速度势函数和流函数

因为是二维运动，则：

所以：
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平面运动比一般的空间运动简单，具体说来速度只有二个方向的 分量u,v，所有物理量只是x,y的函数。
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在大气中，常用 XOY 平面运动作为大气运动的一种近似模型，前 提条件是： 研究的问题中XY方向的尺度 >> Z 方向的尺度，Z 方向的速度分量 及物理量沿Z方向的变化比起其它方向小的多，可以近似认为Z 方 向的速度分量为零，其它物理量沿Z方向的变化也为零。
引入流函数的优点： ① 可以减少表征流体运动的变量。2 个变1 个。 ② 流函数还可以用来表示流体体积通量。
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流函数与体积通量：

图中自南向北的4 条线是流线（等流函数线），任取AB曲线，在 该线上任一点的速度矢是 ，法向单位矢是 ，曲线单位矢是

上式表明，两点的流函数值之差等于过这两点的任何曲线的流体 的体积通量（体积流量）值，跟曲线的形状、长短无关。
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流函数：

我们对流函数的讨论是建立在二维运动 XOY，且运动无辐散。即：

由无辐散条件 ，可以找到一个函数与速度矢对应，我们把这个函 数写成ψ ，ψ 的全微分为：
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流函数：

（1.77）中 为二维矢量微商符 上面的ψ就是流函数， （1.77 ）就是流函数与速度矢的关系。
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流函数与流线的关系

根据流线方程的求法，（* ）的流线方程为：

（1.75 ）可积的充要条件是无辐散，与（1.76 ）对比，发现是一 样的。对（1.76 ）积分，得： 上式时间取定，常数也取定时，就代表了某时刻的某一条流线， 或等流函数线，此曲线上的切线处处跟流速矢方向一致。

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注意：
① ②
流函数引入的条件是流体运动为二维，而流体是不可压缩的，不 论流体是有旋还是无旋，流函数都存在。 如将流函数应用到一般的三维流体运动则会引起相当大的解析困 难。）
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流函数与涡度的关系

即流函数的二维拉普拉斯运算等于流体涡度的垂直分量
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一般的二维流动

（1 ）速度矢的分解 一般的二维流体运动，不一定无旋或无辐散，而是既有旋又有辐 散，此时我们可以把一般的二维流体运动的速度矢分成两部分， 一部分是有旋无辐散 ，另一部分是无旋有辐散 ，即有：
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速度矢的分解

是一个二阶偏微分方程—— 泊松方程 （Poisson），由此可得到【势函数】与【速度矢】之间的互求关 系。
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流函数与平面运动：
①
②
【平面运动】需要满足下列两个条件： 在所有平行于某个A 面的平面上，流体质点的运动都是在该平面 上进行的。 在A 面的垂线上，各物理量都相等。 若取A 面为XOY平面，z 轴垂直向上，以上两个条件就是：
的 的

可见，用一个标量函数就把三维的速度矢都表示出来了，减少了
未知量。
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等(位)势面：

取t 为一固定时刻，若有
此时 的几何图像是一个空间曲面，称为等势函数面—— 【等位势面】。当取大小不同的常数值时，上式就是等势面族。
d dx dy dz x y z (udx vdy wdz ) (V d r )
梯度：

标量场的【梯度】( )是一个矢量场。标量场中某一点上的梯 度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
上面两个图中，标量场是黑白的，黑色表示大的数值，而其相应的梯度用蓝 色箭头表示。
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势函数

无旋运动时，其速度矢 梯度来表示的，这个函数 【（位）势函数】。
是可以由函数 就称为速度矢
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拉普拉斯流动

满足以下条件的为【拉普拉斯流动】： 两维平面运动（u,v 不为零，w=0 ） 理想流体（不考虑粘性， 0 = μ） 无辐散流（D=0 ）；无旋流
①
②
③
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拉普拉斯流的特点：

特点一: 势函数和流函数都是调和函数 特点二：等势线与等流函数线垂直
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证明：

因为：矢量与本身的叉乘恒为零，则： 而拉普拉斯流动无旋无辐散，则速度矢：

d (V d r ) 0 Vd r 0



可知：（1 ）速度矢与等势面垂直。 （2 ）流动（或说速度矢）是从高位势 流向低位势。（3）等位势面彼此紧密的地方，速度值大；等位势面彼此 疏松的地方，速度值小。
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势函数与散度：

散度：

势函数与速度分量：

称为 三维拉普拉斯算符，则：

称为无辐散涡旋流(流函数对应)


称为无旋辐散流(势函数对应)
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速度矢的分解

已知速度矢，如何得到速度的分解： 1）根据速度求出涡度和散度，即： 2）我们在前面已经给出了【势函数与散度】的关系，【流函数与 涡度】的关系，如下： 这是两个泊松方程，连立求解就得到势函数和流函数


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3）根据辐散流和势函数的关系，涡旋流和流函数的关系，得到两 个风速分量，即：