正交实验法原理与应用
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出现两次；L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2,
1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。 即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平 互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的
搭配是均匀的。
由正交表的正交性可以看出： ①正交表各列的地位是平等的，表中各列之 间可以互相置换，称为列间置换； ②正交表各行之间也可相互置换，称行间置 换； ③正交表中同一列的水平数字也可以相互置 换，称水平置换。 上述 3 种置换即正交表的 3 种初等置换。 经过初等置换所能得到的一切正交表，称为 原正交表的同构表或等价表，显然，实际应 用时，可以根据不同需要进行变换。
效率也高。因而，实际应用越来越广。
三、 正交实验法的基本步骤
正交实验法的基本步骤主要有又下几步： 第一步，明确实验目的，确定考核指标。 第二步，挑因素，选水平。 第三步，选择合适的正交表。 第四步，进行表头设计。 第五步，确定实验方案。
为了更好地说明问题，我们结合一个例子来说明。 例1 用乙酸和环己醇酯化来制备乙酸环己酯的反应
在这9个水平组合中， A因素各水平下包括了B、C因素的 3个水平，虽然搭配方 式不同，但 B 、 C 皆处于同等地位，当比较 A 因素不同水平时， B 因素不同水平的
在这 9个水平组合中， A 因素各水平下包括了 B 、 C 因素的 3 个水平，虽然搭配方式不同，但 B 、 C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时， B因素不同水平的效应相互抵消，C因素不同水 平的效应也相互抵消。所以A因素3个水平间具 有可比性。同样， B 、 C 因素 3 个水平间亦具有 可比性。
表1
3因素3水平全面实验方案
C1 B1 A1B1C1 A1B2C1 C2 A1B1C2 A1B2C2 C3 A1B1C3 A1B2C3
A1
B2
B3
B1 A2 B2 B3 B1 A3 B2 B3
A1B3C1
A2B1C1 A2B1C1 A2B2C1 A3B1C1 A3B2C1 A3B3C1
A1B3C2
3.2 挑因素，选水平
实验指标确定之后，就可着手分析影 响指标的各种因素。影响实验结果的因素 往往是很多的，究竟挑选哪些因素作为考 察因素，需要根据以往的经验和实验条件 来确定。排除那些对指标影响不大，或已 经掌握得比较好的因素，挑选出那些对指 标可能影响较大，但又没有把握的因素来 进行考察。特别注意不能把重要因素固定， 否则，由于重要因素固定在不适当的水平 上，使实验得不到应有效果。
根据以上两个特性，我们用正交表安排的 实验，具有均衡分散和整齐可比的特点。 正交 表的3个基本性质中，正交性即均衡性是核心， 是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然 结果，从而使正交表得以具体应用。 正交表集其 3 个性质于一体，成为正交实验
设计的有效工具，用它来安排实验，也必然具
有“均衡分散，整齐可比”的特性，代表性强，
在实验安排中 ，每个因素在研究的范 围内选几个水平，就好比在选优区内打上网 格 ，如果网上的每个点都做实验，就是全 面实验。3个因素的选优区可以用一个立方 体表示(图1)，3个因素各取 3个水平，把立 方体划分成27个格点，反映在 图1上就是立 方体内的27个“.”。若27个网格点都实验， 就是全面实验，其实验方案如表1所示。
1.2、正交实验法原理
19世纪20年代，英国统计学家R. A. Fisher首先在马铃薯肥料实验当中， 运用排列均衡的拉丁方，解决了实验时 的不均匀实验条件，获得成功，并创立 了“实验设计”这一新兴学科。“均衡 分布”思想在20世纪50年代应用于工 业领域， 60年代应用于农业领域，使 正交实验在科研生产实际中得到推广。
1.2.1正交拉丁方
用从1开始的n个连续正整数排成n行n 列的方阵，如果每一行和每一列都 没有重 复的数，就称为一个n阶拉丁方。两个n阶 拉丁方在同一位置上的数依次配置成对时， 如果这两个有序数对恰好各不相对（一般 处理方法把当中某些行或列对调）（这种 相同即经过有限次旋转和镜像对称后不重 合）。
正交实验法原理与应用
杨明军
2014-1-24
目录
一、正交实验法意义和原理 二、正交表 三、正交实验设计的基本步骤 四、结果分析
1.1、正交实验法意义
凡是要做实验，就存在着如何安排实验和如何分 析实验结果的问题。这就是做实验的方法问题。一项 科学的安排实验的方法应能做到以下两点：1）在实验 安排上尽可能地减少实验次数；2）在进行较少次数实 验的基础上，能够利用所得到的实验数据，分析出指 导实验的正确结论，并得到较好的结果。因此，科学 的实验方法是使我们的工作达到快捷高效的一个工具。
2.2 正交表的表示符号
①正交表记号所表示的含义归纳如下：
Ln (tq）
式中：L为正交表符号，是Latin的第一个字母；n为 实验次数，即正交表行数； t 为因素的水平数，即 1 列中出现不同数字的个数 ;q 为最多能安排的因素数， 即正交表的列数。
②正交表中1列可以安排 1个因素，因此它可安排的 因素数可以小于或等于q，但不能大于q。
二、正交表
2.１ 正交表 －正交拉丁方的自然推广
由于正交设计安排实验和分析实验结果 都要 用 正交表，因此，我们先对正交表作一 介绍。 安排 4 因素 3 水平的实验，编上实验号， 列成另外一种形式，见正交表L9(34)（表2） 。 可以由此得到系列正交表。
表2
因素
实验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2.4.3综合可比性。 反映在正交性当中：
①任一列各水平出现的次数都相等。 ②任 2 列间所有可能的组合出现的次数都相等。 因此使任一因素各水平的实验条件相同。这就保 证了在每列因素各个水平的效果中，最大限度地 排除其他因素的干扰，突出本列因素的作用，从 而可以综合比较该因素不同水平对实验指标的影 响。这种性质称为综合可比性或整齐可比性。 如在 A 、 B 、 C 3 个因素中， A 因素的 3 个水平 A1、A2、A3条件下各有B、C的 3个不同水平， 即：
O OH 催 化 剂 O CH3
+H3C
OH
环 己 烷
O
• 简单实验步骤是：将原料加入四口瓶中加 热回流，反应结束冷至室温，反应液转移 至分流漏斗中碱洗分层，有机层经柱色谱 法纯化得到乙酸环己酯。
3.1明确实验目的，确定考核指标
实验目的，就是通过正交实验要想解决什 么问题。我们做实验的目的一般就是提高产 品质量或收率，降低成本 或者查找生产中出 现问题的原因。
2.3 常用正交表的分类及特点
1、标准表（相同水平正交表） 2水平:L4(23）,L8 (27）,L16 (215），… 3水平:L9 (34），L27（313），L81(340），… 4水平：L16 (45）,L64 (421）,L256 (485），… 5水平：L25（56）,L125(531）,L625 (5156），… 各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平 正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字 为2，称为两水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最 大数字为3，称为3水平正交表。
因为正交性，使部分实验点必然均衡 地分布在全面实验的实验点中。所谓均衡 分散，是指用正交表挑选出来的各因素水 平组合在全部水平组合中的分布是均匀 的 。 由 图1可以看出，在立方体中 ，任 一平面内都包含 3 个“(·)”， 任一直线上 都包含1个“(·)” ，因此 ，这些点代表性 强 ，能够较好地反映全面实验的情况。
结合例1根据文献报道，在实验前分析 影响反应的可能因子为：催化剂的种类 （A）、反应温度（B/ ℃ )、反应时间 （C/h)、带水剂的用量（D/ml)及反应原料 比（E）5个因素. 每个因素在其实验范围内取的实验点叫 做该因素的水平。对挑出的因素，各水平选 在何处是值得很好研究的。水平选得好，通 过较少的实验次数，就能迅速地找到最优的 实验条件。该实验中每个因素取4个水平 (数据如表3) 。
③括号内的 tq 表示 q 个因素、每个因素 t 个水平全面 实验的水平组合数（即处理数）。因为安排因素个数 不能大于q，所以n /tq为最小部分实施。
显然，L4(23)是最简单的正交表，有4列3行用它 最多能安排 3 个因素 2 水平的实验。部分实验为 4 次， 全面实验为 8 次，最小部分实施为 1/2 ，即用它安排实 验可比全面实验少做 1/2 。所以，当实验因素数 q 及每 个因素的水平数 t 增加时 n/tq 则下降，节省实验次数的 效果更明显。
就是利用正交表 L9(34) 从 27 个实验点
中挑选出来的9个实验点。即：
关于正交的直观印象
•数据点分布是均匀的 •每一个面都有3个点
Hale Waihona Puke •每一条线都有1个点图1
1.2.2 正交实验法
正交实验法是用来科学地设计多因素实验
的一种方法。它利用一套规格化的正交表安
排实验，得到的实验结果再用数理统计方法 进行处理，使之得出科学结论。正交表是实 验设计的基本工具，它是根据均衡分布的思 想，运用组合数学理论构造的一种数学表格， 均衡分布性是正交表的核心。
在实验研究中，我们一般要考察原料种类、原 料数量、反应温度、反应时间、反应压力等多个 影响因素，若进行全面实验 ，则实验的规模将很 大 ，往往因实验条件的限制而难于实施 。例如， 一实验有6个因素： 每因素取 5个水平，全面实 验就需要56=15625个组合。因素是指参与实验并 对其结果有影响的要素或对象，水平是指因素的 变化状态或用量。
表3
3.3、选出合适的正交表
选用哪种正交表，一般根据因素和水平 多少以及实验工作量大小而定。 总原则： 能容纳所有考察因素，又使实验号最小。例 如，若因素都是二水平的，当有3个因素时， 可用L4（ 23）（当然也可用L8（ 27 ），但 实验工作量大），当有4 ～ 7个因素时，一 般用L8（ 27）（也可用L16（ 215 ））等等。 但必须注意，因素水平表中的水平数与所选 正交表中的水平数要完全一致，因素水平表 中的因素个数要小于或等于正交表中的列数。
A2B1C2 A2B1C2 A2B2C2 A3B1C2 A3B2C2 A3B3C2
A1B3C3
A2B1C3 A2B1C3 A2B2C3 A3B1C3 A3B2C3 A3B3C3
正交实验法就是从选优区全面实 验点（水平组合）中挑选出有代表性 的部分实验点（水平组合）来进行实
验。图 1 中标有实验号的九个“ (·)” ，
A 1 1 1 2 2 2 3 3 3
B 1 2 3 1 2 3 1 2 3
C 1 2 3 2 3 1 3 1 2
D 1 2 3 3 1 2 2 3 1
常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行 正交设计时选用。 2 水平正交表除 L8(27) 外，还有 L4(23) 、 L16(215) 等 ； 3 水 平 正 交 表 有 L9(34) 、 L27(313)……等。 表2是一张正交表，记号为L9(34)，其中“L” 代表正交表；L右下角的数字“9”表示有9行 ，用 这张正交表安排实验包含3个处理(水平组合) ；括 号内的底数“3” 表示因素的水平数，括号内3的指 数“4”表示有4列 ，也指安排的因素数，用这张正 交表最多可以安排4个因素3个水平。
2.4.2代表性。 代表性的含义之一，在于正交表的正交性中： ①任一列的各水平都出现，使得部分实验 中包含所有因素的所有水平。 ②任意2列间的所有组合全部出现，使任意 两因素间都是全面实验。因此，在部分实验 中，所有因素的所有水平信息及两因素间的 所有组合信息都无一遗漏。这样，虽然安排 的是部分实验，却能够了解全面实验的情况， 从这个意义上讲可以代表全面实验。
任何一张正交表都有如下三个特性：
2.4.1正交性
1、任一列中，不同数字出现的次数相等
例如L8(27) 中不同数字只有1和2，它们各出 现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们 各出现3次 。
2、任两列中，同一横行所组成的数字对出现 的次数相等
例如 L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各
2、非标准表（混合水平正交表） 各列中出现的最大数字不完全相同的正 交表称为混合水平正交表。如 L8(4×24) 表中 有一列最大数字为4，有4列最大数字为2。也 就是说该表可以安排一个4水平因素和4个2水 平因素。再如L16(44×23)，L16(4×212)等都混 合水平正交表。
2.4正交表的基本性质
1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。 即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平 互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的
搭配是均匀的。
由正交表的正交性可以看出： ①正交表各列的地位是平等的，表中各列之 间可以互相置换，称为列间置换； ②正交表各行之间也可相互置换，称行间置 换； ③正交表中同一列的水平数字也可以相互置 换，称水平置换。 上述 3 种置换即正交表的 3 种初等置换。 经过初等置换所能得到的一切正交表，称为 原正交表的同构表或等价表，显然，实际应 用时，可以根据不同需要进行变换。
效率也高。因而，实际应用越来越广。
三、 正交实验法的基本步骤
正交实验法的基本步骤主要有又下几步： 第一步，明确实验目的，确定考核指标。 第二步，挑因素，选水平。 第三步，选择合适的正交表。 第四步，进行表头设计。 第五步，确定实验方案。
为了更好地说明问题，我们结合一个例子来说明。 例1 用乙酸和环己醇酯化来制备乙酸环己酯的反应
在这9个水平组合中， A因素各水平下包括了B、C因素的 3个水平，虽然搭配方 式不同，但 B 、 C 皆处于同等地位，当比较 A 因素不同水平时， B 因素不同水平的
在这 9个水平组合中， A 因素各水平下包括了 B 、 C 因素的 3 个水平，虽然搭配方式不同，但 B 、 C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时， B因素不同水平的效应相互抵消，C因素不同水 平的效应也相互抵消。所以A因素3个水平间具 有可比性。同样， B 、 C 因素 3 个水平间亦具有 可比性。
表1
3因素3水平全面实验方案
C1 B1 A1B1C1 A1B2C1 C2 A1B1C2 A1B2C2 C3 A1B1C3 A1B2C3
A1
B2
B3
B1 A2 B2 B3 B1 A3 B2 B3
A1B3C1
A2B1C1 A2B1C1 A2B2C1 A3B1C1 A3B2C1 A3B3C1
A1B3C2
3.2 挑因素，选水平
实验指标确定之后，就可着手分析影 响指标的各种因素。影响实验结果的因素 往往是很多的，究竟挑选哪些因素作为考 察因素，需要根据以往的经验和实验条件 来确定。排除那些对指标影响不大，或已 经掌握得比较好的因素，挑选出那些对指 标可能影响较大，但又没有把握的因素来 进行考察。特别注意不能把重要因素固定， 否则，由于重要因素固定在不适当的水平 上，使实验得不到应有效果。
根据以上两个特性，我们用正交表安排的 实验，具有均衡分散和整齐可比的特点。 正交 表的3个基本性质中，正交性即均衡性是核心， 是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然 结果，从而使正交表得以具体应用。 正交表集其 3 个性质于一体，成为正交实验
设计的有效工具，用它来安排实验，也必然具
有“均衡分散，整齐可比”的特性，代表性强，
在实验安排中 ，每个因素在研究的范 围内选几个水平，就好比在选优区内打上网 格 ，如果网上的每个点都做实验，就是全 面实验。3个因素的选优区可以用一个立方 体表示(图1)，3个因素各取 3个水平，把立 方体划分成27个格点，反映在 图1上就是立 方体内的27个“.”。若27个网格点都实验， 就是全面实验，其实验方案如表1所示。
1.2、正交实验法原理
19世纪20年代，英国统计学家R. A. Fisher首先在马铃薯肥料实验当中， 运用排列均衡的拉丁方，解决了实验时 的不均匀实验条件，获得成功，并创立 了“实验设计”这一新兴学科。“均衡 分布”思想在20世纪50年代应用于工 业领域， 60年代应用于农业领域，使 正交实验在科研生产实际中得到推广。
1.2.1正交拉丁方
用从1开始的n个连续正整数排成n行n 列的方阵，如果每一行和每一列都 没有重 复的数，就称为一个n阶拉丁方。两个n阶 拉丁方在同一位置上的数依次配置成对时， 如果这两个有序数对恰好各不相对（一般 处理方法把当中某些行或列对调）（这种 相同即经过有限次旋转和镜像对称后不重 合）。
正交实验法原理与应用
杨明军
2014-1-24
目录
一、正交实验法意义和原理 二、正交表 三、正交实验设计的基本步骤 四、结果分析
1.1、正交实验法意义
凡是要做实验，就存在着如何安排实验和如何分 析实验结果的问题。这就是做实验的方法问题。一项 科学的安排实验的方法应能做到以下两点：1）在实验 安排上尽可能地减少实验次数；2）在进行较少次数实 验的基础上，能够利用所得到的实验数据，分析出指 导实验的正确结论，并得到较好的结果。因此，科学 的实验方法是使我们的工作达到快捷高效的一个工具。
2.2 正交表的表示符号
①正交表记号所表示的含义归纳如下：
Ln (tq）
式中：L为正交表符号，是Latin的第一个字母；n为 实验次数，即正交表行数； t 为因素的水平数，即 1 列中出现不同数字的个数 ;q 为最多能安排的因素数， 即正交表的列数。
②正交表中1列可以安排 1个因素，因此它可安排的 因素数可以小于或等于q，但不能大于q。
二、正交表
2.１ 正交表 －正交拉丁方的自然推广
由于正交设计安排实验和分析实验结果 都要 用 正交表，因此，我们先对正交表作一 介绍。 安排 4 因素 3 水平的实验，编上实验号， 列成另外一种形式，见正交表L9(34)（表2） 。 可以由此得到系列正交表。
表2
因素
实验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2.4.3综合可比性。 反映在正交性当中：
①任一列各水平出现的次数都相等。 ②任 2 列间所有可能的组合出现的次数都相等。 因此使任一因素各水平的实验条件相同。这就保 证了在每列因素各个水平的效果中，最大限度地 排除其他因素的干扰，突出本列因素的作用，从 而可以综合比较该因素不同水平对实验指标的影 响。这种性质称为综合可比性或整齐可比性。 如在 A 、 B 、 C 3 个因素中， A 因素的 3 个水平 A1、A2、A3条件下各有B、C的 3个不同水平， 即：
O OH 催 化 剂 O CH3
+H3C
OH
环 己 烷
O
• 简单实验步骤是：将原料加入四口瓶中加 热回流，反应结束冷至室温，反应液转移 至分流漏斗中碱洗分层，有机层经柱色谱 法纯化得到乙酸环己酯。
3.1明确实验目的，确定考核指标
实验目的，就是通过正交实验要想解决什 么问题。我们做实验的目的一般就是提高产 品质量或收率，降低成本 或者查找生产中出 现问题的原因。
2.3 常用正交表的分类及特点
1、标准表（相同水平正交表） 2水平:L4(23）,L8 (27）,L16 (215），… 3水平:L9 (34），L27（313），L81(340），… 4水平：L16 (45）,L64 (421）,L256 (485），… 5水平：L25（56）,L125(531）,L625 (5156），… 各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平 正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字 为2，称为两水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最 大数字为3，称为3水平正交表。
因为正交性，使部分实验点必然均衡 地分布在全面实验的实验点中。所谓均衡 分散，是指用正交表挑选出来的各因素水 平组合在全部水平组合中的分布是均匀 的 。 由 图1可以看出，在立方体中 ，任 一平面内都包含 3 个“(·)”， 任一直线上 都包含1个“(·)” ，因此 ，这些点代表性 强 ，能够较好地反映全面实验的情况。
结合例1根据文献报道，在实验前分析 影响反应的可能因子为：催化剂的种类 （A）、反应温度（B/ ℃ )、反应时间 （C/h)、带水剂的用量（D/ml)及反应原料 比（E）5个因素. 每个因素在其实验范围内取的实验点叫 做该因素的水平。对挑出的因素，各水平选 在何处是值得很好研究的。水平选得好，通 过较少的实验次数，就能迅速地找到最优的 实验条件。该实验中每个因素取4个水平 (数据如表3) 。
③括号内的 tq 表示 q 个因素、每个因素 t 个水平全面 实验的水平组合数（即处理数）。因为安排因素个数 不能大于q，所以n /tq为最小部分实施。
显然，L4(23)是最简单的正交表，有4列3行用它 最多能安排 3 个因素 2 水平的实验。部分实验为 4 次， 全面实验为 8 次，最小部分实施为 1/2 ，即用它安排实 验可比全面实验少做 1/2 。所以，当实验因素数 q 及每 个因素的水平数 t 增加时 n/tq 则下降，节省实验次数的 效果更明显。
就是利用正交表 L9(34) 从 27 个实验点
中挑选出来的9个实验点。即：
关于正交的直观印象
•数据点分布是均匀的 •每一个面都有3个点
Hale Waihona Puke •每一条线都有1个点图1
1.2.2 正交实验法
正交实验法是用来科学地设计多因素实验
的一种方法。它利用一套规格化的正交表安
排实验，得到的实验结果再用数理统计方法 进行处理，使之得出科学结论。正交表是实 验设计的基本工具，它是根据均衡分布的思 想，运用组合数学理论构造的一种数学表格， 均衡分布性是正交表的核心。
在实验研究中，我们一般要考察原料种类、原 料数量、反应温度、反应时间、反应压力等多个 影响因素，若进行全面实验 ，则实验的规模将很 大 ，往往因实验条件的限制而难于实施 。例如， 一实验有6个因素： 每因素取 5个水平，全面实 验就需要56=15625个组合。因素是指参与实验并 对其结果有影响的要素或对象，水平是指因素的 变化状态或用量。
表3
3.3、选出合适的正交表
选用哪种正交表，一般根据因素和水平 多少以及实验工作量大小而定。 总原则： 能容纳所有考察因素，又使实验号最小。例 如，若因素都是二水平的，当有3个因素时， 可用L4（ 23）（当然也可用L8（ 27 ），但 实验工作量大），当有4 ～ 7个因素时，一 般用L8（ 27）（也可用L16（ 215 ））等等。 但必须注意，因素水平表中的水平数与所选 正交表中的水平数要完全一致，因素水平表 中的因素个数要小于或等于正交表中的列数。
A2B1C2 A2B1C2 A2B2C2 A3B1C2 A3B2C2 A3B3C2
A1B3C3
A2B1C3 A2B1C3 A2B2C3 A3B1C3 A3B2C3 A3B3C3
正交实验法就是从选优区全面实 验点（水平组合）中挑选出有代表性 的部分实验点（水平组合）来进行实
验。图 1 中标有实验号的九个“ (·)” ，
A 1 1 1 2 2 2 3 3 3
B 1 2 3 1 2 3 1 2 3
C 1 2 3 2 3 1 3 1 2
D 1 2 3 3 1 2 2 3 1
常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行 正交设计时选用。 2 水平正交表除 L8(27) 外，还有 L4(23) 、 L16(215) 等 ； 3 水 平 正 交 表 有 L9(34) 、 L27(313)……等。 表2是一张正交表，记号为L9(34)，其中“L” 代表正交表；L右下角的数字“9”表示有9行 ，用 这张正交表安排实验包含3个处理(水平组合) ；括 号内的底数“3” 表示因素的水平数，括号内3的指 数“4”表示有4列 ，也指安排的因素数，用这张正 交表最多可以安排4个因素3个水平。
2.4.2代表性。 代表性的含义之一，在于正交表的正交性中： ①任一列的各水平都出现，使得部分实验 中包含所有因素的所有水平。 ②任意2列间的所有组合全部出现，使任意 两因素间都是全面实验。因此，在部分实验 中，所有因素的所有水平信息及两因素间的 所有组合信息都无一遗漏。这样，虽然安排 的是部分实验，却能够了解全面实验的情况， 从这个意义上讲可以代表全面实验。
任何一张正交表都有如下三个特性：
2.4.1正交性
1、任一列中，不同数字出现的次数相等
例如L8(27) 中不同数字只有1和2，它们各出 现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们 各出现3次 。
2、任两列中，同一横行所组成的数字对出现 的次数相等
例如 L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各
2、非标准表（混合水平正交表） 各列中出现的最大数字不完全相同的正 交表称为混合水平正交表。如 L8(4×24) 表中 有一列最大数字为4，有4列最大数字为2。也 就是说该表可以安排一个4水平因素和4个2水 平因素。再如L16(44×23)，L16(4×212)等都混 合水平正交表。
2.4正交表的基本性质