ARMA时间序列模型及其相关应用教材PPT课件
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金融时间序列分析 时间序列分析基础 ARMA建模过程PPT课件
E[et (l)] 0
l 1
Var[e/共77页
AR(p)序列的预测
• 预测值
• 预测方差
xˆ(l) 1xˆt (l 1) pxˆt (l p)
Var[et
(l)]
(1
G12
Gl21
)
2
• 95％置信区间
xˆt (l)
z1 1 G12 2
G2 l 1
第10页/共77页
序列自相关图
第11页/共77页
序列偏自相关图
第12页/共77页
拟合模型识别
• 自相关图显示延迟3阶之后，自相关系数全部衰减到2倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期相关。 但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数可视为不截尾
• 偏自相关图显示除了延迟1阶的偏自相关系数显著大于2倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在2倍标准差 范围内作小值随机波动，而且由非零相关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该偏自相关系数可视 为一阶截尾
模型显著有 效
P值 <0.0004 <0.0001
结论 显著 显著
第40页/共77页
模型优化
• 问题提出 • 当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列， • 但这种有效模型并不是唯一的。
• 优化的目的 • 选择相对最优模型
第41页/共77页
例 : 拟合某一化学序列
拟合模型二
• 根据偏自相关系数1阶截尾，拟合 AR(1) 模型 • 参数估计
yield t
51.26169
t
1 0.42481B
• 模型检验 • 模型显著有效 • 两参数均显著
l 1
Var[e/共77页
AR(p)序列的预测
• 预测值
• 预测方差
xˆ(l) 1xˆt (l 1) pxˆt (l p)
Var[et
(l)]
(1
G12
Gl21
)
2
• 95％置信区间
xˆt (l)
z1 1 G12 2
G2 l 1
第10页/共77页
序列自相关图
第11页/共77页
序列偏自相关图
第12页/共77页
拟合模型识别
• 自相关图显示延迟3阶之后，自相关系数全部衰减到2倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期相关。 但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数可视为不截尾
• 偏自相关图显示除了延迟1阶的偏自相关系数显著大于2倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在2倍标准差 范围内作小值随机波动，而且由非零相关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该偏自相关系数可视 为一阶截尾
模型显著有 效
P值 <0.0004 <0.0001
结论 显著 显著
第40页/共77页
模型优化
• 问题提出 • 当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列， • 但这种有效模型并不是唯一的。
• 优化的目的 • 选择相对最优模型
第41页/共77页
例 : 拟合某一化学序列
拟合模型二
• 根据偏自相关系数1阶截尾，拟合 AR(1) 模型 • 参数估计
yield t
51.26169
t
1 0.42481B
• 模型检验 • 模型显著有效 • 两参数均显著
中级计量经济学-考察时间序列自相关性的ARMA模型
rˆh l E rhl rh , rh1,
E c0 ahl 1ahl1 c0
eh l rhl rˆh l ahl 1ahl1
vareh l
1 12
2 a
总 结 ： 对 于 MA(1) 模 型，超过1步的点预测 为rt的无条件均值，预 测误差的方差为rt的无 条件方差
，当l
1
0，当l 1
1，当l 0
1
1 12
，当l
1
MA2：l
0
1 12
2 2
0，02 当1l2122
2 2
，当l
2
总结：MA(q)的ACF会在滞后q期之后截尾，有限记 忆，利用此性质来确定MA模型的order
22
实际MA模型的应用
模型的选择 模型的估计 模型的检验 模型的预测 模型应用举例
6
AR(2)模型的性质（续）
ACF特征：l 1l1 2l2 l c1 x1l c2 x2l
如果 12 42 0 ，x1, x2 为实数，ACF为两个指数衰减的混合 如果 12 42 0 ，x1, x2 为虚数，ACF为逐渐衰弱的正弦余弦波
，表明商业周期的存在
7
AR(p)模型
23
MA模型的应用——模型选择
ACF与PACF
若ACF表现为一个衰减拖尾的形状（非截尾），基本 可以选择AR模型，再以截尾的PACF来确定order
若ACF在滞后期为q处截尾，即 q 0，但对于 l q则有l 0
则rt服从一个MA(q)模型
Information Criteria
24
表达式：
rt 0 1 rt1 p rt p at
11B pBp rt 0 at
特征方程
第五章 传递函数与干预变量分析 《应用时间序列分析》PPT课件
22
Yt s
Yt
Yt s
( Xt ,Yts )
( Xt ,Yts )
X t s
Xt
Xts
图5-3 互相关函数示意图
(xt , yts ) xy (s) （5.6） (xt , yts ) xy (s) （5.7）
23
对互相关函数非对称性的理解
互相关关系的非对称性是指（Xt，Yt-s) 和（Xt，Yt+s)通常不等的性质 。比如假设Xt是 某种商品的广告费， 对于该种商品的销售额Yt 来说是广告费是一个领先的变量， 它对Yt-s （s>0）的影响可能很小 ，甚至为零，Xt但是 对于Yt+s的影响会比较大，因为当前的广告费会 对未来的销售额产生影响。至于相关性会到达什 么程度，或者什么方向，要根据实际问题而言。
32
如前所述，如果输入的时间序列是白噪声， 则可以得到如（5.11）和(5.12)式那样简单的脉 冲响应函数与互相关函数的关系式，为了达到这 个目的，我们对Xt和Yt做预白化处理， 即建立模 型过滤Xt和Yt。使输入的是 Xt和Yt，而输出的是 两个白噪声序列t和t。
关于传递函数的预白化过程通过统计软件可 以得到。
j 1vj1 2vj1 rvjr
这恰好是一个r阶的差分方程，可见当j>b+s时 的脉冲响应函数是该方程的解，所以当jb+s+1时， 脉冲响应函数呈指数衰减。 ，r个初始响应函数为
bsr1, bsr2 ,, vbs
结合这3点，我们可以得到三个参数r、s和b的值。
13
三、常见的传递函数的形式
设 Ytk 0 Xtk 1Xtk1 tk
将两边同时乘以Xt，则
Ytk Xt 0 Xtk Xt 1Xtk1Xt
ARMA时间序列模型及其相关应用教材PPT(共 49张)
对于零均值的平稳时间序列中，给定 Xt1, ,Xtk1 ，则 Xt和Xtk 之间
的偏相关函数定义为：
偏 相 关 函 数 = E [X tX tk] =E [X tX tk]
E [X t2]E [X tk2]
2 X
注意：此时的期望指的是条件期望 。
17
AR模型偏相关函数
设 X t 为零均值的实平稳时间序列，设它满足AR(p)模型：
9
AR与MA模型的比较
自回归模型： X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p a t.
意义在于仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测 目标的影响和作用，不一定平稳。
滑动平均模型：X t a t 1 a t 1 2 a t 2 q a t q .
型。
其中， a t 是独立同分布的随机变量序列，且满足 E[at ] 0，D[at]a2 也称
白噪声序列。 为了方便表示，引进延迟算子的概念。令：
Xt1 BXt Xt2BXt-1B2Xt Xtp BpXt
则自回归模型可写为： (B)Xt at
其中： (B ) 1 1 B 2 B 2 p B p .
(B) Xt
=
(B)at
模型简记为ARMA(p, q).
显然，当q =0时，ARMA(p, q)模型就是AR (p)模型； 显然，当p =0时，ARMA(p, q)模型就是MA (q)模型；
ARMA(p, q)模型的平稳性只依赖于AR 部分； ARMA(p, q)模型的可逆性只依赖于MA 部分；
1976年，英国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家G.M.Jenkins联合出版了 《时间序列分析——预测和控制》一书，在总结前人的研究的基础上， 系统地阐述了ARMA模型的识别、估计、检验及预测的原理和方法，成 为时间序列分析的核心，故ARMA 模型也称为Box-Jenkins模型。
时间序列分析教材(PPT 82页)
滞后算子的性质： 常数与滞后算子相乘等于常数。 滞后算子适用于分配律。
Lc c
(Li Lj )x t Lix t Ljx t x ti x t-j
•滞后算子适用于结合律。 LiLjxt Li jx t x t-i-j •滞后算子的零次方等于1。L0xt xt
•滞后算子的负整数次方意味着超前。Lixt xti
8
随机过程与时间序列的关系如下所示：
随机过程: {y1, y2, …, yT-1, yT,} 第1次观测：{y11, y21, …, yT-11, yT1} 第2次观测：{y12, y22, …, yT-12, yT2}
第n次观测：{y1n, y2n, …, yT-1n, yTn}
某河流一年的水位值，{y1, y2, …, yT-1, yT,}，可以看作 一个随机过程。每一年的水位纪录则是一个时间序 列 =成2，了时{y）y2取11,的y值2水1,的…位样,纪y本T录-1空1,是y间T不1}。。相而同在的每。年{ y中21,同y2一2, 时…,刻y2（n,}如构t
, k 0 , 则称{xt}为白噪声过程。
3
4
DJ P Y
2
2 1
0
0
-1
-2 -2
white noise -3
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-4 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
由白噪声过程产生的时间序列（nrnd）
日元对美元汇率的收益率序列
长期趋势分析、季节变动 分析、循环波动分析。
随机性时间序列分析方 法：ARIMA模型等。
一、时间序列分析的几个基本概念
1.随机过程 由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为Yt ,t T ，
第八章 平稳时间序列建模(ARMA模型)
1. 自回归模型AR(p)
p 阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：
ut c 1 ut 1 2 ut 2 p ut p t
(5.2.4) 其中：参数 c 为常数；1 , 2 ,…, p 是自回归模型系数； p为自回归模型阶数；t 是均值为0，方差为 2 的白噪声
序列。
4
2. 移动平均模型MA(q)
q 阶移动平均模型记作MA(q) ，满足下面的方 程：
ut t 1 t 1 q t q
(5.2.5)
其中：参数 为常数；参数1 , 2 ,…, q 是 q 阶移动
平均模型的系数；t 是均值为0，方差为 2的白噪声 序列。
AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。
8
2．MA(q) 模型的可逆性
考察MA(q) 模型
ut (1 1 L 2 L2 q Lq ) t
2 E ( t ) 0
2
(5.2.16)
t t
qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若
1 1 z 2 z q z 0
在单位圆外（即绝对值大于1，或模大于1），这意味着 自回归过程是发散的。如果MA模型滞后多项式的根的 倒数有在单位圆外的，说明MA过程是不可逆的，应使 用不同的初值重新估计模型，直到得到满足可逆性的动 平均。
20
4. ARMA(p,q)模型的估计选择
EViews估计AR模型采用非线性回归方法，对于MA模 型采取回推技术(Box and Jenkins,1976)。这种方法的优点
L0utut。则式（5.2.7）可以改写为：
(1 1 L 2 L 2 p Lp ) ut c t
p 阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：
ut c 1 ut 1 2 ut 2 p ut p t
(5.2.4) 其中：参数 c 为常数；1 , 2 ,…, p 是自回归模型系数； p为自回归模型阶数；t 是均值为0，方差为 2 的白噪声
序列。
4
2. 移动平均模型MA(q)
q 阶移动平均模型记作MA(q) ，满足下面的方 程：
ut t 1 t 1 q t q
(5.2.5)
其中：参数 为常数；参数1 , 2 ,…, q 是 q 阶移动
平均模型的系数；t 是均值为0，方差为 2的白噪声 序列。
AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。
8
2．MA(q) 模型的可逆性
考察MA(q) 模型
ut (1 1 L 2 L2 q Lq ) t
2 E ( t ) 0
2
(5.2.16)
t t
qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若
1 1 z 2 z q z 0
在单位圆外（即绝对值大于1，或模大于1），这意味着 自回归过程是发散的。如果MA模型滞后多项式的根的 倒数有在单位圆外的，说明MA过程是不可逆的，应使 用不同的初值重新估计模型，直到得到满足可逆性的动 平均。
20
4. ARMA(p,q)模型的估计选择
EViews估计AR模型采用非线性回归方法，对于MA模 型采取回推技术(Box and Jenkins,1976)。这种方法的优点
L0utut。则式（5.2.7）可以改写为：
(1 1 L 2 L 2 p Lp ) ut c t
时间序列中的ARMA模型PPT课件
CHENLI
10
ARIMA模型的概念
3.ARMA(p, q)过程的特征
1）E(Yt)=1(1c2...p)
2）ARMA(p, q)过程的方差和协方差
CHENLI
11
ARIMA模型的概念
四. AR、MA过程的相互转化
结论一：平稳的AR(p)过程可以转化为一个MA(∞)过程， 可采用递归迭代法完成转化
ARMA模型的概念和构造
CHENLI
1
一、ARIMA模型的基本内涵
一、ARMA模型的概念
自回归移动平均模型（autoregressive moving average models,简记为ARMA模 型），由因变量对它的滞后值以及随机 误差项的现值和滞后值回归得到。
包括移动平均过程（MA）、自回归过程 （AR）、自回归移动平均过程 （ARMA）。
对于任意的，MA(q)是平稳的。
CHENLI
4
ARIMA模型的概念
二. 自回归（AR）过程 1.自回归（AR）过程表示为：
Y t = c + 1 Y t - 1 + 2 Y t - 2 + . . . + p Y t - p + 算子，则原式可写成
CHENLI
13
Box-Jenkins方法论
Box-Jenkins方法论 的步骤：
步骤1：模型识别 步骤2：模型估计 步骤3：模型的诊断检验 步骤4：模型预测
CHENLI
14
三、ARMA模型的识别、估计、诊断、预测
(一).ARMA模型的识别
1. 识别ARMA模型的两个工具：
自相关函数(autocorrelation function,简记为 ACF）；
ARMA模型介绍ppt课件
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7
自回归移动平均模型(ARMA)
如果时间序列Yt是它的当期和前期的随机误差 项以及前期值的线性函数，即可表示为：
Y t 1 Y t 1 2 Y t 2 . .p Y t . p u t 1 u t 1 q u t q
则称该序列为（p,q）阶自回归移动平均模型。 记为ARMA（p,q）
两者结合的模型（ARMA）
习惯上用AR(p)、MA(q)或ARMA(p,q)来 表示对应的滞后时期。
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5
AR(p)模型
AR(p)模型是回归模型的一种形式，其一般形 式为：
Y t1 Y t 1 2 Y t 2 . ..p Y t p u t
另一种表达方式是用差分形式：
Y t Y t 1 1 Y t 1 . .p . 1 Y t p 1 u t
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16
ARIMA模型
考虑ARIMA(p,d,q)模型 一个ARIMA(p,d,q)模型代表一个I(d)变量
经过d次差分后所做的AR(p)和MA(q)模 型。
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17
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时间序列模型在上世纪80年代中期后得 到快速发展。
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2
本章主要内容
时间序列模型的特点 AR、MA和ARMA模型的形式 AR、MA和ARMA模型的识别 AR、MA和ARMA模型的估计
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3
时间序列分析模型的特点
时间序列分析通常并不需要建立在经济理论 所体现的经济关系基础之上，而是“让数据 自己说话”。Yt可由其自身的滞后值以及随 机误差项来解释，因此时间序列分析模型又 称乏理论（a-theoretic)模型。
ARMA时间序列模型及其相关应用教材
平稳时间序列：统计量的统计规律不随时间变化。
路漫漫其悠远
AR模型
设 为零均值的实平稳时间序列，阶数为p的自回归模型定义为：
模型简记为 型。
，是时间序列 自身回归的表达式，所以称为自回归模
其中， 是独立同分布的随机变量序列，且满足
，
白噪声序列。
也称
为了方便表示，引进延迟算子的概念。令：
则自回归模型可写为： 其中：
路漫漫其悠远
AR模型的自相关函数
阶数为q的自相关模型定义为： 根据自相关函数的定义：
令k=1,2,…, p,得自相关系数：
从上述性质可以看出，AR(q)序列的自相关系数 随着k的增大始终不为0.这 种性质称为拖尾性，并且是呈负指数衰减。
路漫漫其悠远
ARMA模型的自相关函 数
ARMA(p, q)模型的自相关系数，可以看做AR(p)模型的自相关函数和 MA(q)模型的自相关系数的混合物。
用 乘上式两边，当给定
时，取条件期望得：
因为 k>0 时， 故
，且有
显然 即为AR(p)序列的偏相关函数，同时它又是AR(p)模型的最后一个回
归系数。当k>p时，有
，也即是截尾的。
路漫漫其悠远
ARMA模型偏相关函 数
ARMA模型的偏相关函数求解方法和上述略有不同，考虑用 对 做最小方差估计来求ARMA(p, q)序列(把MA(q)看作是 p=0 的特例)
路漫漫其悠远
二、模型的识别
路漫漫其悠远
MA模型的自相关函 数
阶数为q的滑动平均模型定义为： 根据自相关函数的定义：
因为 所以自相关函数变为三项：
路漫漫其悠远
MA模型的自相关函数
对于： 分以下几种情况讨论： 1）当 k =0 时，有
路漫漫其悠远
AR模型
设 为零均值的实平稳时间序列，阶数为p的自回归模型定义为：
模型简记为 型。
，是时间序列 自身回归的表达式，所以称为自回归模
其中， 是独立同分布的随机变量序列，且满足
，
白噪声序列。
也称
为了方便表示，引进延迟算子的概念。令：
则自回归模型可写为： 其中：
路漫漫其悠远
AR模型的自相关函数
阶数为q的自相关模型定义为： 根据自相关函数的定义：
令k=1,2,…, p,得自相关系数：
从上述性质可以看出，AR(q)序列的自相关系数 随着k的增大始终不为0.这 种性质称为拖尾性，并且是呈负指数衰减。
路漫漫其悠远
ARMA模型的自相关函 数
ARMA(p, q)模型的自相关系数，可以看做AR(p)模型的自相关函数和 MA(q)模型的自相关系数的混合物。
用 乘上式两边，当给定
时，取条件期望得：
因为 k>0 时， 故
，且有
显然 即为AR(p)序列的偏相关函数，同时它又是AR(p)模型的最后一个回
归系数。当k>p时，有
，也即是截尾的。
路漫漫其悠远
ARMA模型偏相关函 数
ARMA模型的偏相关函数求解方法和上述略有不同，考虑用 对 做最小方差估计来求ARMA(p, q)序列(把MA(q)看作是 p=0 的特例)
路漫漫其悠远
二、模型的识别
路漫漫其悠远
MA模型的自相关函 数
阶数为q的滑动平均模型定义为： 根据自相关函数的定义：
因为 所以自相关函数变为三项：
路漫漫其悠远
MA模型的自相关函数
对于： 分以下几种情况讨论： 1）当 k =0 时，有
平稳时序模型ARMA
k阶自 相关 函数
k k 0 1 k 1 2 k 2 p k p
可见，无论k有多大， k的计算均与其１到p阶滞后的自 相关函数有关，因此呈拖尾状。如果AR(p)是平稳的，则 |k|递减且趋于零（可作为平稳性判断方法）。
• 偏自相关函数
X t 1 X t 1 p X t p t 1 t 1 q t q
• ARMA(p,q)平稳性取决于AR(p)的平稳性。
• 当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平 稳的，否则，不是平稳的。
4、总结
• 一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳 的随机过程或模型。 • 一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分 的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时 间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。 • 如果将一个非平稳时间序列通过d次差分，将 它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q) 模型作为它的生成模型，则该原始时间序列是 一个自回归单整移动平均（autoregressive integrated moving average）时间序列，记 为ARIMA(p,d,q)。
• 课件只提供一个简单的思路。
一、时间序列模型概述
1、时间序列模型
• 两类时间序列模型
– 时间序列结构模型：通过协整分析，建立反映不同时间 序列之间结构关系的模型，揭示了不同时间序列在每个 时点上都存在的结构关系。
– 随机时间序列模型：揭示时间序列不同时点观测值之间 的关系，也称为无条件预测模型。
q 1 Cov( X t , X t q 1 ) ( q 1 1 q ) 2 q Cov( X t , X t q ) q 2
当滞后期大于q 时，X的自协方 差系数为0。
k k 0 1 k 1 2 k 2 p k p
可见，无论k有多大， k的计算均与其１到p阶滞后的自 相关函数有关，因此呈拖尾状。如果AR(p)是平稳的，则 |k|递减且趋于零（可作为平稳性判断方法）。
• 偏自相关函数
X t 1 X t 1 p X t p t 1 t 1 q t q
• ARMA(p,q)平稳性取决于AR(p)的平稳性。
• 当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平 稳的，否则，不是平稳的。
4、总结
• 一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳 的随机过程或模型。 • 一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分 的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时 间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。 • 如果将一个非平稳时间序列通过d次差分，将 它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q) 模型作为它的生成模型，则该原始时间序列是 一个自回归单整移动平均（autoregressive integrated moving average）时间序列，记 为ARIMA(p,d,q)。
• 课件只提供一个简单的思路。
一、时间序列模型概述
1、时间序列模型
• 两类时间序列模型
– 时间序列结构模型：通过协整分析，建立反映不同时间 序列之间结构关系的模型，揭示了不同时间序列在每个 时点上都存在的结构关系。
– 随机时间序列模型：揭示时间序列不同时点观测值之间 的关系，也称为无条件预测模型。
q 1 Cov( X t , X t q 1 ) ( q 1 1 q ) 2 q Cov( X t , X t q ) q 2
当滞后期大于q 时，X的自协方 差系数为0。
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则滑动平均模型可写为：Xt (B)at 其中： (B) 1 1B 2B2 qBq.
若满足条件： (B) 0的根全在单位圆外，则称此条件为MA(q)模型的可逆 性条件，此时 -1(B) 存在且一般是B的幂级数，于是模型又可写为：
at 1(B) X t
南方医科大学 SOUTHERN MEDICAL UNIVERSITY
型。
其中，at是独立同分布的随机变量序列，且满足 E[at ] 0 ，D[at ] a2 也称
白噪声序列。 为了方便表示，引进延迟算子的概念。令：
X t1 BX t X t2 BX t-1 B2 X t Xtp Bp Xt 则自回归模型可写为： (B) Xt at 其中：(B) 1 1B 2B2 pB p.
模型简记为ARMA(p, q).
显然，当q =0时，ARMA(p, q)模型就是AR (p)模型； 显然，当p =0时，ARMA(p, q)模型就是MA (q)模型；
ARMA(p, q)模型的平稳性只依赖于AR 部分； ARMA(p, q)模型的可逆性只依赖于MA 部分；
南方医科大学 SOUTHERN MEDICAL UNIVERSITY
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7
AR模型
对于模型：(B) Xt at 若满足条件：(B) 0 的根全在单位圆外，即所有根的模都大于1，则称此
条件为AR(p)模型的平稳性条件。
B1
B2
R 1
B3
当模型满足平稳性条件时， -1(B) 存在且一般是B的幂级数，于是模型又可
11
二、模型的识别
南方医科大学 SOUTHERN MEDICAL UNIVERSITY
12
MA模型的自相关函数
阶数为q的滑动平均模型定义为：
X t at 1at1 2at2 qatq.
根据自相关函数的定义：
k E(Xt Xtk )
= E[(at 1at1 qatq )(atk 1atk1 qatkq )]
南方医科大学 SOUTHERN MEDICAL UNIVERSITY
10
ARMA模型
设 Xt 为零均值的实平稳时间序列，p阶自回归q阶滑动平均混合模型定义
为：
X t 1X t1 2 X t2 p X t p at 1at1 2at2 qatq.
(B) X t
=
(B)at
ARMA时间序列模型及其相关应用教材P PT课件
ARMA时间序列模型 及其相关应用
ARMA时间序列模型及其相关应用教材P PT课件
段晓曼 吴艾茜 黄衍超 2017.12.07
提纲
➢时间序列模型的概念 ➢模型的识别 ➢模型阶数的确定 ➢模型参数的估计 ➢模型的检验 ➢模型的应用
南方医科大学 SOUTHERN MEDICAL UNIVERSITY
平稳时间序列：统计量的统计规律不随时间变化。
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6
AR模型
设 Xt 为零均值的实平稳时间序列，阶数为p的自回归模型定义为：
X t 1X t1 2 X t2 p X t p at .
模型简记为AR(p)，是时间序列Xt 自身回归的表达式，所以称为自回归模
9
AR与MA模型的比较
➢ 自回归模型： X t 1X t1 2 X t2 p X t p at .
意义在于仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对 预测目标的影响和作用，不一定平稳。
➢ 滑动平均模型：X t at 1at1 2at2 qatq.
意义在于用过去各个时期的随机干扰（白噪声）或预测误差的线性 组合来表达当前预测值，但具有不一定可逆性。
写为：
X t -1(B)at
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8
MA模型
设 Xt 为零均值的实平稳时间序列，阶数为q的滑动平均模型定义为：
X t at 1at1 2at2 qatq.
模型简记为MA(q)。同样为了方便表示，引进延迟算子的概念。令： at1 Bat at2 Bat-1 B2at at p B pat
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5
ARMA模型的概念
➢ ARMA 是一种单变量、同方差的线性模型，对于满足有限参数线形模型 的平稳时间序列，主要有以下三种基本形式：
自回归模型（ AR : Auto-regressive） 移动平均模型（ MA : Moving-Average） 混合模型（ ARMA : Auto-regressive Moving-Average）
q
q
qq
= E[atatk ] j E[atatk j ] iE[atiatk ]
i j E[ai1 j1
因为
E[asat
]
a
2
,
0,
t t
s. s.
所以自相关函数变为三项：
q
qq
k = E[atatk ] iE[atiatk ]
*公开数据整理
4
ARMA模型的概念
➢ ARMA 模 型 （ 自 回 归 滑 动 平 均 模 型 ， Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法。
➢ 1976年，英国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家G.M.Jenkins联合出版了 《时间序列分析——预测和控制》一书，在总结前人的研究的基础上， 系统地阐述了ARMA模型的识别、估计、检验及预测的原理和方法，成 为时间序列分析的核心，故ARMA 模型也称为Box-Jenkins模型。
2
一、时间序列模型的概念
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3
时间序列的概念
➢ 时间序列是指将同一统计指标的数值按其发生的时间先后顺序排列而成 的序列。
➢ 时间序列分析的主要目的是根据已有的历史数据对未来进行预测。 2000-2013年我国GDP增长图
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若满足条件： (B) 0的根全在单位圆外，则称此条件为MA(q)模型的可逆 性条件，此时 -1(B) 存在且一般是B的幂级数，于是模型又可写为：
at 1(B) X t
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型。
其中，at是独立同分布的随机变量序列，且满足 E[at ] 0 ，D[at ] a2 也称
白噪声序列。 为了方便表示，引进延迟算子的概念。令：
X t1 BX t X t2 BX t-1 B2 X t Xtp Bp Xt 则自回归模型可写为： (B) Xt at 其中：(B) 1 1B 2B2 pB p.
模型简记为ARMA(p, q).
显然，当q =0时，ARMA(p, q)模型就是AR (p)模型； 显然，当p =0时，ARMA(p, q)模型就是MA (q)模型；
ARMA(p, q)模型的平稳性只依赖于AR 部分； ARMA(p, q)模型的可逆性只依赖于MA 部分；
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AR模型
对于模型：(B) Xt at 若满足条件：(B) 0 的根全在单位圆外，即所有根的模都大于1，则称此
条件为AR(p)模型的平稳性条件。
B1
B2
R 1
B3
当模型满足平稳性条件时， -1(B) 存在且一般是B的幂级数，于是模型又可
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二、模型的识别
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MA模型的自相关函数
阶数为q的滑动平均模型定义为：
X t at 1at1 2at2 qatq.
根据自相关函数的定义：
k E(Xt Xtk )
= E[(at 1at1 qatq )(atk 1atk1 qatkq )]
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ARMA模型
设 Xt 为零均值的实平稳时间序列，p阶自回归q阶滑动平均混合模型定义
为：
X t 1X t1 2 X t2 p X t p at 1at1 2at2 qatq.
(B) X t
=
(B)at
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提纲
➢时间序列模型的概念 ➢模型的识别 ➢模型阶数的确定 ➢模型参数的估计 ➢模型的检验 ➢模型的应用
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平稳时间序列：统计量的统计规律不随时间变化。
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AR模型
设 Xt 为零均值的实平稳时间序列，阶数为p的自回归模型定义为：
X t 1X t1 2 X t2 p X t p at .
模型简记为AR(p)，是时间序列Xt 自身回归的表达式，所以称为自回归模
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AR与MA模型的比较
➢ 自回归模型： X t 1X t1 2 X t2 p X t p at .
意义在于仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对 预测目标的影响和作用，不一定平稳。
➢ 滑动平均模型：X t at 1at1 2at2 qatq.
意义在于用过去各个时期的随机干扰（白噪声）或预测误差的线性 组合来表达当前预测值，但具有不一定可逆性。
写为：
X t -1(B)at
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MA模型
设 Xt 为零均值的实平稳时间序列，阶数为q的滑动平均模型定义为：
X t at 1at1 2at2 qatq.
模型简记为MA(q)。同样为了方便表示，引进延迟算子的概念。令： at1 Bat at2 Bat-1 B2at at p B pat
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ARMA模型的概念
➢ ARMA 是一种单变量、同方差的线性模型，对于满足有限参数线形模型 的平稳时间序列，主要有以下三种基本形式：
自回归模型（ AR : Auto-regressive） 移动平均模型（ MA : Moving-Average） 混合模型（ ARMA : Auto-regressive Moving-Average）
q
q
= E[atatk ] j E[atatk j ] iE[atiatk ]
i j E[ai1 j1
因为
E[asat
]
a
2
,
0,
t t
s. s.
所以自相关函数变为三项：
q
k = E[atatk ] iE[atiatk ]
*公开数据整理
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ARMA模型的概念
➢ ARMA 模 型 （ 自 回 归 滑 动 平 均 模 型 ， Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法。
➢ 1976年，英国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家G.M.Jenkins联合出版了 《时间序列分析——预测和控制》一书，在总结前人的研究的基础上， 系统地阐述了ARMA模型的识别、估计、检验及预测的原理和方法，成 为时间序列分析的核心，故ARMA 模型也称为Box-Jenkins模型。
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一、时间序列模型的概念
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时间序列的概念
➢ 时间序列是指将同一统计指标的数值按其发生的时间先后顺序排列而成 的序列。
➢ 时间序列分析的主要目的是根据已有的历史数据对未来进行预测。 2000-2013年我国GDP增长图
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