宝应安宜高级中学杨树林弧度制

弧度制（1）教学设计

宝应安宜高级中学杨树林一、复习引入

师：前面我们学习了任意的角，已经把角推广到任意的范围了。可以有“正角、负角、零角”之分。比如说，以直角坐标系的原点为顶点，X轴正方向所在边为始边，逆时针旋转30º，得到的角是什么？

生：“+30º”，

师：顺时针旋转30º，得到的角是什么？

生：“-30º”

师：它们的单位都是什么？

生：“度”

师：也就是说，以前我们度量一个角是用角度“º”来

度量。那么到底什么是1º的角呢？1º的角是怎么规定

的呢？

（给学生思考时间），估计学生会忘记，教师可以直接回答

师：请看投影里面的图像，我们知道周角是360º，

规定周角的1/360叫做1度的角。

师：说了那么多的角，它们的单位都是度（°），初中学过用度作

单位来度量角的单位制叫做角度制。“度”（即“º”）能不能省略？

生：不能省略

师：好，我们再请大家考虑这么一个问题，1厘米长的一个线段（在黑板中画出）还可以怎么表示？

生：0.1分米，0.01米

师：也就是说同样长的一段，我们可以用不同的单位来表示。这个是长度单位，如果对于同样大小的一个角，我们除了用角度制来表示，能不能用其他的单位呢？

（学生可能犹豫）

师：其实是可以的，这就是我们今天要学习的弧度制。（教师板书，写出标题）

二、新课讲授

1、定义（教师板书）

师：（黑板上面画出圆和1弧度角的图像）请大家看这个图像，我在圆上取一段弧，弧长为l，l所对的圆心角叫α，r为半径

如果l r=，此时，这个圆心角α叫做1弧度的

角，记作“1rad”，这里我们是用“弧度”来

作为角的单位的，这种单位制叫做弧度制。

师：1弧度和1角度一样大吗？（要求学生观察图像）回答 生：不一样

师：很好，从图像看很明显。下面再来考虑这样的一个问题。请看图（教师在黑板上画出图像），如果2l r =，此时，圆心角是多大呢？ 生：2弧度

师：很好，因为此时

师：当圆心角为周角时，它所对的弧长是多少？周角的弧度数是多少？（学生回答） 生：2l r π=，

师：当圆心角为平角时，它所对的弧长是多少？周角的弧度数是

多少？（学生回答） 生：l r π=，

师：由上述可以知道，当问一个圆心角是多少弧度时，我们只要

用弧长/半径即可 即

任一个0º到360º 的角的弧度数必然适合不等式

（此处有问题） 师：如果当圆心角为直角时呢？（学生思考，回答）

22l r

rad r r

==1

22r l r r

ππ⨯

==(0360)l

r αα=≤<

生：

师：想一想，如果圆心角表示一个负值，且它所对的弧长

为 ，这个圆心角的弧度数是多少？

（先让学生思考，学生回答不出来，教师补答）

师：

（教师投影）

2、弧度制角的推广（板书）

师：我们知道角是有“正角、负角、零角”之分的。如“90º”，“-90º”， “-180º”，“0º”现在请用弧度制来表示这些角？ 生：

,022

π

π

π-，-, 师：很好，由此，我们可以得到下面的一些结论(教师板书)

正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是一个负数，

零角的弧度数是0； 师：前面我们说过 ，这里弧长l 是正数，半径r 也是正数。那么对于负角怎么算呢？其实不管是正角，负角，正负都是对旋转方向来说的，因此，我们规定对于任意的角α的弧

度数的绝对值=l

r

α。

1

2142

r l r

r ππ⨯=

=4l r

π=(0360)l

r

αα=≤<

3、角度制与弧度制的换算（板书）

师：前面我们说1厘米可以换算做0.1分米或0.01米，那么对于同样大小的一个角，既然可以用角度制来度量，也可以用弧度制来度量，那么角度制和弧度制能不能换算呢？怎么换算呢？ 生：能。（思考怎么换算）

师：好，请大家看黑板。（板书给出换算过程） （1） 把角度换成弧度

例1、把 90º , 67º30¢ 化成弧度。

练习 （学生做，找2个学生板书） 师：大家做好了，看看他们做的对不对

（学生活动，检查，比较，教师请一个同学回答正确情况） （2）弧度制换成角度制

解：=︒90)2167(180⨯=

rad πrad 2

π=90180⨯rad π0367'︒rad π83

=︒=)2167(()03222'

︒()︒-2101rad

π2rad

π=

︒1=︒360=︒180rad 01745.0≈rad 180

π

2360180180157.305718rad rad rad πππ

=︒

=︒

︒

'

=

≈︒=︒

练习 （学生做，找2个学生板书）

师：大家做好了，看看他们做的对不对

（学生活动，检查，比较，教师请一个同学回答正确情况） 4、对应关系

师：由上述可知，在角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 如图（给出投影）

师：也就是说每一个角都有唯一的一个实数（这个角的弧度数或度数）与它对应；反之，每一个实数也都有唯一的一个角（弧度数或度数等于这个实数的角）与它对应。

三、课堂小结

师：本节课我们主要学习了2个方面的内容。1．弧度制定义

3例2、把—rad ,-2.1 rad 化成度。5π解：rad

π53︒-=33.120︒⨯-≈30.571.2rad 1.2-()π1031()122π-

6

例如；

弧度的数弧度的数6

π

π

2-2

-