ．DEB ∠C ．ECA ∠D ．ADO∠【变1】（2023·浙江·统考中考真题）4．小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且8CE =，2DE =．(1)复习回顾：求AB 的长．(2)探究拓展：如图2，连接AC ，点G 是 BC上一动点，连接AG ，延长CG 交AB 的延长线于点F ．①当点G 是 BC的中点时，求证：GAF F ∠=∠；②设CG x =，CF y =，请写出y 关于x 的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接DF BG ，，当CDF 为等腰三角形时，请计算BG 的长．考点解读：三元一次方程转化为二元一次方程，分式方程转化为整式方程，一元二次方程转化为一元一次方程．方程化归，构成了方程知识和方法体系．【例1】（2019·浙江台州·统考中考真题）考点解读：由正比例函数图像的平移来研究一次函数图像及性质，试卷第4页，共14页(1)求点C，D的坐标；(2)当13a=时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD 2试卷第6页，共14页三、解答题（2023·山西忻州·校联考模拟预测）16．下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．△的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，如图2，如果Rt ABC⊥，垂足为D；第一步：过直角顶点C作CD AB第二步，延长AB到M，使得BM AD=，连接CM；试卷第8页，共14页试卷第10页，共14页试卷第12页，共14页(1)求EPF ∠的度数；(2)设PE x =，PF y =，随着点P 的运动，32x y +的值是否会发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的值；(3)求EF 的取值范围（可直接写出最后结果）．试卷第14页，共14页参考答案：答案第2页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦∴10CD CE DE =+=，∴152OA OD CD ===在Rt OAE △中，AE =∵点G 是 BC的中点，∴»»CGBG =，∴GAF D ∠=∠，答案第4页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦AB 于点∴ AC BC=，∴CAF CGA ∠=∠，在Rt CEF △中，2EF CF CE =-在Rt DEF △中，2EF DF DE =-在Rt CEF △中，2CF CE EF =+∴464BF EF BE =-=-，同理FGB FAC ∽△△，答案第6页，共31页次方程转化为二元一次方程组是解题关键．7．D【分析】利用“倍值点”的定义得到方程()210t x tx s +++=，则方程的0∆>，可得2440t ts s -->，利用对于任意的实数s 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出s 的取值范围．【详解】解：由“倍值点”的定义可得：()()2212x t x t x s =++++，整理得，()210t x tx s +++=∵关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数，1t ≠-）总有两个不同的倍值点，∴()22=41440,t t s t ts s ∆-+=-->∵对于任意实数s 总成立，∴()()24440,s s --⨯-<整理得，216160,s s +<∴20,s s +<∴()10s s +<，∴010s s <⎧⎨+>⎩，或010s s >⎧⎨+<⎩，当010s s <⎧⎨+>⎩时，解得10s -<<，当010s s >⎧⎨+<⎩时，此不等式组无解，∴10s -<<，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．答案第8页，共31页答案第10页，共31页（3）解：①当1a =时，抛物线解析式为∴4EH EF FG ===，∴()16H ，，()56G ，，②如图3-1所示，当抛物线与∵当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴点T 的纵坐标为2+151 4.5a -++=如图3-2所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴15 2.5a-=，解得0.4a=（舍去，因为此时点如图3-3所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴21152 a aa a⎛⎫-⋅+⋅+⎪⎝⎭17 3.5aa=．综上所述，0.5【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．9．C答案第12页，共31页答案第14页，共31页抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．13．12x y =⎧⎨=⎩【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y =3x -1与y =kx 的方程组31y x y kx =-⎧⎨=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，即310x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，答案第16页，共31页答案第18页，共31页证明：FD AB ⊥ ，FE AC ⊥，90AEG GDF ∴∠=∠=︒，AGE FGD ∠=∠ ，180BAC ∠=BAC DFE ∴∠=∠；（2）解：BC CD ⊥ ，90BCD ∴∠=︒，在Rt BCD 中，tan BC CD BDC =∠在Rt BCE 中，BC CE =答案第20页，共31页解得：9m BC =，9 1.610.6m AB BC AC ∴=+=+=，答：大树的高度AB 为10.6m ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．(1)当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；(2)16t =；(3)y x =-，答案不唯一，合理即可．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可；（2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式Δ0=，代入求解；（3）函数图像有两个交点，保证根的判别式0∆>即可．【详解】（1）解：根据一元二次方程根的判别式可得：当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；（2）联立函数表达式：253y x x y x t ⎧=-+⎨=-+⎩，可得：253x x x t -+=-+，答案第22页，共31页由旋转的性质，可证明△BPP ′是等边三角形，再证明C 、P 、A ′、P ′四点共线，最后由勾股定理解答．【详解】（1）解：∵ACP ABP ' ≌，∴AP ′＝AP ＝3、CP ′＝BP ＝4，∠AP ′C ＝∠APB ，由题意知旋转角∠PAP ′＝60°，∴△APP ′为等边三角形，PP ′＝AP ＝3，∠AP ′P ＝60°，由旋转的性质可得：AP ′＝AP ＝PP ′=3，CP ′＝4，PC=5，∵32+42=52∴△PP ′C 为直角三角形，且∠PP ′C ＝90°，∴∠APB ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°；故答案为：150°；（2）证明：∵点P 为△ABC 的费马点，∴120APB ∠=︒，∴60APD ∠=︒，又∵AD AP =，∴APD 为等边三角形∴AP PD AD ==，60PAD ADP ∠=∠=︒，∴120ADE ∠=︒，∴ADE APC ∠=∠，在△APC 和△ADE 中，PAC DAE AP AD APC ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．21．(1)120︒(2)不会；9(3)9219 7EF≤<【分析】（1）延长EP交BC于点G，根据平行线的性质得出答案第24页，共31页，∵PE CD∠=∠，∴PGB DCB∥，∵PF AB∠=∠，∴PFC ABC答案第26页，共31页则90EHP ∠=︒，∵120EPF ∠=︒，∴18012060EPH ∠=︒-︒=︒，∴906030PEH ∠=︒-︒=︒，22．（1）60︒；（2）①丙；②10【分析】（1）连接BC '，则A BC ''△为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小；（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；②根据对称关系作辅助线即可求得PM PN +的最小值．【详解】解：（1）连接BC '，∵//AC A C ''，BA '与A C ''相交与点A '，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为BA C ''∠，根据正方体性质可得：A B BC A C ''''==，∴A BC ''△为等边三角形，∴=60BA C ''∠︒，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为60︒；（2）①根据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；②如图：作M 关于直线AB 的对称点M '，答案第28页，共31页∵90ABC ∠=︒，DQ ∴四边形DBNQ 是矩形，∴90DQN ∠=︒，QN答案第30页，共31页∵A ABN BNQ AQN ∠+∠+∠+∠∴180ABN AQN ∠+∠=︒，∴AQN PBN ∠=∠．。
数学思想专项训练(二) 转化与化归思想
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数学思想专项训练(二) 转化与化归思想 结束
11．解：因为奇函数 f(x)在[－1,1]上是增函数，且 f(－1)＝－1，所 以最大值为 f(1)＝1，要使 f(x)≤t2－2at＋1 对所有的 x∈[－1,1] 都成立，则 1≤t2－2at＋1，即 t2－2at≥0.令 g(a)＝－2ta＋t2，
1 的取值范围是2，＋∞. 1 答案：2，＋∞
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10．解析：由椭圆 C 的方程及焦点在 x 轴上，知 0＜m＜5. 又直线 y＝kx＋1 与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)， 则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上． 02 12 则 5 ＋m≤1，即 m≥1. 故 m 的取值范围为[1,5)． 答案：[1,5)
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3．解析：点 Q 到棱 AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由 C1D1∥EF，可得棱 C1D1∥平面 EFQ，所以点 P 到平面 EFQ 的距离 是常数．于是四面体 PQEF 的体积为常数． 答案：D 4．解析：设与直线 x＋y＋5＝0 平行且与抛物线 y2＝2x 相切的直线方程 是
1 8x
1 3 1 1 1 1 1 ＞ ，即 flog x＞f ，所以log x＜ ，解得 ＜ x 8 4 8 3 8 3 2
sin 2α sin[＋β－α－β] sinα＋βcosα－β＋cosα＋βsinα－β tanα＋β＋tanα－β ＝ ＝1. cosα＋βcosα－β＋sinα＋βsinα－β 1＋tanα＋βtanα－β 答案：1
高三分类讨论思想、转化与化归思想专题训练
分类讨论思想、转化与化归思想高考定位分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数及数列解答题中，难度较大.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n 项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题. (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定. (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.热点一 分类讨论思想的应用[应用1] 由性质、定理、公式的限制引起的分类【例1－1】 (1)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n ＋3，则数列{a n }的通项a n ＝________.(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________.解析 (1)由2S n ＝3n ＋3得：当n ＝1时，2S 1＝31＋3＝2a 1，解得a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12[(3n ＋3)－(3n －1＋3)]＝3n －1，由于n ＝1时，a 1＝3不适合上式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)当a >0时，1－a <1，1＋a >1， 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去；当a <0时，1－a >1，1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ， 解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案 (1)⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2(2)－34探究提高 由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等. [应用2] 由数学运算要求引起的分类【例1－2】 (1)不等式|x |＋|2x ＋3|≥2的解集是________.(2)已知m ∈R ，则函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0，1]上的最大值为________.解析(1)原不等式可转化为⎩⎨⎧x ＜－32，－x －（2x ＋3）≥2，或⎩⎨⎧－32≤x ≤0，－x ＋（2x ＋3）≥2或⎩⎨⎧x ＞0，x ＋（2x ＋3）≥2.解得x ≤－53或－1≤x ≤0或x ＞0，故原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞).(2)①当4－3m ＝0，即m ＝43时，函数f (x )＝－2x ＋43，它在[0，1]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝43.②当4－3m ≠0, 即m ≠43时，f (x )是二次函数.当4－3m ＞0，即m ＜43时，二次函数f (x )的图象开口向上，对称轴方程x ＝14－3m＞0，它在[0，1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系).f (0)＝m ，f (1)＝2－2m ，当m ≥2－2m ，又m ＜43，即23≤m ＜43时，f (x )max ＝m .当m ＜2－2m ，又m ＜43，即m ＜23时，f (x )max ＝2(1－m ).当4－3m ＜0，即m ＞43时，二次函数f (x )的图象开口向下，又它的对称轴方程x＝14－3m＜0，所以函数f (x )在[0，1]上是减函数，于是f (x )max ＝f (0)＝m . 由①，②可知，这个函数的最大值为f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23.答案 (1)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞)(2)f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23探究提高 由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合. [应用3] 由参数变化引起的分类【例1－3】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1).探究提高由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.热点二转化与化归思想[应用1] 换元法【例2－1】已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________.解析令b＝x，c＝y，则x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2.此时直线x＋y＝－a与圆x2＋y2＝1－a2有交点，则圆心到直线的距离d＝|a|2≤1－a2，解得a2≤23，所以a的最大值为63.答案6 3探究提高换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行.[应用2] 特殊与一般的转化【例2－2】已知f(x)＝33x＋3，则f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝________.解析f(x)＋f(1－x)＝33x＋3＋331－x＋3＝33x＋3＋3x3＋3x＝3x＋33x＋3＝1，∴f(0)＋f(1)＝1，f(－2 015)＋f(2 016)＝1，…，∴f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝2 016.答案 2 016探究提高一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.[应用3] 常量与变量的转化【例2－3】 对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________.解析 对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立，即|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1＜0恒成立.设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则原问题转化为g (m )＜0恒成立(m ∈[－2，2]).所以⎩⎨⎧g （－2）＜0，g （2）＜0，即⎩⎨⎧2x 2＋2x －3＞0，2x 2－2x －1＜0.解得7－12＜x ＜3＋12， 即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12 探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的. [应用4] 正与反的相互转化【例2－4】 若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，∴m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373＜m ＜－5.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5探究提高 否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论.常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. (8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想遵循的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.一、填空题1.等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是________. 解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求.当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去).综上可知，q ＝1或－12.答案 1或－122.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ →的值为________.解析 当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a . 答案 a 23.方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是________. 解析 求k ＝－sin 2x －cos x 的值域. k ＝cos 2x －cos x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－54.当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，14.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则它的通项公式a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1. 答案 2×3n －15.已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x2－x 22a对一切非负实数x 恒成立，则a的最大值为________.解析 原不等式即x 22a ≥1＋x2－1＋x (x ≥0)，(*)令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)式可化为（t 2－1）22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22对t ≥1恒成立，所以（t ＋1）2a≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4， 故a 的最大值是4. 答案 46.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数k 使得CA →＋CB →＝kCM →成立，则k 等于________. 解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为已知△ABC 的重心，取AB 的中点D ， ∴CA →＋CB →＝2CD →＝2×32CM →＝3CM →，∵CA →＋CB →＝kCM →，∴k ＝3. 答案 37.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，则PF 1PF 2的值为________. 解析 若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25， 解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72. 若∠F 2PF 1＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2， ∴PF 1PF 2＝2. 综上所述，PF 1PF 2＝2或72.答案 2或728.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0，2)，任意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是________.解析 依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ， f (x )＝ln x －14x ＋34x －1(x ＞0)，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2.由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1，2]. 当b ＜1时，g (x 2)max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4； 当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于⎩⎨⎧b ＜1，－12≥2b －5或⎩⎨⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎨⎧b ＞2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b ＜1， 解第二个不等式组得1≤b ≤142， 第三个不等式组无解.综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142 二、解答题9.数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n . 解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0， 所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 所以{a n ＋1－a n }为常数列，所以{a n }是以a 1为首项的等差数列， 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 4＝a 1＋3d ， 所以d ＝2－83＝－2，所以a n ＝10－2n .(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n ＞5时，a n ＜0； 当n ＝5时，a n ＝0； 当n ＜5时，a n ＞0. 记T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 则T n ＝n （8＋10－2n ）2＝9n －n 2.所以当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40， 当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2.所以S n ＝⎩⎨⎧9n －n 2（n ≤5），n 2－9n ＋40 （n ＞5）.10.已知函数g (x )＝ax x ＋1(a ∈R)，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x ).(1)若函数g (x )过点(1，1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性.解 (1)因为函数g (x )过点(1，1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2（x ＋1）2＝x ＋3（x ＋1）2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋ax x ＋1(x ＞－1)，所以f ′(x )＝1x ＋1＋a （x ＋1）－ax （x ＋1）2＝x ＋1＋a（x ＋1）2.①当a ≥0时，因为x ＞－1，所以f ′(x )＞0， 故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由⎩⎨⎧f ′（x ）＜0，x ＞－1，得－1＜x ＜－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减； 由⎩⎨⎧f ′（x ）＞0，x ＞－1，得x ＞－1－a ， 故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增； 当a ＜0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减， 在(－1－a ，＋∞)上单调递增.11.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形. (1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ，0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F (3，0)， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形， 所以b ＝3×33＝1.可求得a ＝2，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时设其斜率为k ， 则l 的方程为y ＝k (x －1).由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －1），得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，解上述方程后易得：x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.则PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)， 所以PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2 ＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1 ＝（4m 2－8m ＋1）k 2＋（m 2－4）4k 2＋1＝（4m 2－8m ＋1）⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋（m 2－4）－14（4m 2－8m ＋1）4k 2＋1＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1. 要使PE →·QE →为定值，令2m －174＝0，即m ＝178，此时PE →·QE →＝3364. 当直线l 的斜率不存在时， 不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，由E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，可得PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32，所以PE →·QE →＝8164－34＝3364.综上，存在点E ⎝⎛⎭⎪⎫178，0，使PE →·QE →为定值3364.。
转化与化归思想小题考法二轮复习
解：∵当t∈[-1,＋∞)且 x∈[1，m]时，x＋t≥0，
y=h(x)
∴f (x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x.
令h(x)＝1＋ln x－x(1≤x≤m).
1
∵h′(x)＝ －1≤0，∴函数h(x)在[1,＋∞)上为减函数，
又x∈[1, m]，∴ h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m.
A. (-∞，-2]
B. [-2，2]
C. (0，2]
D. [2，+∞)
思路一：把 x 当作主元，构造二次函数
y
-2 O
=
2
y
2
x
-2
=
O 2
y
x
-2 O
x
2
=
2
03主与次的转化
若不等式 2 − + 1 ≥ 0 对一切x∈[-2，2]恒成立，则a的取值范围是 ( B )
A. (-∞，-2]
面位置关系中的判定定理、性质定理实现
位置关系的转化.
思维升华
转化与化归的原则
正难则反原则
直观化原则
简单化原则
熟悉化原则
将陌生的问题转化为
熟悉的问题.
将复杂问题化归为
简单问题.
将比较抽象的问题
化为比较直观的问
题来解决.
当问题正面讨论遇
到困难时，可考虑
问题的反面，设法
从问题的反面去探
讨，使问题获解.
高中
04形、体位置关系的转化
已知在三棱锥P－ABC中，PA=BC=2 34，PB=AC=10，PC=AB=2 41，则三棱
锥P－ABC的体积为（ C ）
转化与化归思想的应用
转化与化归思想的应用题型一 特殊与一般的转化例1 已知函数f (x )＝a xa x ＋a(a >0且a ≠1)，则f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭⎫99100的值为________． 答案 992解析思维升华 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．(1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝________. (2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________.答案 (1)45 (2)0题型二，常量与变量的转化例2， 对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________.变式练习：设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为___________．(－∞，－1]∪[0，＋∞)探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的.题型三函数、方程、不等式之间的转化例3 若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2 014)＝________. 答案 2 014 解析(2)∵f (x ＋1)≤f (x ＋3)－2≤f (x )＋3－2＝f (x )＋1，f (x ＋1)≥f (x ＋4)－3≥f (x ＋2)＋2－3≥f (x )＋4－3＝f (x )＋1， ∴f (x )＋1≤f (x ＋1)≤f (x )＋1. ∴f (x ＋1)＝f (x )＋1. ∴数列{f (n )}为等差数列． ∴f (2 014)＝f (1)＋2 013×1＝2 014.(1)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)(－∞，－8]2．关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题： ( A )①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3题型四 数与形的转化例4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎨⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a <1或a >9.又由图象得a >0，所以0<a <1或a >9.例5. 求函数的最值。
转化与化归的思想方法(2)---高考题选讲
转化与化归的思想方法(2)---高考题选讲化归与转化的思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题.事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题无论是难题还是易题，都离不开化归.例如，对于立体几何问题通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等.在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力.【例１】已知球Ｏ的半径为１，Ａ，Ｂ，Ｃ三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离为（）.分析与求解：由已知条件，分析所给出的几何体的特征，可作如下转化：球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离?圳正三棱锥的高?圳正方体的对角线，可立即得出球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离＝棱长为１的正方体对角线的.故B正确.【例２】设x、y∈Ｒ且3x2+2y2=6x，求x2+y2的X围.分析１：设k=x2+y2，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k的X围的问题.其中要注意隐含条件，即x的X围.解法１：由6x-3x2=2y2≥0得0≤x≤2.设k=x2+y2，则y2=k-x2，代入已知等式得：x2-6x+2k=0，即k=-x2+3x，其对称轴为x=3.由0≤x≤2得k∈［０，４］.所以x2+y2的X围是：０≤x2+y2≤4.分析2：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）解法2：由所以x2+y2的X围是：０≤x2+y2≤4.【点评】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力.此题还可以利用均值换元法进行解答.各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型.【例３】求值：cot10°-4cos10°分析：要求该式的值，估计有两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角.解法：cot10°-4cos10°【点评】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现.此种题型属于三角变换型.一般对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、降次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等.对此，我们要掌握变换的通法，活用公式，攻克三角恒等变形的每一道难关.【例4】球面上有３个点，其中任意两点的球面距离都相等于大圆周长的，经过３个点的小圆周长为４π，那么这个球的半径为（）.分析：将空间的问题转化为平面的问题来处理，这是解题的通法.由任意两点球面距离相等，则这三点构成过这三点截面上的等边三角形，又球面距离等于大圆周长的，则任意两点与球心构成的圆心角为，即，且任意两点与球心构成过这两点大圆截面上的等边三角形，则球半径等于球面上这三点任意二点的平面距离.运用转化的思想方法，把求球半径的问题转化为已知过球面三点的小圆周长，求这小圆上内接正三角形的边长.解：设Ａ、Ｂ、Ｃ为球面上三点，过其中Ａ、Ｂ两点的大圆，如图，Ｏ为球心，则∠ＡＯＢ＝=，且ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ.则ＡＢ＝ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ.同理ＯＣ＝ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ，ＯＢ＝ＯＣ＝ＢＣ＝Ｒ，∴△ＡＢＣ为等边三角形.设过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的小圆为⊙Ｏ′，如图２，半径为r，则由2πr=4π，得r=2，∴ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣ＝Ｒ＝2rsin=4=2. ∴应选Ｂ.【点评】这里用了降维转化的思想方法，转化的对象为求球的半径，转化的方向为求△ＡＢＣ的边长，转化的条件是“任意两点的球面距离都等于大圆周长的”.【例5】（某某卷）设函数f（x）＝3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（０）f（１）>0，求证：（Ⅰ）方程f（x）＝0有实数根；（Ⅱ）－２＜<-1；（Ⅲ）设x1，x2是方程f（x）＝０的两个实根，则≤<.思路分析：对于（Ⅰ），应首先看系数3a是否为０.若a=0，则b=-c，f（０）f（１）＝c（３a+2b+c）=－c2≤0，与已知矛盾，所以a≠0.从而有对于（Ⅱ），结论等价于（+1）（＋２）＜０.故由条件中消去c，有（a+b）（2a+b）<0，除以a2即可.对于（Ⅲ），应将转化为关于的表达式，即，再利用（Ⅱ）的结论求解.【点评】本题有效地将二次函数，二次方程，二次不等式融于一题，三问层层递进.（Ⅱ）、（Ⅲ）两问的证明均需我们盯住解题目标在条件与结论之间进行有效地转化与化归以寻求沟通点.【例6】（某某卷）设a为实数，设函数f（x）＝a+的最大值为g（a）.（Ⅰ）设t=，求t的取值X围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（Ⅱ）求g（a）；（Ⅲ）求满足g（a）＝g（）的所有实数a.思路分析：（Ⅰ）１. ∵，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1.∴t的取值X围是［，２］.由①得c osθ-sinθ+cosθ=2cosθ，由于所以，即t∈［，2］，f（x）＝acos2θ+t.又t＝3. 令则t=m+n，m2+n2=2，由数形结合可得t∈［，２］.从而求出m（t）的解析式.（Ⅱ）、（Ⅲ）略.【点评】本题表面看是与无理函数有关的一个综合性的分步设问的问题，主要考查函数、方程等基本知识，试题的设置事实上也给出了处理结构较复杂函数f（x）的基本思路，只要经过换元很容易转化为常规的二次函数问题，其中的分类讨论对学生思维的周密性考查得力，具有很大的区分度.本题（Ⅰ）中三种思路分别利用代数换元、三角换元以及数形结合将问题进行了转化与化归从而求得了t的取值X围以及m（t）的解析式.【例7】（某某卷）已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R.求：（Ⅰ）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；（Ⅱ）函数f（x）的单调增区间.解：（Ⅰ）解法1:∴当时，f（x）取得最大值２＋.因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是｛xx=kπ+，k∈Z｝.解法２：∵f（x）＝（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x=1+sin2x+ 1+cos2x=2+sin （2x+）.∴当取得最大值２＋.因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是（Ⅱ）f（x）＝２＋sin（2x+）.由题意得2kπ-≤因此，f（x）的单调增区间是【点评】本题两问的求解都需同学们将f（x）准确而合理地转化为的形式，即考查同学们对三角函数式的转化与化归的能力，这也是高考试题重点考查的能力之一.【例8】（某某卷）已知数列｛a n｝满足2a n（n∈N+）.（Ⅰ）证明：数列｛an+1-an｝是等比数列；（Ⅱ）求数列｛a n｝的通项公式；（Ⅲ）若数列｛b n｝满足（n∈N+），证明｛bn｝是等差数列.解：（Ⅰ）证明：a1=2为首项，２为公比的等比数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得（Ⅲ）证明：∵,∴∴｛b n｝是等差数列.【点评】本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查综合解题能力.【例9】如图，在五面体ＡＢＣＤＥＦ中，点Ｏ是矩形ＡＢＣＤ的对角线的交点，面ＣＤＥ是等边三角形，棱ＥＦＢＣ.（１）证明ＦＯ∥平面ＣＤＥ；（２）设ＢＣ＝CD，证明ＥＯ⊥平面ＣＤＦ.解：（１）证明：取ＣＤ中点Ｍ，连结ＯＭ，在矩形ＡＢＣＤ中，ＯＭＢＣ，又ＥＦＢＣ，则ＥＦＯＭ.连结ＥＭ，于是四边形ＥＦＯＭ为平行四边形. ∴ＦＯ∥ＥＭ.又∵ＦＯ平面ＣＤＥ，且ＥＭ平面ＣＤＥ，∴ＦＯ∥平面ＣＤＥ.（２）证明：连结ＦＭ，由（１）和已知条件，在等边△ＣＤＥ中，ＣＭ＝ＤＭ，ＥＭ⊥ＣＤ且ＥＭ＝ＣＤ＝ＢＣ＝ＥＦ.因此平行四边形ＥＦＯＭ为菱形，从而ＥＯ⊥ＦＭ，∵ＣＤ⊥ＯＭ，ＣＤ⊥ＥＭ∴ＣＤ⊥平面ＥＯＭ，从而ＣＤ⊥ＥＯ，而ＦＭ∩ＣＤ＝Ｍ，所以ＥＯ⊥平面ＣＤＦ.【点评】立体几何是考查转化与化归的重要截体，如本题中的位置关系转化（第（Ⅰ）问中的线线平行与线面平行的转化，第（Ⅱ）问中的线线垂直与线面垂直的转化），空间向平面的转化、等积转化等等.【例10】. 已知f(x)＝tgx，x∈(0,π2)，若x1、x2∈(0,π2)且x1≠x2，求证：12[f(x1)＋f(x2)]>f(x x122)【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。
2023年新高考数学大一轮复习专题八思想方法第4讲转化与化归思想(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．方法一 特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．例1 (1)(2020·青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9B ．x 2＋y 2＝7 C ．x 2＋y 2＝5D ．x 2＋y 2＝4 答案 B 解析 因为椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12， 所以1a ＋1＝12，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2，所以两条切线的交点坐标为(2，3)，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋32＝7，所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C等于( )A.45B.15C.35D.25 思路分析 求cos A ＋cos C 1＋cos A cos C→考虑正三角形ABC 的情况 答案 A 解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝12＋121＋12×12＝45. 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.方法二 命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．例2 (1)由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2 思路分析 命题：存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0是假命题→任意x ∈R ，e |x －1|－m >0是真命题→m <e |x －1|恒成立→求m 的范围→求a答案 C解析 由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，e |x －1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．思路分析 g x 在t ，3上总不为单调函数→先看g x 在t ，3上单调的条件→补集法求m 的取值范围答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. 所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.方法三 函数、方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y ＝f (x )的图象性质可以确定方程f (x )＝0，不等式f (x )>0和f (x )<0的解集．例3 (2020·全国Ⅱ)若2x －2y <3－x －3－y ，则( )A ．ln(y －x ＋1)>0B ．ln(y －x ＋1)<0C ．ln|x －y |>0D ．ln|x －y |<0 答案 A解析 ∵2x －2y <3－x －3－y ，∴2x －3－x <2y －3－y. ∵y ＝2x －3－x ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上单调递增， ∴x <y ，∴y －x ＋1>1，∴ln(y －x ＋1)>ln1＝0.例4 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……) (1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 思路分析 g x 的极值→ln x <x －1→赋值叠加证明结论(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)， ∴g ′(x )＝1x－1(x >0)． 令g ′(x )>0，解得0<x <1；令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)．取t ＝1n(n ∈N *)时， 则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×43×…×n ＋1n ＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值值域问题，从而求出参变量的范围.。
第7讲 转化与化归
2014春季9年级数学第7讲 转化与化归思想一、专题简介：转化化归是指同一命题的等价形式。
可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。
二、典例剖析例1．已知抛物线y=k （x+1）（x ﹣）与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5类题演练：1． 若x 、y 都是实数，且0127)32(|9|222=+--+-x x y x x ，求y x 32+的值。
2．学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，可以买60份；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可以买50份奖品。
问这笔钱全部用来买钢笔或笔记本，各可买多少？例2．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（ ）A. 9B. 8C. 7D. 4类题演练：1．如图，AB 是⊙O 的直径，O 是圆心，若∠ADC=105°，∠DCB=120°，CD=22，求四边形ABCD 的周长和面积。
2．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 平分∠BAC ，若AB=8，AC=6，求AD 的长。
第2题图第1题图例3．、如图，点E ，D 都是正三角形ABC 、正方形ABCM 、正五边形ABCMN 中以点C 为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD ，DB 交AE 于点P 。
（1）求图a 中∠APD 的度数；（2）如图b ，∠APD 的度数为 ；如图c ，∠APD 的度数为 ；（3）根据前面的探索，你能将本题推广到一般的正n 边形的情况吗？若能，请写出结论；若不能，请说明理由。
C类题演练： 1．提出问题（1）如图1，在等边△ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等边△AMN ，连结CN . 求证：∠ABC =∠ACN .类比探究（2）如图2，在等边△ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其它条件不变，（1）中结论∠ABC =∠ACN 还成立吗？请说明理由.拓展延伸（3）如图3，在等腰△ABC 中， BA =BC ，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AMAMD图b图1图3图2 第1题为边作等腰△AMN ，使顶角∠AMN =∠ABC . 连结CN . 试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由.例4．要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能洒到水。
高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解
高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解高中数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题;2、简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题;3、直观化原则，即将抽象总是具体化.策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、 B、 C、 D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合 A= ，B= ，若B A，求实数 a 取值的集合.解 A= ：分两种情况讨论(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种情况讨论：(i) B={-1}，则 =-1，a=-1(ii)B={1}，则 =1， a=1.(二级分类)综合上述所求集合为 .例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.【分析】于是可以知道解本题必须分类讨论，其划分点为 .小结：分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行讨论);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级讨论.;(3)逐类讨论，获取阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
运用转化与化归的思想方法解题2
运用转化与化归的思想方法解题2方法技巧与总结将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、建系等方法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特殊化、等价转化、不等转化等方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解答，达到解决复杂问题的目的．3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为直观的问题来解决．4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，此时从反面考虑较简单．核心考点：运用“直观化原则”转化化归问题【典型例题】例1．（2023春·北京·高三校考）已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，当()0,∞+时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式35()44f x x ≥+的x 的取值范围是（）A ．(](],20,1-∞-⋃B ．[)(]2,00,1-⋃C ．(](],30,1-∞- D ．[)(]3,00,1-【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，所以()f x 的图像关于原点对称，由此画出函数()f x 在()(),00,∞-+∞U 上的图象，在同一坐标系内画出()3544g x x =+的图象，因为()12f =，()31f =，所以()()331f f -=-=-，又()3511244g =⨯+=，()()3533144g -=⨯-+=-，所以()f x 的图象与()g x 的图象交于()1,2和()3,1--两点，如图，所以结合图像可知，35()44f x x ≥+的解集为(](],30,1-∞- .故选：C.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是A 1-B1C ．2D ．2【答案】A 【解析】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r ，则由π,3a e =r r 得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ，由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =1， 1.-选A.例3．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考）设函数()e x f x x ax a =-+，其中1a >，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（）A ．(21,2e ⎤⎦B ．33e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．343e 4e ,23⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．323e 2e ,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】令()e ,()x g x x h x ax a ==-，1a >，显然直线()h x ax a =-恒过点(1,0)A ，则“存在唯一的整数0x ，使得()00f x <”等价于“存在唯一的整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方”，(1())e x x g x +'=，当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，即()g x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，则当=1x -时，min 1()(1)e g x g =-=-，当0x ≤时，1()[,0]eg x ∈-，而()(0)1h x h a ≤=-<-，即当0x ≤时，不存在整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，当0x >时，过点(1,0)A 作函数()e x g x x =图象的切线，设切点为(,e ),0t P t t t >，则切线方程为：e (1)e ()t t y t t x t -=+-，而切线过点(1,0)A ，即有e (1)e (1)t t t t t -=+-，整理得：210t t --=，而0t >，解得(1,2)t =，因(1)e 0(1)g h =>=，又存在唯一整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点(2,(2))g 在直线()h x ax a =-下方，因此有23(2)(2)2e (3)(3)3e 2g h a g h a <⎧<⎧⇔⎨⎨≥≥⎩⎩，解得323e 2e 2a <≤，所以a 的取值范围是323e (2e ,]2.故选：D核心考点：运用“正难则反原则”转化化归问题例4．（2023·全国·高三专题练习）已知矩形ABCD ,1AB =,2BC =,将ABD △沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中A ．存在某个位置,使得直线AB 和直线CD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AC 和直线BD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 和直线BC 垂直D ．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直【答案】A【解析】如图所示：作CF BD ⊥于F ，AE BD ⊥于E 翻折前5AC =，易知存在一个状态使3AC =，满足222AC AB BC AC AB +=∴⊥，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面ACD ，⊆CD 平面ACD AB CD ∴⊥，故A 正确D 错误；若AC 和BD 垂直，BD CF BD ⊥∴⊥ 平面ACF ，AF ⊆平面ACF BD AF ∴⊥，不成立，故B 错误；若AD 和BC 垂直，BC CD ⊥故BC ⊥平面ACD ，AC ⊆平面ACD ，AC BC ∴⊥，因为AB BC <，故AC BC ⊥不成立，故C 错误；故选：A例5．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d ，24221k d k -=≤+即3k 2≤4k ，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.例6．（2023秋·陕西宝鸡·高三陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，用K ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K ，1A ，2A 正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为___________.【答案】0.728【解析】因为1A ，2A 同时不能正常工作的概率为(10.7)(10.7)0.09--=，所以1A ，2A 至少有一个正常工作的概率为10.090.91-=，所以系统正常工作的概率为0.80.910.728⨯=，故答案为：0.728例7．（2023·全国·高三专题练习）如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统1N ，2N ．当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N 1正常工作的概率为___________，系统2N 正常工作的概率为___________．【答案】0.6480.792【解析】分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件()080P A =．，()0.90P B =，()0.90P C =．因为事件A 、B 、C 是相互独立的，系统N 1正常工作的概率为()()()0.800.900.900.6)48(P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=⋅⋅．系统2N 正常工作的概率()1(()1()()P A P B C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅=⋅-⋅⎣⎦⎣⎦08010.100.100.800.990.7[92]=⨯-⨯=⨯=．．故答案为：0.648；0.792.。
有关化归与转化思想的例题
36化归与转化思想一、选择题一、选择题（1）已知f （x ）=ax 2+ax+a-1，对任意实数x ，恒有f （x ）＜0，则a 的取值范围是（的取值范围是（ ） （A ）（-0,34） （B ）（-∞，0）（C ）(]0,¥- （D ）(])34(0,¥+¥-（2）函数)112lg(--=xy 的图象关于（的图象关于（） （A ）原点对称）原点对称 （B ）x 轴对称轴对称 （C ）y 轴对称轴对称 （D ）直线y=x 对称对称（3）设7777897298199C C C m +-+-= ，则m 除以8的余数是（的余数是（） （A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）1-29（4）三个数，a=0．3-0．4，b=log 0．30．4，c=log 40．3，则有（，则有（ ） （A ）b ＜c ＜a （B ）a ＜c ＜b （C ）c ＜a ＜b （D ）c ＜b ＜a（5）不等式0||42³+-x x x 的解集是（的解集是（） （A ）}22|{££-x x（B ）|03|{ x x £-或}30££x（C ）02|{ x x £-或20£x } （D ）03|{ x x £-或20£x }（6）若圆x 2+y 2=1被直线ax+by+c=0所截的弦长为AB ，当a 2+b 2=2c 2时，弦AB 的长是（ ） （A ）22 （B ）2 （C ）1 （D ）21（7）（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）10展开式中各项系数和为（展开式中各项系数和为（） （A ）211-2 （B ）211-1 （C ）211 （D ）211+1（8）函数y=f （x ）是函数y=-)10(222££-x x 的反函数，则函数y=f （x ）的图象是图2-4-1中的（中的（ ）（9）已知⊙c ：x 2+y 2+2x-24=0，A （1，0）．P 为⊙c 上任意一点，AP 的垂直平分线与C 、P 的连线交于M ，则M 点的轨迹方程是（点的轨迹方程是（）（A ）125421422=-yx（B ）125421422=+yx（C ）121425422=+y x （D ）121425422=-y x（10）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1D 1和DD 1的中点，过平行线MN 和B 1C作截面MB 1CN ，令二面角M-B 1C-C 1的大小为θ，则cos θ等于（等于（ ） （A ）0 （B ）21 （C ）23 （D ）31（11）方程arctgx x=1解的个数是（解的个数是（） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个（12）从点P （3，-2）发出的光线，被直线x+y-2=0反射，若反射线所在的直线恰好过Q （5，1），则入射线的方程是（，则入射线的方程是（ ） （A ）x-2y-7=0 （B ）2x+y-4=0 （C ）x+2y+1=0 （D ）x-y-5=0 （13）函数y=2sinx-2cos 2x+1 x ∈]32,4[p p 的值域是（的值域是（） （A ）]3,23[-（B ）]3,2[（C ）]321,23[+- （D ）]321,2[+ （14）如图2-4-2，圆锥V -AB ，母线长为6，母线与底面所成角θ的正切值为35，一个质点在侧面上从B 运动到V A 的最短距离是（ ） （A ）33 （B ）3 （C ）335 （D ）3236- （15）方程1145222=++a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则椭圆离心率的范围是（则椭圆离心率的范围是（ ） （A ）÷øöêëé1,51 （B ）úûùçèæ51,0 （C ）÷øöêëé1,51（D ）úûùççèæ51,0 二、填空题二、填空题（16）若z ∈C ，且满足|z+3-i|=1，则argz 的最小值是________． （17）P （x ，y ）在直线x+2y-3=0上运动，则x 2+y 2的最小值是________． （18）已知43)(,53sin ),0,4(),,2(=-=-ÎÎb a a pb p pa tg ，则cos β=________．（19）设a ＞0且a ≠1，对任意n ∈N ，{x n }满足log a X n+1=1+log a X n ，又x 1+x 2+…+x 100=100，则x 101+x 102+…+x 200=________．（20）棱台的上、下底面积分别为16、81，一个平行于底的截面面积是64，则这截面分棱台两部分体积（从上到下）之比是________．（21）双曲线îíì+=+-=q qsec 431y tg x （θ为参数）的两条渐近线的夹角是________．（22）设α、β、γ是三角形的三个内角，则gb a 111++的最小值是________．（23）在-6，-4，-2，0，1，3，5，7这8个数中，任取两个不同的数分别作为虚数a+bi 的实部和虚部，则所组成的所有不同虚数中，模大于5的虚数的个数是________． 三、解答题三、解答题（24）已知正方形ABCD ，A （1，1），B （2，-1），求C 、D 的坐标．的坐标． （25）解关于x 的不等式：lg （3·2x ）-lg （2x+1-1）＞lg （2x +2）．（26）设P 是直线x-y+9=0上的一点，过P 点的椭圆以双曲线4x 2-5y 2=20的焦点为焦点．试求P 点在什么位置时，所求椭圆的长轴最短，并写出这个具有最短长轴的椭圆方程． （27）设x ∈]4,8[p p -，求函数y=cos4x+4sin 2x 的最大、最小值．的最大、最小值．（28）已知集合A={z||z-2|≤2，z ∈C}，B={z|z=2i z 1+b ，z 1∈A ，b ∈R}，若A ∩B=φ，求b 的取值范围．的取值范围．（29）如图2-4-3，三棱锥P-ABC 中，PB ⊥底面△ABC 于B ，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E 为PC 的中点，点F 在P A 上，且3PF=FA ． （Ⅰ）求异面直线P A 与BE 所成角的大小；所成角的大小； （Ⅱ）求三棱锥F-ABE 的体积．的体积．（30）已知双曲线)0,0(12222 b a by ax =-的离心率332=e ，过点A （0，-b ）和B （A ，0）的直线与原点间的距离为23． （Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）直线y=kx+m （k ≠0，m ≠0）与双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一个圆上，求m 的取值范围．的取值范围． （31）已知椭圆))2,.0((1222pa a Î=+tg y x 的焦点在x 轴上，A 为右顶点，为右顶点，椭圆与射线椭圆与射线y=x （x ≥0）交于B ，以A 为焦点开口向左的抛物线的顶点是（m ，0），又该抛物线过B 点，当椭圆的离心率在（1,36）变化时，求m 的取值范围．的取值范围． （32）已知抛物线y 2=2x ．（Ⅰ）设A （0,32），求曲线上距A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A|；（Ⅱ）设A （a ，0）（a ∈R ），求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写出d=f （a ）的函数表达式．表达式．（33）已知曲线x 2+y 2=1（y ≥0），A （2，0），P 为圆上一点，△APQ 为正三角形（A 、P 、Q 为顺时针方向）．（Ⅰ）求四边形POAQ 面积的最小值；面积的最小值； （Ⅱ）求|OQ|的最大值．的最大值．专题练习四 化归与转化思想答案 一、一、 （1）C （2）A （3）A （4）D （5）D （6）B （7）A （8）B （9）C （10）D （11）C （12）A （13）B （14）B （15）D 提示提示（1） 当a=0时，f （x ）=-1＜0，∴a=0满足题意；当a ≠0时，依题意，二次函数f （x ）的图象都在x 轴下方，∴a ＜0且△＜0，解出a ＜0，综上，a ∈(]0,¥-，∴选C ．（2）函数定义域满足+÷øöçèæ-+=+--ÎÞ--112lg )()(),1,1(0112x x f x f x x )()(,01lg 1111lg 112lg x f x f x x x x x -=-\==úûùêëé÷øöçèæ-+×÷øöçèæ+-=÷øöçèæ--,∴f(x)为奇数，∴选A ． （3）99989729819909)28(161)17(1)17777(-=+=+-=+-+-+-=C C C C m +1= 26297198999889272981990928288(8122822288´+×-=+×-××+-××+×-C C C C C C C -…+\+-=+-+-×,1812,12)2399889 C m 除以8余1，∴选A ．（4）a=0．30．4＞0．30=1，b=log 0．30．4＜log 0．30．3=1，∴b ∈（0，1），c ＜0，∴选D ． (5)当x ＞0时，(]2,00142ÎÞ³+-x x ；当x ＜0时，224014x x -Þ³--[),0,3,312-Î\£Þ³x x 综上，[)(]\-Î,2,00,3 x 选D ．（6）过圆心O 作OD ⊥AB 于D ，则|OD|=2222222221||1||,||c c b a c AD b a c -=÷÷øöççèæ+-=+ \=Þ=Þ=,2||22||21AB AD 选B ．（1） 令x=1，2+22+23+…+210=\-=--,2212)12(21110选A ．（8）),02,10(12222222222££-££=+Þ-=Þ--=y x y x x y x y 即椭圆1222=+y x 在第四象限的部分（包括端点），根据f （x ）与f -1（x ）的图象关于直线y=x 对称，∴选B ．（9）⊙C ：（x+1）2+y 2=25，C （-1，0），r=5．依题意，|MP|=|AM|，∴|AM|+|CM|=|MP|+|CM|=|CP|=5＞|AC|=2，∴M 点的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，a=25，c=1，∴b 2=421，又椭圆的中心是（0，0），∴M 点的轨迹方程为142142522=+y x ，即121425422=+y x ，∴选C ． （10）过M 作ME ⊥B 1C 1于E ，过E 作EF ⊥B 1C 于F ，连MF ，则∠MFE=θ，设ME=1，则EF=42，\=Þ=\,31cos 22q q tg 选D ．（11）如图答2-4-1，画出函数y=x1，y=arctgx 的图象，有两个交点，∴方程有两解，∴选C ．（12）如图答2-4-2，Q 关于直线x+y-2=0的对称点Q /（1，-3），则Q /P 为入射线方程，由两点式得入射线方程为x-2y-7=0，∴选A ．（13）y=2sinx-2（1-sin 2x ）+1=2sin 2x+2sinx-1=222,324,23)21(sin 2\££-+p px x\Î\££],3,2[,1sin y x 选B ．（14）如图答2-4-3，Þ==Ð6,35l VBA tg 底面半径r=1ÞBB /=2π，∴侧面展开图的圆心角362/p p ==ÐVB B ．A /为弧BB /的中点，过B 作BD ⊥V A.于D ，则BD 为所求．BD=VB ·\=×=Ð,36sin 6sin /p VB A 选B ．（15）5115145,145).1,41(14522222-=--=\--=ÎÞ+aa a e a a c a a aúûùççèæÎ\=×-£+51,0,514511)14(e a a ，当且仅当2114=Þ=a a a 时等号成立，∴选D ． 二、二、（16）p 32 （17）59 （18）257 （19）100a 100 （20）3164 （21）60° （22）p9（23）32提示提示（16）如图答2-4-4，1|3|=-+i z 对应复平面上以)1,3(-C 为圆心，1为半径的圆．作OD 与⊙C 相切于D ．\=Ð\=Ð=Ð,32,6,65p pp DOX COD COX argz 最小值为.32p（17）x 2+y 2为原点与直线x+2y-3=0上的点距离的平方，其最小值为原点到直线x+2y-3=0距离的平方．.595|3|)(2min22=÷÷øöççèæ-=+\y x（18）,452p b a p -又tg （α-β）＞0，,53)sin(),45,(-=-\Î-\b a p p b a,54)cos(-=-b a 又53)54)(54()](cos[cos ,54cos +--=--=\-=b a a b a ·（-53）=.257（19）x n+1=ax n ，∴{x n }为等比数列，q=a ，∵x 101=x 1·q 100，x 102=x 2·q 100，…，x 200=x 100·q 100，∴x 101+x 102+…+x 200=（x 1+x 2+…+x 100）·q 100=100·a 100．（20）如图答2-4-5，把棱台的问题转化为圆台．则圆台上、下底及截面半径分别为4、9、8．画出圆台轴截面图．设上底到截面的距离为h /，圆台高为h ，则541=h h，V 上：V 下=.31642171124)728164)((3)326416(3/2=´=++-++h h h pp（21）双曲线的普通方程为.13)1()4(22=+--x y 将中心移到（-1，4），在新坐标系中，，在新坐标系中， Þ°=\===-30,31.131212q q ba tg x y两条渐近线的夹角为60°．°．（22）³×׳++£××Þ×׳=++33313111.273gb a g b a p g b a g b a p g b a 3· 92733p p =（23）当a=0时，b 可取-6，7；当a ≠0时，从-6，-4，-2，1，3，5，7中任取2个作为a 、b ，共27P 个，其中不合格的是从-4，-2，1，3中任取2个共24P 个．∴模大于5的不同虚数共2+32)(2427=-P P 个．个．三、三、（24）如图答2-4-6，向量AB 逆时针转90°得向量.AD 设D （x ，y ），则[（2-i ）-（1+i ）]·i=（x+yi ）-（1+i ），根据复数相等有)2,3(1121D y x Þîíì=-=-，BD 的中点M )21,25(是AC 的中点，∴C （4，0）；又与D /与D 关于A 对称，∴D /（-1，0），C /与C 关于B 对称，∴C /（0，-2），∴C 、D 坐标为（4，0）、（3，2）或（0，-2）、（-1，0）．（25）.1121-Þ+ x x不等式变形为,2212223+-××x xx令ÎÞ--Þ+=Þ=t t t t t t t x 01212123,2122 ).0,1(1221)1,21(-ÎÞÞx x（26）14522=-y x ，两焦点F 1（-3，0），F 2（3，0），∵2a=|PF 1|+|PF 2|，即在直线x-y+9=0上求一点P ，使|PF 1|+|PF 2|最小．F 1关于x-y+9=0的对称点A （-9，6），∴2a=|AF 2|=6,5\=Þ.362b 所求椭圆方程为.1364522=+y x 直线AF 2的方程是),3(21--=x y 与x-y+9=0联立，解出x=-5，y=4．∴P （-5，4）．（27）Î\-Î+-=-×+-=x x xx x y 2],4,8[,21)212(cos 222cos 1412cos 222p p ]2,4[p p -，令cos2x=t ∈[0，1]，问题转化为求二次函数21)21(22+-=t y 在[0，1]的最大、最小值．的最大、最小值．.21,1m in m ax ==\y y（28）设z=x+yi （x ，y ∈R ），则A={（x ，y ）|（x-2）2+y 2≤4}．)2()(221b y b yi x i b z i +-=++=++\+=,2ni m i x Þïïîïïíì=+-=22x n b y mîíì=-=n x m b y 2)(2 代入（x-2）2+y 2≤4中，得（m-b ）2+（n-1）2≤1∴B={（x ，y ）|（x-b ）2+（y-1）2≤1}．若A ∩B=φ，问题转化为两圆无公共点，则圆（x-2）2+y 2=4与圆（x-b ）2+（y-1）2=1外离，即222121)2(2+Þ++- b b 或b ＜2-2.2（29）（Ⅰ）如图答2-4-7，∵PB ⊥面ABC ，∴PB ⊥AC ，又∠BCA=90°，∴AC ⊥面PBC ，∴AC ⊥BE ；又PB=BC ，E 为PC 的中点，∴PC ⊥BE ，∴BE ⊥面PCA ，∴BE ⊥P A ，∴异面直线P A 与BE 所成角为90°．°． （Ⅱ）∵BE ⊥面P AC ，∴42121.31×=×=×==D D --PC AC S SBE VVACPAEF AEFB ABEF ,4232231,234324,2824=××==×=Þ=\=×-D D D AEFB PEAAEFPEA V SS S ∴V F-ABE =4．（30）过A 、B 的直线方程为bx-ay-ab=0．)(4323||222222b a b a ba ab +=Þ=+①；①；34222222=+==a b a a c e ②，解①、②得.1,3==b a （Ⅰ）所求双曲线方程为.1322=-y x（Ⅱ）直线与曲线相交于不同两点转化为直线与曲线组成的方程组有两组不同实数解．ïîïíì=-+=1322y x m kx y 消y ，得，得 （3k 2-1）x 2+6kmx+3（m 2+1）=0 ∵3k 2-1=0不合题意，∴3k 2-1≠0，△ =36k 2m 2=4·3（3k 2-1）（m 2+1）=12（m 2-3k 2+1）＞0依题意，|AC|+|AD|，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则Þ++=++22222121)1()1(y x y x（x 1-x 2）（x 1+x 2）+（y 1-y 2）（y 1+y 2+2）=0∵x 1≠x 2，∴x 1+x 2+k （y 1+y 2+z ）=0（k 为直线CD 的斜率）．∴x 1+x 2+k （kx 1+m+kx 2+m+2）=0Þ（1+k 2）·（x 1+x 2）+2mk+2k=0Þ（1+k 2）·1362--k km+2mk+2k=0Þ3k 2=4m+1，代入△中，得m 2-4m ＞0Þm ＞4或m ＜0，又3k 2=4m+1＞0Þm ＞-41，∴m ∈（-0,41）∪（4，+∞）．C 、D 两点在以A 为圆心的同一个圆上还可以作如下转化：为圆心的同一个圆上还可以作如下转化： 设CD 的中点为P ，则AP ⊥CD ．2222231313,,313),13,133(k k kmm k CD AP km m k k k m k km P AP Þ-=×---\^---=---- =4m+1，以下与上面解法相同．，以下与上面解法相同． （31）A （1，0），将y=x 代入椭圆中，得B （sin α，sin α）．抛物线方程为y 2=-4（m-1）（x-m ）（m ＞1），又B 在抛物线上，∴sin 2α=-4（m-1）（sin α-m ）Þsin 2α+4（m-1）sin α-4m （m-1）=0，令sin α=t ，∴t 2+4（m-1）t-4m （m-1）=0① ∵e 2=1-tg2α，∴)21,0(s in )6,0(310113222ÎÞÎÞÞ-a p a a a tg tg Þt ∈（0，21）．即方程①在（0，21）至少有一个实数解．）至少有一个实数解． 设f （t ）=t 2+4（m-1）t-4m （m-1），∵-4m （m-1）＜0，∴方程①的两根分别在（-∞，0）和（0，-21）内，∴Þïîïíì0)21(0)0( f f).423,1(+Îm（32）（Ⅰ）\³++=+-=+-=,0,31)31(2)32()32(||22222x x x x y x PA 当x=0时，|P A|2取最小值94，∴|P A|的最小值为32，此时P （0，0）．（Ⅱ）|P A|2=（x-a ）2+y 2=（x-a ）2+2x=[x-（a-1）]2+2a-1（x ≥0），求|P A|2的最小值转化为求二次函数在x ≥0时的最小值．时的最小值．当a-1＜0Þa ＜1时，当x=0时，|P A|2最小值为a 2，∴|P A|的最小值是|a|（此时P （0，0））；当a-1≥0Þa ≥1时，当x=a-1时，|P A|2最小值为2a-1，∴|P A|的最小值是12-a （此时P （a-1，22-±a ））．îíì³-=\1121||a a a a d （33）如图答2-4-8，设∠AOP=α，把问题转化为三角．由余弦定理得，把问题转化为三角．由余弦定理得 AP 2=1+4-2·1·2·cos α=5-4cos α． （Ⅰ）+-=-+××=+=D D aaa acos 3sin)cos 45(43sin 2121PAQPOAPOAQSSS46 ,3452345)3sin(2345+£+-=p a 当p a p p a 6523=Þ=-时，时， ∴当p a 65=时，四边形POAQ 面积的最大值为.3452+（Ⅱ）∵△APQ 为正三角形，∴用向量的旋转可表示Q 点坐标．将向量AP 顺时针旋转3p ，模不变，得向量AQ ．设P （cos α，sin α）（sin α≥0），Q （x ，y ）． AP 对应的复数为（cos α-2）+isin α，AQ 对应的复数为（x-2）+yi ，∴23sin 21()sin 231cos 21()33(cos ]sin )2[(cos -++-Þ-×+-a a a p p a a isn i ,)2()3cos yi x i +-=+aïïîïïíì+-=++=Þïïîïïíì+-=+-=-\3cos 23sin 211cos 21sin 233cos 23sin 21sin 231cos 212a a a a a a a a y x y x ① 2+②2，得，得41()cos sin 23cos sin 31cos 41sin 43(||22222+×+++++=+=a a a a a a y x OQ +=-+=×--+++5cos 2sin 325)cos sin 23cos 3sin 33cos 43sin 22a a a a a a a a ,9)6sin(4£-p a 当p a p p a 3226=Þ=-时，时，∴当p a 32=时，|OQ|的最大值是3．。
浅谈化归与转化思想专题复习——以数列问题为例
1“. 自主学习”阶段。分为两步：即“目
标导学”和“自学生疑”。利用自习课的时 间，借助导学案把学习任务呈现给学生， 学生先独学，认真阅读教材，完成“自学生 疑”中的相关内容，再在小组内讨论独自 不能解决或生成的问题。
究。学生动脑、独立思考尝试解答，并参与
编题，加深学生对此类题型的印象。合理
转化，渗透定义法、加 K 法、倒数法、叠加
法、累乘法等。
例 2．设 Sn 是数列{an}的前项和，且 an+1=2Sn，a1=-1，求 Sn
追问 1. 若把条件 an+1=2Sn 改为条件 an+1=SnSn+1 ，其他条件不变，怎么转化？
的等比数列问题进行处理。这符合学生的
认知规律，激发学生探索的热情。让学生
全面看待问题，学会合理转化。
二、问题探究
例 1.以下递推公式怎么转化？
（1）an+1=4an+2n
（2）an+1=
4an an+4
学生自编题目如下：
（3）an+1=an+
1 n（n+1）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）an+1=an·n+n1
构建研究的整体框架，再展开具体研
52 数学教育 杂匀哉载哉耘允陨粤韵再哉
摘要：在当前能力立意和素养立意的 高考命题中，对数学思想方法的考查日益 突出，化归与转化思想是数学思想的精 髓，是历年高考考查的重点。本文以数列 为例，从四个方面阐述化归与转化思想在 高三数列专题复习中的应用，以期达到串 “点”成“线”的目的，促进学生的发展，切 实提高复习的有效性。
2014年高考三轮复习数学思想方法专题四 转化与化归思想学生版
数学思想方法专题四 转化与化归思想1． (2012·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________.2． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－13． (2011·天津)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－1,1]∪(2，＋∞) B ．(－2，－1]∪(1,2] C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]4． (2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C.94D ．3题型一 特殊与一般的转化例1 (1)e 416，e 525，e 636(其中e 为自然常数)的大小关系是( )A.e 416＜e 525＜e 636B.e 636＜e 525＜e 416C.e 525＜e 416＜e 636D.e 636＜e 416＜e 525(2)在定圆C ：x 2＋y 2＝4内过点P (－1,1)作两条互相垂直的直线与C 分别交于A ，B 和M ，N ，则|AB ||MN |＋|MN ||AB |的范围是________． 变式训练1 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．题型二 正难则反转化例2 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是__________．变式训练2 (2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若任意x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________． 题型三 函数、方程、不等式之间的转化例3 设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax＋24a ，其中常数a >1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．典例 (14分)已知函数f (x )＝13x 3＋⎝⎛⎭⎫a 2－43x 2＋⎝⎛⎭⎫43－23a x (a 是小于1的正实数，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围． 规范解答解 因为f ′(x )＝x 2＋⎝⎛⎭⎫a －83x ＋⎝⎛⎭⎫43－23a ＝⎝⎛⎭⎫x －23(x ＋a －2)，所以令f ′(x )＝0，解得x 1＝23，x 2＝2－a .[2分]由0<a <1，知1<2－a <2.[4分] 所以令f ′(x )>0，得x <23，或x >2－a ；令f ′(x )<0，得23<x <2－a ，所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增．[6分]所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (2－a )＝a6(2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a .因为当0<a ≤25时，13－a 6≥23a ；当25<a <1时，23a >13－a 6，由对任意x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，得2[f (x )]min >[f (x )]max (x ∈[1,2])．[9分]所以当0<a ≤25时，必有2×a 6(2－a )2>13－a 6，结合0<a ≤25可解得1－22<a ≤25；[11分]当25<a <1时，必有2×a 6(2－a )2>23a ，结合25<a <1可解得25<a <2－ 2. [13分] 综上，知所求实数a 的取值范围是1－22<a <2－ 2. [14分]评分细则 (1)求出f ′(x )给1分；(2)讨论时将a 的范围分为0<a <25和25≤a <1一样给分；讨论时a的值有重、漏情况扣1分；(3)“综上……”结论不写扣1分．阅卷老师提醒 将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f (x )在[1,2]上的最大值和最小值问题是解决本题的一个突破口．此外，要注意函数f (x )在[1,2]上的最大值不能直接由函数的图象得到，而必须讨论f (1)与f (2)的大小关系．1． 设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4， 则点P 横坐标的取值范围为 ( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1] D.⎣⎡⎦⎤12，1 2． 设a ＝22(sin 17°＋cos 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <b <a3． 方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是( )A ．－1≤k ≤54B ．－54≤k ≤0C ．0≤k ≤54D ．－54≤k ≤14． 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．5． 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．6． 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N ＋，若数列{c n }满足c n ＝b a n ，则c 2 013＝________.专题限时规范训练一、选择题1． 在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C2的值为( )A.15B.14C.12D.232． 等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n >0的最小正整数n 为( )A ．7B ．8C ．9D ．103． AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的纵坐标为( )A ．－1B ．－4C ．－14D ．－1164． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6 5． 棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A.a 33B.a 34C.a 36D.a 3126． 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP→＋OF 2→)·F 2P →＝0，O 为坐标原点，且|PF 1→|＝3|PF 2→|，则该双曲线的离心率为( )A.3＋1B.3＋12C.6＋ 2D.6＋227． P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．98． 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0132 013，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 2 0132 013，设F (x )＝f (x ＋4)·g (x －4)，且函数F (x )的零点在区间[a －1，a ]或[b －1，b ](a <b ，a ，b ∈Z )内，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2二、填空题9． 设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为__________． 10．在Rt △ABC 中，C ＝π2，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，r ，S 分别表示它的内切圆半径和面积，则crS 的取值范围是__________．11． 如果函数f (x )＝x 2－ax ＋2在区间[0,1]上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是_______． 12．若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．三、解答题13．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B － sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．。
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转化与化归的思想方法(3)--巩固练习1. 若函数是奇函数，则常数a的值为（）.2.. ７封不同的信发往７处不同地址，由于装信封时未经仔细检查，信收到后发现有３封的内容和地址错位，发生这种错误的可能情形种数为（）.Ａ. ３５Ｂ. ７０Ｃ. １０５Ｄ. １７５3. 在球面上有４个点Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ，如果ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ两两互相垂直，且ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ=a，那么这个球面的面积是（）.4. 若函数在区间（－∞，２］上有意义，则实数m的取值范围是.5. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于（）A. 0.5B. －0.5C. 1.5D. －1.56.设f(x)＝3x－2，则f-1[f(x)]等于（）A. x+89B. 9x－8C. xD.132x-7. 若m、n、p、q∈R且m2＋n2＝a，p2＋q2＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是（）A. a b+2B. abC.a b222+D.aba b+8. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为（）A. 1B. 2C. 2D. 59. 设椭圆ya22＋xb22＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到1的距离等于2217c，则椭圆的离心率为（）A. 14B.12C.33D.2210. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为（）A. 152B. 10C.252D.35211. 已知函数（１）求f（x）的反函数f －１（x）；（２）数列｛a n｝中，a1=1，a n=f －１（an-1）（n∈N+，n≥2）.如果求数列｛b n｝的通项公式b n及前n项和Ｓn；（３）如果g（n）＝２S n-17n，求g（x）（x∈Ｒ）在区间［t，t＋２］上的最小值.12. （x+2）10（x2-1）的展开式中x10的系数为.（用数字解答）13. 设a、b是两个实数，的点的集合，讨论是否存在a和b，使得：（１）Ａ∩Ｂ≠（２）（a，b）∈Ｃ同时成立.14. 证明不等式2（n∈N+）.15. 已知椭圆的一个顶点为Ａ（０，－１），焦点在x轴上，且右焦点到直线x-y+2=0的距离为３，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点Ｍ、Ｎ.且满足，并说明理由.16. 已知两点Ｍ（１，）、Ｎ（－４、－），给出下列曲线方程：①4x+2y-1=0 ②x2+y2=3③+y2=1 ④-y2=1在曲线上存在点Ｐ满足ＭＰ＝NP的所有曲线方程是（）.Ａ. ①③Ｂ. ②④Ｃ. ①②③Ｄ. ②③④17. 在等比数列｛a n ｝中，a 1>1，前n 项和Ｓn 满足那么a1的取值范围是（ ）. Ａ. （１，＋∞） Ｂ. （１，４） Ｃ. （１，２） Ｄ. （１，） 18. 若x 、y 、z ∈R +且x ＋y ＋z ＝1，求(x 1－1)( y 1－1)( z1－1)的最小值。
巩固练习答案１. 答案:Ｄ 提示： 令，要使f （x ）是奇函数，只要g （x ）是奇函数，特取g （-1）＝－g （1），可得a=. 2. 答案：Ｂ提示：正反转化：先选出４封正确的，然后让余下３封出错，，∴共有１＝７０. 3. 答案：Ｃ提示： 利用构造法，由Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ四点构造一边长为a 的正方体，该正方体为一球内接正方体，球的直径即为正方体对角线，即２R ＝a ，Ｒ＝a ，故S=4πR 2＝４π×（a ）2＝３πa 2.4. 答案：m≥－提示： 依题意有m≥－４（）x -（）x ＝h （x ），（x ）在（－∞，２］上有最大值-，故m≥－.5：由已知转化为周期为2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，选B ； 6：设f(x)＝y ，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C ； 7：由mp ＋nq ≤m p 222+＋n q 222+容易求解，选A ；8：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A ；9：ab ＝2217c ×a b 22+，变形为12e 4－31e 2＋7＝0，再解出e ，选B ；10：由S∆ADE＝14S∆ABC和三棱椎的等体积转化容易求，选A。
11.（３）∵g（n）=2S n-17n=n（n+1）-17n=n2-16n，∴g（x）=x2-16x=（x-8）x-64（x∈R），函数g（x）的图象是顶点在Ｍ（８，－６４），且开口向上的抛物线.∴当t+2<8时，g（x）在［t，t+2］上是减函数.它的最小值为g（t+2）＝t2-12t-28.当t+2≥8且t≤8即6≤t≤8时，g（x）的最小值为g（８）＝－６４.当t>8时，g（x）在［t，t+2］上是增函数，它的最小值为g（t）＝t x-16t.综上所述，函数g（x）（x∈R）在区间［t，t+2］上的最小值为12. 解析：运用通项公式求字母的系数较方便，显然要用转化的思想方法来做.将原式转化为x2（x+2）10-（x+2）10分别求x10的系数.原式=x2（x+2）10-（x+2）10，其中第一项中（x+2）10的展开式中x8的系数为·２２，而第二项（x+2）10的展开式中x10的系数为.∴原式展开式中x10的系数为·∴应填１７９.13. 解：集合Ａ为直线y=ax+b上横坐标为整数的点，集合Ｂ为抛物线y=3x2+15的全部整数点.∵Ａ∩Ｂ≠，这意味着存在n∈Z使得na+b=3n2+15；（a，b）∈Ｃ这意味着a2+b2≤144.因此，构造等价命题：讨论关于a、b的混合组是否有实数解.假设存在a、b∈Ｒ，满足以上混合组，则（３n2+15）2=（na+b）2≤（n2+12）（a2+b2）≤144（n2+1）.由此可得9n4-54n2+81≤0，即（n2-3）2≤0，故n2-3=0，n=±，这与n∈Z矛盾.故不存在实数a、b，使得（１）和（２）同时成立.【点评】有些数学问题（命题）的表达形式较为抽象、复杂，直接探求显得困难，但是，若构造一个表达形式通俗明朗且与原命题等价的新命题，将原命题转化为新命题来处理，则会使问题迅速获解.解决数学问题的过程，实际上就是不断转化问题的过程，而等价转化也是减少运算量的重要途径，解题时注意运用等价转化思想常常能避免复杂运算，提高解题速度.14. 分析：本题一般可采用数学归纳法证明.但如果我们能注意到不等式的左边有n项，而右边仅有一项这一特点，将不等式的左边适当放缩，使得其n项和成为可以操作的运算，则问题也就易于解决了.为此，先证明以下辅助命题：若k∈N+，则辅助命题获证，由辅助命题有：把上列不等式两边分别相加，即得（n∈N+）.15.分析：由已知条件可知椭圆方程为，且b=1，由Ｆ２（c，０）到直线x-y+2=0的距离为３，可得=3，即c=，所以a2＝b2+c2=3，椭圆方程为＋y2=1，即x2+3y2=3.原问题转化为解与它等价的命题：已知椭圆x2+3y2=3，是否存在以Ａ（０，－１）为圆心的圆，使它与椭圆至少有两个不同的交点，且过这两个交点的直线的斜率为k（k≠0），并说明理由.解：设以Ａ（０，－１）为圆心的圆的半径为r.解方程组②-①，整理得y2-y-2+r2=0 ③因为判别式Δ=１－４（r2－２）＝９－４r2，当时，方程③有两个不相等的实数根y1，y2（y1≠y2）.所以方程组①和②至少有三组不相同的解，也就是当时，圆①与椭圆至少有三个交点，由于y1≠y2，总有过两点的直线的斜率k≠０.由于命题与原问题等价，所以能找到一条斜率为k（k≠0）的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点Ｍ、Ｎ.满足事实上，取时，则方程组的三组不同的解依次为则圆x2+（y+1）2＝４与椭圆x2+3y2=3有三个不同的交点，取点Ｍ、Ｎ的坐标依次为Ｍ（，０），Ｎ（０，１），显然直线ＭＮ的斜率为k=-（k≠0）.能找到一条斜率为－的直线l:y=-，使l与已知椭圆交于不同的两点Ｍ（，０），Ｎ（０，１），且满足＝２.【点评】这里若直接按题意求解则比较困难，将问题转化为与它等价的命题求解却比较简单.注意到方程组①和②消元后，所得方程③有两个不相等的条件是，其中当r≥时，方程③有两个相等的实根，或无实根，均不符合条件；当r<时，则圆①的半径为r<2，圆①和椭圆两个交点的纵坐标相同，过这两点的直线斜率k=0，因此不符合要求，所以，当且仅当时，圆①和椭圆至少有三个交点，从而确保其中两个点的直线斜率k≠0.（如图）16. 解析：从题意知，点Ｐ在线段ＭＮ的垂直平分线上.于是用转化的思想，把命题转化为ＭN的垂直平分线方程与下列曲线方程组成方程组是否有实数解，如有实数解，说明在曲线上存在一点Ｐ，满足如没有实数解，即在曲线上不存在一点Ｐ，即这里先求ＭＮ的垂直平分线的方程：∵又∵ＭＮ的中点坐标为（－，０）∴ＭＮ的中垂线l的方程为y=-2x-3即2x+y+3=0.①解方程组∴方程组无解.②圆心（０，０）到l的距离∴l与圆②有交点，即方程组有实数解.③解方程组消去y，整理得9x2+24x+16=0.∵Δ＝242-4×9×16=0，则方程组有实数解.④l:y=-2x-3与x轴交点为（－，０）在双曲线④左顶点（－，０）左边，则l 穿过双曲线④左支，∴方程组有实数解.综合上述结果，②、③、④均有实数解.应选Ｄ.17.. 分析：由（q为公比）.用转化的思想方法（借助方程和不等式）便可达到解题的目的.解：依据题意，列方程及不等式组∴应选Ｄ.18.【分析】由已知x＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋z，或者运用均值不等式后含xyz的形式。
所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。
【解】(1x－1)(1y－1)(1z－1)＝1xyz（1－x）(1－y)(1－z)＝1xyz(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝1xyz(xy＋yz＋zx－xyz)＝1x＋1y＋1z－1≥313xyz－1＝33xyz－1≥33－1＝9【注】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。
将问题转化为求1x＋1 y ＋1z的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。
此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。