高考数学考点04分段函数试题解读与变式

考点4 分段函数以及应用

一、 知识储备汇总与命题规律展望 1.知识储备汇总:

（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. （3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.

（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当

x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.

（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.

（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.

（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.

（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.

（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.

（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.

（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.

2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.

将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.

二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值 1.1考题展示与解读

例1 【2017山东，文9】设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩

,若()()1f a f a =+,则

1f a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题. 【答案】C

【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想

【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 1.2【典型考题变式】

1.【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2

,8220,2x x x x x ，若)2()(+=a f a f ，则)1(a f =

（ ） A.

165 B. 2 C.6 D.2

17

【答案】B

【解析】由2x ≥时()28f x x =-+是减函数可知,若2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以

02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =,则

21(1)112f f a ⎛⎫

==+= ⎪⎝⎭

,故选B. 2. 【变式2：改编结论】设()(),01

21,1

x x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = （ ）

B.

41 B. 45 C. 41或4

5

D. 2 【答案】C

【解析】由题意知，⎪⎩⎪

⎨⎧=<<2110a a 或⎪⎩

⎪

⎨⎧=-≥21

)1(21

a a ，解得14a =或45=a ，故选C 3.【变式3：改编问法】已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，⎪⎩⎪

⎨⎧>-≤≤2)4(2

12

0,sin x x x x ，π，则)431(f =

（ ） A

44 .B.82 C.44- D.8

2

- 【答案】D 【解析】由题意知)41(41)41(41)415(21)431(

f f f f -=-===4

sin 41π

-=82-，故选D. 2.分段函数的最值与值域 2.1考题展示与解读

例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a

f x x x a

⎧-≤=⎨->⎩.

①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.

【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想. 【答案】2，(,1)-∞-.

【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.

【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值域的并集就是函数的值域. 2.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧>+-≤-+a

x ax a x x x ,4,242.

（1）当1-=a 时，求)(x f 的最小值.

（2）若函数)(x f 无最小值，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）-6；（2）),0()3,(+∞⋃-∞.

【解析】（1）当1-=a 时，)(x f =⎩⎨⎧->+-≤-+1

,41,242x x x x x ，当1-≤x 时，)(in x f m =)2(-f =-6，

当1->x 时，3)1()(=->f x f ，所以)(x f 的最小值为-6.

（2）当2-≤a 时，要使)(x f 无最小值，由)(x f 的图象知，4242

2

+->-+a a a ，解得

3-

当02<<-a 时，要使)(x f 无最小值，由)(x f 的图象知，462

+->-a ，无解； 当0=a 时，由)(x f 的图象知，min )(x f =-6； 当0>a 时，由)(x f 的图象知，)(x f 无最小值； 综上所述，实数a 的取值范围为),0()3,(+∞⋃-∞.

【变式2：改编结论】设函数33,()2,x x x a

f x x x a

⎧-≤=⎨->⎩，b x f x g -=)()(，若存在实数b ，