知识讲解_定积分的概念

定积分的概念

编稿：赵雷 审稿：李霞

【学习目标】

1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；

2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；

3.理解掌握定积分的几何意义．

【要点梳理】

要点一、定积分的定义 定积分的概念

一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点

0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L

将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a

x n

-D =

），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,

,i i n x =L ，作和式： 1

1

()()n

n

n i i i i b a

S f x f n x x ==-=

D =

邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ?

?）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常

数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b

a

S f x dx

=

ò，

定积分的相关名称：

——叫做积分号，

()f x ——叫做被积函数， ()d f x x ——叫做被积表达式，

x ——叫做积分变量，

a ——叫做积分下限，

b ——叫做积分上限，

[a ，b]——叫做积分区间。 要点诠释： （1）定积分

()b

a

f x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ?

?时）

记为

()b

a

f x dx

ò，而不是n S ．

(2) 定积分是一个数值（极限值）

，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积

分变量用什么字母表示无关，即()()()b

b b

a

a

a

f x dx f u du f t dt ===

⎰

⎰⎰（称为积分形式

的不变性），另外定积分

()()b

a

f x d x ⎰

与积分区间[a ，b]息息相关，不同的积分区间，定积

分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如1

20

(1)x dx +⎰

与3

20

(1)x dx +⎰的值就不同。

（3）用定义求定积分的一般方法是：

①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x x -Î

；

③求和：

1

()n

i i b a

f n x =-å； ④取极限：

()

1

()l i m

n

b

i n

a

i

b a

f x dx f n

x =-=åò （4）按定积分的定义，

① 由连续曲线()[()0]y f x f x =≥、直线x=a 、x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积为

()d b

a

f x x ⎰

；

② 设物体运动的速度v=v （t ），则此物体在时间区间[a ，b]内运动的距离s 为()d b

a

v t t ⎰

。

要点二、定积分的几何意义 定积分

()b

a f x dx ò的几何意义：

从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有

()0f x ³，那么定积分()b

a f x dx

ò表示由直线

,(),0x a x b a b y

==?和曲线()y f x =所围成的曲边梯

形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b

a f x dx ò的几

何意义。

一般情况下，定积分

()b

a

f x dx ò的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线

,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取

负号。

要点诠释：

（1）当()0f x ≥时，积分

()d b

a

f x x ⎰

在几何上表示由()y f x =、x=a 、x=b 与x

轴所

围成的曲边梯形的面积；特别地：当a=b 时，有

()d 0b

a

f x x =⎰

，如图（a ）。

（2）当()0f x ≤时，由()y f x =、x=a 、x=b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分

()d b

a

f x x ⎰

在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数。

所以[()]d ()b b

a

a

S f x x f x S =

-=-=-⎰⎰

，即()d b

a

f x x S =-⎰，如图（b ）。

（3）当()f x 在区间[a ，b]上有正有负时，积分

()d b

a

f x x ⎰

在几何

上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方

面积取负号）。在如右图所示的图象中，定积分

132()d b

a

f x x S S S =+-⎰

。

要点三、定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1：()d ()b

b

a a

k f x x k f x kS ==⎰

⎰；

性质2：

[()()]d ()()d b

b b

a a

a

f x

g x x f x g x x ±=±⎰⎰

⎰；

性质3：定积分关于积分区间具有可加性。 如右图：

()d ()d ()d b

c

b

a

a

c

f x x f x x f x x =+⎰

⎰⎰（其中b c a <<）。

要点诠释：

性质1： 被积函数常数因子可以提到积分号前。

性质2：函数代数和（或差）的定积分等于它们的定积分的代数和（或差）。同时，这个

性质可推广到有限多个函数代数和（或差）的情形。

性质3： 不论a ，b ，c 三点的相互位置如何，恒有

()d ()d ()d b

c b

a

a

c

f x x f x x f x x =+⎰

⎰⎰。这表明定积分对于积分区间具有可

加性。

可以用右图直观地表示出来，即S 曲边梯形AMNB =S 曲边梯形AMPC +S 曲边梯形CPNB 。

【典型例题】

类型一、利用定积分求曲边梯形面积

例1 利用定积分的定义求由直线x=1，x=2和y=0及曲线y=x 3围成的图形的面积。