初三数学九下相似所有知识点总结和常考题型练习题

相似知识点

一、比例的性质

b

a

n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 二、相似三角形：

1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理：

(1)类型 斜三角形

直角三角形

全等三角形的判定

SAS SSS

AAS （ASA ）

HL

相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等

三边对应成比例 两角对应相等

一条直角边与斜边对应成比例

6.直角三角形相似：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理：

(1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2

相似练习

一. 选择题

1．如图，DE ∥BC ，AD ：DB=2：1，那么△ADE 与△ABC 的相似比为 ( ) A ．

12 B ．23 C ．1

4

D ．2 c

d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质：d

d

c b b a ±=

± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理）

2．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，那么在下列比例式中，正确的是 ( ) A ．

AB OA CD AD = B ．OA OB OD BC = C ．AB OB CD OC = D ．BC OB

AD OD

=

3．下列叙述中，不正确的是 ( )

A ．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=20°，在Rt △A ′

B ′

C ′中，∠C ′=90°，∠A ′=20°，则△ABC

∽△A ′B ′C ′

B ．△AB

C 的两个角分别是35°和100°，△A ′B ′C ′的两个角分别是45°和35°，则这两个三角

形相似

C ．等腰△ABC 和等腰△A ′B ′C ′都有一个角为90°，则△ABC 与△A ′B ′C ′相似

D ．等腰△ABC 和等腰△A ′B ′C ′都有一个角为105°，则△ABC 与△A ′B ′C ′相似 4．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB=3，CD=6，AP=4，则DP 的长为 ( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8

5．如图，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似的三角形共有 ( )

A ．4对

B ．3对

C ．2对

D ．1对

6. 如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是 ( )

A ．13

B ．23

C ．34

D ．45

7. 如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为3

1

，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ） A ．(2，1) B ．(2，0)

C ．(3，3)

D ．(3，1)

8. 如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB =AD ，CD =AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

6．如图，△ADE∽△ABC，则AD：DB=__________．

7．已知在△ABC中，∠A=40°，∠B=75°，则在如图所示的三角形中，与△ABC相似的是_______．8．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似．你添加的条件是_______________．

9．如图，DE∥BC，若AD=3，BD=2．AE=6，则AC=__________．

10. 如果

k

f

e

d

c

b

a

=

=

=

（

≠

+

+f

d

b），且)

(3f

d

b

e

c

a+

+

=

+

+，那么k=_

11. 在□ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD：S△COB= ．

三、解答题

11．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，若∠A=38°，∠C=82°，∠1=60°，则

AD AB

AE AC

=成立吗?为什么?

12．请设计三种不同的分法，将如图所示的直角三角形分割成四个小三角形，使得每个小三角形与原三角形都相似(要求画出分割线段，标出能够说明分法的必要记号，不要求写出画法，不要求说明理由)．

13．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，说明：△ADE∽△EFC．A

D E