高一第二学期三角函数与数列综合试卷(含答案)

高一第二学期三角函数与数列综合试卷（含答案）

高一数学

2016．4．1

一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷．．．相应位置上）. 1. 已知3cos(

)2

5π

α+=

，且3(,)22

ππ

α∈，则tan α的值为_____________ . 2. 已知点(tan ,cos )M 在第二象限，则角的终边在第_____________象限.

3. =-⎪⎭⎫ ⎝

⎛++⎪⎭⎫

⎝

⎛

-απαπα2

22

sin 6sin 6sin _____________ . 4. 已知1

tan(

)4

2

π

θ-=

，则sin cos θθ=_____________ . 5. 设在各项为正数的等比数列{}n a 中，若6542a a a =+，则公比q =_____________ .

6. 已知a n =n

n n 10

)

1(9+（n ∈N *），则数列{a n }的最大项是第_____________项. 7. 函数cos y x =的图象向左平移

3

π个单位，横坐标缩小到原来的1

2，纵坐标扩大到原来的

3倍，所得的函数图象解析式为_____________ .

8. 已知数列{}n a 的前n 项和1

31n n S +=-，则n a =_____________ .

9. 若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020152014>+a a ，020152014<⋅a a ，则使前n 项和0

10. 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，若2

2

2

b c a +=，且

b

a

=C ∠=_____________ . 11. 某同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2011个圈中的●的个数是_____________ . 12. 已知,αβ均为锐角,且3sin 5α=

,1

tan()3

αβ-=-.则cos β的值为_____________ . 13.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，c a =且满足

0cos )sin 3(cos cos =-+B A A C ，若点O 是ABC ∆外一点，42==OB OA ，则四边

形OACB 的面积的最大值为 _____________ .

14. 我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总

有不等式

1212()()()22

f x f x x x

f ++≤成立，

则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：2

1

2

n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{}n a 满足如下两个条件： （1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；

（2）对正整数n （*

,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+.

则数列{}n a 中的第五项5a 的取值围为_____________ .

二、解答题（本大题共6题，共90分，请在答题卷．．．指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题14分)

如图，在四边形ABCD 中，AD =8，CD =6，AB =13，∠ADC =90°，且50AB AC ⋅=． （1）求sin ∠BAD 的值；

（2）设△ABD 的面积为S △ABD ，△BCD 的面积为S △BCD ，求ABD

BCD

S S ∆∆的值．

16. (本小题14分)

已知向量(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==- （1）若//a b ，试求sin α； （2）若a b ⊥，且(0,)2π

α∈，求cos(2)4

π

α-的值.

A

C

D

B

已知函数()2

2

1sin cos 42

f x x x π⎛⎫

=+

++ ⎪⎝

⎭，x R ∈ (1)求函数()f x 最值与最小正周期； (2)求使不等式()3

2

f x ≥[]()0,x π∈成立的x 的取值围.

18. (本小题16分)

已知数列{n a }的首项111,21n n a a a +==+． (1)求证:{}1n a +是等比数列； (2)求数列{}n na 的前n 项和n S ．

已知数列}{n a 满足11=a ，21=-+n n a a ，等比数列}{n b 满足11a b =，144+=a b ． （Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；

（Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n S ．

20. (本小题16分)

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列{}n b 的通项公式为n

n n a b a t

=

+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，， (3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.