2020年广东省中考数学每日一题 (749)

2020年广东省中考数学每日一题

1、如图1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．

（1）如图1，若点H是AC的中点，AC

＝AB、BD的长；

（2）如图1，求证：HF＝EF．

（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．

图1 图2

满分解答

（1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC

＝AB

＝

在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH

DH＝1，AD＝2．

在Rt△ADB中，AD＝2，AB

＝BD

＝

（2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．

在Rt△ADE中，AE＝1

2

AD．在Rt△ADH中，DH＝

1

2

AD．所以AE＝DH．

因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．

图3 图4 图5 （3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．

由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．

因此FM＝1

2

AD，△ACM是等边三角形．

又因为AE＝1

2

AD，所以FM＝EA．

又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．

所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角形．