《概率学》1.4条件概率与独立性
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解 设A, B分别表示甲、乙命中目标，由题意
P(A)=0.6，P(B)=0.5，且A，B相互独立.所以
（1）P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.5=0.3，
(2) P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.6 0.5 0.3 0.8,
(3) P(AB
AB) P(AB) P(AB)
0.059.
1 8
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例8．设每门炮的命中率为0.6，今有一敌机入侵，欲以 99％的把握击中敌机，问应设几门炮？
解：设配置n门炮，Ai={第i门炮击中敌机}，i=1,2,…,n A={敌机被击中}。
的数学模型。
1 1
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
三、 事件的独立性
引入：一般地 P(B|A)≠P(B),即A的发生，会对B的发 生产生影响，但在某些情况下有Ｐ(B|A)＝P(B)，如：
设盒中３个白球,２个红球, 从中取球两次, 每次一个, 在 a)不放回取样；b)放回取样，求下列事件的概率：
(1)第二次取得红球的概率； (2)在第一次取白球的条件下,第二次取得红球的概率 解：设A＝“第一次取得白球”, B＝“第二次取得红球”, a)不放回取样 (1) P(B)=2/5, (2) P(B|A)=2/4,
P(B)≠P(B|A); b)放回取样 (1) P(B)=2/5,
P(B)＝P(B|A) .
（1）P(B)=10/20=1/2；
（2）P(B|A)=6/13。
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B | A) 6 6 / 20 P( AB)
13 13 / 20 P( A)
3
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
1 P( A)P(B)P(C)
1 0.9 0.80.85 0.388.
1 7
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例7.一工人照看三台机床，在一小时内甲、乙、丙 三台机床不需要照看的概率分别为0.1，0.2和0.15，各 台机床是否需要照看是独立的。求在一小时内 (1)没有 一台机床需要照看的概率； (2)至少有一台机床不需 要照看的概率； (3)最多有一台机床需要照看的概率。
（2） P( A1 A2 A3) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2)
3 2 7 0.0583.
10 9 8
1
0
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例5(罐子模型). 罐中有 a 个白球、b 个黑球，每次从 中任取一个，取出后将球放回，再加入c 个同色球,若连 续从罐中取球三次, 求三次都取到黑球的概率 .
解： 设A, B, C 分别表示甲、乙、丙机床不需要照看三 个事件，则 P(A) = 0.1，P(B) = 0.2，P(C) = 0.15
由题意A, B, C 相互独立，所求概率分别为
(1) P( ABC) P( A)P(B)P(C) 0.1 0.2 0.15 0.003.
(2) P( A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC)
P( A)[1 P(B)] P(A)P(B).
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例6 有甲、乙两人分别同时向一目标射击，已知甲、 乙命中率分别为0.6和0.5，求：
（1）两人都能命中目标的概率； （2）至少有一人命中目标的概率； （3）恰好有一人命中目标的概率 .
P(B | A) P(AB) P( A)
条件概率
P( AB) P( A)P(B | A)
乘法公式
8
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
二、 乘法公式(Multiplication formula)
(1) 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A).
(3) P( A B C A B C A B C A B C)
P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(C)
0.9 0.2 0.15 0.1 0.8 0.15 0.1 0.2 0.85 0.1 0.2 0.15
解
0.4=P(B|A)
= P(AB) P( A)
= P(B) P( AB) 1 P( A)
= 0.6 P(AB) 0.5
得 P(AB) 0.4
P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.7
P(A | B)
= P( AB) P(B)
= P( A) P( AB) 1 P(B)
=0.25
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第一章 事件与概率
定义 对于事件A、B，若 P(A)>0，则称
P(B|A) = P(AB) / P(A)
为在 A 出现的条件下，B 出现的条件概率. 条件概率是概率
➢ 条件概率 P(B|A)满足概率的三条公理.
➢ 由此得： P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C) P(AB|C)；
若 A 与 B 互不相容，则 P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C) ；
解 设Ai=“第i次取得黑球”，i=1,2, 3.
P( A1A2 A3 ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
b b c b 2c a b a b c a b 2c
上述概率显然满足不等式
P(A1)＜P(A2|A1)＜P(A3|A1A2)，
该模型称为Poloya模型常用作为传染病和地震发生
P(
A1)
P( A1A 2 P( A 1 )
)
P( A1A 2 A 3) P( A1A 2 )
P(A1A 2 P( A1A 2
An1 An ) An1 )
P( A1A 2
An1 An ).
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.
( 2)．n个事件的独立性
n个事件A1, A2, …, An，如果对于任意k(1<k≤n), 任意1≤i1＜i2＜…ik≤n，满足等式
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ),
则称A1, A2, …, An是相互独立 的事件。 注：(1)若n个事件A1,A2,…,An独立, 则其部分事件组也独立；
0.6 (1 0.5) (1 0 .6) 0.5 0.5.
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
2. 多个事件的独立性
(1) . 三个事件的独立性 三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B),
P(AC) P(A)P(C),
P(B | A) P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72
1
C120
C32 C120
1. 2
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例3 已知P(A)=0.5,P(B)=0.6, P(B|A) 0.4,
计算P(A∪B)， P( A | B),
对于古典概型有 P(B | A) P(AB)
P( A)
对于几何概型有 P(B | A) P(AB)
P( A)
定义 对于事件A，B，若 P(A)>0，则称
P(B|A) = P(AB) / P(A) 为在 A出现的条件下，B 出现的条件概率.
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第4节 条件概率与独立性
例4. 10个零件中有3次品，7件正品，每次任取1件， 取后不放回.
（1）连取2次，求2次都取得正品的概率； （2）连续取3次，求第三次才取得正品概率。
解 设Ai=“第i次取得正品”，i=1，2，3。 B＝“第三次才取得正品”，
（1） P( A1A2) P( A1)P( A2 | A1) 7 6 0.4667; 10 9
若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)；
(2) 若 P(A1A2 ······An1)>0，则 P(A1A2 ······An)
= P(A1)P(A2|A1) ······P(An|A1A2 ······An1)
(2)证明提示：
P(A1) P(A1A 2 ) P(A1A 2 A 3 ) P(A1A 2 An1) 0
第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例7.一工人照看三台机床，在一小时内甲、乙、丙 三台机床不需要照看的概率分别为0.1，0.2和0.15，各 台机床是否需要照看是独立的。求在一小时内 (1)没有 一台机床需要照看的概率； (2)至少有一台机床不需 要照看的概率； (3)最多有一台机床需要照看的概率。
(2) P(B|A)= 2/5 ,
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第4节 条件概率与独立性
第一章
1.两个事件的独立性
定义 设A、B二事件，如果满足等式
事件与概率
P(AB)=P(A)P(B), 则称A、B为相互独立的事件。
由定义得：必然事件Ω及不可能事件与Φ任何事件 都相互独立。
性质
(1)若P(A)>0, P(B)>0, 则Ａ和B独立当且仅当
P(B|A)=P(B); P(A|B)=P(A).
(2) 若A与B独立, 则A与 B ; A 与 B; A与 B也独立.
证明：因为 AB A B A AB 所以有
P(AB) P(A AB) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B)
(2)若n个事件A1, A2, …, An独立，则将其中部分事件 换为对立事件所得的事件组也独立．
(3) 若A1, A2, …An是相互独立的，则 P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P(An）;
P(A1 A2 An) 1 P(A1 A2 An).
1 P( A1 A2
An ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P(1An ). 6 山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
P(A | B) 1 P(A | B)
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
条件概率的计算
a)在缩减的样本空间上直接计算. b) 利用公式计算。
例１．设10件产品中有7件正品，3件次品，从中 取两次，每次１件，取后不放回，求在第一次取得正品 的情况下，第二次取得正品的概率．
一、 条件概率的定义
实际问题中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条件
下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为A发生的条件下
B发生的条件概率。
引例 设盒中10个玻璃球（6红, 4蓝）,10个木质球
（7红,3蓝），从中任取１球，
（1）求取出玻璃球的概率．
（2）已知取出的红球，求取出玻璃球的概率．
解：设A为“取出１个红球”， B为“取出１个玻璃球”．
解：设 A＝“第一次取得正品”,B＝“第二次取得正 品，” 则
P(B|A)=6/9
6
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例2．设10件产品中有7件正品，3件次品，从中任 取两件，已知其中有１件正品，求另１件也是正品的
概率．
解：设 A＝“其中有１件正品”，B＝“另１件也是 正品”，则
P BC P(B)P(C),
则称三事件A、B、C相互独立.
P(ABC) P(A)P(B)P(C),
如果A、B、C仅满足上式中的前三个等式，则 称三事件A、B、C 两两相互独立.
事件两两独立，不一定相互独立.
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
第一章 事件与概率
第一节 随机事件及其概率 第二节 概率的定义 第三节 概率的性质 第第四四节节 条条件件概概率率与与独独立立性性 第五节 全概率公式与贝
叶斯公式
第四节 条件概率与独立性
一、条件概率 二、乘法公式 三、事件的独立性 四、试验的独立性（伯努利试验）
第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
P(A)=0.6，P(B)=0.5，且A，B相互独立.所以
（1）P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.5=0.3，
(2) P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.6 0.5 0.3 0.8,
(3) P(AB
AB) P(AB) P(AB)
0.059.
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例8．设每门炮的命中率为0.6，今有一敌机入侵，欲以 99％的把握击中敌机，问应设几门炮？
解：设配置n门炮，Ai={第i门炮击中敌机}，i=1,2,…,n A={敌机被击中}。
的数学模型。
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第一章 事件与概率
三、 事件的独立性
引入：一般地 P(B|A)≠P(B),即A的发生，会对B的发 生产生影响，但在某些情况下有Ｐ(B|A)＝P(B)，如：
设盒中３个白球,２个红球, 从中取球两次, 每次一个, 在 a)不放回取样；b)放回取样，求下列事件的概率：
(1)第二次取得红球的概率； (2)在第一次取白球的条件下,第二次取得红球的概率 解：设A＝“第一次取得白球”, B＝“第二次取得红球”, a)不放回取样 (1) P(B)=2/5, (2) P(B|A)=2/4,
P(B)≠P(B|A); b)放回取样 (1) P(B)=2/5,
P(B)＝P(B|A) .
（1）P(B)=10/20=1/2；
（2）P(B|A)=6/13。
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B | A) 6 6 / 20 P( AB)
13 13 / 20 P( A)
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
1 P( A)P(B)P(C)
1 0.9 0.80.85 0.388.
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例7.一工人照看三台机床，在一小时内甲、乙、丙 三台机床不需要照看的概率分别为0.1，0.2和0.15，各 台机床是否需要照看是独立的。求在一小时内 (1)没有 一台机床需要照看的概率； (2)至少有一台机床不需 要照看的概率； (3)最多有一台机床需要照看的概率。
（2） P( A1 A2 A3) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2)
3 2 7 0.0583.
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例5(罐子模型). 罐中有 a 个白球、b 个黑球，每次从 中任取一个，取出后将球放回，再加入c 个同色球,若连 续从罐中取球三次, 求三次都取到黑球的概率 .
解： 设A, B, C 分别表示甲、乙、丙机床不需要照看三 个事件，则 P(A) = 0.1，P(B) = 0.2，P(C) = 0.15
由题意A, B, C 相互独立，所求概率分别为
(1) P( ABC) P( A)P(B)P(C) 0.1 0.2 0.15 0.003.
(2) P( A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC)
P( A)[1 P(B)] P(A)P(B).
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例6 有甲、乙两人分别同时向一目标射击，已知甲、 乙命中率分别为0.6和0.5，求：
（1）两人都能命中目标的概率； （2）至少有一人命中目标的概率； （3）恰好有一人命中目标的概率 .
P(B | A) P(AB) P( A)
条件概率
P( AB) P( A)P(B | A)
乘法公式
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第一章 事件与概率
二、 乘法公式(Multiplication formula)
(1) 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A).
(3) P( A B C A B C A B C A B C)
P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(C)
0.9 0.2 0.15 0.1 0.8 0.15 0.1 0.2 0.85 0.1 0.2 0.15
解
0.4=P(B|A)
= P(AB) P( A)
= P(B) P( AB) 1 P( A)
= 0.6 P(AB) 0.5
得 P(AB) 0.4
P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.7
P(A | B)
= P( AB) P(B)
= P( A) P( AB) 1 P(B)
=0.25
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第一章 事件与概率
定义 对于事件A、B，若 P(A)>0，则称
P(B|A) = P(AB) / P(A)
为在 A 出现的条件下，B 出现的条件概率. 条件概率是概率
➢ 条件概率 P(B|A)满足概率的三条公理.
➢ 由此得： P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C) P(AB|C)；
若 A 与 B 互不相容，则 P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C) ；
解 设Ai=“第i次取得黑球”，i=1,2, 3.
P( A1A2 A3 ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
b b c b 2c a b a b c a b 2c
上述概率显然满足不等式
P(A1)＜P(A2|A1)＜P(A3|A1A2)，
该模型称为Poloya模型常用作为传染病和地震发生
P(
A1)
P( A1A 2 P( A 1 )
)
P( A1A 2 A 3) P( A1A 2 )
P(A1A 2 P( A1A 2
An1 An ) An1 )
P( A1A 2
An1 An ).
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第一章 事件与概率
乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.
( 2)．n个事件的独立性
n个事件A1, A2, …, An，如果对于任意k(1<k≤n), 任意1≤i1＜i2＜…ik≤n，满足等式
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ),
则称A1, A2, …, An是相互独立 的事件。 注：(1)若n个事件A1,A2,…,An独立, 则其部分事件组也独立；
0.6 (1 0.5) (1 0 .6) 0.5 0.5.
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第一章 事件与概率
2. 多个事件的独立性
(1) . 三个事件的独立性 三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B),
P(AC) P(A)P(C),
P(B | A) P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72
1
C120
C32 C120
1. 2
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例3 已知P(A)=0.5,P(B)=0.6, P(B|A) 0.4,
计算P(A∪B)， P( A | B),
对于古典概型有 P(B | A) P(AB)
P( A)
对于几何概型有 P(B | A) P(AB)
P( A)
定义 对于事件A，B，若 P(A)>0，则称
P(B|A) = P(AB) / P(A) 为在 A出现的条件下，B 出现的条件概率.
4
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第4节 条件概率与独立性
例4. 10个零件中有3次品，7件正品，每次任取1件， 取后不放回.
（1）连取2次，求2次都取得正品的概率； （2）连续取3次，求第三次才取得正品概率。
解 设Ai=“第i次取得正品”，i=1，2，3。 B＝“第三次才取得正品”，
（1） P( A1A2) P( A1)P( A2 | A1) 7 6 0.4667; 10 9
若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)；
(2) 若 P(A1A2 ······An1)>0，则 P(A1A2 ······An)
= P(A1)P(A2|A1) ······P(An|A1A2 ······An1)
(2)证明提示：
P(A1) P(A1A 2 ) P(A1A 2 A 3 ) P(A1A 2 An1) 0
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第一章 事件与概率
例7.一工人照看三台机床，在一小时内甲、乙、丙 三台机床不需要照看的概率分别为0.1，0.2和0.15，各 台机床是否需要照看是独立的。求在一小时内 (1)没有 一台机床需要照看的概率； (2)至少有一台机床不需 要照看的概率； (3)最多有一台机床需要照看的概率。
(2) P(B|A)= 2/5 ,
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第一章
1.两个事件的独立性
定义 设A、B二事件，如果满足等式
事件与概率
P(AB)=P(A)P(B), 则称A、B为相互独立的事件。
由定义得：必然事件Ω及不可能事件与Φ任何事件 都相互独立。
性质
(1)若P(A)>0, P(B)>0, 则Ａ和B独立当且仅当
P(B|A)=P(B); P(A|B)=P(A).
(2) 若A与B独立, 则A与 B ; A 与 B; A与 B也独立.
证明：因为 AB A B A AB 所以有
P(AB) P(A AB) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B)
(2)若n个事件A1, A2, …, An独立，则将其中部分事件 换为对立事件所得的事件组也独立．
(3) 若A1, A2, …An是相互独立的，则 P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P(An）;
P(A1 A2 An) 1 P(A1 A2 An).
1 P( A1 A2
An ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P(1An ). 6 山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
P(A | B) 1 P(A | B)
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第一章 事件与概率
条件概率的计算
a)在缩减的样本空间上直接计算. b) 利用公式计算。
例１．设10件产品中有7件正品，3件次品，从中 取两次，每次１件，取后不放回，求在第一次取得正品 的情况下，第二次取得正品的概率．
一、 条件概率的定义
实际问题中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条件
下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为A发生的条件下
B发生的条件概率。
引例 设盒中10个玻璃球（6红, 4蓝）,10个木质球
（7红,3蓝），从中任取１球，
（1）求取出玻璃球的概率．
（2）已知取出的红球，求取出玻璃球的概率．
解：设A为“取出１个红球”， B为“取出１个玻璃球”．
解：设 A＝“第一次取得正品”,B＝“第二次取得正 品，” 则
P(B|A)=6/9
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例2．设10件产品中有7件正品，3件次品，从中任 取两件，已知其中有１件正品，求另１件也是正品的
概率．
解：设 A＝“其中有１件正品”，B＝“另１件也是 正品”，则
P BC P(B)P(C),
则称三事件A、B、C相互独立.
P(ABC) P(A)P(B)P(C),
如果A、B、C仅满足上式中的前三个等式，则 称三事件A、B、C 两两相互独立.
事件两两独立，不一定相互独立.
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第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
第一章 事件与概率
第一节 随机事件及其概率 第二节 概率的定义 第三节 概率的性质 第第四四节节 条条件件概概率率与与独独立立性性 第五节 全概率公式与贝
叶斯公式
第四节 条件概率与独立性
一、条件概率 二、乘法公式 三、事件的独立性 四、试验的独立性（伯努利试验）
第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率