几种特殊函数
03 几种特殊的函数
} } </script>
//定义外部函数 //定义内部函数
functionName：外部函数名称。 InnerFunction：嵌套函数名称。
递归函数
所谓递归函数就是函数在自身的函数体内调用自身，使用递归函数时 一定要当心，处理不当将会使程序进入死循环，递归函数只在特定的情 况下使用，比如处理阶乘问题。
嵌套函数
所谓嵌套函数即在函数内部再定义一个函数，这样定义的优点在于可以使内 部函数轻松获得外部函数的参数以及函数的全局变量等。
语法：
<script type="text/javascript"> var outter=10; function functionName(parameters1,parameters2){
表 JavaScript中的内置函数
说明 求字符串中表达式的值 判断一个数值是否为无穷大 判断一个数值是否为NaN（非数字） 将字符型转化为整型 将字符型转化为浮点型 将字符串转化为有效的URL 将字符串转化为有效的URL组件 对encodeURL()编码的文本进行解码 对encodeURIComponent()编码的文本进行解码
语法：
<script type="text/javascript"> var outter=10; function functionName(parameters1){
functionName(parameters2); } </script>
参数functionName表示递归函数名称。
Thank you
还有什么疑问可以到提出 也可以以发送邮件到 mingrisoft@
函数
f7={<a，1>，<b，1>，<c，1>}
二、几种特殊的函数
定义 设f:AB是函数，对任意的a，bA，且 ab，都有f(a)f(b)，或形式表为 xy(x,yAxyf(x)f(y)) 则称f:AB是单射函数，或称函数f:AB 是单射的。 定义揭示了，A中不同的元素，其在B中像 也是不同的。于是，若A、B是有穷集合，存 在单射函数f:AB，则|A|≤|B|。
从函数定义可以看出，从A到B的函数f和一般从A 到B的二元关系有以下两点不同： ① A的每一元素都必须是f的有序对之第一元素。 ② 若f(x)=y，则函数f在x处的值是唯一的。
定义 设f:AB，g:CD，若A=C，且对每一 xA 都有f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记为 f=g。 下面讨论由集合A和B构成的函数f:AB会有多少 呢？或者说，在AB的所有子集中，是全部还是部分 子集可以定义函数呢？ 令BA表示这些函数的集合，即BA={f|f:AB} 设|A|=m，|B|=n，那么|BA|=？ |BA|=nm 。这是因为对每个自变元，它的函数值都 有n种取法，故总共有nm种从A到B的函数。
(2)
f2 : R R
f3 : N N
f 2 r 2r 15
f 3 (n) 2n
（ 双 ）
(3)
（ 单 ）
3. 下列函数中，确定哪些是单射，哪些是满射，
哪些是双射?
(1)
f1 : R R, f1 (r ) r 2 2r 15
解：因为r 2 2r 15 (r 5)(r 3), 所以 f1 (5) f1 (3) 0 因此 f1不是单射。
例 对于给定的集合A和B构造双射函数f：A→B A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} ({1,2,3} →{0,1}的函数） 解A={Φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} B={f0,f1,…,f7}, 其中： f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>},f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>}, f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>},f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>},f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>}, f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>} 令f：A→B, 使得f (Φ)=f0, f({1})=f4, f({2})=f2, f({3})=f1, f({1,2})=f6, f({1,3})=f5, f({2,3})=f3, f({1,2,3})=f7
高中6个超越函数
高中6个超越函数作为高中数学的重要内容之一，函数是一个非常重要的概念。
在高中数学中，有一些特殊的函数具有比较重要的意义，被称为“超越函数”。
今天我们来介绍一下高中数学中的6个超越函数。
一、指数函数指数函数是形如y=a^x的函数，其中a>0且a≠1。
这个函数有着非常重要的应用，它表达了一种指数增长的趋势。
指数函数的导数也有非常特殊的性质，即其导数等于其本身。
指数函数在金融、经济学等领域非常有用。
二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，是形如y=loga(x)的函数，其中a>0且a≠1。
对数函数的导数也非常特殊，它的导数等于1/x。
对数函数有着非常广泛的应用，在物理、化学、统计学、计算机科学等领域都有着非常广泛的应用。
三、三角函数三角函数是由正弦、余弦、正切、余切等函数组成的一族函数。
三角函数在几何学、物理学、工程学等领域有着非常广泛的应用。
它们可以用于描述旋转、震动等现象。
四、指数对数函数指数对数函数是一种常见的超越函数，它由指数函数和对数函数组成。
指数对数函数的图像非常特殊，它的图像在x轴左侧单调下降，在x轴右侧单调上升。
指数对数函数在物理学、化学、生物学、计算机科学等领域有着重要的应用。
五、双曲函数双曲函数是一类类似于三角函数的函数，它由双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切等函数组成。
双曲函数在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
六、反三角函数反三角函数是一种与三角函数相反的函数，它由反正弦、反余弦、反正切等函数组成。
反三角函数可以用于解决三角函数的反问题，以及一些复杂函数的求导问题。
以上就是高中数学中的6个超越函数。
这些函数在数学和科学的各个领域都有着重要的应用，是我们在学习数学时必须掌握的知识点。
非初等函数的例子
非初等函数的例子1. Gamma 函数：Γ(x) 是数学上的特殊函数，可以看作是阶乘函数的推广。
它在实数域上是定义良好的，但不属于初等函数。
Gamma 函数被广泛应用于统计学、概率论、数论和物理学中的各种问题。
2. Riemann Zeta 函数：ζ(s) 是定义在复平面上的特殊函数。
该函数在实数 s 大于 1 时收敛，但在 s等于 1 或小于 1 时发散。
Riemann Zeta 函数在数论中起着重要的作用，与素数分布和黎曼猜想有着密切的关系。
3.超几何函数：超几何函数是定义在复数域上的特殊函数，用来解决一些微分方程和积分方程。
它在复平面上的解析结构非常复杂，并且不能用有限次的初等函数来表示。
4.贝塞尔函数：贝塞尔函数是用来描述振动过程和波动现象的数学工具。
它在工程学、物理学和数学物理学中有广泛的应用，但不能用有限次的初等函数来表示。
6. Lambert W 函数：Lambert W 函数是解析反函数的特殊函数，它与指数函数有着密切的关系。
Lambert W 函数在科学工程和数学中有广泛的应用，但不能用有限次的初等函数来表示。
7. Fresnel 积分：Fresnel 积分是用来描述光的传播和干涉现象的特殊函数。
它在物理光学和天文学等领域中有广泛的应用，但不能用有限次的初等函数来表示。
9.梯度函数：梯度函数是多元函数的一阶偏导数向量，它在向量微积分和优化理论中非常重要，但不能用有限次的初等函数来表示。
10. Dirichlet η 函数：Dirichlet η 函数是定义在复数域上的特殊函数，用来描述振动过程的临界频率。
它在信号处理和控制系统中有广泛的应用，但不能用有限次的初等函数来表示。
这些非初等函数在各个数学领域和科学工程中都发挥着重要的作用，虽然不能用有限次的初等函数来表示，但它们具有丰富的数学性质和应用价值。
特殊函数及其应用
特殊函数及其应用特殊函数是数学领域中一类非常重要的函数，具有独特的性质和广泛的应用。
本文将介绍几种常见的特殊函数，包括阶乘函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和超几何函数，并探讨它们在科学、工程和统计学中的应用。
阶乘函数是特殊函数中的一种，通常用符号"!"表示。
阶乘函数定义为正整数n的所有正整数的乘积，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
阶乘函数在组合数学、概率论和统计学中经常出现，用于计算排列组合的问题，例如计算阶乘可以求解排列组合问题中的可能性总数。
幂函数是一类以底数为自变量的函数，形如f(x) = a^x，其中a为常数，x为实数。
幂函数在物理学、经济学和生物学等领域中经常出现，用于描述指数增长的趋势，例如在放射性衰变中，放射性物质的衰变速率可以用幂函数来表示。
指数函数是以一个常数e为底的幂函数，即f(x) = e^x。
指数函数在微积分、电路理论和金融学等领域有广泛的应用。
在微积分中，指数函数是导数等于自身的唯一函数；在电路理论中，指数函数用于描述电容充放电的过程；在金融学中，指数函数可表示复利计算的本金增长情况。
对数函数是指数函数的逆运算，即以一个正数a为底的对数函数可以表示为f(x) = log_a(x)。
对数函数在计算机科学、密码学和信号处理等领域有广泛的应用。
在计算机科学中，对数函数常用于算法分析和复杂性评估；在密码学中，对数函数被用于计算哈希值；在信号处理中，对数函数用于压缩和调整信号的动态范围。
三角函数是以圆周上一点在直角坐标系中的坐标值为根据的函数。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三角函数在物理学、工程学和地理学等领域有广泛的应用。
在物理学中，三角函数用于描述波动和振动的现象；在工程学中，三角函数常用于信号处理和控制系统设计；在地理学中，三角函数被用于测量和地图制作。
特殊函数
特殊函数 - 特殊函数编辑本段回目录特殊函数 - 正文一些高级超越函数的总称，不是代数函数的完全解析函数通称为超越函数。
高级超越函数是超越函数中不为初等函数的泛称。
特殊函数多半是从寻求某些数学物理方程的解得出的。
它种类繁多，而且不断有新的出现。
常见的有：Γ函数、B 函数、超几何函数、勒让德函数、贝塞尔函数等。
一些正交多项式，如雅可比多项式、切比雪夫多项式、埃尔米特多项式、拉盖尔多项式，等等，通常也列入特殊函数的内容中。
特殊函数在物理学，工程技术，计算方法等方面有广泛的应用。
研究特殊函数常用的工具是解析函数理论，如围道积分、幂级数展开等等。
L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶等人，都在这方面做过奠基工作。
Γ函数阶乘n!仅对正整数n及0有意义，扩大到任意复数α，定义阶乘函数为与阶乘函数密切联系的是Γ函数，它的定义是：当z不为零及负整数时，Γ(z)是亚纯函数，以0,-1,-2,…为其单极点。
Γ(z)满足两个等式：当α不为零及负整数时，特殊情形有n!=(1)n=г(n+1)。
当Re(z)>0时，当│arg z│≤π-δ(δ>0)，│z│→∞时，在这公式中置z=n+1，就可得到斯特林公式Γ函数是数学中常用的函数之一，许多重要级数的系数，常常用Γ函数表出。
B函数B函数可以用Γ函数来定义：当Re(p)>0,Re(q)>0时，B函数可以用来计算一些定积分的值。
例如,当Re(m)>0，Re(n)>0时，超几何函数设α,b)，с为常数且с不为零及负整数，通常把幂级数叫做超几何级数。
当α=b)=с=1时，它就是几何级数。
当α或b)为零或负整数时，它简化成多项式。
如果α,b)均不为零及负整数,则它是无穷幂级数,其收敛半径为1,因而在|z|<1 中解析。
这时从它出发利用解析开拓可产生完全解析函数。
这样的完全解析函数（包括多项式这一特殊情形在内）叫做超几何函数，记作F(α,b)；с；z)。
初中数学知识点整理：几种特殊的函数
几种特殊的函数
1、一次函数
直线位置与k，b的关系：
（1）k＞0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为锐角；（2）k＜0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为钝角；（3）b＞0直线与y轴交点在x轴的上方；
（4）b＝0直线过原点；
（5）b＜0直线与y轴交点在x轴的下方；
2、二次函数
抛物线位置与a ，b ，c 的关系：
（1）a 决定抛物线的开口方向⎩⎨⎧⇔<⇔>开口向下开口向上
00a a
（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置：
c >0⇔图像与y 轴交点在x 轴上方；c =0⇔图像过原点；c <0⇔图像与y 轴交点在x 轴下方；
（3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。
对称轴在y 轴右侧；
3、反比例函数：
4、正比例函数与反比例函数的对照表：。
几种特殊函数的积分
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
几种特殊类型的函数积分
反三角函数积分公式
∫sinxdx=−cosx+Cint sin x , dx = -cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+Cint cos x , dx = sin x + C∫cosxdx=sinx+C
∫tanxdx=ln|secx|+Cint tan x , dx = ln |sec x| + C∫tanxdx=ln∣secx∣+C
底数小于1的对数函数积分公式
∫logₐ(x) dx = xlogₐ(x) - ∫x/lna dx = xlogₐ(x) x/lna + C，其中C为积分常数。
对数函数积分应用
解决对数方程
计算对数值
通过积分的方法，可以将对数方程转 化为代数方程，从而更容易求解。
利用对数函数的积分公式，可以计算 对数值，例如计算ln(e)、lg(10)等。
积分性质
对于三角函数的积分，有基本的 积分公式，如∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C等。
三角函数的积分具有一些重要的 性质，如∫[sin(x)]^2dx = ∫[1 cos(2x)]/2dx = x/2 - sin(2x)/4 + C。
积分变换
底数小于1的对数函 数
如以0.5为底的对数函数，记作 logₐ(x)，其定义域为(0, +∞)， 其中a为正实数且a≠1。
对数函数积分公式
自然对数函数积分公式
∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为积分常数。
常用对数函数积分公式
奇异函数的定义
奇异函数的定义一、奇函数和偶函数的定义在数学中，奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型。
它们分别满足以下定义：1. 奇函数：对于任意实数x，有f(-x)=-f(x)。
2. 偶函数：对于任意实数x，有f(-x)=f(x)。
其中，f(x)是一个实值函数。
二、奇异函数的定义在数学中，奇异函数是指既不是奇函数也不是偶函数的一类特殊的函数。
它们不满足上述的奇偶性质，因此也被称为非周期性函数。
三、常见的奇异函数1. 绝对值函数：y=|x|绝对值函数是一种最常见的奇异函数。
它在x=0处取得最小值0，在其他点处都为正值。
其图像呈V字形状，且关于y轴对称。
2. 符号函数：y=sgn(x)符号函数也是一种常见的奇异函数。
它在x=0处取得唯一的非零值1或-1，在其他点处都为0。
其图像呈阶梯状，且关于y轴对称。
3. Dirac delta 函数：δ(x)Dirac delta 函数是一种极限型的奇异函数。
它在所有实数点上都为0，除了x=0处，此时其取值为无穷大。
其图像呈尖峰状，且没有定义的导数和积分。
四、奇异函数的性质1. 奇异函数与偶函数的和仍为奇异函数。
2. 奇异函数与奇函数或偶函数的积仍为奇异函数。
3. 奇异函数在有限区间上不一定可积，但可以用广义积分进行计算。
4. 奇异函数在某些物理问题中具有重要应用，如量子力学中的波函数、信号处理中的滤波器等。
五、实现一个绝对值奇异函数的代码下面是一个使用Python语言实现绝对值奇异函数图像绘制的代码：```import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx = np.linspace(-5, 5, 1000)y = abs(x)plt.plot(x, y)plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('Absolute Value Function')plt.show()```该代码使用NumPy库生成-5到5之间1000个等距离点，并计算出每个点对应的绝对值。
几类特殊的函数
2
5
，
(3)对于(2)中的函数 f 和函数 g ＝ x 2－ mx ＋4，若对任意 x 1∈
1，3 ，总存在 x 2∈ 1，3 ，使得 g 2 ＝ f 1 成立，求实数 m 的取
值范围.
[解]
由(2)知 f 1 ∈
9
0，
5
时，若存在 x 2∈ 1，3 ，
2，故选项A错误；
当 a ＝－1时， f (－ x )＝
1
−＋
＝ −
1
＝ f ( x )，所以 f ( x )为偶函数，
1
当 x ∈(0，1)时， f ( x )＝－ x ＋ ，易知函数 f ( x )在区间(0，1]上单调递
1
减，当 x ∈[1，＋∞)时， f ( x )＝ x － ，易知函数 f ( x )在区间(1，＋∞)上
2
所以④是正确的.
2
2
1
＋ ＋ ＝2 n ， 2 ＝ 2 + 2 ＝2 n ；
2
1
＋ ＋ ＝2 n ＋1， 2 ＝ 2 + 2 ＝2 n ＋1，
2
方法总结
1.对于函数的新定义试题的求解:(1)根据函数的定义,可通过举出反例,说
明不正确; (2)正确理解函数的定义的内涵,紧紧结合定义进行推理、论
③④
.
① ＝ ； ② ＋ ＝ ＋ ；
③ + 1 ＝ ＋1；④ ＋
1
＋
2
＝ 2 .
对于①中，例如 1.5 × 1.5 ＝ 2.25 ＝2， 1.5 1.5 ＝1×1＝1，所以不
正确；
对于②中，例如 1.5 + 1.5 ＝ 3 ＝3， 1.5 ＋ 1.5 ＝2，所以不正确；
几个特殊函数
fn x, y 0
x 0, y 0
fn x, ydxdy 1
则:
lim
n
fn x,
y (x)
fn(x,y)或fn(x)的具体形式多种多样：
高斯函数
x lim Nexp(N 2 x2 ) n
矩形函数
x lim NrectNx n
当然无限窄的脉冲只是一种理想情况,实际的物理 状态况是只能无限趋近这种理想情况.
函数的定义2.
如果函数列fn(x)的表达式为:
n
f
n
x
2a
0
xa n
其它
其中n是不为零的正数.当n逐
渐变大时,fn(x)不为零的范围逐渐 变小,而在此范围内fn(x)的值变大
. 不论n为何值,图象的总面积均
rect
x
x0
a
rect
y
b
y
0
0
• x0
x
b
• y0
y
a
rect
x
x0 a
rect
y
y0 b
1 0
x x0 1 , y y0 1 a 2b 2 其它
rect xrect y
傅里叶变换中经常用到．对于x0=0，b=1的情况，记作
sinc(x)。
sinc
x
x0 b
sin x
x
课件：几种特殊函数的积分
例6
x8
(
1 x2
dx 1)
1 x2 x2 x8( x2 1)dx
1 x8
1 x6( x2
1)dx
1 x8
1 x6
1 x4( x2
1)dx
1 x8
1 x6
1 x4
1 x2(x2
1)dx
1 x8
1 x6
1 x4
1 x2
1 x2
1dx
1 7x7
1 5x5
1 3x3
1 x
arctan
x
ln sin
x
1 2
1 sin2
x
C
例10
求积分
7 sinx cos x dx. 3sinx 4cos x
解
7sinx cosx 3sinx 4cosx
d
x
(1
3 cos x 3sinx
4sinx 4 cos x
)dx
x ln3sinx 4cosx C
三、简单无理函数的积分
讨论类型
A1 A2 Ak
x a (x a)2
(x a)k
其中 A1 , A2 ,, Ak 都是常数.
2）分母中若有因式( x2 px q)k,其中
p2 4q 0 ,则分解后为：
A1x B1 A2 x B2 Ak x Bk
x2 px q (x2 px q)2
(x2 px q)k
5 6 （待定系数法） x2 x3
x
2
x
3 5x
6
dx
5ln x 2 6ln x 3 C
1）分母中若有因式( x a)k，则分解后为
A1 xa
A2 ( x a)2
(x
五大奇函数
五大奇函数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：五大奇函数，即五大特殊的函数类型，它们有着各自独特的性质和特点，常常被数学爱好者和专业人士们津津乐道。
今天，我们就来一起探究这五大奇函数的奥秘。
第一大奇函数是三角函数中的反三角函数。
我们都知道，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等，而反三角函数则是这些三角函数的反函数。
最常见的反三角函数就是arcsin(x)、arccos(x)、arctan(x)等等。
反三角函数在解决各种复杂的三角函数方程式和求解角度相关问题时特别有用，是数学中的重要工具。
第二大奇函数是幂函数与指数函数。
幂函数指的是形如f(x) = x^n 的函数，其中n是一个实数，指数函数指的是形如f(x) = a^x的函数，其中a是一个常数。
这两种函数在数学中起到非常重要的作用，比如在解决复杂的微积分问题、方程式求解、以及在物理、工程等领域的应用方面都有着广泛的应用。
第五大奇函数是双曲函数。
双曲函数是一类与三角函数类似的函数，通常表示为sinh(x)、cosh(x)、tanh(x)等等。
双曲函数在数学分析、微积分、研究粒子物理等领域都有着广泛的应用，特别是在解决复杂的微积分问题、求导、积分等方面非常有用。
五大奇函数各自有着独特的特点和应用领域，它们构成了数学中重要的一部分，对于提升数学水平、解决实际问题、推动科学技术进步都起着至关重要的作用。
希望大家能够深入了解这五大奇函数，掌握它们的性质和应用，为自己的数学学习和工作带来更多的启发和收获。
【本文2000字】第二篇示例：自然对数函数是一个十分重要的函数，常用符号为ln(x)。
它的定义域为正实数，值域为所有实数。
自然对数函数的图像呈现出一种急剧增长的趋势，这也是它特殊的地方。
自然对数函数在数学中有着广泛的应用，尤其在微积分和数论等领域。
一些重要的数学定理和公式都可以通过自然对数函数得到简洁的表达形式。
正弦函数和余弦函数是最为常见的周期函数之一，它们的图像呈现出规律性的波动。
函数的特殊函数与常微分方程
函数的特殊函数与常微分方程1. 函数的特殊函数函数的特殊函数是指在数学物理等领域中具有重要应用的特殊函数。
这些函数通常具有复杂的数学性质，但它们在解决许多物理问题和工程问题中发挥着至关重要的作用。
常见的特殊函数包括：•伽马函数：伽马函数是推广阶乘到复数领域的函数。
它在概率论、统计学和物理学等领域有广泛的应用。
•贝塞尔函数：贝塞尔函数是二阶线性齐次常系数微分方程的解。
它在波动学、声学和电磁学等领域有广泛的应用。
•勒让德多项式：勒让德多项式是正交多项式的一种。
它在数学物理学和工程学等领域有广泛的应用。
•切比雪夫多项式：切比雪夫多项式是正交多项式的一种。
它在数值分析和计算机科学等领域有广泛的应用。
•埃尔米特多项式：埃尔米特多项式是正交多项式的一种。
它在量子力学和概率论等领域有广泛的应用。
2. 常微分方程常微分方程是指只含有一个自变量和一个未知函数及其导数的方程。
常微分方程在数学物理学和工程学等领域有广泛的应用。
常见的常微分方程类型包括：•一阶线性齐次常系数微分方程：一阶线性齐次常系数微分方程是最简单的常微分方程之一。
它的解可以表示为指数函数的线性组合。
•二阶线性齐次常系数微分方程：二阶线性齐次常系数微分方程是比一阶线性齐次常系数微分方程更复杂的常微分方程。
它的解可以表示为正交多项式的线性组合。
•非线性微分方程：非线性微分方程是指未知函数的导数不是线性函数的微分方程。
非线性微分方程通常很难求解，但它们在物理学和工程学等领域有广泛的应用。
3. 函数的特殊函数与常微分方程的关系函数的特殊函数与常微分方程有着密切的关系。
许多特殊函数都是常微分方程的解。
例如，伽马函数是二阶线性齐次常系数微分方程的解，贝塞尔函数是零阶贝塞尔微分方程的解，勒让德多项式是勒让德微分方程的解，切比雪夫多项式是切比雪夫微分方程的解，埃尔米特多项式是埃尔米特微分方程的解。
利用函数的特殊函数可以求解许多常微分方程。
例如，可以使用伽马函数求解一阶线性齐次常系数微分方程，可以使用贝塞尔函数求解零阶贝塞尔微分方程，可以使用勒让德多项式求解勒让德微分方程，可以使用切比雪夫多项式求解切比雪夫微分方程，可以使用埃尔米特多项式求解埃尔米特微分方程。
4.4 几种特殊函数的不定积分
当 P( x) 的次数小于 Q( x) 时，
称这有理函数为真分式，否则为假分式。 总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分 式之和的形式
例1 将下列真分式分解为部分分式
4.4几种特殊函数的不 定积分
解
(1) 用拼凑法
x ( x 1) 1 1 1 2 2 2 ( x 1) x( x 1) x( x 1) x( x 1) 1 x ( x 1) 2 ( x 1) x( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
4.4几种特殊函数的不 定积分
(2) 用赋值法，设
x3 x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
解得
A 5, B 6
6 5 原式 x2 x 3
4.4几种特殊函数的不 定积分
(3) 设
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
.
2 2t 1 t2 dt sin x , cos x , dx 2 2 2 1 t 1 t 1 t
于是
1 1 du 2 dt 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 t 4t
sin x 1 sin x dx
x 设 tan t 2
4.4几种特殊函数的不 定积分
1 t2 cos x 1 t2
2t sin x , 2 1 t
x 2arctan t ,
从而
2 dx dt 2 1 t
称为万能代换
例5 求
x 解 设 tan 2 t ，则
1 sin x dx
4.4几种特殊函数的不 定积分 sin x
几种特殊类型函数地积分
几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即mm m m m nn n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++==------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a ．当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如12)1(112224+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数围能分解成一次因式和二次质因式的乘积：μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ．其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即βααα)()()()()(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-λββ)()(21112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+-μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++-srx x S x R s rx x S x R +++++++++-21222)(μμμ ． （2） 其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,, 都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数围，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和： （1）a x A - ， （2）k a x A )(- （k 是正整数，2≥k ）， （3）qpx x B Ax +++2（042<-q p ）， （4）kq px x B Ax )(2+++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）．2. 有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1）C a x A a x d ax A dx a x A +-=--=-⎰⎰ln )(1，（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k+-⋅--=--=---⎰⎰1)(11)()()(， （3）dx qpx x B Ax ⎰+++2（042<-q p ）． 将分母配方得)4()2(222p q p x q px x -++=++，作变量代换2px u +=，则du dx p u x =-=,2；由于04,0422>-<-p q q p ，记224a p q =-，于是 du a u B pu A dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰⎰++-=-+++=+++22222)2()4()2( du au ApB du a u Au ⎰⎰+-++=22222C au a Ap B a u A +-++=arctan 2)ln(222 C pq p x p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．（4）dx q px x B Ax k⎰+++)(2 (04,22<-≥q p k )．作变量代换2px u +=，并记224a p q =-，于是⎰⎰⎰+-++=+++du a u ApB du a u Au dx q px x B Ax k k k )(2)()(22222． 其中第一个积分C a u k A a u d a u A du a u Au k k k ++⋅--=++=+--⎰⎰122222222)(1)1(2)()(2)(． 第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ⎰+=kk a u du I )(22 利用分部积分法有⎰⎰++++=+=12222222)(2)()(k kk k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ⎰++-+++=12222222)()(2)(122222)(+-++=k k kkI a kI a u u ．整理得 k k k I ka k a u u k a I 22221212)(21-++⋅=+． 于是可得递推公式]2232)()1(21[111222----++⋅-=k k k I k k a u u k a I ． （3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分C a u aa u du I +=+=⎰arctan 1221． 最后由2px u +=全部换回原积分变量，即可求出不定积分⎰+++dx q px x B Ax k )(2． 例1 求⎰++-dx x x x 22)32(1． 解⎰⎰++-+=++-dx x x dx x x x 2222]2)1[(21)32(1 ⎰⎰+-++=2222)2(2)2(1u du du u u x u]2212121[212)2(21222⎰+++⋅⨯⨯-+-=u du u u uC u u u +-++-=2arctan 221)2(212`C x x x x ++-+++-=21arctan 221)32(222．例2 求dx x x ⎰-2)1(1． 解 因为2)1(1-x x 可分解为1)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ． 其中A ，B ，C 为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得)1()1(12-++-=x Cx Bx x A ． （4）即 A x C A B x C A +--++=)2()(12由于（4）式是恒等式，等式两端2x 和x 的系数及常数项必须分别相等，于是有⎪⎩⎪⎨⎧==--=+1020A C A B C A ， 从而解得 1=A ，1=B ，1-=C ．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x 值，从而求出待定系数．如令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=B ；把A ，B 的值代入（4）式，并令2=x ，得C 2211++=，即1-=C ．于是⎰⎰---+=-dx x x x dx x x )11)1(11()1(122 ⎰⎰⎰---+=dx x dx x dx x 11)1(112C x x x +----=1ln 11ln ． 例3 求⎰+-+dx x x x 22)1)(1(22． 解 因为1)1(1)1)(1(2222222++++++-=+-+x E Dx x C Bx x A x x x ， 两端去分母得)1)(1)(()1)(()1(22222+-++-+++=+x x E Dx x C Bx x A x234)2()()(x B E D A x D E x D A +-++-++=)()(C E A x C B E D --++-+-+．两端比较系数得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+-+-=+-+=-=+220200C E A C B ED BE D A D E D A ，解方程组得1=A ，2-=B ，0=C ，1-=D ，1-=E ，故dx x x x x x dx x x x )11)1(211()1)(1(2222222⎰⎰++-+--=+-+ dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰++-+--=11)1(211222C x x x x +-+-++-=arctan )1ln(21111ln 22 C x x x x +-+++-=arctan 1111ln22． 例4 求⎰+-+dx x x x 6532． 解 因为32)3)(2(36532-+-=--+=+-+x B x A x x x x x x ，两端去分母得 )2()3(3-+-=+x B x A x ． 令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ．于是Cx x dx x x dx x x x +---=---=+-+⎰⎰2ln 53ln 6)2536(6532C x x +--=56)2()3(ln ． 从理论上讲，多项式)(x Q 总可以在实数围分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(x Q x P 分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5 求dx x x x x x ⎰+++++12232． 解dx x dx x dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎰⎰+++=+++++=+++++1111)1)(1()1()1(12222232C x x +++=arctan 1ln ．例6 求dx x x x x ⎰+-+-)54)(44(122 ．解 dx x x x x x x x x dx x x x x ⎰⎰+-+-+--+-=+-+-)54)(44()44()54()54)(44(1222222dx x x dx x x ⎰⎰+--+-=54144122 ⎰⎰-+----=)2(1)2(1)2()2(122x d x x d xC x x +----=)2arctan(21．例7 求dx x ⎰+114． 解⎰⎰⎰+--++=+dx x x dx x x dx x 112111211142424dx x x x dx x x x ⎰⎰+--++=2222221112111121 )1(2)1(121)1(2)1(12122xx d xx x x d x x +-+--+-=⎰⎰C x x x x x x ++++---=1212ln 24121arctan 221222．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为x sin 和x cos 的有理函数，所以，下面只讨论)cos ,(sin x x R 型函数的不定积分．由三角学知道，x sin 和x cos 都可以用2tan x 的有理式表示，因此，作变量代换2tan x u =，则222122tan12tan22sec 2tan22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 22222222112tan 12tan 12sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x x x +-=+-=-=-=． 又由u x arctan 2=，得du u dx 212+=，于是 ⎰⎰++-+=du u u u u u R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ． 由此可见，在任何情况下，变换2tan x u =都可以把积分dx x x R )cos ,(sin ⎰有理化．所以，称变换2tan x u =为万能代换．例8 求dx xx ⎰++cos sin 11． 解 设2tan x u =，则du u du u u u u u dx x x ⎰⎰⎰+=+⋅+-+++=++1112111211cos sin 112222C xC u ++=++=2tan1ln 1ln ． 例9 求dx xx ⎰-+cos 1sin 1．解 设2tan x u =，则du u u u u du u u u u u dx xx ⎰⎰⎰+++=+⋅+--++=-+)1(2)1(12111121cos 1sin 12222222du u u du u ⎰⎰++=)1(2122du u u u u du u ⎰⎰+-++=)1()1(212222⎰⎰⎰+-+=du u u du u du u 2212121C u u u ++-+-=)1ln(ln 212 C x x x +--=)2ln(sec 2cot 2tan ln 22．虽然利用代换2tan x u =可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10 求dx xx ⎰+sin 1sin ． 解 dx x x x dx xx x dx x x ⎰⎰⎰-=--=+222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin dx xx dx x x ⎰⎰--=222cos cos 1cos sin ⎰⎰⎰+--=dx dx x x d x 22cos 1cos cos 1C x x x ++-=tan cos 1． 例11 求dx x ⎰+2cos 311． 解x d x dx x x dx xtan 4tan 13sec sec cos 3112222⎰⎰⎰+=+=+ C x +=)2tan arctan(21．三、简单无理函数的积分（一）),(nb ax x R +型函数的积分),(u x R 表示x 和u 两个变量的有理式．其中a ，b 为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换u b ax n=+，则a b u x n -=，du anu dx n 1-=，于是 du a nuu a b u R dx b ax x R n n n 1),(),(-⋅-=+⎰⎰ ． （5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12 求⎰++dx x 3211． 解 令u x =+32，则23-=u x ，du u dx 23=，于是⎰⎰⎰++-=+=++du u u du u u dx x 111313211223 C u u u du u u +++-=++-=⎰)1ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=333221ln 323)2(23．例13 求dx xx ⎰+31．解 为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换u x =6，则6u x =，du u dx 56=，23u x =，3u x =，于是du u u du u u dx xx⎰⎰⎰+=+=+1616128283u d uu u u ⎰++-+-=)111(62246 C u u u u u ++-+-=arctan 6625676357 C x x x x x x ++-+-=66656arctan 6625676．（二）),(ndcx b ax x R ++型函数的积分 这里),(u x R 仍然表示x 和u 两个变量的有理式．其中d c b a ,,,为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换u d cx b ax n=++，则nn cu a b du x --=，du cu a bc ad nu dx n n 21)()(--=-，于是du cu a bc ad nu u cu a b du R dx d cx b ax x R n n n nn21)()(),(),(--⋅--=++-⎰⎰． （6） （6）式右端是一个有理函数的积分．例14 求dx xx x ⎰+11． 解 令u x x =+1, 则112-=u x ，du u u dx 22)1(2--=，于是 duu u du u u du u u u u dx x x x ⎰⎰⎰⎰-+--=--=--⋅-=+111212)1(2)1(112222222C u u u du u ++---=-+-=⎰11ln 2)111(22C u u u +--++-=1ln )1ln(222 C x x xx x++++++-=ln )11ln(212．例15 求dx x x ⎰-+342)1()1(1．解 ⎰⎰+--+=-+dx x x x x dx x x 334211)1)(1(1)1()1(1，令ux x =+-311，则311u x x =+-，3311u u x -+=，du u u dx 232)1(6-=， 于是du u dx x x x dx x x ⎰⎰⎰=+--=-+23234212311)1(1)1()1(1C x x C u +-+-=+-=3112323．。
特殊函数及其应用
特殊函数及其应用特殊函数是数学中的一类特殊形式的函数，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的特殊函数及其应用。
一、阶乘函数阶乘函数是一种特殊的函数，用符号"！"表示。
它的定义如下：n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1阶乘函数在组合数学、概率论等领域中有广泛的应用。
例如，在组合数学中，排列和组合问题中经常会涉及到阶乘函数。
在概率论中，阶乘函数可以用来计算排列和组合的概率。
二、调和函数调和函数是一种特殊的函数，用符号"H(n)"表示。
它的定义如下：H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n调和函数在数论、物理学等领域中有广泛的应用。
例如，在数论中，调和函数可以用来估计素数的分布情况。
在物理学中，调和函数可以用来描述振动系统的行为。
三、贝塞尔函数贝塞尔函数是一类特殊的函数，用符号"Jn(x)"表示。
它的定义如下：Jn(x) = 1/π ∫[0,π] cos(nθ - x*sinθ) dθ贝塞尔函数在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
例如，在电磁学中，贝塞尔函数可以用来描述电磁波在圆柱坐标系中的传播情况。
在信号处理中，贝塞尔函数可以用来处理带限信号。
四、伽玛函数伽玛函数是一种特殊的函数，用符号"Γ(x)"表示。
它的定义如下：Γ(x) = ∫[0,+∞] t^(x-1) * e^(-t) dt伽玛函数在统计学、概率论等领域中有广泛的应用。
例如，在统计学中，伽玛函数可以用来定义正态分布的密度函数。
在概率论中，伽玛函数可以用来计算连续随机变量的期望值和方差。
五、贝特函数贝特函数是一类特殊的函数，用符号"B(x,y)"表示。
它的定义如下：B(x,y) = ∫[0,1] t^(x-1) * (1-t)^(y-1) dt贝特函数在概率论、统计学等领域中有广泛的应用。
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数学高考密码押题卷几种特殊函数一.选择题1.设二次函数2()2f x ax ax c =-+在区间[0,1]上单调递减,且()(0)f m f ≤,则实数m 的取值范围是( ) A.(,0]-∞B.[2,)+∞C.(,0][2,)-∞+∞∪D.[0,2]2.在1[,2]2x ∈上，函数2()f x x Px q =++与33()22x g x x=+在同一点取得相同的最小值，那么()f x 在1[,2]2x ∈上的最大值是 （ ）A.134 B.4 C.8 D.543.下列四类函数中,具有性质“对任意的0,0x y >>,函数f (x)满足()()()f x y f x f y +=”的是( )A.幂函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数 4.函数12()f x x -=的大致图像是（ ）5.已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f = （A ）5- （B ）1- （C ）3 （D ）46.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）207.若关于x 的方程2||4x kx x =+有四个不同的实数解,则k 的取值范围为( ) A. (0,1) B. 1(,1)4 C.1(,)4+∞ D. (1,)+∞8.已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点,若10(1,)x x ∈,20(,)x x ∈+∞,则( )A.12()0,()0f x f x <<B.12()0,()0f x f x <>C.12()0,()0f x f x ><D.12()0,()0f x f x >>9.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，12()22xf x x =-，又a 是函数2()ln(1)g x x x=+-的正零点，则(2),(),(1.5)f f a f -的大小关系为（ ） A.(1.5)()(2)f f a f <<- B.(2)(1.5)()f f f a -<< C.()(1.5)(2)f a f f <<- D.(1.5)(2)()f f f a <-<二、填空题 10.函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 . 11.设2.03=a ，π21log =b ，3..021⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则c b a ,,从大到小的顺序为 .12.设*n ∈N ,一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n =13.有下列说法：①用二分法研究函数3()31(0)f x ax bx a =+-≠的近似解时，第一次经计算 (0)0,(0.6)0f f <>，第二次应计算(0.3)f ；②函数2()ln f x x x=-的零点所在大至区间(2,3)；③对于函数3()f x x mx n =++，若()0,()0f a f b <>，则函数()f x 在(,)a b 内至多有一个零点；④:2p m <-或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点，则p 是q 的充要条件，其中说法正确的是 （将所有正确说法的序号全部填在横线上）. 三、解答题 14. 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知||3AB =米，||2AD =米，（Ⅰ） 要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ （Ⅱ） 若||[3,4)AN ∈（单位：米），则当,AM AN 的长度是多少时， 矩形花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积.15.已知a b c d 、、、是不全为零的实数,函数2()f x bx d cx =++,32()g x ax bx cx d =+++.方程 f (x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是(())0g f x =的根,反之,(())0g f x =的实数根都是()0f x =的根.(1)求d 的值;(2)若0a =,求c 的取值范围;(3)若1a =,(1)0f =,求c 的取值范围;16.如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中B ∠为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。
几种特殊函数答案 单项选择题1.D 【解析】依题意知,函数()f x 的图像关于直线1x =对称,且开口方向向上,(0)(2)f f =,结合图像可知,不等式()f m ≤(0)f 的解集是[0,2],选D 2.B3.C 【解析】不妨设四个函数分别为2122(),()log f x x f x x ==,43,()cos ()2xf f x x x ==,则只有指数函数3()2x f x =适合题意,因为对指数函数()xf x a =而言()x y f x y a ++==()()xy a a f x f y ⋅=⋅,故选C4.A5.C6.C7.C8.B 【解析】由于函数()1111g x xx ==---在(1,)+∞上单调递增函数()2x h x =在(1,)+∞上单调递增,故函数()()()f x h x g x =+在(1,)+∞上单调递增,所以函数()f x 在(1,)+∞上只有唯一的零点0x ,所以在0(1,)x 上()0f x <,在0(),x +∞上()0f x >.A B C9. A 填空题 10. 4 11.a>c>b12.3或4【解析】由于方程都是正整数解,由判别式“1640n -≥”得“14n ≤≤”,逐个分析,当12n =、时,方程没有整数解;而当3n =时,方程有正整数解13、;当4n =时,方程有正整数解2 13.①②④ 解答题14.解：设AN 的长为x 米（2x >） ∵|DN||DC||AN||AM|=，∴||AM ＝32x x -∴232AMPNX S AN AM X =•=- （Ⅰ）由32AMPN S > 得 232x x - > 32 ，∵2x >，∴2332640x x -+>，即：(38)(8)0x x -->∴8283x x <<> 或即AN 长的取值范围是8(2)(8)3∞U ，，+（Ⅱ）令y =232x x -，则y '＝2226(2)334)(2)(2)x x x x x x x ---=--（∵当[3,4)x ∈，y '<0，∴函数y =232x x -在[3,4)上为单调递减函数，∴当3x =时y =232x x -取得最大值，即max ()27AMPN S =（平方米） 此时||3AN =米，||9AM =米15.解:（1）设r 为方程()0f x =的一个根,即()0f r =,则由题设得(())0g f r =,于是(0)(())0g g f r ==,即(0)g d =0=,所以0d =.（2）由题意及（1）知23()(),f x bx cx g x ax =+=+2bx cx +.由0a =得b c 、是不全为零的实数,且()g x =2()bx cx x bx c +=+,则(())()[(g f x x bx c bx bx =++22))]()(c c x bx c b bcx c x +=+++.方程()0f x =就是()0x bx c +=. ① 方程g(())=0f x 就是22()(x bx c b x ++)0bcx c +=.② （ⅰ）当0,0c b =≠时,方程①②的根都为0x =,符合题意 （ⅱ）当0,0c b ≠=时, 方程①②的根都为0x =,符合题意（ⅲ）当0,0c b ≠≠时, 方程①的根为120,c x x b=-=,它们也都是方程②的根,但它们不是方程22=0x b bcx c ++的实数根.由题意,方程22=0x b bcx c ++无实数根,此方程根的判别式22()40bc b c ∆=-<,得04c <<.综上所述,所求c 的取值范围为[0,4]（3）由1,(1)0a f ==得2,()(1)b c f x bx cx cx x =-=+=-+2(())()[()()]g f x f x f x cf x c =-+ ③由()0f x =可以推得(())0g f x =.知方程()0f x =的根一定是方程(())0g f x =的根. 当0c =时,符合题意当0,0c b ≠≠时,方程()0f x =的根不是方程2()f x -0()+cf x c =④的根,因此,根据题意,方程④应无实数根,那么当2()40c c -<-,即04c <<时,符合题意.当方程④得2()f x cx x =-+=即20cx cx -+=, ⑤则方程⑤应无实数根,所以有2()40c c •--<且2()40c c •--<.当0c <时,只需220cc •--<,解得1603c <<,矛盾,舍去.当4c ≥时,只需220cc •-<+,解得1603c <<.因此,1643c <≤.综上所述,所求c 的取值范围为16[0,]316.[解]如图，设矩形为EBFP , FP 长为x 米，其中040x <<，AE健身房占地面积为y 平方米。
因为CFP ∆∽CBA ∆，以FP CF BA CB =，504050x BF -=,求得5504BF x =-， 从而255(50)5044y BF FP x x x x =⋅=-=-+25(20)5005004x =--+≤，当且仅当20x =时，等号成立。
答：该健身房的最大占地面积为500平方米。