傅里叶级数

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
又可得到
∫ π cos mx cos nxdx = ⎨ ⎩0

π
⎧π
m=n m≠n m=n m≠n
∫ π sin mx sin nxdx = ⎨ ⎩0

π
⎧π
∫ πcos mx sin nxdx = 0

π
这种性质为什么称为正交呢? 在线性代数中, R 表示 n 维向量的集合。两 n 维向量 x=( x1 , x 2 ...x n ) ,y=( y1 , y 2 ... y n )
记为,
f ( x) ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
一般说来,任何复杂的振动都可以分解为一系列谐振动之和,用数学的语言来描述,就是: 在相当普遍的条件下,周期为 T 的函数 f ( x) 可以表成以下形状的级数和
a0 ∞ + ∑ [a n cos nωx + bn sin nωx] 2 n =1
(7。 1)
其中 ω = 2π T ,式(7。1)中的常数项写成 a0 2 是为了以后讨论的方便。当 T=2 π 时, 式(7。1)变为 2) 式(7。2)被称为以 2 π 为周期的函数 f ( x) 的傅里叶级数,本节主要讨论这种函数关于式 (7。2)的展开问题,下一节讨论周期函数的展开问题。 。
a
b
(7。5)
容易验证由式(7。5)所定义的对应具有性质(1)—(4) 。称(f,g)为 f 与 g 的内积。同 样的,若 (f, g)=0 (7.6) 则称 f 与 g 正交。当 a= − π , b = π 时,三角函数系便在内积式(7。5)的意义下成为正交系。 这正是我们称之为正交的原因。
内积与正交的概念在 R 中的重要性是显然的,这种重要性对凡是能建立内积的集合 来说都是一样的,这使得该集合有了直观的几何特征。运用内积,是现代数学的一个重要方 法,是一门较深的数学课程“泛涵分析”研究的一个重要内容。许多问题,只有在内积引入 后, 才能得到彻底解决, 包括我们正在讨论的傅立叶级数。 有兴趣的读者在学完此门课程后, 可自学“泛涵分析” 。

a0 =
f ( x)dx π∫π

1
π
将(7。2)等式两端同乘以 coskx,
再从 −π 到 π 积分,得
∫π

π
f ( x) cos kxdx =
a0 2
∫π

π
cos kxdx + ∑ [an ∫ cos nx cos kxdx + bn ∫ sin nx cos kxdx] = ak ∫ cos 2 kxdx = ak π
n =1

π
π
π
−π
−π
−π

ak =
类似的,用 sin kx 乘式(7。2)两边,再从 −π 到 π 积分,利用正交性得
f ( x) cos kxdx π∫π

1
π
bk =
f ( x) sin kxdx π∫π

1
π
称式(7.7)给出的各数 a0 , an , bn (n = 1, 2,3,......) 为函数 f(x)的傅里叶系数。 从系数公式(7.7)看,只要 f(x)在 [−π , π ] 上可积,形式上的傅里叶级数总是存在的,
n
7.7.2 傅里叶级数
下面是函数 f ( x ) 的傅里叶展开的唯一性定理。
[定理 7。1]
如果以 2π 为周期的函数 f ( x ) 在区间 [ −π , π ] 上能展开为可逐项积
分的傅里叶级数(7。2) ,则其系数公式为
a0 = bn =
1
π
1
∫π

π
f ( x)dx, an =
1
π
∫ π f ( x) cos nxdx
n
的内积定义为
( x, y ) = ∑ xi yi
i =1
n
(7。3)
内积具有下述性质: (1) (x+y, (2) (ax,
z)=(x, z)+ (y, z) y) =a (x, y)
(a 是任意实数)
(3) (x,y)=(y,x)
(4) (x,x) ≥ 0,
称两向量
等号成立当且仅当 x 是一零向量。 (7.4)
a0 ∞ + ∑ [a n cos nx + bn sin nx] 2 n =1
(7。
7.7.7 正交三角函数系
式(7。2)是由三角函数系 1,cosx, sinx ,cos2x, sin2x, …cosnx, sinnx …所构成。这个函 数系的一个值得注意的特点是 “正交性” , 即任意两个不同的函数的乘积在区间 [−π , π ] 上的 积分都等于 0。事实上,直接计算可得
A = a 2 + b2 叫 做 振 幅 , ϕ 称 为 初 相 , ω 称 为 频 率 , 其 中
ห้องสมุดไป่ตู้
sin ϕ = a
a 2 + b 2 , cos ϕ = b
a 2 + b2 , 由 上 式 描 述 的 振 动 称 为 谐 振 动 , 它 的 周 期
T = 2π ω , 当 ω = 1 时,T= 2π 。
7.7 傅里叶级数
一 教学目的与要求 1、理解傅里叶级数的概念及正交三角函数系的概念 2、熟练掌握傅里叶级数各系数的计算公式 二 重点与难点 傅里叶级数各系数的计算公式 三 教学过程 本节讨论另一种特殊的函数项级数—傅里叶级数。 同幂级数一样, 傅里叶级数在理论与 应用上都有重要价值。 在科学技术中,为了描述周期现象,就需要用到周期函数,各种各样的周期振动是最 常见的周期现象。最简单的振动可以表示为 a cos ωt + b sin ωt 或 A sin(ωt + ϕ ) 这里

π
π
∫ π f ( x) sin nxdx, n = 1, 2,....

π
(7。7)
[证] 由已知,f(x)等于式(7。2) ,等式两端在区间 [−π , π ] 上积分,利用正交性得
∫π

π
f ( x)dx = ∫
π
−π
∞ π π a0 dx + ∑ [an ∫ cos nxdx + bn ∫ sin nxdx] = a0π −π −π 2 n =1
∫ π1 • cos nxdx = 0

π
∫ π1 • sin nxdx = 0

π
利用三角公式
1 cos mx cos nx = [cos(m − n) x + cos(m + n) x] 2 1 sin mx sin nx = [cos(m − n) x − cos(m + n) x] 2 1 cos mx sin nx = [sin(m + n) x − sin( m − n) x] 2
x 与 y 正交,若(x,y)=0
R n 中的内积实质上是: R n 中的任意两元素通过史(7。3)有唯一的实数与之对应,
此对应具有上述性质(1)—(4) 。从这个意义上讲,我们可以在很多集合上定义内积。例 如,C[a,b],若 f,g ∈ C[a,b],定义
( f , g ) = ∫ f ( x) g ( x)dx
相关文档
最新文档