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第七章 微分方程

§ 1 微分方程的基本概念

1、由方程x 2-xy+y 2 ）的解。

A. (x-2y)y ''=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2y=Cx+C 2 ) 所满足的微分方程 （ ）

'+y '2 B.y=Cx+y '2 C. xy '+y '2=C D. y '=xy '+y '2

3y=(C 1+C 2x)e 2x , y|x=0=0 , y '|x=π=1，则C 1,C 2的值为（ ）

1=0 , C 2=1 B. C 1=1 , C 2=0 C. C 1=π , C 2=0 D. C 1=0 , C 2=π

4.微分方程y '=y

x 21

-写成以y 为自变量，x 为函数的形式为（ ）

A.y x 21dx dy -=

B.y

x 21dy dx -='=2x-y D. y '=2x-y 5. 已知某初值问题的解为y=C 1sin(x-C 2) y|x=π=1,y '|x=π=0, 确定C 1, C 2 解：y=C 1sin(x-C 2), y '=C 1cos(x-C 2)

代入y|x=π=1,y '|x=π=0得C 1=1,C 2=2k π+2

π

6 .设物体A 从点(0,1)出发，以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动。物体B 从点 (-1,0)与A 同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A ，试建立物体B 的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件。 解：设在时刻t ，物体B 位于(x,y)处，则 x

)

vt 1(y dx dy +-=

整理可得：dx

dt

v dx y d x 22-= ○

1 而dt dx dx dy 1dt ds v 22

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+== 有

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=dx dy 1v 21dx dt ○2 其中s 表示B 的运动轨迹的曲线的弧长。 将○

2代入○1得：0dx dy 121dx y d x 2

22=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++ 初始条件：y(-1)=0, y '(-1)=1 §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 ）

A.可分离变量的微分方程一阶微分方程的对称形式。

C.不是微分方程

D.不能变成

)

y ,x (P )y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（

A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0 ）

A. e y =e 2x

21e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =2

1e 2x +C

4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+∆+=∆x x 1y

y 2

，且当∆x →0时，α是∆x

的高阶无穷小，

y(0)=π,则y(1)=( ) A. 2π B. π C. 4

e π4e

ππ

5、求 特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=

4

π 解：分离变量为tanydy=tanxdx

即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC cosy=ccosx

代入初始条件：y|x=0=4

π

得：22C =

特解为：2cosy=cosx

6、求微分方程()2

y

x cos

y x 21cos dx dy +=-+满足y(0)=π的特解。 解：由02y x cos 2y x cos dx dy =+--+得：2x

sin 2

y sin 2dy -=

积分得：C 2

x

cos 2x y cot 2y csc ln +=-

代入初始条件：y(0)=π，得C= -2

7、求微分方程02

2/=++y x e yy 满足y(0)=0的特解

8、子弹以速度v 0=400m/s 打进厚度为h=20cm 的墙壁，穿透墙壁后速度为

100m/s 飞出。假定墙壁对于子弹的阻力和子弹运动速度平方成正比，求子弹穿透墙壁所用的时间。

解：设在时间t=0时，子弹打进墙壁v(t)表示子弹在t 时刻速度。子弹在墙

壁中的运动所受阻力kv 2(k 为常数)由牛顿第二定律得：2kv dt dv -=C

kt 1v += 又v(0)=v 0=400.解得C=400

1

1

kt 400400

v +=

可设子弹穿透墙壁所用时间为T ，且墙壁后h=20cm,知2.0dt )t (v T 0

=⎰

即：[]2.0)1kT 400ln(k 1)1kt 400ln(k 11kt 400dt 400dt )t (v T

0T

0T 0=+=+=+=⎰

⎰

e 0.2k

=400kT+1 (*)

由题设知：子弹在时刻T 时，飞出墙壁，且速度为100m/s ，即

1001kT 400400

)T (v =+=，得400kT=3，代入(*)得：k=10ln2，即

2

ln 4003

T =

§3 齐次方程

22)dx-xydy=0，其通解为（ ） 2=x 2(2ln|x|+C) B. y=x(2ln|x|+C) 2=2x 2ln|x|+C D. y=2xln|x|+C

2.x

y

y x y +=', y|x=1

=2，则特解为（ ）

A. y 2=2x 22=2x 2(lnx+2) 3.0dy y x 1e 2dx e 21y x

y

x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+的通解为（ ） A. x=2y+C B. 2xye y x

=C ye 2y

x =+ D.以上都不对

4、求y 'x 2+xy=y 2满足y|x=1=1的特解。

解：u x y ,x y x y y 2

=-⎪⎭

⎫

⎝⎛='令，则

x dx )2u (u du =-解得：2

x

1x

2y += 5、求微分方程(x 2+2xy-y 2)dx-(y 2+2xy-x 2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解

解：x

y u ,x x y 2y y x y 2x dx dy 2222=-+-+=令 可得1

u 2u 1

u u u dx du x 223------= 解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u 2)

即x(1+u 2）=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x 2+y 2=x+y