微积分讲义__第六章-多元函数微积分

存在，且在点（x,y）连续，则该函数在点（x,y）可
微分。 记全微分为 全微分的定义可以推广到三元及三元以上函数 。
三、例题分析 例1.（教材344页例2（3））、求全微分z=x2y+exsiny。 【答疑编号11060301：针对该题提问】
例2.（教材344页例2（2））、求全微分
。
【答疑编号11060302：针对该题提问】
故函数z=f（x,y）在点（x,y）处连续。 定理1 如果函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则该函数在点（x,y）连续，函数在点（x,y）的
偏导数
必存在，且函数z=f（x,y）在点（x,y）的全微分为
。
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，
定理2 如果函数z=f（x,y）的偏导数
时，相应地函数有增量
。
如果
存在，则称此极限为函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处对x的偏
导数，记为
。
同理可定义函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处对y的偏导数，为
，记
为
。
如果函数z=f（x,y）在区域D内任一点（x,y）处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的
函数，它就称为函数z=f（x,y）对自变量x的偏导数，记作
样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点M（x,y,z），当x取遍D上一切点时，得一
个空间点集
，这个点集称为二元函数的图形。
二元函数的图形通常是一张曲面。
三、多元函数的极限
例2、求
。
【答疑编号11060103：针对该题提问】
解：原式
。
例3（教材332页习题6.2，2题（1）题）、求
例5、（357页例3（4））
求偏导及dz。
【答疑编号11060405：针对该题提问】
6.7 二元函数的极值
1.二元函数极值的定义 设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某邻域内有定义，对于该邻域内异于（x0,y0）的点（x,y）： 若满足不等式f（x,y）＜f（x0,y0），则称函数在（x0,y0）有极大值； 若满足不等式f（x,y）＞f（x0,y0），则称函数在（x0,y0）有极小值； 极大值、极小值统称为极值。
二、高阶偏导数
函数z=f（x,y）的二阶偏导数为
纯偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
例5.设
，
求
。
【答疑编号11060206：针对该题提问】 解：
混合偏导
例6.（338页例6）设z=x2yey，求 【答疑编号11060207：针对该题提问】
6.4 全微分
一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得二元函数对x和对y的偏增量
，
。
例1.设
，而u=xy,v=x+y,求
。
【答疑编号11060304：针对该题提问】
解：
。
例2.（教材348页例2（1））、求导数 【答疑编号11060305：针对该题提问】
例3.（教材348页例2（2））、求导数 【答疑编号11060306：针对该题提问】
例4.求导数z=f（xy,x+y） 【答疑编号11060307：针对该题提问】
。
【答疑编号11060104：针对该题提问】
例4（教材332页习题6.2，2题（2）题）、求
。
【答疑编号11060105：针对该题提问】
四、多元函数的连续性 1、定义 设二元函数f（P）的定义域为点集D，p0且p0∈D，如果
则称二元函数
f（P）在点P0处连续。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
空间两点间距离公式：
特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0） 。
二、空间中常见图形的方程 1、球面 已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有
，
称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是
。
2、平面
到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
有关偏导数说明： 偏导数 是一个整体记号，不能拆分；
例3.（336例3）求下列函数对x和y的偏导数。 （1）z=（1+3y）4x。 【答疑编号11060203：针对该题提问】
（2）z=（lny）xy。 【答疑编号11060204：针对该题提问】
例4.（340页2（2））求u=（1+xy）z，在点（1，2，3）的一阶偏导数。 【答疑编号11060205：针对该题提问】
6.6 隐函数及其求导法则
例1、siny+ex-xy2=0,求y对x的导数。 【答疑编号11060401：针对该题提问】
例2、xy+lny-lnx=0，求dy。 【答疑编号11060402：针对该题提问】
例3、x2+y2-1=0，求y对x的导数。 【答疑编号11060403：针对该题提问】
例4、（357页例3（1））z3-3xyz-a3=0，求偏导及dz。 【答疑编号11060404：针对该题提问】
例5.（教材349页例5）、设z=F（x+y,x2-y2）。求
。
【答疑编号11060308：针对该题提问】
例6.（教材353页习题6.5，4题）、设 【答疑编号11060309：针对该题提问】
例7.（教材350页例6）、设f（xy,x-y）=x2+y2。求
。
【答疑编号11060310：针对该题提问】 解：u=xy,v=x-y,则 x2+y2=（x-y）2+2xy=v2+2u 故f（u,v）=2u+v2，或f（x,y）=2x+y2 （这不是变量代换，而是自变量改变文字）。所以
第六章 多元函数微积分
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6.1 空间解析几何基础知识
一、空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系。 即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以 角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的 正向。
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点
有序数组（x,y,z）
特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）
一般地，求
时，如果f（P）是初等函数，且P0是f（P）的定义域内的点，则f（P）在点
P0处连续，于是
。
例5（教材332页习题6.2，3题（1）题）、判断
是否连续？ 【答疑编号11060106：针对该题提问】
在原点
一、偏导数的定义及其计算法
6.3 偏导数
定义 设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量△x
。
二、全微分形式不变性 设函数z=f（u,v）具有连续偏导数，则有全微分
、
。
全微分形式不变性的实质： 无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的。
例8.（教材351页例7（3））、求全微分z=（x+y）exy 【答疑编号11060311：针对该题提问】
例9.（教材351页例7（3））、求全微分z=f（2x+3y,exy） 【答疑编号11060312：针对该题提问】
【答疑编号11060406：针对该题提问】
3.多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。 求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点及不可导点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值。 例7、（365例3）做一个容积为32米 3的长方体无盖水箱，问它的长、宽、高各取何值时用料最省？ 【答疑编号11060407：针对该题提问】 解：
z=f（x,y）在点（x,y）可微分，A△x+B△y称为函数z=f（x,y）在点（x,y）的全微分，记为dz，即 dz=A△x+B△y.
函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分。
二、多元函数连续、可导、可微的关系 如果函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则函数在该点连续。 事上
例3.（教材344页习题6.4，1题（2）题）、求全微分
。
【答疑编号11060303：针对该题提问】
一、链式法则 定理 如果函数 数，则复合函数
6.5 多元复合函数求导法则
都在点t可导，函数z=f（u,v）在对应点（u,v）具有连续偏导 在对应点t可导，则：
定理 假设函数z=f（u,v）可微，函数u=u（x,y）和v=f（x,y）有偏导灵敏，则它们的复合函数 z=f（u（x,y）,v（x,y））作为x,y的函数有偏导数，且
。
同理可以定义函数z=f（x,y）对自变量y的偏导数，记作
。
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u=f（x,y,z）在（x,y,z）处
例1.求z=x2+3xy+y2在点（1,2）处的偏导数。 【答疑编号11060201：针对该题提问】 解：
例2.求z=xy（x＞0，x≠1）的一阶偏导数 【答疑编号11060202：针对该题提问】
使函数取得极值的点称为极值点。 2.多元函数取得极值的条件
定理1（必要条件） 设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）有偏导数，且在点（x0,y0）处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零：f′x（x0,y0）=0，f′y（x0,y0）=0。 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点。
定理2（充分条件） 设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又f′x（x0,y0）=0, f′y（x0,y0）=0,,令f′′xx（x0,y0）=A，f′′xy（x0,y0）=B,f′′yy（x0,y0）=C,。则f（x,y）在点 （x0,y0）处是否取得极值的条件如下： （1）B2-AC＜0时具有极值，当A＜0时有极大值，当A＞0时有极小值； （2）B2-AC＞0,则不是极值点； （3）B2-AC =0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。 例6、（363例1）求f（x，y）=x2-2xy2+2xy+y3极值。
当n≥2时，n元函数统称为多元函数。 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。
例1、求
的定义域。
【答疑编号11060102：针对该题提问】
解：
所求定义域为
.
2、二元函数z=f（x,y）的图形
设函数z=f（x,y）的定义域为D，对于任意取定的P（x,y）∈D，对应的函数值为z=f（x,y），这
1.全增量的概念
如果函数z=f（x,y）在点（x,y）的某邻域内有定义，并设
为这邻域内的任意一
点，则称这两点的函数值之差
为函数在点P对应于自变量△x，△y的全增
量，记为△z，即
2.全微分的定义 如果函数z=f（x,y）在点（x,y）的全增量
可以表示为
，其中A，B不依赖于△x，△y而仅与x,y有关，
，则称函数
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
【答疑编号11060101：针对该题提问】
解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，
根据题意有|MA|=|MB|，
化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。 3、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。 这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标
说明： n维空间的记号为Rn； n维空间中两点间距离公式：
设两点为
特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
二、多元函数的概念 1、多元函数的定义 设D是平面上的一个点集，如果对于每个点P（x,y）∈D，变量z按照一定的法则总有确定的值和它 对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为z=f（x,y）（或记为z=f（P））. 类似地可定义三元及三元以上函数。
一、问题的提出 1、曲顶柱体的体积
6.8 二重积分
柱体体积=底面积×高 特点：平顶
柱体体积=？ 特点：曲顶 曲顶柱体 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法.
柱面举例
4、二次曲面 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。 （1）椭球面
椭球面与三个坐标面的交线：
（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。 6.2 多元函数的基本概念
一、准备知识 1、邻域 设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全 体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,
。
2、区域
平面上的点集 称为开集，如果对任意一点
，都有 的一个邻域
。
设D是开集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连 通的。
连通的开集称为区域或开区域。 开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间
设n为取定的一个自然数，我们称n元数组
的全体为n维空间，而每பைடு நூலகம்n元数组