数值计算方法总复习

三、向量与矩阵的范数
1. 常用的向量范数
x
max
1in
xi
2. 常用的矩阵范数
n
A
max
1 i n
aij
j 1
n
A
1
max
1 jn i1
aij
A 2
max ( AT A)
x 1 x1 x2 xn x 2 x12 x22 xn2
4. A max | i ( A) | 谱半径
v1 xk ( yk )
其中 mk 是 yk 绝对值最大的第一个分量.
二、 反幂法的迭代公式为
yk
mk
A1 xk
max
1
yk
xk
yk /mk
(k 1,2, )
其中 mk 是 yk 绝对值最大的第一个分量. 反幂法的实用迭代公式为
解Lzk xk1, 求出zk
解Uyk zk ,
mk
max yk
⑴ 收敛的充分必要条件:
定理1
1） x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 2） x(k+1) = Bx(k) + f 收敛
⑵ 收敛的充分条件:
lim B k =O; ( B )<1。
定理2 若迭代矩阵||B ||<1, 则x(k+1) = Bx(k) + f 收敛。
定理3 若矩阵A严格对角占优,则解方程组 Ax=b 的 Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法均收敛 。
)
二、牛顿插值多项式
Nn( x) f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 ) f [x0, x1, x2]( x x0 )( x x1) f [x0, , xn]( x x0 ) ( x xn1)
Nn( x) Nn1( x) f [x0, , xn]( x x0 ) ( x xn1)
第三章 一、消元法
求解系数矩阵 A 的各
1. Gauss顺序消元法
阶顺序主子式均不为零。
2. 主元素消元法（det A0）
3. 高斯—约当消元法（det A0） 二、三角分解
1. LU分解法
LU分解法的条件 追赶法 2. LDLT (Cholesky) 分解法 3. 平方根法（LLT 分解法）
正定矩阵
(b
a), x*
1 2
(bn
an )
1. xk1 ( xk ) (k 0,1,2, )
2. 迭代法的收敛条件
四、牛顿切线法 五、 割线法
xk 1
xk
f ( xk ) f ( xk )
(k 0,1, )
xk1 xk
f
(
xk
f )
( xk f
) (
xk
1
)
(
xk
xk1 )
(k 1,2, )
x
(k 2
1)
1 a 22
(a
21
x
( k 1) 1
a
23
x
(k 3
)
a
2n
x
(k) n
b2
)
x
(k n
1)
1 a nn
(a
n1
x
1( k 1)
a
n
n1
x
( k 1) n1
bn )
高斯—塞德尔迭代法的矩阵形式
x(k1) ( D L)1Ux(k) ( D L)1 b
3. 迭代法收敛的条件
](
x x1 x0 x1
)2
,
0
(
x)
(
x
x0
)(
x x1 x0 x1
)2
1
(
x
)
[1
2
x x0
x1 x1
](
x x1
x0 x0
)
2
,
1
(
x
)
(
x
x1
)(
x x1
x0 x0
)2
H3(x)
y0[1
2 x x0 ]( x x1 )2 x1 x0 x0 x1
第一章 一、误差的来源
1. 模型误差 2. 观测误差 3. 截断误差 4. 舍入误差 二、误差的基本概念 1. 绝对误差(简称误差) e(x*) 和误差限 (x*) . 2. 相对误差 er(x*) 和相对差限 r(x*) . 三、有效数字 误差限与有效数字的关系
设近似值x*有n位有效数 设近似值x*的相对误差限为
Mn1 (n 1)!
n
(x
i0
xi )
,
x (a, b)
Rn( x)
Mn1 (n 1)!
max
a xb
n
(x
i0
xi )
,
x (a, b)
三、 差商与导数的关系：
f [ x0 , x1 , , xn ]
f (n) ( )
n!
[a, b]
四、三次埃尔米特插值多项式
0
(
x)
[1
2
x x0 x1 x0
f [x0 , x1,
, xn]
f [x0,
, xn2, xn1] f [x1, x0 xn
, xn1, xn]
误差
Rn( x) f [x, x0 , x1, , xn]( x x0 ) ( x xn )
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x0
)
( x xn )
(a, b)
Rn ( x)
求出yk
k 1,2,
xk yk / mk
n
1 mk
,
vn xk
n
第五章 一、拉格朗日插值多项式 Ln( x) yili ( x)
i0
基函数
li
(
x)
(
( x x0 ) ( x xi x0 ) ( xi
xi 1 xi 1
)( )(
x xi1) ( x xn) xi xi1) ( xi xn
字, 则其相对误差限为
er ( x*)
1 2a1
10n1
er
(
x*)
1 2(a1
1)
10n1
x*至少有n位有效数字。
第 一、1. 画出y=f(x)或其等价方程φ(x)=ψ(x)中 二 y=φ(x)与y=ψ(x)的图形,确定根的大概位置 章 2. 根的存在唯一性
二、二分法 三、迭代法
x*
xn
1 2n1
xn( k
1)
1 ann
( an1 x1( k )
an n1 xn(k)1
bn )
雅可比迭代法的矩阵形式
x(k1) D1( L U )x(k) D1b
2. Gauss — Seidel 迭代格式为
x
(k 1
1)
1 a 11
(
a
12
x
(k 2
)
a
13
x
(k 3
)
a
1n
x
(k) n
b1
)
定理4 若 A 为正定对称矩阵, 则解线性方程组 Ax=b 的 Gauss- Seidel 迭代法收敛。
第四章 一、 幂法
1. 定义: 计算主特征值及其对应的特征向量的方法。
2. 实用计算公式
yk Axk1
mk max yk
xk yk /mk
(k 1,2, )
当 k 充分大时,有
1 mk
（矩阵的列范数）
（矩阵的行范数）
（矩阵的谱范数）
3. condA A A1 （矩阵的条件数）
四、1. Jacobi 迭代格式为
x1( k
1)
1 a11
(ห้องสมุดไป่ตู้
a12x2(k) a13x3(k) a1n xn(k) b1 )
x2( k
1)
1 a22
( a21 x1( k )
a23x3(k) a2n xn(k) b2 )