电磁场的矢势和标势

即
，作下述变换式：
A
A
A
t
于是我们得到了一组新的 A .
，很
容易证明：
A ( A ) A ( )
A B
A
(
)
( A
)
t
t t
( ) A ( )
t A
E
t t
t
由此可见，(A . ) ( A . 和)
描述同一电磁场。
a)
库仑规范(Coulomb
gauge)
库仑规范条件 为A 0
A ，即
规定 是一个有旋无源场（横场）。这个E 规范
的具特有点无是 旋性A )，的横纵场部A分完 全由
描述（即
场部分由
描述（即t
E
具 有无源性）。由 A
t
可见， 对应着感应
E库 项对应库仑场
A t
，
场E感 。
b) 洛仑兹规范(Lorentz gauge)
ik A横 ik A纵
E
ik A横
A
0（对于单色平面波而言）
ik iA
t
ik (
c
2
k
A)
iA
i c2
k (k A) k 2 A
i
c2
k (k
A)
c2
k
B
cnˆ
B
如果取 A A横
，A即只取
分量，那么有
k A k A横 0
1 c2
2
t
2
0
2A t 2
0
其解的形式为：
A
i(kxt )
e0
i(kxt ) A e0
由
Lorentz
A
规1
0范
条
件
ik
A
1 c2
c 2 t
(i)
0
，即得
c2
k
A
A
这表明，只要给定了 ，就可以确定单色平面
电磁波，这是因为：
B A ik A ik ( A横 A纵 )
势能的概念，这就是说现在的 ，在数值上不
等于把单位正电荷从空间一点移到无 穷远处电场
力所做的功。为了区别于静电场的电势，把这里
的
称为标势（Scalar potential)。
c) 在时变A场中，磁场和电场是相互作
用着的整体，必须把矢势 和标势
作为
一个整体来描述电磁场。
2、规范变换和规范不变性
述
电
磁
势 只有横向分量，恰好足够描述辐射电磁波
的矢两势种独立洛构偏仑成振兹的。规势范方的程优具点有是对：称它性的。标A它势的矢势和A
的纵向部
分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多
余的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协 变性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
感谢下 载
感谢下 载
第五章 电磁波的辐射
Electromagnetic Wave Radiation
本章所研究的问题是电磁波的辐射。方 法和稳恒场情况一样，当考虑由电荷、电 流分布激发电磁场的问题时，引入势的概 念来描述电磁场比较方便。
本章首先把势的概念推广到一般变化电 磁场情况，然后通过势来解辐射问题。
本章主要内容
和标势
所满足的方程，
得到：
2
A
1 c2
2 t
A
2
(
A
1 c2
)
t
0 j
2
A
t
0
a) 采用库仑规(范 A 0)
上述方程化为
2
2
A
0
1 c2
2A t 2
1 c2
t
()
0 j
此时，标势所满足的方程与静电场相同。
b)
采
用 A洛
1仑 兹 0
规
范
(
c)2 t
上述方程化为
2
2
A
洛
为
仑
兹 A规C12
范
t
0条 件
，即规
A
A
定 是一个有旋有源场（即 包含横场和纵
场两部分），这个规范的特点是把势的基本方程
化为特别简单的对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
rr
rr
及
B=0H
r
D 0E
r E
A
r
r
B A
t
出发推导矢势 A
虽E 然 B
场的两种
和 等价
的EA方，B式以 ，及A但
和
由 于
是描 、
和 、 之间是微分方程的关系，所以它们之 间的关系不是一一对A 应 的，这是因为矢势 可
以 响
加
上，一而E个这任个意任标意量标BA量函函数数的E梯
度
，
结
果
不
影
的梯度在
பைடு நூலகம்
t
中对
要发E生影响，但A
t
将此融合也作相应的E
中的 与
设
为 任 意 的标量(x,函t) 数 ，
从而得到：
因此有：
c2
k
A
0
具有横向
B E
A ik
A
t
A
ik A横
A
iA
t
iA横
其中：
(k A 0)
如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变
为
2 0
2
A
1 c2
2A t 2
1 c2
t
0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标
势 0
，则只有
2 A
1 c2
1 c2
2
t 2
2A t 2
0 0
j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波的势
Solution:
单色平面电磁波在没有电荷，电流 分布的自由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方 程在Lorentz规范条件下）变为波动方程：
2
2
A
1 c2
1 c2
2A t 2
0
其解的形式为
A
A0ei
(
kxt
)
由库仑规范条件得到
A ik A 0
即保证了
A
只有横向分量，A即 A横
，
从而得到
B E
A ik
A
t
A
ik A横
A
iA
t
iA横
( A 0)
通过例子可看到：
库仑作用库，仑可规直范接的由优电点荷 是分：布它的标求 势出，它A 的描矢述
电磁场的矢势和标势 推迟势 电偶极辐射 电磁波的干涉和衍射 电磁场的动量
§5. 1 电磁场的矢势和标势
Vector and Scalar Potential of Electromagnetic
1、用势 A , 描述电磁场
为简单起见，讨论真空中的电磁场：
D
E
B t
B 0
E
B
(
A)
A
t t
t
E
A t
0
E
A
t
是标势不 是静电势
即
E
A
t
电磁场和势之间的关系如下
B A
E
A t
注意： aA) 当
时,且
与时间无关At，即0
这时 就直接归结为电势；
E
b) 中的标势
E绝
对
A不
t
要 把
与电势
E
(E
)
混为一谈。因为
在非稳恒情况下， 不再是保守力场，不存在
H
j
D t
D 0E , B 0H .
针对磁场 引入
B 0 B A
A 的物理意义可由下式看出：
L
A
dl
S
B
ds
即在任一时刻，矢量 A 沿任一闭合回路L的线
积分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量。
对于电场 E 不能像静电场那样直接引入电势。 由Faraday电磁感应定律可得：