二分法求函数的零点优秀课件
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高中数学人教B版必修一课件2.4函数零点与二分法
思考:
f(x)=x3+x2+1在(-2,-1)上的零点更靠近区间的哪 个端点？能不能限制在更小的区间上？
要解决这个问题,需要新的方法
问在题一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防
洪指挥部的一条16km长电话线发生故障，要 把故障可能发生的范围缩小到1km左右要检 查多少次？
4次 定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，
A
B
C
D
注：二分法只适用于连续函数变号零点 的求解，不变号零点问题不能使用
练习
2.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的零点必
D 定在()内其中f(1.75)<0
(A)[-2,1](B)[2.5,4] (C)[1,1.75](D)[1.75,2.5]
课堂小结
1. 二分法定义 2. 二分法是求函数零点近似解的一种计算方
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.4函数零点与二分法
一零点定义：
使函数y f (x)的值为0的实数x的值 称为函数的零点
函数y=f(x)的零点
数
方程f(x)=0的实数根
形
函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
二零点的分类：
（1）变号零点(穿过x轴的零点）
如右图x1
x1 x2
（2）不变号零点（与x轴的相切的零点）
法. 2.解题步骤 ①确定初始区间
②计算并确定下一区间，定端点值符号 ③循环进行，达到精确度。 3.二分法渗透了逼近的数学思想.
y
y
0a
bxBiblioteka 0ayybx
0a
bx
0a
bx
f(x)=x3+x2+1在(-2,-1)上的零点更靠近区间的哪 个端点？能不能限制在更小的区间上？
要解决这个问题,需要新的方法
问在题一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防
洪指挥部的一条16km长电话线发生故障，要 把故障可能发生的范围缩小到1km左右要检 查多少次？
4次 定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，
A
B
C
D
注：二分法只适用于连续函数变号零点 的求解，不变号零点问题不能使用
练习
2.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的零点必
D 定在()内其中f(1.75)<0
(A)[-2,1](B)[2.5,4] (C)[1,1.75](D)[1.75,2.5]
课堂小结
1. 二分法定义 2. 二分法是求函数零点近似解的一种计算方
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.4函数零点与二分法
一零点定义：
使函数y f (x)的值为0的实数x的值 称为函数的零点
函数y=f(x)的零点
数
方程f(x)=0的实数根
形
函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
二零点的分类：
（1）变号零点(穿过x轴的零点）
如右图x1
x1 x2
（2）不变号零点（与x轴的相切的零点）
法. 2.解题步骤 ①确定初始区间
②计算并确定下一区间，定端点值符号 ③循环进行，达到精确度。 3.二分法渗透了逼近的数学思想.
y
y
0a
bxBiblioteka 0ayybx
0a
bx
0a
bx
求函数零点近似解的一种计算方法----二分法_课件
提素能 高效 训练
A.－14，0
B.0，14
C.14，12
D.12，34
[解析] 结合选项，因为f(14)＝e14＋4×14－3＝e14－2<0，f(21)＝e12＋
4×12－3＝e12－1>0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为14，12. [答案] C
菜 单 隐藏
抓主干 考点 解密
－
1 3
x＝0的根的
要点
探究
悟典题 能力
个数，亦即函数y＝x
1 3
的图象与函数y＝
1 3
x图象的交点个数，画出两者
提升
的图象(如图)，可得交点的个数为1.
提素能
高效
训练
[答案] B
菜 单 隐藏
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题 能力 提升
提素能 高效 训练
x≤0
x>0
解析：令f(x)＝0得x2＋2x－3＝0
提升
提素能 f(a)·f(b)<0，如图．
高效 训练
所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条 件．
事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时，函数值变 号，即相邻两个零点之间的函数值同号．
菜 单 隐藏
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题
能力 提升
菜 单 隐藏
抓主干
二次函数在给定区间上零点问题
考点
解密
研考向
【典例1】 是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a
要点
探 究 －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件4.4.2计算函数零点的二分法
正常,就选择CA的中点D测试;如果DA段正常,就选择DC的中点E继续测
试……像检修线路所用的这种方法称作二分法.
2.用二分法求函数零点近似值的一般操作方法:
设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线.我们希望求它在D上
的一个零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得
次数 a,+
b,-
a+b
m=
2
1
-3
-2
-2.5
1.25
1
2
-2.5
-2
-2.25
0.062 5
0.5
3
-2.25
-2
-2.125
-0.484 4
0.25
4
-2.25
-2.125
-2.187 5
-0.214 8
0.125
f(m)的近似值
区间长 b-a
得出零点的近似值为-2.187 5,误差不超过0.07.
2
解析 ∵f(1)=-1<0,f(2)=ln 2>0,f
∴下一个含零点的区间是
3
,2
2
.
3
2
3
=ln2
.
−
1
<0,
2
1 2 3 4 5 6
6.用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点的近似值(误差不
超过0.1).(参考数据:1.3753≈2.600,1.312 53≈2.261)
4
1.375
1.5
1.437 5
-0.029 5
0.125
f(m)的近似值
区间长 b-a
得出零点的近似值为 1.437 5,误差不超过 0.07.
试……像检修线路所用的这种方法称作二分法.
2.用二分法求函数零点近似值的一般操作方法:
设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线.我们希望求它在D上
的一个零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得
次数 a,+
b,-
a+b
m=
2
1
-3
-2
-2.5
1.25
1
2
-2.5
-2
-2.25
0.062 5
0.5
3
-2.25
-2
-2.125
-0.484 4
0.25
4
-2.25
-2.125
-2.187 5
-0.214 8
0.125
f(m)的近似值
区间长 b-a
得出零点的近似值为-2.187 5,误差不超过0.07.
2
解析 ∵f(1)=-1<0,f(2)=ln 2>0,f
∴下一个含零点的区间是
3
,2
2
.
3
2
3
=ln2
.
−
1
<0,
2
1 2 3 4 5 6
6.用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点的近似值(误差不
超过0.1).(参考数据:1.3753≈2.600,1.312 53≈2.261)
4
1.375
1.5
1.437 5
-0.029 5
0.125
f(m)的近似值
区间长 b-a
得出零点的近似值为 1.437 5,误差不超过 0.07.
湘教版高中数学必修1课件 2.4.2 计算函数零点的二分法课件
自测自评
（学生用书 P55）
1.下列说法错误的是( ) A．如果图像不间断的函数 f(x)满足 f(a)f(b)<0，则 f(x)在 区间[a，b]上至少存在一个零点 B．连续不间断的函数的变号零点的近似值一般都可以用 “二分法”求 C．如果按照“二分法”的步骤进行反复计算，则计算次 数越多，所得零点就越精确 D．在用“二分法”求函数 f(x)变号零点近似值时，所取 的第一个区间[a，b]必须满足 f(a)<0 且 f(b)>0
《2.4.2 计算函数零点的二分法》课件
1．如果函数 y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图像不间断， 并且它在两端点处的函数值异号，即 f(a)·f(b)<0，则这个函数 在这个区间上至少有一个零点，即存在 x0∈(a，b)，使得 f(x0) ＝0，如果函数的图像穿过 x 轴，这样的零点称为________， 如果没有穿过 x 轴这样的零点称为________．
典例剖析
（学生用书 P56）
例 1 函数 f(x)＝x3＋2x－6 在(－1,3)上的零点必在( )
A．(－1,0)
B．(2,3)
C．(1,2)
D．(0,1)
剖析 按二分法的顺序计算 f(1)，f(2)，f(3)的值，然后判
断它的符号．
解析 f(－1)＝－9，f(3)＝27，f(1)＝－3，f(2)＝6. ∵f(1)<0，f(2)>0， ∴f(x)的一个零点必在(1,2)内，故选 C.
变式训练 2 (2011·四川雅安高一期末检测)已知函数 f(x) ＝ax3＋2ax＋3a－4 在区间(－1,1)内有零点．
(1)求实数 a 的取值范围； (2)若 a＝3323，用二分法求方程 f(x)＝0 在区间(－1,1)内的 根(精确到 0.1)．
《用二分法求函数的零点》 讲义
《用二分法求函数的零点》讲义一、什么是函数的零点在数学中，函数的零点指的是使得函数值为零的自变量的值。
简单来说，如果对于函数 f(x)，存在一个实数 c ，使得 f(c) ＝ 0 ，那么 c 就被称为函数 f(x) 的零点。
例如，对于函数 f(x) ＝ x 1 ，当 f(x) ＝ 0 时，即 x 1 ＝ 0 ，解得 x＝ 1 ，所以 1 就是函数 f(x) ＝ x 1 的零点。
函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，它在方程求解、函数性质研究以及实际问题中都有着重要的意义。
二、为什么要用二分法求函数的零点在实际问题中，我们常常需要求出函数的零点，但很多函数的零点并不能通过简单的代数运算直接得出。
这时候，就需要用到一些数值方法来近似地求出零点，二分法就是其中一种简单而有效的方法。
二分法的基本思想是“逐步逼近”。
通过不断将区间一分为二，确定零点所在的子区间，然后重复这个过程，使包含零点的区间越来越小，从而得到零点的近似值。
与其他求零点的方法相比，二分法具有原理简单、易于理解和实现的优点，而且在一定条件下能够保证收敛到零点的近似值。
三、二分法的原理假设函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a) × f(b) ＜ 0 ），那么在区间（a, b) 内至少存在一个零点 c 。
我们取区间 a, b 的中点 m ＝（a ＋ b) ／ 2 ，计算 f(m) 。
如果 f(m) ＝ 0 ，那么 m 就是函数的零点。
如果 f(m) 与 f(a) 异号，那么零点就在区间 a, m 中；如果 f(m) 与 f(b) 异号，那么零点就在区间 m, b 中。
然后，我们再对新的区间重复上述步骤，不断缩小包含零点的区间，直到达到所需的精度。
四、二分法的具体步骤1、确定初始区间 a, b ，使得 f(a) × f(b) ＜ 0 。
2、计算区间 a, b 的中点 m ＝（a ＋ b) ／ 2 。
二分法求近似零点陈志斌PPT课件
.
23
练一练
解：设函数f(x)= -x3-3x+5
f( 1 ) 1 0 ,f( 2 ) 9 0
f( 1 . 5 ) 1 . 5 3 3 1 . 5 5 3 . 3 4 7 . 5 5 5 2 . 8 于f是 (1 )f(1 有 .5 )0 由 ,1 .5 于 1 0 .5 0 .6 所以,原方程的近似解可取1。为
f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 x1∈(2.53125,2.546875)
f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 x1∈(2.53125,2.5390625)
2 .5 3 9 0 6 2 5 2 .5 3 1 2 5 0 .0 7 8 1 2 5 0 .0 1
.
26
练一练
借助计算器或计算机，列出表格
区间
区间长度 中点的值 中点函数近似值
(1,2)
1
1.5
-2.875
(1,1.5)
0.5
1.25
-0.70
(1,1.25)
0.25
1.125
0.20
(1.125,1.25) 0.125
1.1875
-0.24
(1.125,1.1875) 0.0625
.
27
练一练
1 方程实根与对应函数零点之间的联系 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
1
.
２ 函数零点所在区间的判定
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)＜０，那 么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即
存在c ∈（a,b），使得f(c)=0，这个 c 也
高一 数学 函数的零点与二分法课件
重点
理解函数的零点概念，掌握二分法的 基本原理和应用。
难点
如何应用二分法求解函数的零点，以 及处理函数零点存在性判定的问题。
下节课预告
主题
函数的单调性与导数
内容概述
介绍函数的单调性概念，学习如何利用导数研究 函数的单调性，以及单调性与函数极值的关系。
学习目标
掌握判断函数单调性的方法，理解单调性与极值 的关系，为后续学习打下基础。
答案
$lbrack 2,4)$
习题三
要点一
题目
已知函数$f(x) = x^{2} - ax + a$在 区间$( - infty,1)$上有且只有一个零 点，则实数$a$的取值范围是____．
要点二
答案
$( - infty,2rbrack cup (3, + infty)$
要点三
解析
首先，将函数$f(x) = x^{2} - ax + a$的零点问题转化为二次方程的根的 问题。由于函数在区间$( - infty,1)$ 上有且只有一个零点，所以二次方程 $x^{2} - ax + a = 0$在区间$( infty,1)$上只有一个根。这要求判别 式$Delta = a^{2} - 4a geq 0$且$infty < a < 1$。解这两个不等式得 到$a$的取值范围为$( infty,2rbrack cup (3, + infty)$。
06
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
函数的零点定义
函数的零点是指函数值为零的点 ，即满足$f(x) = 0$的$x$值。
二分法原理
二分法是一种通过不断将区间一分 为二来逼近函数零点的迭代方法。
二分法的应用
理解函数的零点概念，掌握二分法的 基本原理和应用。
难点
如何应用二分法求解函数的零点，以 及处理函数零点存在性判定的问题。
下节课预告
主题
函数的单调性与导数
内容概述
介绍函数的单调性概念，学习如何利用导数研究 函数的单调性，以及单调性与函数极值的关系。
学习目标
掌握判断函数单调性的方法，理解单调性与极值 的关系，为后续学习打下基础。
答案
$lbrack 2,4)$
习题三
要点一
题目
已知函数$f(x) = x^{2} - ax + a$在 区间$( - infty,1)$上有且只有一个零 点，则实数$a$的取值范围是____．
要点二
答案
$( - infty,2rbrack cup (3, + infty)$
要点三
解析
首先，将函数$f(x) = x^{2} - ax + a$的零点问题转化为二次方程的根的 问题。由于函数在区间$( - infty,1)$ 上有且只有一个零点，所以二次方程 $x^{2} - ax + a = 0$在区间$( infty,1)$上只有一个根。这要求判别 式$Delta = a^{2} - 4a geq 0$且$infty < a < 1$。解这两个不等式得 到$a$的取值范围为$( infty,2rbrack cup (3, + infty)$。
06
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
函数的零点定义
函数的零点是指函数值为零的点 ，即满足$f(x) = 0$的$x$值。
二分法原理
二分法是一种通过不断将区间一分 为二来逼近函数零点的迭代方法。
二分法的应用
人教B版高中数学必修一课件-.2求函数零点近似解的一种计算方法二分法
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方 法——二分法
一、情境引入
问 题 1 ： CCTV2 的 一 档 娱 乐节目，要求选手在有限 的时间内猜出某一物品的 售价。现在有这样一个信 封，里面装着0元至100元 ，只给大家七次机会，猜 这个信封里究竟有多少元
？
神秘信封
二、引出课题
我们把这种不断取中点来 解决问题的方法称为——二分法
精 确 度 ：近 似 解 和 真 实 解 的 误 差不 超 过 某 个数，我们称精确度是多少.
人教B版高中数学必修一课件-.2 求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
人教B版高中数学必修一课件-.2 求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
五、二分法步骤总结
函数f ( x) ln x 2x 6的零点所在范围的缩小.
区间(a, b) (2,3) (2.5,3)
(2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625)
中点的值x1 2.5 2.75
2.625 2.5625 2.53125
f (a) f ( x1 ) 负 0负.084 负 0.正512 负正 负正 负负
f (b) 区间(a, b)宽度
小结
conclusion
人教B版高中数学必修一课件-.2 求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
七、作业 作业：借助计算器用二分法求方程x2 2 0的
近似解(精确度0.1).
人教B版高中数学必修一课件-.2 求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
人教B版高中数学必修一课件-.2 求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
人教B版高中数学必修一课件-.2 求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
人教B版高中数学必修一课件-.2 求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
一、情境引入
问 题 1 ： CCTV2 的 一 档 娱 乐节目，要求选手在有限 的时间内猜出某一物品的 售价。现在有这样一个信 封，里面装着0元至100元 ，只给大家七次机会，猜 这个信封里究竟有多少元
？
神秘信封
二、引出课题
我们把这种不断取中点来 解决问题的方法称为——二分法
精 确 度 ：近 似 解 和 真 实 解 的 误 差不 超 过 某 个数，我们称精确度是多少.
人教B版高中数学必修一课件-.2 求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
人教B版高中数学必修一课件-.2 求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
五、二分法步骤总结
函数f ( x) ln x 2x 6的零点所在范围的缩小.
区间(a, b) (2,3) (2.5,3)
(2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625)
中点的值x1 2.5 2.75
2.625 2.5625 2.53125
f (a) f ( x1 ) 负 0负.084 负 0.正512 负正 负正 负负
f (b) 区间(a, b)宽度
小结
conclusion
人教B版高中数学必修一课件-.2 求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
七、作业 作业：借助计算器用二分法求方程x2 2 0的
近似解(精确度0.1).
人教B版高中数学必修一课件-.2 求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
人教B版高中数学必修一课件-.2 求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
人教B版高中数学必修一课件-.2 求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
人教B版高中数学必修一课件-.2 求函数零点近似解的一种计算方法—— 二分法
4.4.2计算函数零点的二分法(教学课件)——高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
不能用二分法求解.
3.二分法的步骤的记忆口诀：
定区间,找中点,中值计算两边看;
同号去,异号算,零点落在异号间;
周而复始怎么办?误差要求来判断.
高中数学
必修第一册
湖南教育版
即时巩固
1.下列函数图象与x轴均有公共点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( B )
2.若函数() = − 3 + 3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:
解析 (1)因为() = 2 − 2 + 1 = ( − 1)2 ≥ 0,所以在零点的左右两侧附近函数值同号,所
以不能用二分法求其零点,故选C.
(2)由(2) · (4) < 0, (4) · (3) > 0知(2) · (3) < 0.
故函数零点所在的区间是(2,3).
高中数学
点的区间是
3
,2
2
.
解析 ∵(1) = −1 < 0, (2) = 2 > 0,
∴下一个含零点的区间是
3
,2
2
.
3
2
3
1
=ln2 − 2 <0,
高中数学
必修第一册
湖南教育版
5.求方程x2=2x+1的一个近似解(误差不超过0.1).
解
设() = 2 − 2 − 1,因为(2) = −1 < 0, (3) = 2 > 0,所以可以确定区间[2,3]作为计算的初始
0.6（答案不唯一）
.(误差不超过0.1)
解析 ∵ 0.605−0.532=0.073<0.1,
∴ (0.532,0.605)内的中值可以作为方程误差不超过0.1的一个近似解.
3.二分法的步骤的记忆口诀：
定区间,找中点,中值计算两边看;
同号去,异号算,零点落在异号间;
周而复始怎么办?误差要求来判断.
高中数学
必修第一册
湖南教育版
即时巩固
1.下列函数图象与x轴均有公共点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( B )
2.若函数() = − 3 + 3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:
解析 (1)因为() = 2 − 2 + 1 = ( − 1)2 ≥ 0,所以在零点的左右两侧附近函数值同号,所
以不能用二分法求其零点,故选C.
(2)由(2) · (4) < 0, (4) · (3) > 0知(2) · (3) < 0.
故函数零点所在的区间是(2,3).
高中数学
点的区间是
3
,2
2
.
解析 ∵(1) = −1 < 0, (2) = 2 > 0,
∴下一个含零点的区间是
3
,2
2
.
3
2
3
1
=ln2 − 2 <0,
高中数学
必修第一册
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5.求方程x2=2x+1的一个近似解(误差不超过0.1).
解
设() = 2 − 2 − 1,因为(2) = −1 < 0, (3) = 2 > 0,所以可以确定区间[2,3]作为计算的初始
0.6（答案不唯一）
.(误差不超过0.1)
解析 ∵ 0.605−0.532=0.073<0.1,
∴ (0.532,0.605)内的中值可以作为方程误差不超过0.1的一个近似解.
求函数零点近似解的一种计算方法----二分法_优质PPT课件
依题意得方程x2+（a-1）x+2=0有两个 相异的正数根，
则
(a 1)2
,
1 a 0
得a∈（－∞,1 2 2）.
7
bx 5.已知函数f（x）= 2 3x .若方程f（x） +2x=0有两个相等的实数根，则f（x）= .
由 bx +2x=0，得6x2-（b+4） 2 3x
x=0. 4x
11
题型１ 函数零点存在性判断
（1）求函数y=x3-2x2-x+2的零点；
（2）判断函数f（x）=log2x+ 1 x+2的零
点的个数.
2
12
（ 1 ） 由 y=x3-2x2-x+2=x2 （ x-2 ） （x-2）=（x-2）（x2-1）
=（x-2）（x-1）（x+1）. 令 （ x-2 ） （ x-1 ） （ x+1 ） =0 ， 解 得 x=2 或 x=1或x=-1. 所以函数y=x3-2x2-x+2的零点为-1,1,2.
基本初等函数（Ⅰ）
函数与方程
1
1.函数的零点 函数y=f（x）的零点是一个 实数，而不是 一个 点，它是函数的图象与x轴交点的横坐标. 2.二分法 用二分法求函数y=f（x）的 零点近似值的 步骤是：
2
第一步，确定区间［a,b］，验
证 f（a）、f（b）的正负
，给定精确度ε；
第二步，求区间［a,b］的中点x1； 第三步，计算 f（x1）；若 f（x1）=0 ， 则x1就是函数的零点；若 f（x1）f（b）＜0 ， 则令b=x1；若 f（a）f（x1）＜0 ，则令a=x1；
第四步，判断是否达到精确度ε，即若 |a-b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则 重复第二、三、四步.
函数的零点 优质课件
然函数x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实
数零点等价于方程mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，
即mf(0) <0，即m<0.故选B.
• [答案] B
• 分类讨论思想、函数与方程思想是高考着重 考查的两种数学思想，它们在本题的求解过 程中体现得淋漓尽致，还要注意函数的零点 有变号零点和不变号零点，如本题中的x＝1
似值a(或b)，否则重复第二、三、四步．
• 能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点？
• 用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0， f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.
• 1. f(x)＝0
• 想一想：提示：由于三者之间有等价关系， 因此，在研究函数零点、方程的根及图象交 点问题中，当从正面研究较难入手时，可以 转化为其等价的另一易入手的问题处理，如 研究含有绝对值、分式、指数、对数等较复 杂的方程问题，常转化为两熟悉函数图象的 交点问题研究．
函数与方程
• 不同寻常的一本书，不可不读哟！
• 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二 次方程根的存在性及根的个数．
• 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
• 1个熟记口诀
• 用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中 点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异 号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．
• 3. 图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画 两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的 横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
课前自主导学
• 1. 函数的零点 • (1)函数零点的定义 • 对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． • (2)几个等价关系 • 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有
人教B版必修1数学2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法-二分法》PPT课件
• [解析] 选项B中的函数零点是不变号零点，不能用 二分法求解．
• [答案] B
• 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且 f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上( )
• A．只有一个变号零点 • B．有一个不变号零点 • C．至少有一个变号零点 • D．不一定有零点 • [答案] C
• 6．已知f(x)＝x5＋x－3在区间[1,2]内有零点，求 方程x5＋x－3＝0在区间[1,2]内的一个近似解(精确
到0.1)．
• [解析] 设f(x)＝x5＋x－3，取[1,2]作为计算的初
始区间，用二分法逐次计算列表如下：
端点(中点)坐标
x1＝1＋2 2＝1.5 x2＝1＋21.5＝1.25
• [解析] 如图所示，因为f(x)在[a，b]上的图象不 间断，且f(a)与f(b)异号，故f(x)在[a，b]上必有
零点，并且可能不止一个，故选C．
•用二分法求函数零点的近似值
•
求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为
正数的零点(精确到0.1)．
ห้องสมุดไป่ตู้
• [分析] 先找一个两端点函数值符号相反的区间， 然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要
• 第1次取中点把焊接点数减半为64÷2＝32个， • 第2次取中点把焊接点数减半为32÷2＝16个， • 第3次取中点把焊接点数减半为16÷2＝8个， • 第4次取中点把焊接点数减半为8÷2＝4个， • 第5次取中点把焊接点数减半为4÷2＝2个， • 第6次取中点把焊接点数减半为2÷2＝1个， • 所以至多需要检测6次．
f(x4)＝0.548892>0
x5＝1.125＋2 1.1875 ＝1.15625
• [答案] B
• 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且 f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上( )
• A．只有一个变号零点 • B．有一个不变号零点 • C．至少有一个变号零点 • D．不一定有零点 • [答案] C
• 6．已知f(x)＝x5＋x－3在区间[1,2]内有零点，求 方程x5＋x－3＝0在区间[1,2]内的一个近似解(精确
到0.1)．
• [解析] 设f(x)＝x5＋x－3，取[1,2]作为计算的初
始区间，用二分法逐次计算列表如下：
端点(中点)坐标
x1＝1＋2 2＝1.5 x2＝1＋21.5＝1.25
• [解析] 如图所示，因为f(x)在[a，b]上的图象不 间断，且f(a)与f(b)异号，故f(x)在[a，b]上必有
零点，并且可能不止一个，故选C．
•用二分法求函数零点的近似值
•
求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为
正数的零点(精确到0.1)．
ห้องสมุดไป่ตู้
• [分析] 先找一个两端点函数值符号相反的区间， 然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要
• 第1次取中点把焊接点数减半为64÷2＝32个， • 第2次取中点把焊接点数减半为32÷2＝16个， • 第3次取中点把焊接点数减半为16÷2＝8个， • 第4次取中点把焊接点数减半为8÷2＝4个， • 第5次取中点把焊接点数减半为4÷2＝2个， • 第6次取中点把焊接点数减半为2÷2＝1个， • 所以至多需要检测6次．
f(x4)＝0.548892>0
x5＝1.125＋2 1.1875 ＝1.15625
4.4.2计算函数零点的二分法 课件(共32张PPT)——高中数学湘教版(2019)必修第一册
间为( C)
A. 2.5,3
B.2.25, 2.5
C.2, 2.25
D.不能确定
解析：显然函数 f x x ln x 2x 6在 x 2,3 上是连续不断的曲线，
由于 f (2) 0 ， f (2.25) 0 ，所以 f 2 f 2.25 0 ， 由零点存在性定理可得： f x x ln x 2x 6的零点所在区间为2, 2.25 ， 所以方程 x ln x 2x 6 0 在区间2, 2.25 内一定有根.
2
由于 f 0.625 f 0.75 0 ，可知零点在 0.625,0.75 上.
为了表述清楚，记零点所在区间为 a,b ，其中点 m
1a 2
b . 继续计算列出表
格：
从表中计算数据看出，计算到 10 次，包含零点的区间长度小于 0.002 . 取此区 间中点与零点的距离不超过区间长度的一半，即 0.001 . 于是可取 0.653 作为零点的 近似值，也即方程 x3 3x2 1 0 的一个近似解.
f
1
1
0
，
f
3 2
ln
3 2
0
，即
f
1
f
3 2
0
，
因此，函数
f
x
ln
x
2x
3 的零点所在的一个区间是 1,
3 2
.
故选：C.
4.设函数 f x x ln x 2x 6，用二分法求方程 x ln x 2x 6 0 在 x 2,3 内的近似
解的过程中，计算得 f (2) 0 ， f (2.5) 0 ， f (2.25) 0 ，则下列必有方程的根的区
由 f 1 1 0和 f 2 ln 2 0 可知， f x 在区间 1, 2 内有一个零点；由 f x 单调递增可知，它只有这一个零点. 用二分法计算，列表如下:
求函数零点近似解的一种计算方法二分法(共21张PPT)
求函数零点近似解的 一种计算方法二分法
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指 挥部的电话线路发生了故障，在这条10 km长的线路
上，如何迅速查出故障所在？
：能够借助用二分法求给定方程的变号 零点的近似值；(重点） ：体验求方程近似解的二分法的探究 过程，感受方程与函数之间的联系；（难点） ：通过新旧知识的认识冲突，激发学生 的求知欲,通过合作学习，培养学生团结协作的品质.
则f(a)f(b)<0;方程在区间（a,b)内有偶数个解，
中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点 由上表计算可知,区间[12 55作为所求函数的一个正实数零点的近似值.
用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中 点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点．当达到精确度时，这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点．
【变式训练】
判断函数y＝x3－x－1在区间[]内有无零点，如果有，求 出一个近似零点(精确到0.1)． 分析：由题目可获取以下主要信息： ①判断函数在区间[]内有无零点，可用根的
存在性定理判断；
②精确到0.1.解答本题应判断出在[]内有
零点后可用二分法求解．
解：因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数 y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[]内有
在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间
近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似
用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。
用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取 Ａ．［－２，１］ Ｂ．［２．５，４］
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指 挥部的电话线路发生了故障，在这条10 km长的线路
上，如何迅速查出故障所在？
：能够借助用二分法求给定方程的变号 零点的近似值；(重点） ：体验求方程近似解的二分法的探究 过程，感受方程与函数之间的联系；（难点） ：通过新旧知识的认识冲突，激发学生 的求知欲,通过合作学习，培养学生团结协作的品质.
则f(a)f(b)<0;方程在区间（a,b)内有偶数个解，
中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点 由上表计算可知,区间[12 55作为所求函数的一个正实数零点的近似值.
用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中 点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点．当达到精确度时，这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点．
【变式训练】
判断函数y＝x3－x－1在区间[]内有无零点，如果有，求 出一个近似零点(精确到0.1)． 分析：由题目可获取以下主要信息： ①判断函数在区间[]内有无零点，可用根的
存在性定理判断；
②精确到0.1.解答本题应判断出在[]内有
零点后可用二分法求解．
解：因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数 y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[]内有
在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间
近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似
用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。
用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取 Ａ．［－２，１］ Ｂ．［２．５，４］
湘教版高中数学必修第一册4-4-2计算函数零点的二分法教学课件
状元随笔 二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的 办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间 的某个数值近似地表示真正的零点．
基础自测 1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）用二分法可求所有函数零点的近似值．（ × ） （2）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一 位．（ √ ） （3）用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适 用．（ √ ） （4）用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法， 运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间．（ √ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定
答案：B
解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，∴在区间(1，1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一个零 点．又∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴在区间(1.25，1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一 个零点．由此可得方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25，1.5)内．
解析：令f（x）＝x2－5，因为f（2.2）＝－0.16＜0，f（2.4）＝0.76 ＞0，所以f（2.2）·f（2.4）＜0，所以函数f（x）在区间（2.2，2.4） 内有零点，设为x0.取区间（2.2，2.4）的中点x1＝2.3，f（2.3）＝0.29 ＞0，因为f（2.2）·f（2.3）＜0，所以x0∈（2.2，2.3）.
纠错心得 利用二分法求方程的近似解时，要随时检验区 间（a，b）的长度与精确度ε的关系，一旦有|a －b|＜ε，应立即停止计算，该区间中的任一值 都是方程的近似解．
课堂十分钟
1．用二分法求如图所示函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是 （）
相关主题
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定 如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
理
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在c a,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
怎样求函数y＝f(x)的零点的个数？
（1）求相应方程f(x)=0的根 （2）将y＝f(x)变形，判断两图象交点个数 （3）利用函数的图象、性质、零点
知识探究: 用二分法求函数零点近似值的步骤
思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步 应做什么？
确定区间[a,b]，使 f(a)f(b)<0
思考2:为了缩小零点所在区间的范围， 接下来应做什么？
求区间的中点c，并计算f(c)的值
思考3:若f(c)=0说明什么？ 若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ，则 分别说明什么？
二分法求函数的零点优秀课件
一：函数零点的概念：
1.定义：对于函数 y f (x)
我们把使 f (x)0的实数 x
叫做函数 y f (x)的零点
思考：1、零点是不是点？
零点是一个实数，就是方程f(x)=0的实根
2.方程的根与函数的零点的关系：
方程 f(x)＝0 有实数根 函数 y＝f(x) 的图象与x轴有交点 函数 y＝f(x) 有零点 数形结合 二、零点存在性定理
每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大 约有200根电线杆子呢。
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最 合理？
如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,
1.首先从中点C查. 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定
故障在BC段, 3.再到BC段中点D, 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段, 5.再到CD中点E来看. 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,
若f(c)=0 ，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)<0 lt;0 ，则零点x0∈(c,b).
思考4:若给定精确度ε，如何选取近似 值？
当|m—n|<ε时，区间[m，n]内的任意 一个值都是函数零点的近似值.
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
存在性条件去求
引例：有12个大小相同的小球，其中有 11个小球质量相等，另有一个小球稍重， 用天平称几次就可以找出这个稍重的球？
引 例
从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路 发生了故障。这是一条10km长的线路，如何 迅速查出故障所在？(每50米一根电线杆)
如果沿着线路一小段一小段查找， 困难很多。
4、判断是否达到精确度ε ，即若|a-b|< ε
则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4
思考：下列函数中能用二分法求零点的是(_1_) _(4_).
A
C ED
B
利用我们刚才的方法，你能否求出方 程lnx+2x-6=0 的近似解 ? 如果能的话，怎么去解？你能用函数的 零点的性质吗？
见excel软件演示
对于区间[a,b]上连续不断且f(a) ·f(b)<0的函数 y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进 而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
1、 确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ；
2、求区间（a,b）的中点c， 3、计算f(c)
（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；
（2）若f(a).f(c)<0，则令b= c（此时零点x0∈(a, c) ); （3）若f(c).f(b)<0，则令a= c（此时零点x0∈( c,,b));