矩阵运算

于 f 1 ( x ) 的矩阵，其中列数为 ( p + 1) ，行数为 ( q + p + 1) ， P21 表示 f 2 ( x ) 与 f 1 ( x ) 的相乘。 有了如上定义，根据矩阵的乘法，易知有以下结论，如不特别指出，规定多项式均按降 幂排列。 定理：设 f 1 ( x) 和 f 2 ( x ) 为定义 2 中给定的两个多项式，若作运算 f 1 ( x) ⋅ f 2( x ) ，则有
2
显 然 系 数 矩 阵 的 秩 与 增 广 矩 阵 的 秩 相 等 ， 故 有 f ( x) = x − 2 x + 3 ， 而
f1 ( x) = x 2 − 2 x + 3 。对余数不为零的情况，笔者未作讨论。 f 2 ( x)
件是上述方程组系数阵的秩与增广矩阵的秩相等， 同时相除之后的商也可通过求解上述线性 方程组得到。 例 3 ： 设 f 1 ( x) = x + 4 x + 3 ， f 2 ( x) = x + 2 x + 1 ， 设 f 1 ( x ) = f 2 ( x ) ⋅ f ( x ) ，
4 2
f ( x) = ax 2 + a1 x + a 0 ，易知 f ( x) 为 2 次多项式，且最高项系数为 1，而 a 2 = 1 。于是有 ⎛1 ⎜ ⎜2 ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ 0 1 2 1 0 ⎛1 ⎜ ⎜2 ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ 0⎞ ⎛1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟⎛ a 2 ⎞ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎟⎜ a1 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ，这是一个关于 a 2 , a1 , a 0 的线性方程组。化简增广矩阵如下： ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎟⎜ ⎝ a0 ⎠ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 3⎟ 1⎟ ⎠ ⎝ ⎠ 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 1⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜0 0⎟ → ⎜0 ⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ 0 ⎜ 3⎟ ⎠ ⎝0 0 1 2 1 0 0 1 ⎞ ⎛1 0 ⎟ ⎜ 0 − 2⎟ ⎜0 1 1 −1⎟ → ⎜0 0 ⎟ ⎜ 2 4 ⎟ ⎜0 0 ⎜ 1 3 ⎟ ⎠ ⎝0 0 0 1 ⎞ ⎛1 0 ⎟ ⎜ 0 − 2⎟ ⎜ 0 1 1 3 ⎟ → ⎜0 0 ⎟ ⎜ 2 6 ⎟ ⎜0 0 ⎜ 1 3 ⎟ ⎠ ⎝0 0 0 1 ⎞ ⎟ 0 − 2⎟ 1 3 ⎟， ⎟ 0 0 ⎟ 0 0 ⎟ ⎠
⎧ x' = ax + by ⎨ ⎩ y ' = cx + dy
（1） 其中 a, b, c, d 为实数。
他把（1）式右端的系数记成 A = ⎜ ⎜
⎛a b ⎞ ⎟ ⎟ ，这个记号是个了不起的数学发明，它不是 ⎝c d ⎠
一种简化作用的符号，而是内容十分丰富的一个算子，表示一种新的运算，这种运算称为线 性变换。 （1）式把点 ( x, y ) 线性地变换成另一点 ( x' , y ' ) ，记为 ⎜ ⎜
⎛ x' ⎞ ⎟ ⎟= ⎝ y'⎠
⎛x⎞ A⎜ ⎜ y⎟ ⎟ ，线性当然是指 ⎝ ⎠
（1）中的两个方程均为一次方程。类似地，点 ( x' , y ' ) 又变成点 ( x' ' , y ' ' ) ，其公式是
⎧ x' ' = ex'+ey ' ⎨ ⎩ y ' ' = gx'+ hy '
计算可知， ⎨
p p −1
+ " + a1 x + a 0 ，
为给定的两个多项式，欲作运算 f 1 ( x) ⋅ f 2( x ) ，
f 2 ( x) = bq x q + bq −1 x q −1 + " + b1 x + b0
⎛ ap ⎜ ⎜ a p −1 ⎜ # ⎜ ⎜ a1 称 P 12 = ⎜ ⎜ a0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ bq ⎜ ⎜ bq −1 ⎜ # ⎜ ⎜ b1 ⎜b ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
bq bq −1 %
#
b1 b0
% % % %
其中等式左边第一个矩阵的维数为 (q + t + 1) ，列数为 (t + 1) ，显然这是一个关于
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ct , ct −1 ,", c1 , c0 的线性方程组，根据线性方程组的相关结论， f1 ( x) 被 f 2 ( x) 整除的充要条
p T p −1
⎛x⎞
⎛ x' ' ⎞
⎛ x' ⎞
⎛x⎞
+ " + a1 x + a 0 为给定的多项式，并规定按降幂排
列。 称 P = ( a p , a p −1 , " , a1 , a 0 ) 为多项式 f ( x) 的系数矩阵 显然，每一个多项式都对应一个系数矩阵 ，确定了多项式的系数矩阵，也就确定了对 应的多项式，于是求一个多项式，转变为求其对应的系数矩阵 定义 2：设 f 1 ( x ) = a p x + a p −1 x
P1 = (2 − 1 1) T ，所以有
百度文库
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0 0 ⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟⎛ 2 ⎞ 0 ⎟⎜ ⎟ ⎜− 2 3 T P21 ⋅ P1 = ⎜ ⎜ − 1⎟ = (6 − 7 5 − 2) ， 0 − 2 3 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ 1 ⎠ ⎜ 0 ⎟ − 0 2 ⎝ ⎠
所以 f 2 ( x) ⋅ f 1 ( x) = 6 x − 7 x + 5 x − 2 与上面结果相同。
为 f 2 ( x ) 的系数矩阵。 定理的证明根据矩阵的乘法非常容易。 例 1：设 f 1 ( x) = 2 x − x + 1 ， f 2 ( x ) = 3 x − 2 易知：
2
⎛2 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜−1 2 ⎟ P12 = ⎜ 1 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠
P2 = (3 − 2) T ，
P12 ⋅ P2 为 f1 ( x) ⋅ f 2( x) 的系数矩阵；若作运算 f 2 ( x) ⋅ f 1( x) ，则有 P21 ⋅ P1 为 f 2 ( x) ⋅ f 1( x) 的
T T 系数矩阵。其中 P 1 = ( a p , a p −1 , " , a1 , a 0 ) 为 f 1 ( x ) 的系数矩阵， P2 = (bq , bq −1 , " , b1 , b0 )
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⎛ bq ⎜ ⎜ bq −1 ⎜ # ⎜ ⎜ b1 类似地，若欲作运算 f 2 ( x ) ⋅ f 1( x ) ，称 P21 = ⎜ ⎜ b0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
bq bq −1 % # b1 b0 % % % %
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ bq ⎟ 为多项式 f 2 ( x ) 关 bq −1 ⎟ ⎟ # ⎟ ⎟ b1 ⎟ b0 ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ c ⎞ ⎛a ⎞ ⎟⎛ ⎜ t ⎟ ⎜ p ⎟ ⎟⎜ ct −1 ⎟ ⎜ a p −1 ⎟ bq ⎟⎜ # ⎟=⎜ # ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ bq −1 ⎟ ⎜ c1 ⎟ ⎜ a1 ⎟ # ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎝ c0 ⎠ ⎝ a 0 ⎠ b1 ⎟ b0 ⎟ ⎠
讨论过的结论，利用矩阵的工具，系数之间的关系为：
f1 ( x) 。下 f 2 ( x)
面只讨论整除的情况， 即余数为零。 令
f 1 ( x) 显然 f ( x) 的次数 （记为 t） 为 p−q， = f ( x) ， f 2 ( x)
即 t = p − q 。设 f ( x) = ct x + ct −1 x
t
t −1
+ " + c1 + c0 ，有 f1 ( x) = f 2 ( x) ⋅ f ( x) ，由前面已
3 2
例 2：设 f 1 ( x) = x − x + 3 x + 1 ， f 2 ( x) = 2 x + 6 x − 1 ，易知
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0 0⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ 0⎟ ⎜0 1 ⎜−1 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ P12 = ⎜ 3 − 1 0 ⎟ ⎜1 3 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 1 3⎟ ⎜ ⎟ 0 1⎠ ⎝0
⎛2 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 1 2 ⎟⎛ 3 ⎞ T ⎜ ⎟ P12 ⋅ P2 = ⎜ ⎟ = (6 − 7 5 − 2) 为 f1 ( x) ⋅ f 2( x) 的 系 数 矩 阵 ， 即 − 2 1 − 1⎟⎜ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ f 1 ( x) ⋅ f 2 ( x) = 6 x 3 − 7 x 2 + 5 x − 2 。 0 0 ⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜− 2 3 类似地： P21 = ⎜ 0 −2 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ − 0 2 ⎝ ⎠
于是 P12 ⋅ P2 = ( 2
P2 = (2 6 − 1) T ，
6 − 3 0 21 3 − 1) T ，
6 5 4 2
即 f 1 ( x) ⋅ f 2 ( x) = 2 x + 6 x − 3 x + 21x + 3 x − 1 。多项式之间有乘法，也有除法， 那么除法可否用矩阵的方法来做呢？其实稍加分析是完全可以的。 2.矩阵乘法与多项式的除法 设 f 1 ( x ) 和 f 2 ( x ) 仍为上述给定的两个多项式，并设 p > q ，欲作的运算是
矩阵乘法及其应用研究
北京交通大学 张作泉 李琦
一、引言 矩阵是数学中的一个很重要的基本概念， 许多实际问题的数量关系均可用矩阵的概念来 描述，它有着极其广泛的应用。但应该注意的是，矩阵的一切深刻性质和重要应用都源自矩 阵的乘法，本文就是针对矩阵的乘法及应用作进一步的分析和探讨。 在数学史上 ，19 世纪挂大律师招 牌的大牌数 学家凯莱（ Cayley）和西尔维斯特 （Sylvester） 对矩阵代数做出了很大的贡献。 矩阵一词是西尔维斯特于 1850 年首次定义的 数学专用名词， 而矩阵的乘法是由凯莱首次定义的。 在 1857 年， 凯莱研究平面上的点 ( x, y ) 变换成点 ( x' , y ' ) 的问题。 ( x' , y ' ) 与 ( x, y ) 的关系是
（2）
⎧ x' ' = (ea + fc) x + (eb + fd ) y ⎩ y ' ' = ( ga + hc) x + ( gb + hd ) y ⎛e f⎞ ⎟ h⎟ ⎠ eb + fd ⎞ ⎟ gb + hd ⎟ ⎠
（3）
（2）对应的矩阵为 B = ⎜ ⎜g ⎝
（3）对应的矩阵为 C = ⎜ ⎜ ga + bc ⎝ 凯莱把（1） （2） （3）分别写为
ap a p −1 % # a1 a0 % % % %
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ap ⎟ 为多项式 f 1 ( x) 关于 f 2 ( x ) 的矩阵，其中矩阵的列数为 a p −1 ⎟ ⎟ # ⎟ ⎟ a1 ⎟ a0 ⎟ ⎠
(q + 1) ，行数为 ( p + q + 1) ， P12 表示 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 的相乘。
⎛ ea + fc
⎛ x' ⎞ ⎜ ⎜ y'⎟ ⎟= ⎝ ⎠
⎛x⎞ A⎜ ⎜ y⎟ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ x' ' ⎞ ⎛ x' ⎞ ⎜ ⎜ y' ' ⎟ ⎟ = B⎜ ⎜ y' ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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⎛ x' ' ⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎜ y' ' ⎟ ⎟ = C⎜ ⎜ y⎟ ⎟， ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
形式的观察到 C ⎜ ⎜ y⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = B⎜ ⎜ y' ⎟ ⎟ = BA⎜ ⎜ y⎟ ⎟ 有 C = BA 。 ⎝ ⎠ ⎝ y' ' ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 于是推而广之， 定义了矩阵的乘法。 现在每一本教材所叙述的矩阵乘法正是凯莱所定义 的。 值得注意的是， 矩阵的乘法不仅不满足交换律， 而是两个非零矩阵的乘积可解为零矩阵， 这区别于一般的实数运算规律。 二、矩阵乘法应用研究 凯莱引入矩阵的乘法之后，随后经过很多数学家的努力，形成了完美的矩阵理论，同时 很快显示出它的应用价值。 而这价值大多体现在矩阵的乘法上， 目前经典成熟的应用例子许 多书上都有介绍，如居余马编著的《线性代数》 （清华大学出版社）中第七章介绍有七个方 面的应用，有人口问题、马尔可夫链、投入产出数学模型、图的邻接矩阵、递推关系式的矩 阵解法、矩阵在求解常系数线性微分方程组中的应用等。笔者在此不作任何详细说明，只是 将自己所发现的矩阵一些点滴之用介绍如下。 1.矩阵乘法与多项式的乘法 两个或多个多项式常常需要做乘法， 容易出错的地方是合并同类项时难免丢三落四， 若 借助矩阵乘法的工具， 做法步骤清晰， 可弥补上述缺陷， 尤其是对高次多项式。 有一个问题， 矩阵与多项式有何关系呢？目前看来是没有， 但我们可以建立某种关系。 于是笔者引入以下 定义： 定义 1：设 f ( x ) = a p x + a p −1 x