数学模型练习题1

“数学建模”考试说明：

考试要求独立完成。雷同卷一律作废。

试卷一律用黑色签字笔答题，字迹工整，否则记0分。

练习1

分析判断题 (共30分)

1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种.

2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是

),ml /mg (100/56 又过两个小时，含量降为),ml /mg (100/40试判断，当事故发生时，司

机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)ml /mg (.

（提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ∆+内酒精浓度的改变量为

t t kC t C t t C ∆-=-∆+)()()(

其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.）

计算题(共50分)

1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：

（1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由.

（2） 原材料的利用情况.

2. 三个砖厂321,,A A A 向三个工地321,,B B B 供应红砖.各砖厂的供应量与各工地的需

练习1参考答案

分析判断题

1. 问题涉及到时间、地点和人员三大因素，故应该考虑到的因素至少有以下几个： （1）教师：是否连续上课，对时间的要求，对多媒体的要求和课程种类的限制等； （2）学生：是否连续上课，专业课课时与公共基础课是否冲突，选修人数等； （3）教室：教室的数量，教室的容纳量，是否具备必要的多媒体等条件；

（每个因素3分） 2. 设)(t C 为t 时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为

,/

kC C

-=

其通解是,e )0()(kt C t C -=而)0(C 就是所求量.

由题设可知,40)5(,56)3(==C C 故有

56e )0(3=-k C 和 ,40e )0(5=-k C 由此解得

.94e

56)0(17.040/56e

32≈=⇒≈⇒=k

k

C k

可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定.

计算题

1. 设21,x x 表示甲、乙两种产品的产量，则有 原材料限制条件： ,902321≤+x x ,303221≤+x x ,805821≤+x x 目标函数满足 ,680580max 21x x z += 合在一起便是所求线性规划模型：

,680580max 21x x z +=

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧=≥≤+≤+≤+.2,1,0,8058,

3032,902321

2121j x x x x x x x j （1）使用图解法易得其最优生产方案只有一组（这是因为所有约束条件所在直线的斜

率与目标函数直线的斜率均不相等），从而最优方案没有可选择余地.计算知：

最优解为 ,)740,745(

T

*

=X

目标值为 7

53300

max =z （万元）.

（2）利用图解法求解中只用到了后两个约束条件，故羊毛有剩余量，将解代入可检验而知羊毛有7

259

单位的剩余量.

2. 本问题是一个产销平衡的运输问题，可以利用表上作业法直接求解， 首先确定初始方案：

其次对方案进行最优性检验：

λ11 = 10-4+6-7=5 > 0， λ12 = 6-4+6-5=3 > 0， λ31 = 8-7+5-3=3 > 0， λ33 = 9-3+5-6=5 > 0，

故上述方案已是最优方案，即总运费最低的调运方案为：

2150

3310

2230

21160

23170

1,,,,B A B A B A B A B A −→−−→−−→−

−→−−→− 总费用为 2460150310630516071704=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（百元）.

练习2

分析判断题

1. 作为经济模型的一部分，若产量的变化率与生产量和需求量之差成正比，且需求量中一部分是常数，另一部分与产量成正比，那么相应的微分方程模型是什么？.

2. 考虑在一片面积为定数的草地上进行牛的养殖问题.为了获得最大经济效益，指出建立该问题数学模型应该考虑的相关因素至少5个.

计算题

1. 设某小型工厂使用A ，B 两种原料生产甲、乙两种产品，按工艺，生产每件产品甲需要原料A ，B 依次为6、5个单位，生产每件产品乙需要原料A ，B 依次为2、10个单位，两种原料的供给量依次为18和40个单位，两种产品创造的产值分别为1万元和2万元，试建立其生产规划模型，并回答以下问题：

（1）产值最大的生产方案是什么？最大产值是多少？方案是否有可选择余地？若有请至少再给出一个.

（2）依你所给最优方案，说明原料的利用情况.

2. 如图一是某村镇9个自然屯（用91,,v v 表示）间可架设有线电视线路的最短距离示意图，边旁数字为距离（单位：km ）.若每km 的架设费用是定数20元/m ，试协助有线电视网络公司设计一个既使得各村屯都能看到有线电视又使架设费用最低的路线，并求出最小架设费用.

练习2参考答案

分析判断题

1. 令x 表示产量，y 表示需求量，则有)(d d x y k t

x -=以及,bx a y +=其中k b a ,,均

为常数.将后一式代入前一式即可得到

d cx t

x x b a k t

x +=⇒

-+=d d ))1((d d

计算题

1. 设生产甲、乙两种产品的数量依次为,,21x x z 表示总产值，则有模型如下：

212max x x z +=

v 1

v 2

v 3

v 4

v 6

v 5

v 7 v 9

v 8

3

4

6

2 5

4 11 3 6

4 2 8

7

5

图一