空间的垂直关系(含答案)

空间的垂直关系
一、基础梳理
1．直线和平面垂直
（1）直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任何一条直线
．．．．．．都垂直，我们就说
这条直线和这个平面互相垂直。

其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。

交点叫做垂足。

直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况。

直线与平面垂直简称线面垂直，记作：aα
⊥。

说明：①“任何”表示“所有”，注意与“无数”的区别；②“a⊥α”等价于“对任意的直线m⊂α，都有a⊥m”；练习：（1）过空间任一点作直线的垂面有 __________个；垂线有 _______条。

（2）过空间任一点作该平面的垂线有 _________条；平行线有 ______条。

（2）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线
．．．．．．都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

符号语言：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝。

简称：“线线
．．垂直
⇒线面垂直”
定理：“如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

”已知：a∥b，a⊥α。

则：bα
⊥。

（
3）直线和平面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

简称“线面垂直⇒线线平行”。

已知：,
a b
αα
⊥⊥，则：//
a
b。

2.
（1）平面的斜线、垂线、射影
①垂线：
自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影。

这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。

②斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线。

斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。

③射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。

垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影。

练习（1）判断正误：①一条直线在平面上的射影一定是直线；（）②两平行直线在同一平面内的射影是平行线；（）③两相交直线在同一平面内的射影是相交直线；（）④两异面直线在同一平面内的射影一定是相交直线。

（）
（2）①两条直线在一个平面内的射影为一条直线，则这两条直线的位置关系是_____________；
②直线,a b在α
上的射影是两条相交直线，则a与b的位置关系是__________________；
③两条直线在一个平面内的射影是两条平行直线，则这两条直线的位置关系是_____________。

（2）射影长相等定理
从平面外同一点
．．．．．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
⑴射影相等两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长。

⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长。

⑶垂线段比任何一条斜线段都短。

几个常见模型的射影位置：
D
D
,
,
)D
（3）三垂线定理 在平面内．．．
说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
（2）符号语言：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫
⎪
=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。

3.平面与平面垂直
（1）两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直（简称“面面垂直”）；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

记为αβ⊥
注：定义给出了面面垂直的判定方法，也给出了面面垂直的性质。

（2）两平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（简称“线面垂直⇒面面垂直”） 已知：直线AB ⊂平面α，AB ⊥平面β，垂足为B ，则：αβ⊥。

（3）两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于
它们的交线的直线垂直于另一个平面。

（简称“面面垂直⇒线面垂直”）
已知：,,,CD AB AB CD αβαβα⊥=⊂⊥于点B 。

则：AB β⊥。

注：面面垂直的性质定理是证明线面垂直的工具！
两平面垂直的其它性质：
（1）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。

（2）如果两相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

（3）已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ。

a αγ=，b βγ=且a ∥b ，求证α∥β。

一、垂直关系的证明
1、通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 例题1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -
中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．
证明：连结MO ，1A M
，∵DB ⊥
1A A ，DB ⊥AC ，1A A
AC A =，
∴DB ⊥平面
11A ACC ，而1
AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则
22132A O a =
，223
4MO a =．
在Rt △11A C M 中，2
21
94
A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥．
∵OM ∩DB =O ，∴
1A O ⊥平面MBD ．
评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．
2利用面面垂直寻求线面垂直
例题2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥PAC ．
证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，
β α A B E C
D αβαββαA B
E C
D
AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC ． ∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．
（另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）．
评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质
线面垂直−−−→←−−−
判定
性质
面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．
练习1、 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过
A 且垂直于SC 的平面分别交S
B S
C S
D ，，于
E
F
G ，，．求证：
AE SB ⊥，AG SD ⊥．
证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵
A B B C ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴B C A E ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴S C A E
⊥．∴
AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥．
评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．
练习2 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH
⊥平面BCD ．
证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC
BC =，∴CF AB ⊥．
∵AD BD =，∴DF AB ⊥．
又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．
∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，
∴ AH ⊥平面BCD ．
评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论． 练习3 如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF
⊥平面PBC ．
证明：∵AB 是圆Ｏ的直径，∴AC BC ⊥．
∵PA ⊥平面ABC ，BC
⊂平面ABC ，
∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面APC ． ∵BC ⊂平面PBC ，
∴平面APC ⊥平面PBC ．
∵AE ⊥PC ，平面APC ∩平面PBC ＝PC ， ∴AE ⊥平面PBC ． ∵
AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PBC ．
评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线
垂直的关系．
例题3如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC 分析： 弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

解：∵FG ∥BC ，AD ⊥BC
∴A 'E ⊥FG ∴A 'E ⊥BC 设A 'E=a ，则ED=2a 由余弦定理得：
A 'D 2
=A 'E 2
+ED 2
-2•A 'E •EDcos60° =3a
2
∴ED 2
=A 'D 2
+A 'E 2
∴A 'D ⊥A 'E
∴A 'E ⊥平面A 'BC
练习1、如图, 在空间四边形SABC 中, SA ⊥平面ABC , ∠ABC = 90︒, AN ⊥SB 于N , AM ⊥SC 于M 。

求证: ①AN ⊥BC; ②SC ⊥平面ANM 分析:
①要证AN ⊥BC , 转证, BC ⊥平面SAB 。

②要证SC ⊥平面ANM , 转证, SC 垂直于平面ANM 内的两条相交直线, 即证SC ⊥AM , SC ⊥AN 。

要证SC ⊥AN , 转证AN ⊥平面SBC , 就可以了。

证明:
①∵SA ⊥平面ABC
∴SA ⊥BC
又∵BC ⊥AB , 且AB SA = A ∴BC ⊥平面SAB ∵AN ⊂平面SAB ∴AN ⊥BC
②∵AN ⊥BC , AN ⊥SB , 且SB BC = B ∴AN ⊥平面SBC ∵SCC 平面SBC ∴AN ⊥SC
又∵AM ⊥SC , 且AM AN = A
∴SC ⊥平面ANM
练习2、以AB 为直径的圆在平面α内，α⊥PA 组线面垂直。

A
B
C D F
E G
A'
解：
⎪⎪
⎪⎭⎪⎪⎪⎬
⎫⊥⊥⇒⎪
⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎭⎪
⎬⎫⊥⇒⊥⇒⎭⎬⎫
⊂⊥PC AF BC AF PAC AF PAC BC BC AC AB BC PA BC PA 面面为直径αα ⊥
⇒⎭⎬⎫
⊥⊥⇒
⊥⇒PB PB AE PB AF PBC AF 面面AEF
二、二面角
［例1］ 如图9—39，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．
图9—39
【证明】∵SB=SA=SC ，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取BC 的中点O ，连AO 、SO ，则
AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，
∴∠AOS 为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a ，又∠BSC=90°，∴BC=
2a ，SO=
2
2a ，
AO 2=AC 2－OC 2=a 2－2
1
a 2=2
1a 2，∴SA 2=AO 2+OS 2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC ⊥平面BSC ．
【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角．这也是证两平面垂直的常用方法． ［例2］如图9—40，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ．
图9—40
（1）求证：AB ⊥BC ；（2）若设二面角S —BC —A 为45°，SA=BC ，求二面角A —SC —B 的大小．
（1）【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面SBC=SB ，∴AH ⊥平面SBC ， 又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ，∴BC ⊥SB ，又SA ∩SB=S ， ∴BC ⊥平面SAB ．∴BC ⊥AB ．
（2）【解】∵SA ⊥平面ABC ，∴平面SAB ⊥平面ABC ，又平面SAB ⊥平面SBC ，∴∠SBA 为二面角S —BC —A 的平面角， ∴∠SBA=45°．设SA=AB=BC=a ，
作AE ⊥SC 于E ，连EH ，则EH ⊥SC ，∴∠AEH 为二面角A —SC —B 的平面角，而AH=
2
2a ，AC=
2a ，SC=3a ，AE=
3
6a
∴sin ∠AEH=
23
，二面角A —SC —B 为60°．
【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法．
［例3］如图9—41，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA=AD=a ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．
（1）求平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND ⊥平面PCD （1）【解】PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，
∴PD ⊥CD ，故∠PDA 为平面ABCD 与平面PCD 所成二面角的平面角，在Rt △PAD 中，PA=AD ， ∴∠PDA=45°
（2）【证明】取PD 中点E ，连结EN ，EA ，则EN 2
1CD AM ，∴四边形ENMA 是平行四边形，∴EA ∥MN ． ∵AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，∴AE ⊥平面PCD ，从而MN ⊥平面PCD ，∵MN ⊂平面MND ，∴平面MND ⊥平面PCD ．
【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN ⊥平面PCD 较困难，转化为证明AE ⊥平面PCD 就较简单了．另外，在本题中，当AB 的长度变化时，可求异面直线PC 与AD 所成角的范围．
［例4］如图9—42，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、BC 、C 1D 1、B 1C 1的中点．
图9—42
（1）求证：平面MNF ⊥平面ENF ．（2）求二面角M —EF —N 的平面角的正切值．
（1）【证明】∵M 、N 、E 是中点，∴M C NC N B EB 1111===∴︒=∠=∠45MNC ENB 11
∴︒=∠90MNE 即MN ⊥EN ，又NF ⊥平面A 1C 1，11C A MN 平面⊂∴MN ⊥NF ，从而MN ⊥平面ENF ．∵MN ⊂平面MNF ，
∴平面MNF ⊥平面ENF ．
（2）【解】过N 作NH ⊥EF 于H ，连结MH ．∵MN ⊥平面ENF ，NH 为MH 在平面ENF 内的射影，
∴由三垂线定理得MH ⊥EF ，∴∠MHN 是二面角M —EF —N 的平面角．在Rt △MNH 中，求得MN=
2
2a ，NH=
33a ，
∴tan ∠MHN=26=
NH
MN ，即二面角M —EF —N 的平面角的正切值为26
．
练习1．E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点，EF 、BD 相交于O ，以EF 为棱将正方形折成直二面角，则∠BOD=_____． 【解析】设正方形的边长为2a ．
则DO 2=a 2+a 2=2a 2OB 2=a 2+a 2=2a 2DB 2=DF 2+FB 2=a 2+4a 2+a 2=6a 2∴cos ∠DOB=21
222622222-
=⋅⋅-+a
a a a a ∴∠DOB=120°
【解题指导】在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加．在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直．解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用．
【拓展练习】
1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．
（1）【证明】∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径 ∴BC ⊥AC ；
又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面PAC ． ∵BC ⊂平面PBC ，
∴平面PAC ⊥平面PBC ． （2）【解】平面PAC ⊥平面ABCD ；平面PAC ⊥平面PBC ；平面PAD ⊥平面PBD ；平面PAB ⊥平面ABCD ；平面PAD ⊥平面ABCD ．
2．ABC —A ′B ′C ′是正三棱柱，底面边长为a ，D ，E 分别是BB ′，CC ′上的一点，BD ＝21
a ，EC ＝a ．
（1）求证：平面ADE ⊥平面ACC ′A ′； （2）求截面△ADE 的面积．
（1）【证明】分别取A ′C ′、AC 的中点M 、N ，连结MN ， 则MN ∥A ′A ∥B ′B ，
∴B ′、M 、N 、B 共面，∵M 为A ′C ′中点，B ′C ′=B ′A ′，∴B ′M ⊥A ′C ′，又B ′M ⊥AA ′且AA ′∩A ′C ′=A ′ ∴B ′M ⊥平面A ′ACC ′． 设MN 交AE 于P ，
∵CE ＝AC ，∴PN ＝NA ＝2a
．
又DB ＝21
a ，∴PN ＝BD ．
∵PN ∥BD ， ∴PNBD 是矩形，于是PD ∥BN ，BN ∥B ′M ， ∴PD ∥B ′M ．
∵B ′M ⊥平面ACC ′A ′，
∴PD ⊥平面ACC ′A ′，而PD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面ACC ′A ′．
（2）【解】∵PD ⊥平面ACC ′A ′，。