静电唯一性定理

静电唯一性定理

我们将证明，如果我们得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，那么，这个解是唯一的。这就是静电唯一性定理。下面我们证明这一定理并初步介绍它的应用。

在由边界面s 包围的求解区域V 内，若：

1) 区域V 内的电荷分布给定；

2) 在边界面s 上各点，给定了电势s ϕ，或给定了电势法向偏导数

s n ϕ∂∂， 则V 内的电势唯一确定。

以上的表述就是静电唯一性定理。下面，我们用反证法证明静电唯一性定理。

证: 假定在区域V 内的电荷密度分布为ρ(x )，且有两个不同的解φ1和φ2满足泊松方程及给定边界条件(给定的电势值s ϕ或电势法向偏导数

s n ϕ∂∂)。即： 2212,ρρϕϕεε

∇=-∇=- 并有

12s s s ϕϕϕ==

或

12

s

s s n n n ϕϕϕ∂∂∂==∂∂∂ 式中s ϕ和s

n ϕ∂∂为给定的边界条件。令φ = φ1 – φ2，则在区域V 内各点： 2212()0φϕϕ∇=∇-= (2-2-1)

及在边界s 上各点：

120s s s φϕϕ=-= (2-2-2)

或

12

0s s s

n n n ϕϕφ∂∂∂=-=∂∂∂ (2-2-3) 利用公式

22d d ()d V V s

V V φφφφφ∇+∇=∇⎰⎰⎰s 将式(2-2-1)带入上式得：

2d ()d d V s

s V s n φφφφφ∇=∇∂=∂⎰⎰⎰s (2-2-4)

若在边界s 上各点无论是给定了电势或给定了电势法向偏导数均有：

2

d 0V V φ∇=⎰ (2-2-5)

因|∇φ|2 ≥ 0，满足上式的条件只能是在求解区域V 内各点∇φ = 0。因此，

φ1 - φ2= 常数

如果在边界上（或部分边界上）给定了电势φ|s ，则因φ1|s = φ2|s ，此常数为零；若全部边界条件给出的不是电势，而是(∂φ/∂n )|s ，此常数不一定为零。但由式E = -∇φ，区域V 内的电场唯一确定，一个常数并不改变电场的基本特性，通常为了方便，此常数可选择为零。

由此，我们最初假定φ1和φ2是两个不同的电势解是不成立的。这样我们就证明了静电唯一性定理。

在边界上各点给定电势值φ|s 的条件通常我们称为第一类边界条件；而给定法向偏导数条件(∂φ/∂n )|s 则称为第二类边界条件。从式(2-2-4)来看，若部分边界上给出第一类边界条件，部分边界上给出第二类边界条件，并不改变我们的结论。

若空间存在不同的介质，显然这种情况并没有影响我们的证明过程。因此也不改变我们的结论。但在实际中，我们通常是将每一种介质作为一个子区域来求解电势问题。子区域之间的电势通过电势的边值关系连接（衔接）起来而得到整个空间的电势解。因此，在这种情况下，还必须给出介质分界面的电荷密度，这仍然是“给出求解区域内的电荷分布”情况。

若空间存在导体，导体区域不是我们的求解区域，而导体表面则是求解区域的边界。因此，若空间存在导体，则必须给出导体上的电势或导体所带电荷量，否则不能得到唯一解。给出了导体上的电势，这是属于第一类边界条件。对于给出了导体所带的电量Q ，因导体电荷分布在表面上，面电荷密度0fs n ϕρε∂=-∂，而s d fs s Q ρ=⎰，因此这种情况仍属于第二类边界条件问题，其中s 为包围导体的封闭面。

在应用静电唯一性定理时，要注意的是，有时边界面在无穷远处。

静电唯一性定理有两个重要的意义：

(1) 它指明了确定电势解的条件是什么。这些条件是：

i) 求解区域内的电荷分布情况必须给出(包含ρf = 0)；

ii) 求解区域边界上各点必须给定电势值φ|s ，或电势法向偏导数s

n ϕ∂∂。 (2) 因满足给定边界条件的泊松方程的解是唯一的，因此我们可以尝试解。只要尝试解满足区域内电荷分布，满足边界条件，此尝试解就是唯一解。

从实际的观点来看，静电唯一性定理的意义在于：无论我们用什么方法，一旦得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，则此解是唯一的，而不用担心有其它的解。这个“无论什么方法”，指的是系统的分析方法、或机灵的猜测、或幸运的猜测、或简单的记住了过去的类似解而给出符合问题的变形等等方法。

需要指出的是：“满足泊松方程的解”意味着解满足了求解区域内的电荷分布。或者说给定电荷分布既是给定了泊松方程的具体形式。因此，根据静电唯一性定理，确定电势解的全部条件(简称定解条件)为泊松方程的具体形式和所有边界条件。