精二次函数动轴动区间问题

二次函数在闭区间上的最值

f (m)、f(n)中的较大者。

(2)当—m，n 时

2a

K

右m，由f(x)在m，n上是增函数则f (x)的最小值是f (m)，最大值是f (n)

2a

K

右n，由f (x)在m，n上是减函数则f (x)的最大值是f (m)，最小值是f (n)

2a

当a 0时，可类比得结论。

二、例题分析归类：

(一)、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往

往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：(1)轴定，区间定；(2)轴定，

区间变；(3)轴变，区间定；(4)轴变，区间变。

1.轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的

最值”。

2

例1.函数y x 4x 2在区间［0，3］上的最大值是 __________________ ，最小值是_______ 。

一、知识要点：

二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况

ax2

般分为: 设f(X)

分析：将

bx c(a 0)，求f (x)在x ［m，n］上的最大值与最小值。

b 4a

c b2

，、对称轴为

2a 4a

f (x)配方，得顶点为

b

2a

0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在

(1)当—

2a

m，n 时，f (x)的最小值是f —

2a

n］上f (x)的最值：

4ac b2

4ac b，f (x)的最大值是4a

[m，

练习•已知2x23x，求函数f(x)

图1

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在 动区间上的最值”。

2x 3

，当x [t ，

t 1](t R)时，求f(x)的最大值.

O

二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:

例5. (1)求f(x) x 2 2ax 1在区间[-1,2]上的最大值。

当 a 0 时 f(X )max

b 1 f (m),

(m n)(如图 1)

-. f(x)min

b 1 f (n),

(m n)(如图2)

2a 2

f(n), 2-

2a b

f( ), m

2a

b 2a

n(如图

3) —n(如图4) 2a f(m), m(如图5)

当 a 0 时 f(X )max

f

g 2a f(存m f (m ),舟 n(如图

6) b

2a

f(m), n(如图7) f (x) min

m(如图8)

3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象

是运动的, 种情况是“动二次函数在定区间上的最值” 。 例4.已知x 2 1，且a 2 0，求函数f (x)

X 2 f(n),

b 2a

_b 2a

g(m n)(如图9) -(m n)(如图10)

2 但定义域区间是固定的, ax 3的最值。

我们称这

例2.如果函数f(X ) (X

1)2 1定义在区间t,

例3.已知f(x) x?

图2

1上，求f (x)的最小值。

7

y

i

i

□ t 1 t+i

o

图 图

图8

1

1 L t+1

(2)求函数y x(x a)在x ［ 1,1］上的最大值。 4.轴变区间变

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在 动区间上的最值”。

2 2 2

例6•已知y 4a

(x a)(a 0),，求u (X 3) y 的最小值。

二)、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例7.已知函数f(x) ax 2 2ax 1在区间［3,2］上的最大值为4,求实数a 的值。

2

x

x 在区间［m, n ］上的最小值是3 m 最大值是3n ，求m ，n 的值。

例9.已知二次函数f(x) ax 2 (2a 1)x 1在区间 数a 的值。

三、巩固训练

1 •函数y x

2 x 1在［1,1］上的最小值和最大值分别是

…、3

1

1 (A)1 ,3 (B )匚,3

(C ) ,3 (D )

,3

4

2

4

2 .函数y

2

x 4x 2在区间 [1,4] 上的最小值是

(A) 7

(B)

4

(C) 2

(D)2

3.函数y

2

的最值为

x 4x 5

(A)最大值为 8，最小值为0

(B)不存在最小值， 最大值为 8 (C )最小值为0,不存在最大值

(D)不存在最小值，也不存在最大值

2 J x 2 4x,x [0,4]的取值范围是 _________________________________

2

7.已知函数y x 2x 3在闭区间［0,m ］上有最大值3,最小值2，则m 的取值范围是 ( )

例8.已知函数f(x)

3

了2上的最大值为3,求实

2

5.已知函数f (x) ax (2a 值为 _______________

2 2

6 .如果实数x, y 满足x y

1

(A)最大值为1 ,最小值为一 1)x 3(a H 0)在区间［-, 2

1，那么(1 xy)(1 xy)有

(B)无最大值，最小值为

2］上的最大值是1,则实数a 的

( )

3

4

(C ))最大值为1,无最小值

(D)最大值为1,最小值为 -

4

4.若函数y