改进的变分自适应中值滤波算法

首先，利用改进的自适应中值滤波算法标识出图像中被污染的像素点，然后对被污染的像素点采用变分滤波的方法
进行恢复。此方法利用了自适应中值滤波良好的噪点识别能力和变分滤波的细节保护的特性，对于噪声密度高达
80%的图像依然可以达到很好的恢复效果。仿真结果验证了所提出算法的有效性，并且在效果上要明显优于传统的
因此，未被污染的像素点的集合为 Nc = A \N ，其中 A 表示全部像素点的集合。
(2)噪点四邻域的分类 通过步骤(1)将经过改 进的自适应中值滤波得到的图像分为被污染的像素 点集合 N 和未被污染的像素点集合 N c 。对于 N c 中 所有未受污染像素，保持其原有像素值不变。对于 集合 N 中处于 (i, j) 位置的噪点，其四邻域内的像素 点，可能是 N c 中的像素点，也可能是 N 中的另外一 个噪点。因此， (i, j) 点的邻域可以分为两部分，表 示如下： vij = (vij ∩ N c ) ∪ (vij ∩ N ) 。其中，第 1 部 分表示非噪点邻域，第 2 部分表示噪点邻域。
以很好地保留处理后图像的细节和边缘，但是当图
像受到高密度椒盐噪声的污染时，由于存在着噪声
第7期
孙海英等： 改进的变分自适应中值滤波算法
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的连通区域，导致变分滤波的去噪效果急剧下降。
鉴于此两种方法的优缺点，为了更好地利用每
种方法的优点并有效规避其缺点，所以在去噪的过
程中分阶段采用不同的去噪方法是很有必要的。
first phase, an improved adaptive median filter is used to identify pixels which are likely to be contaminated by
noise (noise candidates). In the second phase, the image is restored using a variational method that applies only to
based on adaptive median filter. Key words: Image processing; Salt-and-pepper noise; Adaptive median filter; Mean filter; Variational filter; Edge
preserving function
滤波和变分滤波两种滤波方法，在一定的条件下都
有着较为理想的去噪效果，但同时也存在着比较明
显的局限性。改进的自适应中值滤波可以很好地检
测到噪声点，但是它对噪声点的处理是简单的替代，
即通过对噪声点加窗得到用来替代噪声点的中值，
因此处理后的图像存在细节模糊比较严重的问题；
与此同时，变分滤波因为存在着边缘保持势函数可
those selected noise candidates. The proposed method can remove salt-and-pepper-noise with a noise level as high
as 80%. Simulation results indicate that this algorithm is effective and better than traditional variational method
(2)
其中 Smin 和 Smax 分别表示图像可能取到的最小值和 最大值，即对于一个 8 位图像 Smin =0(黑)， Smax = 255(白)。当 p = q 时，表示被椒盐噪声污染的图像
的模型。从该模型可以看出，椒盐噪声点的灰度值
和原始像素灰度值独立，所以在采用恢复技术时不
使用噪声点自身的灰度信息。
ϕ'(yi,j − zk,l − yk,l )
(7)
(k,l )∈vij
其中 zk,l (k,l) ∈ vij 是上次迭代所ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的值。ϕ' 是 ϕ 的一 阶导数。
(3)如果| ξikj |≤ 1 ，令 zi(jk) = 0 。否则，通过解下
面的方程得到 zi(jk) 的数值解：
∑ β
ϕ'(zik,j + yi,j − zk,l − yk,l ) = sign(ξikj ) (8)
文的自适应中值滤波中，通过采用不同尺寸、不同
形状的自适应窗口，在自适应过程中尽可能地用较
小的窗口进行滤波，来更好地保留图像的细节和边
缘。
另一方面，在算法的应用中加入了均值滤波，
当滤波窗口达到我们预设的最大值，仍然无法找到
可替代的中值时，此时采用修正的均值滤波来得到
噪声点的替代值。
本文所采用的修正后的均值滤波器[7]表示如下：
∑ y(i,
j)
=
mn
1 −p
−q
(s,t )∈Sij
y(s, t )
(3)
其中 y(i, j) 是被噪声污染的 m ×n 图像。在 (i, j) 邻域
内去掉灰度值为 0 和 255 的像素点，p 表示 y(i, j) 中
灰度值为 0 的像素点个数，q 表示灰度值为 255 的
像素点个数。
文献[4]中提出了一种去除图像中的椒盐噪声的
(k,l )∈vij
估计值可以表示为 u = z + y 。
式(8)可以通过数值解法求解，但是常用的数值
解法如二分法、牛顿法在求解过程中会出现收敛慢
或者无法收敛的问题，本文采用文献[8]中提出的方
法来解这一方程，达到了很快的收敛速度并且很好
地解决了收敛域的问题。
通过上述的分析可以看出，改进的自适应中值
的 (i, j) 点恢复后的像素值。 式(4)中的第 1 项是一个数据逼近条件，第 2 项
是边缘保持正则化条件。该变分滤波的目的就是找 到使目标函数极小的最优估计解 ui,j 。该目标函数满 足如下的性质：
(1) 未 受 污 染的 像 素 yi,j 的 估计 值 ui,j 满 足 ui,j = yi,j ，即保持原来像素值不变；
(6)
本文中采用了式(6)作为边缘保持势函数。由文
献[4]中的论证，取 β = 5 , α = 1.3 。
令 z = u − y 表示恢复后图像和被污染图像的差
值， uˆ 的求解步骤如下：
(1)初始化 zi(j0) = 0,(i, j ∈ A)
(2)每次循环迭代中，在 (i, j) 的四邻域中计算
∑ ξikj = β
表示为
{ } A = (i, j) | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n; m,n ∈ Ζ+ (1)
用 y 表示被椒盐噪声污染的图像，其模型可以
表示如下：
y(i, j) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩SSx(mmiia,nxj,,),
p(y) = p p(y) = q p(y) = 1 − p − q
(2)受污染的像素 yi,j 的估计值 ui,j ，由于边缘保 持正则化条件的存在，可以有效保持图像的边缘和
细节。
式(4)中的第 2 项中的 ϕ 函数是边缘保持势函 数，根据文献[4]可以取抛物线函数、指数函数等， 例如，
ϕ(t) = α + t2 , α > 0
(5)
ϕ(t) =| t |α, 1 < α ≤ 2
文献[3]提出了一种有效去除图像椒盐噪声的改 进的自适应中值滤波算法，该方法在两个方面对传
统的自适应中值滤波进行了改进：
一方面，根据图像处理的空间相关性原则对滤
波窗口的选取进行了改进。根据像素的空间相关性
原则，选取的滤波窗口越小，对保留图像的细节效
果越好。但是，当图像受椒盐噪声污染比较严重时，
较小的滤波窗口可能无法得到所需的中值。故在本
第 33 卷第 7 期 2011 年 7 月
电子与信息学报 Journal of Electronics & Information Technology
Vol.33No.7 Jul. 2011
改进的变分自适应中值滤波算法
孙海英 李 锋 商慧亮*
(复旦大学电子工程系 上海 200433)
摘 要：为了更好地恢复被高密度椒盐噪声污染的图像，该文提出了一种基于两阶段方法去除图像椒盐噪声的算法。
本文提出了基于这两种方法的改进的变分自适
应中值滤波算法。算法步骤如下：
(1)图像预处理及噪点检测 利用改进的自适 应中值滤波方法，对污染图像 y 进行滤波，恢复后 的图像为 y 。经过恢复后，灰度值为 0 和 255 的被 污染的像素点的值用对应的中值替代。噪声点的集 合满足如下性质： N = {(i, j) ∈ A : y ≠ yi,j and yi,j ∈ {smin,smax }} 。
变分方法，对于被污染的图像建立如下的目标函数：
∑ ∑ ∑ Fy (u) =
| ui,j
(i,j )∈A
− yi,j
|
+
β 2 (i,j )∈A
(k,l )∈vi,j
ϕ(ui,j
− uk,l )
(4)
其中 yi,j 是污染图像 (i, j) 点的像素值； vi,j 是像素 (i, j) 的四邻域，不包含 (i, j) 点本身；ui,j 是需要得到
变分自适应中值滤波算法。
关键词：图像处理；椒盐噪声；自适应中值滤波；均值滤波；变分滤波；边缘保持势函数
中图分类号：TP391
文献标识码： A
文章编号：1009-5896(2011)07-1743-05
DOI: 10.3724/SP.J.1146.2010.01295
Salt-and-pepper Noise Removal by Variational Method Based on Improved Adaptive Median Filter