用面积法解决问题
巧用面积法妙解几何题
论，并说明理由。
A
分析：此题的条件虽然发生了变化，
但是思路、方法不变，还是应用面
积法。连结PA、PB、PC，根据
S△ABC=S△ABP+S△ACP－S△BCP， 由AB=BC=AC，可得正确结论：
D B
EH
F C
PD+PF－PE=AH
P
• 证角相等
例3.点C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在 AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接BD、 AE交于O点，再连接OC，求证：∠AOC=∠BOC.
∴BD=CE
C
用面积 法好简 单哟！
变式训练
1.已知：等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC
的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、
F.求证：DE=DF.
A
分析：此题用三角形全等可完成，
但题中出现两条“垂线段”，可考
虑面积法，连接AD，则S△ABD=S△ACD， 由AB=AC，可得DE=DF.
D
C
第4题
※5.设E是△ABC的角平分线AD上一点，连接 EB、EC，过C作CF∥BE交AB的延长线于F， 过B作BG∥EC交AC的延长线于G，求证： BF=CG.（提示：S△BEF=S△BEC=S△CEG）
A
E
B
C D
第5题
F G
※6.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，求证： AB︰AC=BD︰CD.
分析：要证∠AOC=∠BOC，可证点
E
C到AO、BO的距离相等，如此就要 过C点作CP⊥AE于P，CQ⊥BD于Q， 证CP=CQ，可考虑面积法，证
DO Q
P
△ACE≌△DCB,则有 S△ACE =S△DCB
《长方形正方形面积的计算》教案设计运用面积计算解决实际问题
本文将为大家介绍一篇高中数学教学教案，主题为“长方形和正方形面积的计算以及如何运用面积计算解决实际问题”。
这篇教案意在帮助学生更深入地理解面积的概念和计算方法，并通过实际问题解决的案例来提高学生的数学应用能力。
【教学背景】本教案适用于高中数学教学，目标象为高中一年级学生。
在教学过程中，我们将重点讲解长方形和正方形的面积计算方法，以及如何运用面积计算解决实际问题。
希望通过这个教学过程，能够提升学生对数学知识的理解和应用能力，激发学生的学习兴趣和动力。
【教学目标】1.了解长方形和正方形的定义和性质，掌握长方形和正方形的面积计算方法；2.能够应用面积计算解决实际问题，提高学生的数学应用能力；3.培养学生的数学思维能力，培养分析、解决问题的能力。
【教学重点】1.长方形和正方形的概念和性质，以及面积计算方法；2.如何运用面积计算解决实际问题。
【教学难点】如何运用面积计算解决实际问题。
【教学内容】一、长方形和正方形的面积计算方法1.长方形的面积计算方法如图1长方形的面积公式为S = l × w其中，S 表示长方形的面积，l 表示长方形的长度，w 表示长方形的宽度。
2.正方形的面积计算方法如图2正方形的面积公式为S = a²其中，S 表示正方形的面积，a 表示正方形的边长。
二、如何运用面积计算解决实际问题1.例题1：墙壁的面积如图3某个长方形房间的宽度为 5 米，长度为 8 米，现在需要粘贴墙纸，而每卷墙纸的面积为10 平方米，问：需要购买几卷墙纸，才能够完全覆盖整个房间的墙面？解答：我们可以根据长方形的面积公式来计算房间的面积。
S = l × w = 5 × 8 = 40（平方米）根据墙纸的面积，算出每卷墙纸的面积。
每卷墙纸的面积为 10 平方米。
我们可以将房间的面积除以每卷墙纸的面积，就能够计算出需要购买的卷数。
需要购买墙纸的卷数 = 房间的面积 ÷ 每卷墙纸的面积需要购买墙纸的卷数 = 40 ÷ 10 = 4（卷）结论：需要购买 4 卷墙纸，才能够完全覆盖整个房间的墙面。
《利用面积单位间的进率解决问题》
05
利用面积单位间的进率解决问 题实例解析
面积单位间的进率
平方米与平方厘米的进率
01
1平方米 = 10000平方厘米
平方米与公顷的进率
02
1平方米 = 0.0001公顷
平方米与平方分米的进率
03
1平方米 = 100平方分米
面积单位间的换算
例如：一个房间的面积为50平方米，需要计算其对应的平 方厘米是多少。
注意事项
掌握面积单位间的进率
在实际应用中，要熟练掌握常用的面 积单位间的进率，以便快速准确地计 算。
注意单位的统一
细心审题
在解题过程中，要细心审题，理解题 目的要求和条件，确保答案符ห้องสมุดไป่ตู้题意 。
在计算过程中，要注意单位的统一， 避免因为单位不统一而导致的误差。
04
如何提高利用面积单位间的进 率解决问题的能力
根据进率，50平方米 = 50 × 10000平方厘米 = 500000 平方厘米。
面积单位间的进率在生活中的应用
在装修中，需要计算房间的墙面面积 ，可以利用面积单位间的进率进行换 算。
在土地测量中，需要计算土地的面积 ，也可以利用面积单位间的进率进行 换算。
THANKS
谢谢您的观看
在计算过程中，需要注意单位的统一，避免出现混淆和错误。同时，也要注意进率的正确性，因为不 同的进率可能会影响最终的计算结果。
面积单位间的进率在生活中的应用
面积单位间的进率在生活中的应用非常广泛。例如，在房屋 装修中，我们需要计算地面的面积和墙面的面积，这时就需 要使用到面积单位间的进率来进行换算。
培养数学思维和逻辑推理能力
1 2
注重数学思维训练
通过数学游戏、数独等方式，培养数学思维和逻 辑推理能力，提高对面积单位间进率的敏感度。
如何用面积法解决平面形问题
如何用面积法解决平面形问题面积法是一种解决平面形问题的常用方法，通过计算形状的面积来求解各种几何问题。
本文将介绍面积法的基本原理，并通过几个例子来说明如何用面积法解决平面形问题。
一、面积法的基本原理在平面几何中，面积是一个重要的概念。
面积法利用几何形状的面积性质来解决问题。
首先，我们需要熟悉各种常见几何形状的面积公式，如矩形的面积为长乘以宽，三角形的面积为底边乘以高再除以2等等。
其次，我们可以通过分割和组合的方法来求解复杂形状的面积。
二、如何用面积法解决问题下面通过几个例子来说明如何用面积法解决平面形问题。
例一：矩形问题问题描述：一个矩形的长是8cm，宽是5cm，求其面积和周长。
解决思路：根据矩形的定义，我们知道矩形的面积为长乘以宽，周长为长两边加宽两边的和。
所以，通过面积法，我们可以直接计算出矩形的面积和周长。
解决步骤：面积 = 长 ×宽 = 8cm × 5cm = 40cm²周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (8cm + 5cm) = 26cm例二：三角形问题问题描述：一个底边是10cm，高是6cm的等腰三角形，求其面积。
解决思路：根据三角形的定义，我们知道三角形的面积为底边乘以高再除以2。
所以，通过面积法，我们可以直接计算出三角形的面积。
解决步骤：面积 = 底边 ×高 ÷ 2 = 10cm × 6cm ÷ 2 = 30cm²例三：复杂形状问题问题描述：如图所示，一个形状由一个正方形和一个等腰梯形组成，已知正方形的边长为4cm，梯形的上底长为6cm，下底长为10cm，高为8cm，求整个形状的面积。
解决思路：将形状分割为正方形和梯形两个部分，分别求解它们的面积，然后将两个面积相加即可得到整个形状的面积。
解决步骤：正方形面积 = 边长的平方 = 4cm × 4cm = 16cm²梯形面积 = (上底 + 下底) ×高 ÷ 2 = (6cm + 10cm) × 8cm ÷ 2 = 64cm²整个形状的面积 = 正方形面积 + 梯形面积 = 16cm² + 64cm² = 80cm²通过以上几个例子，我们可以看到面积法在解决平面形问题中的灵活性和简便性。
面积解决问题教案及教学反思
一、教案主题：面积解决问题教案及教学反思二、教学目标：1. 让学生掌握面积的概念及单位。
2. 培养学生运用面积解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
三、教学内容：1. 面积的概念及单位。
2. 面积的计算方法。
3. 面积在实际问题中的应用。
四、教学过程：1. 引入面积的概念，让学生通过观察实物，体会面积的意义。
2. 讲解面积的单位，如平方米、平方分米、平方厘米等。
3. 教授面积的计算方法，如长方形、正方形的面积公式。
4. 创设实际问题，让学生运用面积公式解决问题。
5. 总结课堂内容，布置作业。
五、教学反思：1. 反思教学内容是否全面，学生是否掌握了面积的概念、单位和计算方法。
2. 反思教学过程是否生动有趣，能否激发学生的学习兴趣。
3. 反思教学方法是否有效，学生是否能运用面积解决实际问题。
4. 反思作业布置是否合理，能否巩固所学知识。
5. 总结教学经验，为下一节课的教学做好准备。
六、教学策略：1. 采用直观教学法，通过实物、图片等引导学生直观地理解面积的概念。
2. 运用案例教学法，创设生活情境，让学生学会运用面积解决实际问题。
3. 采用分组讨论法，让学生合作探究，提高解决问题的能力。
4. 利用多媒体辅助教学，增强课堂趣味性，提高学生的学习兴趣。
七、教学评价：1. 课堂问答：通过提问，了解学生对面积概念、单位和计算方法的掌握情况。
2. 课后作业：检查学生完成作业的质量，巩固所学知识。
3. 实践环节：观察学生在解决实际问题时的表现，评价其运用面积的能力。
4. 学生互评：鼓励学生相互评价，提高团队合作意识。
八、教学资源：1. 教材：选用合适的教材，为学生提供权威、系统的学习资料。
2. 实物：准备相关实物，如图形模型、面积测量工具等，方便学生直观理解。
3. 图片：收集与面积相关的图片，为学生提供丰富的视觉素材。
4. 多媒体课件：制作生动、有趣的多媒体课件，辅助教学。
九、教学实践：1. 课堂实践：注重师生互动，引导学生积极参与课堂讨论，提高课堂活力。
数学人教版八年级上册用面积法解决问题
安顺市第四中学
教师：罗仕泽
教学内容
教学目标
1、知识与技能： 灵活利用面积解决平面几何问题；
2、过程与方法
通过类比不同解法，体会面积在解决问题的优 越性；
3、情感、态度、价值观
提升学生分析问题、解决问题的能力。
教学重点
灵活运用面积解决几何问题
教学难点
类比面积解决问题的优越性
忆一忆
问题
C
小 结 用面积法解几何问题常用到那些性质？
1、全等三角形的面积相等；三角形的中线把三角形分成面积相 等的两部分； 2、平行四边形的对角线把其分成面积相等的两部分； 3、三角形的面积等于同底（或等底）等高的平行四边形的面积 的一半；
4、同底（或等底）等高的三角形面积相等。
本节课你收获了什么？
课堂小练
填空： 25 1.若△ABC≌△DEF，且△ABC的面积为25，则△DEF的面积为 。 2.已知AD为△ABC的中线，则S △ABD与S △ACD的大小关系 为 S△ABD=S△ACD 。 3.(1)平行四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形△ABC 、 △ADC，则S △ABC与S △ADC的大小关系为 S△ABC=S△ADC 。 (2)平行四边形ABCD的边AD上有一点E，连结EB、EC，则S △EBC与S平行四边 形ABCD的关系为 S△ABD= S平行四边形ABCD 。 4.已知直线a ∥b，点M、N为b上两点，点A、B为a上两点，连结AM、AN、 BM、BN，则S △AMN 与S △BMN的大小关系为 S△AMN=S△BMN 。
F D B
C
结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和, 等于腰上的高。
实
践
矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点D， AB=4,BC=3,P为AD上任意一点，PE⊥AC于点 E,PF⊥BD于点F.求PE+PF的值。
面积法在初中数学解题中的应用
师生园地２０２２年４月下半月㊀㊀㊀面积法在初中数学解题中的应用◉辽宁省大连市第五十一中学㊀穆永强１引言面积法解题的基本思想是以 面积 当作思维起点,将题目中的已知量与未知量通过面积公式联系起来,这样显得更为简洁与直观,有助于学生快速理清思路,使其充分体会到面积法的妙用与价值．２应用面积法证明线段相等问题证明线段相等是一类较为常见的平面几何类问题,虽然运用常规方法能够证明,但有时,过程较为繁琐㊁步骤较多,有时学生容易陷入到思维障碍当中,影响他们的解题自信．对此,教师可以指导学生应用面积法证明线段相等的问题,使其转变解题思路,帮助他们找到正确的证明流程与方法．图１例１㊀如图１,已知在等腰三角形A B C 中,A B 和A C 相等,点D 在B C 边上,其中D B 的长度与D C 相等,D E 垂直于A B ,垂点是E ,D F 垂直于A C ,垂点为F ,请尝试证明D E 与D F 相等．分析:学生通过初步审题与观察图形,发现虽然题设中给出的条件较多,也极具条理性,不过他们一时间难以想到用何种方法来证明这两条线段相等,以至于陷入到困境当中．教师可提示学生应用面积法进行证明．具体证明方法如下:因为B D ＝C D ,所以әA B D 的面积同әA C D 的面积相等,得出１２A B D E ＝１２A C D E ,又因为AB ＝AC ,所以DE ＝DF ．虽然本题可以使用全等三角形的相关知识进行证明,不过采用面积法思路更为简洁,既可以培养学生一题多解的意识,还能够让他们感受到面积法的优势,扩充认知范围．３应用面积法准确求出线段长度求线段长度是数学解题训练中的惯设题目,贯穿于小学㊁初中㊁高中整个教学阶段,虽然这类题目大多数难度都不是特别大,不过部分题目中给出的隐藏条件难以发现,影响解题的正常进行．此时,教师在教学中,应指引学生尝试应用面积法来处理此类题目,使其通过面积的拆分准确求出线段长度,帮助他们建立解题自信．图２例２㊀如图２所示,在三角形A B C 中,B C ＝９０c m ,A D 为高,A D ＝６０c m ,正方形P Q MN 的顶点Q ,M 在BC 边上,顶点P ,N 分别在边A B ,A C 上,其中AD 垂直于B C ,垂点是D ,同正方形的边P N 相交于点E ,那么正方形P Q MN 的边长是多少?分析:学生读完题目后,发现题目中给出的具体数据仅限于三角形,似乎与正方形的关系不大,所以他们很难找准切入点,极易遇到解题障碍,所以教师可引导学生应用面积法,并结合方程相关知识求解．设正方形的边长是x c m ,因为１２ˑB C ˑA D ＝１２ˑP N ˑA E ＋１２ˑB Q ˑP Q ＋１２ˑC M ˑMN ＋P Q ２,代入相关数据可得,１２ˑ９０ˑ６０＝x ２ˑ(６０－x )＋１２ˑP Q (B Q ＋C M )＋P Q ２,由此得１２ˑ９０ˑ６０＝x２ˑ(６０－x )＋x ２ˑ(９０－x )＋x ２,将这个方程化简,解得的x 值即为正方形的边长．在本例中,常规解法是用相似三角形的相似比等于对应高线的比列出比例式求得结果,这里用面积的拆分求解有异曲同工之妙,可以有效活化学生的解题思路．４应用面积法求得线段长度的和不少平面几何类问题都与线段有一定的联系,除０９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２２年４月下半月㊀师生园地㊀㊀㊀㊀求一条线段的长度以外,还会求几条线段的总长,这类题目难度通常较大,学生处理起来颇费周折．为此,教师在教学中,可以引导学生尝试应用面积法求几条线段长度的和,使其通过拆分面积及面积公式顺利求得正确答案．图３例３㊀如图３所示,已知梯形A B C D 中,A D ʊB C ,A B ＝D C ,对角线A C 与B D 相交于点O ,E 为B C 上的一个动点(E 不与B ,C 两点重合),在点E 运动过程中,如果点E 到A C ,B D 的垂线段分别是E Q ,E P ,而B C ＝８,B D ＝６,梯形的高DF 的长度是３,求E P ＋E Q 的和．分析:本题涉及的元素较多,线段较为复杂,还存在一个动点,结果要求两条线段之和,对学生来说难度相对较大,不易找到突破口．应用面积法的解答方法如下:因为四边形A B C D 是一个等腰梯形,对角线A C 与B D 相交于点O ,据此能证明әO B C 是一个等腰三角形,又因为点E 是梯形下底上的一个动点,点E 到A C ,B D 的垂线段分别是E Q ,E P ,作辅助线延长B D 至H ,与C H 垂直,再根据等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高这一性质,得出E P ＋E Q ＝C H ．因为S әD B C ＝１２B C D F ＝１２B DC H ,由已知条件,求得C H ＝４,E P ＋E Q 的和是４．本案例,由于点E 是动点学生觉得无从下手,只要证明定理 等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 ,再结合同一个三角形面积的不同表示问题就轻松解决．５应用面积法求证线段比例等式求证线段比例也是初中数学解题教学中的一类常见题型,由于涉及到比例难度相对较大,对学生的解题能力与思维水平要求较高,通常要用到代数方面的知识,他们很难轻松证明．教师可引领学生巧妙采用面积法证明线段的比例等式,主要通过构建面积这一载体 ,证明几何图形的线段比例等式关系,显得清晰又直观．例４㊀已知在әA B C 中,D 是B C 上的一点,设点E 是A D 的中点,连接B E ,并延长与A C 交于点F ,假设B D ʒC D ＝２ʒ１,求证A F ʒF C ＝２ʒ３．分析:首先,根据题意画出图形,如图４,把点C 与点E 连接起来．设әC E D 的面积是x ,因为A E ＝D E ,所以әA E C 的面积也是x ．又因为B D ʒC D ＝２ʒ１,图４可得әB E D 的面积是２x ,又因A E ＝D E ,可得әA E B 的面积也是２x ．设әE F C 的面积为y ,则A F F C ＝S әA B F S әB F C ＝３x －y３x ＋y①A F F C ＝S әA E F S әE F C ＝x －yy②由式①㊁②式联立,可得x ＝５３y ．所以A F F C ＝S әA E F S әE F C ＝x －y y ＝５３y －y y ＝２３yy＝２３,即A F ʒF C ＝２ʒ３成立．本题采用面积法证明线段的比例等式十分巧妙,借助面积这一纽带,清楚地证明几何图形中线段比例的等式关系,使学生的解题思路变得愈加开阔．６应用面积法有效解决函数问题在求解初中函数类试题时,除运用待定系数法之外,还经常用到数形结合法,而面积法就属于数形结合思想的一种．有时,借助面积法也可以有效解决函数问题．例５㊀如果一次函数y ＝４x ＋b 的图象与两个坐标轴之间围成一个面积为８的三角形,求该一次函数的解析式．图５分析:本题虽然是一道代数题,但其求解过程要利用三角形的面积．为此,利用函数式找出两直角边的长即可．如图５所示．列出算式１２ˑ|b |ˑ|b |４＝８,解之得b ＝８,或b ＝－８,所以该一次函数的解析式为y ＝４x ＋８,或y ＝４x －８．本例结合面积法处理代数中的一次函数类题目,其实是对数形结合思想的巧妙应用,以此增进数与形之间的关系,使其掌握更多解题方法,优化他们的解题思路．总的来说,在初中数学解题教学活动中,教师很有必要把面积法的思想融会贯通至解题实践中,引领学生学会转变解题思路,思维变得发散与开阔起来,使其通过面积法的有效应用,将一些比较抽象㊁难懂㊁复杂的数学试题变得直观㊁易懂与简单,这对培养学生的解题能力㊁数学思想等均有着相当积极的意义．Z １９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
面积法在初中数学解题中的应用-最新教育文档
面积法在初中数学解题中的应用数学是中学阶段基础教育的主要学科之一，对启发学生思维、开发学生智力、培养逻辑能力等方面都有举足轻重的作用。
其中，平面几何又是中学数学学科中重要的内容。
学习平面几何相关知识有助于帮助学生形成良好的几何思维习惯，同时能有效培育和提升学生的数学演绎和推理能力。
平面几何在中国也拥有十分悠久的发展历史，同样，平面几何中的面积问题与平面几何一样历史悠久，从溯源的角度上看，面积还是几何学的起源之一。
面积及面积法在日常生活中的运用随处可见，与生活息息相关、紧密相连。
文章围绕面积法在初中数学解题中的应用展开研究，从面积简史、面积及面积法的基本概念入手，结合解题实例，详细分析面积法在初中数学解?}过程中的巧妙应用。
在中学数学中，关于面积和面积法相关知识的教学已达到一定深度。
通过对面积和面积法的学习，一方面能够使学生更好、更直观地学习、理解和掌握数学知识，另一方面通过面积法，构建“数形结合”几何模型，能够将中学数学中一些较为抽象和代数化知识进行更为直观、具象的几何解释。
这些都对培养学生的数学品质，理解数学思想，提升和强化学生具象思维和直觉思维等大有裨益。
对此，有必要更加深入地研究和探索面积及面积法的相关发展历程、概念，以及其在中学数学解题中的巧妙运用，来增强中学生数学思维的灵活性，提高学生的数学素养。
一、与面积相关内容的概述（一）中国古代数学的面积发展史面积的发展史最早可以追溯到古埃及时期，其在中国的发展也同样历史悠久、源远流长。
与其他古代文明相比，面积在中国数学史上的发展有着独特的风格和特色，其在中国古代的实际运用主要在于对田垄、土地的测量。
早在公元前2世纪，中国古代的数学家就著有《算术书》，该书是中国数学史上首次系统性地提出和阐释面积相关的算题，其中就包括对田地的测量以及土地税征收等，以及与实际生产生活密切联系的面积问题。
在之后的历史发展中，又相继有《九章算术》《九章算术注》《孙子算经》《缀术》等相关著作问世。
例谈面积法破解难题
ｎ × ＝ ２ × （ 丢 × 罟 × Ａ Ｂ ＋ １ ａ ｘ ） ，
１ ５
一
所 以
＋三 ｊ Ｅ ｝ ＝ 、 ／ ／ ２ ．
Ｃ
图２ Leabharlann 图１ 近三 年 任 教 初 三 毕 业 班 笔者 都将 此 题 供 学生练 习， 但 至今 没有一 人 能独 立求 解， 笔
５× １
积 的两倍 ， 设正五边形的边长 为 ａ ， 可得
例１ ｆ ２ ０ １ ２年 贵州 省黔 东南 州 中考 数 学 试 题） 如 图２ ， 在 △ＡＢ Ｃ中， Ａ Ｂ＝４ ５ 。 ， ＡＢ ＝１ ０ ， 点 Ｐ在 Ｊ Ｅ ｝ 上， Ｂ Ｐ＝２ ， 若 ｏ（ ＝ ｝ 的 圆 心《 二 ） 在线段 Ａ Ｐ上， 且ｏ （ 二 ｝ 与 Ｂ、Ｂ 都相切 ， 试 求 ｏ《 ＝ ） 的半 径 ．
—
； ②
（ ２ ） 如图３ （ ２ ） ， 以点 Ｏ为圆心， ＯＣ为半径 的 圆 弧交 Ｏ Ａ于 点 Ｄ， 若直 线 Ｇ Ｈ与 弧 ∞ 所 在 的圆相切 于矩形 内一点 Ｆ， 求直 线 Ｇ Ｈ 的函
数关系式． （ ３ ） 在（ ２ ） 的 结 论 下，梯 形 日Ｇ的 内部 有一 点 Ｐ， 当 ｏＰ与 日Ｇ、Ｇ 、Ａ Ｂ都相 切 时， 求 ｏＪ Ｆ ） 的半径 ．
感．
能用三角 函数表达式表示） ． 作为一个有近 ３ ０ 年教龄 的数学教师， 笔者 初见 此题竞感无 处入手， 绞尽脑汁 一时也没 能 解 出， 几 天后 ， 在讲 授 “ 三 角形 的 内切 圆” 一 节 时， 推 导 内切 圆半径 的过程给笔 者带来 了灵 感
一
用面积法解决 问题． 解： 显然 正五边 形的面积等于科学方舟面
证 明勾 股 定理 ａ ＋ｂ ２＝ Ｃ ２ ； 初三 推 导三角 形
利用三角形面积公式解决实际问题
利用三角形面积公式解决实际问题三角形是几何学中常见的图形，它的面积计算可以通过三角形面积公式来解决。
三角形面积公式是指通过三角形的边长或者底和高来计算其面积的方法。
本文将通过几个实际问题来说明如何利用三角形面积公式解决实际问题。
一、问题一：田地的面积假设有一个田地呈三角形状，其中两条边的长度分别为10米和12米，夹角为60度。
我们需要计算出这个田地的面积。
解决方法：首先，我们可以利用三角形面积公式来计算这个三角形的面积。
根据三角形面积公式，三角形的面积等于底乘以高的一半。
而在这个问题中，我们可以将其中一条边作为底，高可以通过正弦函数来计算得出。
底为10米，夹角为60度，我们可以利用正弦函数来计算出高的长度。
正弦函数的定义是三角形的对边长度与斜边长度的比值，即sinθ=对边/斜边。
在这个问题中，对边为高，斜边为12米，夹角为60度，所以我们可以计算出高的长度为sin60°*12米=12*√3/2=6√3米。
现在我们已经知道了底和高的长度，可以利用三角形面积公式来计算出三角形的面积。
面积=10米*6√3米/2=30√3平方米。
所以，这个田地的面积为30√3平方米。
二、问题二：房顶的斜边长度假设有一个房顶是一个等腰三角形，其中两条腰的长度分别为8米，而顶角为30度。
我们需要计算出这个房顶的斜边长度。
解决方法：要求解斜边长度，我们可以利用余弦函数来计算。
余弦函数的定义是三角形的底边长度与斜边长度的比值，即cosθ=底边/斜边。
在这个问题中，底边为腰的一半，即8米/2=4米，顶角为30度，我们可以计算出斜边的长度为4米/cos30°。
然而，在这个问题中，我们无法直接求出cos30°的精确值，所以我们需要借助三角函数表或计算器来计算。
计算结果约为4.6194米。
所以，这个房顶的斜边长度约为4.6194米。
三、问题三：三角形的高度假设有一个三角形，已知其中一边的长度为6米，而夹角为45度。
初中数学-面积问题与面积方法
即 的边BE上的高等于 的边CF上的高
∴
评注：解决本题的关键是运用“平行得等积”。
例2（2003年德国数学竞赛）在平行四边形ABCD中，M、N分别在AB、BC上，且M、N不与端点重合， 。设AN与CM相交于点Q。求证：DQ平分 。
证明：设点Q到AB、BC、CD、DA的距离分别为a、b、c、d
2． 中，设 为a边上的高，R、r分别为 外接圆、内切圆的半径， ，则
三角形的面积公式形式多样，注意根据问题需要灵活选取。
3．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（2）等底（或等高）的三角形的面积比等于其所对应的高（或底）的比。
4．共角定理
若 与 相等或互补，则 。
5．共边定理
如图，若直线AB与PQ相交于M，则 。
又
∴
又∵
∴
∴
评注：本题涉及到圆内接四边形，其另一种解法是运用托勒密定理，请参考本章超级训练第3题。
例6（2000年全国高中数学联赛）如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N为垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D点。证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等。
作 和 的平分线，且交于点M。于是，BM是AK的中垂线，DM是EK的中垂线。特别地，有 ，即M是 的外心。
因为
所以，
所以 ，即
又因为 ，
所以
故AE是 的斜边，即M是AE的中点。
因为 ， ，
所以
评注：巧妙地构造K点，采用“割补法”求解。
例8（2004年首届中国东南地区数学奥林匹克）设点D为等腰 的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在 内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E。求证： 。
面积法解决实际问题
面积法解决实际问题1、一个正方形，一条边减少4米，另一条增加6米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米？如图：①＋②＝①＋③，得②＝③，所以：长方形ABCD－③＝②＋④－③＝④＝4×6＝24平方米，比较长方形ABCD和长方形③，它们的长都是原正方形的边长，长方形ABCD的宽是6米，长方形③的宽是4米，这两个长方形的面积差是24平方米，所以正方形的边长是24÷(6－4)＝12米，正方形面积就是12×12＝144(平方米)2、一艘轮船每天往返于甲乙两城之间。
甲城开往乙城时，每小时行20千米；乙城原路返回甲城时，每小时行15千米。
轮船从甲城到乙城比从乙城到甲城少用8小时。
问：甲、乙两城相距多少千米？如图，横向表示速度，纵向表示时间，面积表示路程。
①＋②＝①＋③＝甲、乙两城之间的距离，得②＝③＝8×15＝120(千米)。
所以甲城到乙城的时间是：120÷(20－15)＝24(小时)，甲、乙两城之间的距离是：24×20＝480(千米)。
3、学校食堂买来一些大米。
计划吃8天，实际每天比计划多吃5千克，结果提前2天就吃完了。
你能算出原计划每天吃多少千克吗？如图：②＋③＝①＋②＝大米总量，得：③＝①＝5×(8－2)＝30(千克)。
这样就可以求出计划每天吃的大米是：30÷2＝15(千克)。
4、从甲地到乙地，如果车速每小时提高20千米，那么时间由4小时变成3小时。
甲、乙两地相距多少千米？如图：①＋②＝②＋③＝甲乙之间的路程，得：①＝③＝20×3＝60(千米)。
这样就可以求出原速：60÷(4－3)＝60(千米)，甲乙两地的路程是：60×4＝240(千米)。
5、全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9人，如果增加一条船，每条船正好坐6人。
问全班有多少人？如图：③＋②＝①＋②＝全班人数，得：③＝①＝6×(1＋1)＝12人，这样就可以求出每船坐9人需要12÷(9－6)＝4条船，因此全班有4×9＝36人。
利用图形面积妙解问题例析
我们 生 活 的世 界 是 个 丰 富多 彩 的 图形 世 界 ．利 用 这 些 千 变 万 被 广 泛 地 应 用 ．
化 的图形我们可 以解决很多 问题．其 中方法的优美 与巧妙 ，直观
据不完全统计 ， 勾股定理的证 明方法多达 ４ ０多种 ，其 中 ０
总之 ，人贵在创造 ， 创造思维是创造力的核心． 培养有创新
意识 和创 造才能 的人 才是 中华 民族 振兴 的需 要 ，让我们 共 同从
启发 学生进行 猜想 ，作为教师 ，首先要 点燃学 生主动探 索 课堂做起 ．
［ １年 期 基 教 论 ３ ２ ２ 第３ ］ 础 育 坛 ５ ０
方形 的面积 等于 图 ２中两个正方形 面积 的和 ，即 Ｃ ＝ａ ＋ｂ．由 ２ 面积 （ ＋ｂ （ ｏ ）ｏ—ｂ 由此 可 验 证 平 方 差 公 式 一６ ＝（ ＋ｂ （ ） ｏ ）ｏ一
形 面积的差（ 一ｂ） ２．图 １ ２平行 四边形形 的面积等于 （ 十ｂ （ ｏ ）ｎ一
６ ．由 于 图 ｌ 由 图 １ ） ２是 １的 阴影 部 分 切 割 拼 接 而 成 的 ，所 以 一
的会徽就是赵爽所使用 的这个 弦图．
ｂ等 于（ ６ （ 一ｂ ，由此可验证平方差公式 Ｇ一ｂ ＝（ ｂ （ ｚ 口＋ ）口 ） ２ 口＋ ）口一
３ 基 教 论 ２１年 期］ ６ 础 育 坛［ ２ 第３ ０
解题研究 ｒ——一
全平方公式 （ 。一ｂ ２ ａ ）＝ａ —２ｈ＋ｂ．
（ 结 图１的 法 们 以 到 下 计 仅 参 ． ２ 合 ５ 做 我 可 得 以 设 ， 供 考 ）
方法二 ：如 图 １ ３中大正方形是 由两个 小正方形和两个长 方 形组成 的．显而易见 ，其大正方形 的面积 （ ｏ＋６ 于两个小 正 ）等 方形 的面积 与两个全 等的长方 形的面积 的和 ＋２ｈ＋６．由此 ａ 验证 了（ ｂ ２ ａ ａ － ）＝ａ＋２ｈ＋６．同样道理如 图 １ ４ ： ４中的边长 为 一 ６ ）的正方形面积等 于边 长为 。的正方 形面积减去两个长 和宽分
《面积解决问题》教学反思
《面积解决问题》教学反思•相关推荐《面积解决问题》教学反思在日常生活中，课堂教学是我们的任务之一，反思过往之事，活在当下之时。
怎样写反思才更能起到其作用呢？下面是小编帮大家整理的《面积解决问题》教学反思，欢迎阅读与收藏。
《面积解决问题》教学反思篇1本节课的教学主要让学生明确长方形、正方形面积的计算方法，并能够在练习中灵活运用公式进行计算。
针对本课的教学设计，主要做到以下几点：1．把握重点，突破难点，合理利用教材。
对于长方形、正方形面积计算公式的推导，严格遵循学生主体性原则，让学生在动手操作、观察发现中促进知识的迁移，让学生轻松地理解掌握长方形、正方形面积的计算方法，以此来较好地突破难点。
2．直观演示和实际操作相结合。
通过直观演示和实际操作，引导学生观察、思考和探索圆柱体表面积的计算方法，鼓励学生积极主动地获取新知。
3．讲解与练习相结合。
本节课，改变了传统的先讲后练的教学模式，使讲、练结合贯穿教学的始终，让练习随着讲解由易到难，层层深入。
在练习表面积的实际应用时，又很自然地进行了“进一法”的教学，使讲、练真正做到了有机结合，使学生学习的知识是有效的、实用的，同时也能激发学生学习数学和运用知识解决实际问题的兴趣，培养学生的应用意识。
本课教学在突破重难点时要充分运用好学生知识和能力的迁移作用及学生的生活经历。
教材在编写上前后都是有一定的联系的，在学习新知识时往往能够应用到学过的知识和方法。
本课的教学中，学生得出长方形和正方形面积时，就可以引导学生利用圆的面积公式长和宽的方法，然后再利用上节课学习的知识，让学生明确长方形和正方形周长时并能够运用底面周长公式求出长。
这一过程是学生的已有知识的拓展和延伸，能够有效地培养学生知识迁移的能力。
在教学例4时，要充分利用学生的生活经历，让学生在观察中获得求客厅面积时，并根据信息计算出结果。
与此同时，教学中教师还要引导学生列举出求厨房、卧式等面积的方法，把学生的生活经历与数学学习结合在一起，让学生体验数学来源于生活并服务于生活的道理。
用小学数学中的面积概念解决实际问题
用小学数学中的面积概念解决实际问题面积是小学数学中的一个重要概念，它广泛应用于解决实际问题中。
在日常生活中，我们常常会遇到需要计算面积的情况，比如购买地毯时需要知道房间的面积，设计花园时需要计算花坛的面积等等。
本文将通过几个实际问题，利用小学数学中的面积概念来解决这些问题。
问题一：购买地毯小明家的客厅地板面积为4米乘以3米，他准备在客厅中央放置一块地毯，请问他应该购买多大面积的地毯？解决方法：首先，我们需要计算客厅的面积，客厅地板的长和宽分别为4米和3米，因此客厅的面积可以通过将长和宽相乘得到，即4米乘以3米等于12平方米。
然后，我们需要确定地毯覆盖的面积。
根据小明的要求，地毯将覆盖客厅的中央区域，因此我们可以假设地毯为一个矩形，它的长和宽可以自由选择。
为了让地毯居中放置，我们选择地毯的长和宽与客厅地板长和宽相等。
由于客厅的长和宽都是整数，我们可以选择地毯的长和宽为2米乘以1米，这样地毯的面积也可以通过将长和宽相乘得到，即2米乘以1米等于2平方米。
因此，小明应该购买一个面积为2平方米的地毯。
问题二：设计花园小红想要在家里的后花园中设计一个花坛，花坛的形状为一个正方形，边长为2米，她计划种植一些花卉，请问她需要购买多少土壤来填充花坛？解决方法：首先，我们需要计算花坛的面积，由于花坛是一个正方形，边长为2米，我们可以用边长的平方来计算面积，即2米乘以2米等于4平方米。
然后，我们需要确定花坛所需的土壤量。
一般来说，每平方米的地面需要土壤的厚度为一定数值，我们可以假设为20厘米。
因此，花坛所需的土壤量可以通过将地面面积（4平方米）与土壤厚度（20厘米）相乘得到，即4平方米乘以20厘米等于80立方厘米。
最后，我们需要将土壤的单位转换为适合购买的单位。
假设花坛所需的土壤袋装售卖，每袋土壤的重量为10千克。
因此，我们可以将土壤的体积转换为重量，即80立方厘米除以10千克，等于8袋土壤。
因此，小红需要购买8袋土壤来填充花坛。
初中数学重点梳理：面积问题的解决方法
面积问题与面积方法知识定位能够用正确的方法求解几何的有关面积，并且能够巧算面积，化难为易，化复杂为简单；要熟练的应用几何求几何面积的几种模式，其中主要有等积变换模型、鸟头定理（共角定理）模型、蝴蝶定理模型、相似模型、燕尾定理模型。
知识梳理1、 等面积变化模型：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图12::S S a b =（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
（4）正方形的面积等于对角线长度平方的一半；（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；2、鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
（1）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
（2）如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S3、蝴蝶定理模型：任意四边形中的比例关系。
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
① 1243::S S S S =1324S S S S ⨯=⨯ ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 4、相似模型：相似三角形：相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； （2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
用面积法解几何问题
用面积法解几何问题（一）证明面积问题常用的理论依据1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。
（二）证明面积问题常用的证题思路和方法1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。
4. 还可以利用面积解决其它问题。
【典型例题】（一）怎样证明面积问题1. 分解法例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。
分析：从图形上观察，△DEF可分为三部分，其中①是△ADE，它与△ADB同底等③三是△AEF，只要再证出它与△ABC的面积相等即可由S△CFE＝S△CFB故可得出S△AEF＝S△ABC证明：∵AD//BE//CF∴△ADB和△ADE同底等高∴S△ADB＝S△ADE同理可证：S△ADC＝S△ADF∴S△ABC＝S△ADE+S△ADF又∵S△CEF＝S△CBF∴S△ABC＝S△AEF∴S△AEF+S△ADE+S△ADF＝2S△ABC∴S△DEF＝2S△ABC2. 作平行线法例2. 已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点分析：由M为腰BC的中点可想到过M作底的平行线MN，则MN为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h证明：过M作MN//AB∵M为腰BC的中点∴MN是梯形的中位线设梯形的高为h（二）用面积法解几何问题有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质：性质1：等底等高的三角形面积相等性质2：同底等高的三角形面积相等性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比性质5：等底的两个三角形的面积比等于高之比1. 证线段之积相等例3. 设AD、BE和CF是△ABC的三条高，求证：AD·BC＝BE·AC＝CF·AB分析：从结论可看出，AD、BE、CF分别是BC、AC、AB三边上的高，故可联想到可用面积法。
面积除法解决问题练习的结果是..
面积除法解决问题练习的结果是..
随着研究面积和除法的概念，我们进行了一系列的解决问题练。
通过这些练，我们提供了一种简单而有效的方法来解决与面积和除
法相关的问题。
在这些练中，我们分析了各种不同的情况，并提供了相应的解
决方案。
通过运用面积除法的原理，我们能够计算出各种形状的面积，并通过除法运算解决与面积相关的问题。
我们注意到，面积除法的方法在解决问题时非常直接且易于理解。
通过将形状划分为更小的部分，并计算每个部分的面积，我们
可以轻松地得出整个形状的总面积。
在这些练中，我们还研究了一些重要的概念，例如单位转换和
小数计算。
这些概念对于正确计算面积和解决相关问题至关重要。
通过这些解决问题练，我们进一步加深了对面积和除法的理解，并掌握了一种简单而有效的方法来解决与面积和除法相关的问题。
这些练不仅仅是研究的一部分，还能够增强我们的计算能力，并提高解决问题的技巧。
总之，面积除法解决问题练习的结果是，我们掌握了一种简单而有效的方法来解决与面积和除法相关的问题。
这些练习不仅是提高计算能力的一种方式，同时也增强了我们对面积和除法概念的理解。
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O
从而得出PE+PF的值。
B
C
小结 用面积法解几何问题常用到那些性质？
1、全等三角形的面积相等；三角形的中线把三角形分成面积相 等的两部分； 2、平行四边形的对角线把其分成面积相等的两部分； 3、三角形的面积等于同底（或等底）等高的平行四边形的面积 的一半； 4、同底（或等底）等高的三角形面积相等。
试证明：在直角三角形中，如果两直角边分
别为a、b，斜边为c，那么：
。
c b
a
赵爽弦图
探索
例1：已知， ABC中，D是BC上一点，且BD=CD，
1= 2. 求证：AB=AC。
A
12
分析：本题由BD=CD，可得： S△ABD ≌ S△ACD；由 ∠1= ∠2，可得点D到AB，AC 两边的距离相等，从而利用面积法，得 AB=AC。
用面积法解决问题
安顺市第四中学 教师：罗仕泽
教学内容
教学目标
1、知识与技能：
灵活利用面积解决平面几何问题；
2、过程与方法
越性；
通过类比不同解法，体会面积在解决问题的优
3、情感、态度、价值观 提升学生分析问题、解决问题的能力。
教学重点
灵活运用面积解决几何问题
教学难点
类比面积解决问题的优越性
忆一忆
问题
E
F
B
C
D
探索
例2：已知 ABC中，AB=AC,P为底边BC上任意一 点，PD ⊥ AB于点D,PE ⊥ AC于点E,BF ⊥ AC于点F. 求证：PD+PE=BF
A F
分析：此题可构造矩形来证明，但较麻烦。
考虑到题中有三条“垂线段”，可尝试面积
法。连接AP，根据:S△ABC=S△ABP+S△ACP，结合 AB=AC，可得证。
。
D
E
B
Hale Waihona Puke PC结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和,
等于腰上的高。
实践
矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点D，
AB=4,BC=3,P为AD上任意一点，PE⊥AC于点
E,PF⊥BD于点F.求PE+PF的值。
A
P
D
分析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，得
E
F
S△AOD= S△ABD，连接OP，S△AOD= S△APO+S△ADO
。
(2)平行四边形ABCD的边AD上有一点E，连结EB、EC，则S △EBC与S平行四边 形ABCD的关系为
S△ABD= S平行四边形ABC。D
4.已知直线a ∥b，点M、N为b上两点，点A、B为a上两点，连结AM、AN、
BM、BN，则S △AMN 与S △BMN的大小关系为 S△AMN=S△BMN
本节课你收获了什么？
课堂小练
填空： 1.若△ABC≌△DEF，且△ABC的面积为25，则△DEF的面积为 25 。
2.已知AD为△ABC的中线，则S 为 S△ABD=S△ACD 。
△ABD与S
△ACD的大小关系
3.(1)平行四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形△ABC 、
△ADC，则S △ABC与S △ADC的大小关系为 S△ABC=S△ADC