第一章 矩阵的运算与初等变换

§1 矩阵与向量的概念
➢ 1.矩阵的概念
考察线性方程组
x1 x2 2x3 1,
2x1 3x2 x3 2,
x1
2x2
3x3
4,
隐去未知量和等号，分离出各未知量的系数，得
1 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 4
称为矩阵
一般地，我们有如下的定义
§1 矩阵与向量的概念
➢ 定义1.1由m×n个数排成m个行n个列的数表
矩阵.
➢ 例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
➢ ⑵两个矩阵A=(aij)与B=(bij) 为同型矩阵,并且对
应元素相等,即
a i jb i i j 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n ,
则称矩阵A与B相等,记作A=B.
§1 矩阵与向量的概念
§1 矩阵与向量的概念
➢ n个n维列向量
1
e1
0
,
0
0
e2
1
,
0
0
,en
0
,
1
称为n维基本列向量。
➢ n个n维行向量
f 1 1 , 0 , , 0 , f2 0 , 1 , , 0 , ,f n 0 ,0 , ,1 ,
称为n维基本行向量。
§1 矩阵与向量的概念
本节学习要求 熟悉矩阵、同型矩阵、矩阵相等、列矩阵、 行矩阵、方阵、单位方阵与向量的概念，懂得矩 阵的应用。
a1
➢ ⑵ m×1矩阵 a 2
a
m
也称列矩阵，或称m维列向量，ai也称为第i个分量.
§1 矩阵与向量的概念
主对角线
a 11
➢ ⑶ n×n矩阵
a 21
a12
a 22
副对角线
a 1 n a2n
a n1 a n 2 a nn
也称n阶方阵(或n级方阵)，An×n表可简记为An； 其中aii称为主对角线元素； 而aij (i+j=n+1)称为副对角线元素.
线性代数 第一章
第一章 矩阵的运算与初等变换
➢ 本章教学内容 ➢ §1 矩阵与向量的概念 ➢ §2 矩阵的运算 ➢ §3 分块矩阵及矩阵的分块运算 ➢ §4 几种特殊的矩阵 ➢ §5 矩阵的初等变换
第一章 矩阵的运算与初等变换
➢ 矩阵是代数学中最重要的基本概念之一，是代数 学研究的主要对象，也是数学许多分支研究及应 用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分。 在很多领域中的一些数量关系都可以用矩阵来描 述。
a11 a21
a12
a22
a1 j
a2 j
是简第称aai(行1i2,nnj)第元j列元素，
ai1
ai2
aa iijj
a in
am 1 am 2 amj amn
叫做m行n列的矩阵，或称m×n矩阵.通常用大写
字母A或Am×n表示法. 有时也记为
A (a i) j 或 A (a i) jm n
➢ 本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算。并把向 量视为特殊的矩阵，自然地引进向量的概念及其 线性运算。还将介绍矩阵的初等变换及分块矩阵 等相关知识，为今后的学习相关知识打下扎实的 理论基础。
§1 矩阵与向量的概念
➢ 本节教学内容 ➢ 1.矩阵的概念 ➢ 2.同型矩阵与矩阵相等的概念 ➢ 3. 几种特殊的矩阵 ➢ 4. 矩阵的应用 ➢ 5. 向量的概念
§1 矩阵与向量的概念
➢ 例 主对角线元素均为1，其它元素均为0的
n阶方阵
1 0
0 1
0 0
0 0 1
称n阶单位矩阵，记为En或E.
§1 矩阵与向量的概念
➢ 4.矩阵的应用
➢ 例1 某公司对四名应聘人员进行三项素质考评
的百分制成绩可用矩阵
a11 a12 a13
A
a 21 a 31 a 41
➢ 作业：习题1.1(A) 第2题
§2 矩阵的运算
➢ 本节教学内容 ➢ 1.矩阵加、减法 ➢ 2.数乘矩阵 ➢ 3. 矩阵乘法 ➢ 4. 方阵的幂 ➢ 5. 矩阵的转置
§2 矩阵的运算
➢ 1.矩阵加、减法 ➢ 定义2.1 两个m×n矩阵A=(aij),B=(bij)的和记为 A+B，规定
a11b11 ABa21 b21
am1 bm1
a12b12 a22b22
am2 bm2
a1nb1n a2n b2n
amnbmn
➢ 注：只有同型矩阵才能相加.
➢ 3.几种特殊的矩阵
➢ ㈠只与0有关的：
➢ 元素全为零的矩阵称为零矩阵，m×n零矩阵记
作O或Om×n ➢ 注意不同型的零矩阵是不相等的.
➢ 例如
0 0 0
0 0 0
0 0 0
00
0 0
00
§1 矩阵与向量的概念
➢ ㈡只与行列相关的:
➢ ⑴ 1×n矩阵 a 1 , a 2 , , a n
也称行矩阵，或称n维行向量，ai也称为第i个分量. ➢ 注意分量间用逗号分开。
➢ 注：这里 b11 b21 b311,
b12b22b321.
§1 矩阵与向量的概念
➢ 例3 第i村到第j村有aij条道路相通，四个村的通 路信息可用矩阵
0 a12 a13 a14
A
a a a
21 31 41
0 a 32 a 42
a 23 0 a 43
a24
a 34 0
表示。
➢ 注：这里aii=0，即同一个村不考虑相通的道路。
a 22 a 32 a 42
a23
a 33 a 43
表示，其中aij为第i名应聘者的第j种素质考评的 成绩。
§1 矩阵与向量的概念
➢ 例2 公司中甲、乙两类岗位对三项素质要求的 权重系数也可用矩阵百度文库
b11 b12 B b21 b22
b 31 b 32
表示，其中bij为第j类岗位对第i种素质要求的权重 系数。
§1 矩阵与向量的概念
➢ 元素是实数的矩阵称为实矩阵 ➢ 元素是复数的矩阵称为复矩阵 ➢ 例如
1 0 3 5 是一个2×4实矩阵， 9 6 4 3
13 6 2 i 2 2 2 是一个3×3复矩阵， 2 2 2
§1 矩阵与向量的概念
➢ 2.同型矩阵与矩阵相等的定义
➢ ⑴两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型
§1 矩阵与向量的概念
➢ 5.向量的概念 ➢ 定义1.2 1×n矩阵称n维行向量， n×1矩阵称n 维列向量， n维行向量与n维列向量统称n维向量，
简称向量。 向量常用黑体字母,,, …或x,y,z,… 表示（或加箭头 ）。
➢ 两向量相等当且仅当维数相同且对应的分量相等. ➢ 分量全为零的向量称零向量，记为0.