江苏省2020届高三高考全真模拟(四)数学试题 Word版含解析
江苏省百校2020届高三下学期第四次联考数学试题 Word版含解析
2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合{2,5},{3,5}A B ==，则A B =____________.【答案】{}2,3,5 【解析】 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】由集合的并集，知A B ={}2,3,5.故答案为：{}2,3,5【点睛】本题考查集合的并集运算，属于容易题. 2.已知复数z 满足12ii z+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案. 【详解】21222i i z i i i+-===-，所以复数z 的实部为2. 故答案为：2【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3.A B C ，，三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________. 【答案】100 【解析】 【分析】某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.【详解】设抽取的样本容量为x，由已知，30240160240400x=⨯++，解得100x=.故答案为：100【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.4.根据如图所示的伪代码，若输入的x的值为2，则输出的y的值为____________.【答案】1【解析】【分析】满足条件执行34y x←-，否则执行22xy-←.【详解】本题实质是求分段函数234,22,2xx xyx-->⎧=⎨≤⎩在2x=处的函数值，当2x=时，1y=. 故答案为：1【点睛】本题考查条件语句的应用，此类题要做到读懂算法语句，本题是一道容易题.5.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________. 【答案】14【解析】【分析】采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为14.故答案：14【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.6.已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则6a 的值为____________. 【答案】116【解析】 【分析】易得1113n n a a +-=，所以1{}na 是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可. 【详解】由已知，0n a ≠，因1130n n n n a a a a +++-=，所以1113n n a a +-=，所以数列1{}na 是以 111a 为首项，3为公差的等差数列，故611(61)316a =+-⨯=，所以6a =116. 故答案为：116【点睛】本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题. 7.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()0f 的值为____________.【答案】3-【解析】 【分析】由图可得()f x 的周期、振幅，即可得,A ω，再将5(,2)12π代入可解得ϕ，进一步求得解析式及()0f .【详解】由图可得2A =，353()41234T πππ=--=，所以2T ππω==，即2ω=， 又5()212f π=，即52sin(2)212πϕ⨯+=，52,62k k Z ππϕπ+=+∈，又||2ϕπ<，故3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223，(0)2sin()3f π=-=故答案为：【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，若过右焦点且与x轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为2c ，则双曲线的离心率为____________.【解析】 【分析】 利用221||||2AOB S F O AB c ∆=⨯=即可建立关于,,a b c 的方程. 【详解】设双曲线右焦点为2F ，过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐近线分别交于A B 、两点， 则(,)bc A c a ，(,)bc B c a -，由已知，221||||2AOB S F O AB c ∆=⨯=，即2bcc c a⋅=，所以a b =，离心率e ==【点睛】本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立,,a b c 的方程或不等式，是一道容易题.9.已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.【答案】3+ 【解析】 【分析】m n mn +=⇒111m n +=，所以有2m n +=(2)m n +112()3m n m n n m +=++，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由已知，111m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()3322m n m n n m+=++≥+， 当且仅当2m n m n mn ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即2221,2m n +=+=时，等号成立.故答案为：322+【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，采用的是“1”的替换，也可以消元等，是一道中档题.10.已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________. 【答案】()()1,17,-⋃+∞【解析】 【分析】224,4()4,4x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，(3)3f =，分类讨论即可.【详解】由已知，224,4()44,4x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，(3)3f =，若(2)(3)3f a f +>=，则224(2)4(2)3a a a +≥⎧⎨+-+>⎩或2(2)4(2)4(2)3a a a +<⎧⎨-+++>⎩解得7a >或11a -<<，所以不等式(2)(3)f a f +>的解集为()()1,17,-⋃+∞.故答案为：()()1,17,-⋃+∞【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及到解一元二次不等式，考查学生的计算能力，是一道中档题.11.如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为____________.【答案】32 【解析】 【分析】由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【详解】设圆锥的底面半径为r ，体积为V ，半球的体积为1V ，水（小圆锥）的体积为2V ，如图则,1,2,OA r OC OB BE h ====，所以2rh ED =，2241r r ⨯=+⨯，解得243r =， 所以218239V r ππ=⨯=，123V π=，23211()329rh V h h ππ=⨯⨯=，由12V V V =+，得3821939h πππ=+，解得32h =.故答案为：32【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.12.如图,在梯形ABCD 中，AD ∥24BC AB BC AD ===，，，E F ，分别是BC CD ，的中点，若1AE DE ⋅=-，则AF CD ⋅的值为___________.【答案】2【解析】 【分析】建系，设设A θ∠=，由1AE DE ⋅=-可得3πθ=，进一步得到C F 、的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.【详解】以A 为坐标原点，AD 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，设A θ∠=，则(4,0),(2cos ,2sin ),(12cos ,2sin ),(22cos ,2sin )D B E C θθθθθθ++，所以AE =(12cos ,2sin )θθ+，DE =(2cos 3,2sin )θθ-，由1AE DE ⋅=-，得2(12cos )(2cos 3)4sin 1θθθ+-+=-，即1cos 2θ=，又[0,]θπ∈，所以 3πθ=，故73(3,3),(,)22C F ,73(1,3),(,)2CD AF =-=, 所以73322AF CD =-⋅⨯=.故答案为：2【点睛】本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.13.函数()f x 满足()()4f x f x =-，当[)2,2x ∈-时，3223,2()1,2x x a x af x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩，若函数()f x 在[)0,2020上有1515个零点，则实数a 的范围为___________. 【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由已知，()f x 在[2,2)-上有3个根，分21a >≥，01a <<，10a -<≤，21a -<≤-四种情况讨论()f x 的单调性、最值即可得到答案.【详解】由已知，()f x 的周期为4，且至多在[2,2)-上有4个根，而[)0,2020含505个周期，所以()f x 在[2,2)-上有3个根，设32()23g x x x a =++，'2()66g x x x =+，易知()g x 在(1,0)-上单调递减，在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递增，又(2)40g a -=-<，(1)50g a =+>.若21a >≥时，()f x 在(,2)a 上无根，()f x 在[2,]a -必有3个根，则(1)0(0)0f f ->⎧⎨<⎩，即100a a +>⎧⎨<⎩，此时a ∈∅；若01a <<时，()f x 在(,2)a 上有1个根，注意到(0)0f a =>，此时()f x 在[2,]a -不可能有2个根，故不满足；若10a -<≤时，要使()f x 在[2,]a -有2个根，只需(1)0()0f f a ->⎧⎨≤⎩，解得102a -≤≤；若21a -<≤-时，()f x 在[2,]a -上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意； 综上，实数a 的范围为102a -≤≤. 故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.14.已知圆22 : 4O x y +=，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，()2,2A ，若2240AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为___________.【答案】【解析】 【分析】取PQ 的中点为M ，由2240AP AQ +=可得2216AM OM -=，可得M 在20x y ++=上，当OM 最小时，弦PQ 的长才最大. 【详解】设M为PQ 的中点，()22222(2)AP AQ AM PQ +=+，即222222AP AQ AM MQ +=+，即()2224022AM OQ OM=+-，22204AMOM =+-，2216AM OM -=.设(),M x y ，则()2222(2)(2)16x y x y-+--+=，得20x y ++=.所以min 222OM ==，max 22PQ =.故答案为：22【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，E F G ，，分别为AC PA PB ，，的中点，且2AC BE =.（1）求证：PB BC ⊥；（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）要做证明PB BC ⊥，只需证明BC ⊥平面PAB 即可；（2）易得PC ∥平面EFG ，PC ⊂平面PBC ，利用线面平行的性质定理即可得到GH ∥PC ，从而获得证明【详解】证明：（1）因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥.因为2AC BE =，所以BA BC ⊥.又因为BA PA A ⋂=，BA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB .又因为PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥. （2）因平面EFG 与BC 交于点H ，所以GH ⊂平面PBC .因为E F ，分别为AC PA ，的中点， 所以EF ∥PC .又因为PC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ， 所以PC ∥平面EFG .又因为PC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面EFG GH =，所以GH ∥PC ， 又因为G 是PB 的中点， 所以H 为BC 的中点.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是 一道容易题.16.在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若(,)m a b c =-，()sin sin ,sin sin n A B B C =-+，(1,2)p =，且m n ⊥.（1）求角C 的值； （2）求n p ⋅的最大值.【答案】（1）3π；（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得222a b c ab +-=，再用余弦定理即可得到角C ；（2）n p ⋅6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【详解】（1）因为m n ⊥，所以(sin sin )()(sin sin )0a A B b c B C -+-+=. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==， 所以()()()0a a b b c b c -+-+=，即222a b c ab +-=.在ABC ∆中，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又因为(0,)C π∈，所以3C π=.（2）由（1）得3C π=，在ABC ∆中，A B C π++=，所以1(sin sin )2(sin sin )n p A B B C ⋅=⨯-++ 2sin sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1sin sin 2A A A =++3sin 2A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以当62A ππ+=，即3A π=时，sin 6y A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有最大值1，所以n p ⋅的最大值为【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且12PF F △的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q，直线2,AP QF交于点M.（1）求椭圆方程；（2）若直线2PF与椭圆交于另一点N，且224AF M AF NS S=△△，求点P的坐标.【答案】（1）22143x y+=；（2）135,24⎛⎝⎭或135,24⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据12PF F△的周长为22a c+，结合离心率，求出,a c，即可求出方程；（2）设(,)P m n，则(,)Q m n--，求出直线AM方程，若2QF斜率不存在，求出,,M P N坐标，直接验证是否满足题意，若2QF斜率存在，求出其方程，与直线AM方程联立，求出点M坐标，根据224AF M AF NS S=△△和2,,P F N三点共线，将点N坐标用,m n表示，,P N坐标代入椭圆方程，即可求解.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，12PF F△的周长为6，设椭圆的焦距为2c，则222226,1,2,a ccab c a+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得2a=，1c=，3b=所以椭圆方程为22143x y+=.（2）设(,)P m n，则22143m n+=，且(,)Q m n--，所以AP的方程为(2)2ny xm=++①.若1m =-，则2QF 的方程为1x =②，由对称性不妨令点P 在x 轴上方，则31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立①，②解得1,9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即91,2M ⎛⎫⎪⎝⎭.2PF 的方程为3(1)4y x =--，代入椭圆方程得2293(1)124x x +-=，整理得276130x x --=，1x =-或137x =，139,714N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭. 222219|227419|21||4AF MAF NAF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△，不符合条件. 若1m ≠-，则2QF 的方程为(1)1ny x m -=---， 即(1)1ny x m =-+③. 联立①，③可解得34,3,x m y n =+⎧⎨=⎩所以(34,3)M m n +.因为224AF M AF N S S =△△，设(,)N N N x y所以2211|42|||2M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，即4M N y y =. 又因为,M N 位于x 轴异侧，所以34N n y =-. 因为2,,P F N 三点共线，即2F P 应与2F N 共线，223(1,),(1,)4N n F P m n F N x =-=--所以()31(1)4N n n x m -=--，即734N m x -=， 所以2273344143m n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又22143m n +=， 所以2272839m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得12m =，所以n =±所以点P 的坐标为135,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或135,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.18.管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为Lcm 的清洁棒在弯头内恰好处于AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）.（1）请用角θ表示清洁棒的长L ；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度. 【答案】（1）278,0,sin cos 2πθθθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（2）1313cm . 【解析】 【分析】（1）过A 作PC 的垂线，垂足为C ，易得27,sin AP θ=8cos BP θ=，进一步可得L ； （2）利用导数求278(),0,sin cos 2L πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭得最大值即可. 【详解】（1）如图，过A 作PC 的垂线，垂足为C ，在直角APC △中，APC θ∠=， 27AC cm =，所以27cm sin AP θ=，同理8cm cos BP θ=， 278,0,sin cos 2L πθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.（2）设278(),0,sin cos 2L πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 则33'222227cos 8sin 8sin 27cos ()sin cos sin cos L θθθθθθθθθ-=-+=， 令()'0L θ=，则327tan 8θ=，即3tan 2θ=. 设00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且03tan 2θ=，则当()00,θθ∈时，'3tan ,()02L θθ<<，所以()L θ单调递减； 当0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'3tan ,()02L θθ>>，所以()L θ单调递增， 所以当0θθ=时，()L θ取得极小值， 所以()min 0()L L θθ=. 因为03tan 2θ=，所以003sin cos 2θθ=，又2200sin cos 1θθ+=， 所以204cos 13θ=，又00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0cos 13θ=0sin 13θ=， 所以()0002781313()sin cos L cm θθθ=+=， 所以能通过此钢管的铁棒最大长度为1313cm .【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 19.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为,n n S T ，且1122b a ==，232254,11b S a T =+=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++；（3）是否存在正整数m ，使得1m m m mS T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）121,23n n n a n b -=-=⋅；（2）2(1)32n n M n =-⋅+；（3）存在，1. 【解析】 【分析】（1）利用基本量法直接计算即可； （2）利用错位相减法计算；（3）21*121313m mm m m m S T m N S T m +++-+=∈+-+，令21*213,13m m m L L N m +-+=∈-+可得()2(1)1(3)3m L m L --=-，13L <，讨论即可.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 因为11232222,54,11b a b S a T ===+=，所以2(33)5412211q d d q +=⎧⎨+++=⎩，即(1)928q d d q +=⎧⎨+=⎩，解得32q d =⎧⎨=⎩，或325q d ⎧=⎪⎨⎪=⎩（舍去）.所以121,23n n n a n b -=-=⋅. （2）()21112233123235232123n n n n M a b a b a b a b n -=++++=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+-⨯⨯，213123323(23)23(21)23n n n M n n -=⨯⨯+⨯⨯++-⨯⨯+-⨯⨯，所以()21224333(21)23n n n M n --=++++--⨯⨯，13(13)24(42)34(44)313n n n n n --=+⨯--⨯=---⋅-所以2(1)32n n M n =-⋅+.（3）由（1）可得2n S n =，31=-n n T ，所以21121313m m mm m m S T m S T m +++-+=+-+.因为1m m m m S T S T +++是数列{}n a 或{}n b 中的一项，所以21*213,13m m m L L N m +-+=∈-+， 所以()2(1)1(3)3mL m L --=-，因为210,30m m ->，所以13L <，又*L N ∈，则2L =或3L =. 当2L =时，有()213mm -=，即()2113mm -=，令21()3m m f m -=.则22211(1)11223(1)()333m m m m m m m f m f m +++----+-=-=-. 当1m =时，(1)(2)f f <；当2m ≥时，()()10f m f m +-<， 即(1)(2)(3)(4)f f f f <>>>⋅⋅⋅.由1(1)0,(2)3f f ==，知()2113mm -=无整数解. 当3L =时,有210m -=，即存在1m =使得21213313m mm m +-+=-+是数列{}n a 中的第2项， 故存在正整数1m =，使得1m m m mS T S T +++是数列{}n a 中的项.【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n 项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.20.已知函数4()1,()1()xa f x e g x a R x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数， 2.718e ≈⋅⋅⋅）.（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程； （2）若函数()()f x yg x =在区间[]4,5上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点()1212,x x x x <，且()1h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）. 【答案】（1）4y ex e =-；（2）(5,)+∞；（3）4-. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）2'2(4)340()xx a x a ey a x ⎡⎤--+++⎣⎦=≥-在[]4,5上恒成立，只需2(4)340xa x a -+++，注意到[4,5]a ∉；（3）()2440x x x e a -+-=在(0,)+∞上有两根，令()2()44xm x x x e a =-+-，求导可得()m x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以(0)40(2)0m a m a =->⎧⎨=-<⎩且()12111(0,2),44x x x x e a ∈-+=，2(2,3)x ∈，()()11131x h x x e =--，求出()1h x 的范围即可.【详解】（1）因为4()1x f x e x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以'244()1x f x e x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当1x =时，'(1)3,(1)f e f e =-=，所以切线方程为(3)(1)y e e x --=-，即4y ex e =-. （2）()(4)()xf x x e yg x a x -==-，2'2(4)34()x x a x a e y a x ⎡⎤--+++⎣⎦=-.因为函数()()f x yg x =在区间[]4,5上单调递增，所以[4,5]a ∉，且'0y ≥恒成立， 即2(4)340x a x a -+++，所以224(4)43405(4)5340a a a a ⎧-+⨯++≤⎨-+⨯++≤⎩，即492a a ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，又(,4)(5,)a ∈-∞+∞，故5a >，所以实数a 的取值范围是(5,)+∞.（3）()2'244(4)()()()(),()x x x x e a x e a x h x f x g x h x x x -+--+-=+==. 因函数()()()h x f x g x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点，所以方程()'0h x =在(0,)+∞上有两不等实根，即()2440xx x e a -+-=. 令()2()44x m x x x e a =-+-，则()'2()2xm x x x e =-，由()0m x '>，得2x >，所以()m x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以(0)40(2)0m a m a =->⎧⎨=-<⎩，解得04a <<且()12111(0,2),44x x x x e a ∈-+=.又由33(3)280m e a a a =->-=->，所以2(2,3)x ∈， 且当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()()0h x h x '>，单调递增，当()12,x x x ∈时，()()'0h x h x <，单调递减，12,x x 是极值点，此时()()()()()111121111111111444431xx xx x e x x e x x e a x h x x e x x -+-+--+-===--令()(3)1((0,2))x n x x e x =--∈，则'()(2)0x n x x e =-<， 所以()n x 在()0,2上单调递减，所以()1(0)4h x h <=-. 因为()1h x m <恒成立，所以4m ≥-. 若124m -<<-，取114mx =--，则14 4m x =--， 所以()()1111343xh x m x e x -=-++.令()(3)43(0)x H x x e x x =-++>，则'()(2)4x H x x e =-+，''()(1)x H x x e =-. 当(0,1)x ∈时，()''0Hx <；当(1,)x ∈+∞时，()''0H x >.所以''min ()(1)40H x H e ==-+>，所以()(-3)43x H x x e x =++在(0,)+∞上单调递增，所以()()00H x H >=， 即存在114mx =--使得()1h x m >，不合题意. 满足条件的m 的最小值为-4.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.第Ⅱ卷（附加题，共40分）选做题:请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换21.已知矩阵1(,R)4a M a b b -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量11a ⎡==⎤⎢⎥⎣⎦，求a b ，的值.【答案】41a b =⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】由M 不存在逆矩阵，可得4ab =-，再利用特征多项式求出特征值3，0，3M αα=，利用矩阵乘法运算即可.【详解】因为M 不存在逆矩阵，1det()04aM b -==，所以4ab =-. 矩阵M 的特征多项式为221()3434af ab b λλλλλλλ+-==---=---， 令()0f λ=，则3λ=或0λ=， 所以3M αα=，即113413a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以1343a b -+=⎧⎨+=⎩，所以41a b =⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题，考查学生的运算能力，是一道容易题.选修4-4：坐标系与参数方程22.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线1C :sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 2:sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），求曲线12C C ，交点的直角坐标. 【答案】()1,1-- 【解析】 【分析】利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【详解】因为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 2ρθρθ+=-， 所以曲线1C 的直角坐标方程为20x y ++=.由cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，得212sin sin x y θθ⎧=-⎨=⎩，所以曲线2C 的普通方程为212,[ 1.1]x y y =-∈-.由22012x y x y++=⎧⎨=-⎩，得2230y y --=， 所以1231,2y y =-=（舍）， 所以11x =-，所以曲线12C C ，的交点坐标为()1,1--.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题. 选修4-5：不等式选讲 23.已知凸n 边形123n A A A A 的面积为1，边长1(1,2,,1)i i i A A a i n +==-，1n n A A a =，其内部一点P 到边1(1,2,,1)i i i A A a i n +==-的距离分别为123,,,,n d d d d .求证：2121212222()nn n na a a n a a a d d d +++≥.【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 由已知，易得11222n n a d a d a d ++⋅⋅⋅+=，所以121212122222n n n n a a a a a a d d d d d d ⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()12112212n n n n a a aa d a d a d d d d ⎛⎫=++++++⎪⎝⎭利用柯西不等式和基本不等式即可证明.【详解】因为凸n 边形的面积为1，所以11222n n a d a d a d ++⋅⋅⋅+=， 所以121212122222n n n n a a a a a a d d d d d d ⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭ ()12112212n n n n a a aa d a d a d d d d ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭211(n na a d a d d +（由柯西不等式得）()212n a a a =++⋅⋅⋅+212()n n n a a a （由均值不等式得）【点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.必做题：第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形且AD ∥22BC AB BC AB BC AD ⊥===，，，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD .（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小； （2）若(01)CQ CP λλ=，且直线BQ 与平面PDC 所成角为3π，求λ的值. 【答案】（1）4π；（233±.【解析】 【分析】（1）分别取AB CD ，的中点为O E ，，易得OP OE OB ，，两两垂直，以OE OB OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，易得(1,0,0)AD =为平面PAB 的法向量，只需求出平面PDC 的法向量为n ，再利用||cos |cos |||||n AD n AD n AD θ⋅=<⋅>=计算即可；（2）求出BQ ，利用|cos ,|sin 3n BQ π<>=计算即可.【详解】（1）分别取AB CD ，的中点为O E ，，连结PO EO ，. 因为AD ∥BC ，所以OE ∥BC . 因为AB BC ⊥，所以AB OE ⊥. 因为侧面PAB 为等边三角形，所以AB OP ⊥又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，OP ⊂平面PAB ， 所以OP ⊥平面ABCD ， 所以OP OE OB ，，两两垂直.以O 为空间坐标系的原点，分别以OE OB OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为 2 2AB BC AD ===，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),(1,1,0),(0,0,3)O A B C D P --，()1,2,0DC =，(2,1,3)PC =-.设平面PDC 的法向量为(, , )n x y z =，则00n DC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20230x y x y z +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩.取1y =，则2,3x z =-=-，所以(2,1,3)n =--.又(1,0,0)AD =为平面PAB 的法向量，设平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为θ，则222||2cos |cos |2||||(2)1(3)n AD n AD n AD θ⋅=<⋅>===-++-， 所以平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为4π.（2）由（1）得，平面PDC 的法向量为(2,1,3),(2,1,3)n PC =--=-， 所以成(22,3)(01)BQ BC CP λλλλλ=+=-+-.又直线BQ 与平面PDC 所成角为3π， 所以|cos ,|sin 3n BQ π<>=，即||3||||n BQ n BQ ⋅=，即2222223(2)1(3)(22)()(3)λλλ=-++-⨯-++-+， 化简得26610λλ-+=，所以33λ±=，符合题意. 【点睛】本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角，涉及到面面垂直的性质定理的应用，做好此类题的关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.25.如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，~A I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A I ，处的红绿灯），出发时的两条路线（I F I H →→，）等可能选择，且总是走最近路线.（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？ 【答案】（1）6种；（2）1164；（3）I F C B A →→→→. 【解析】 【分析】（1）从4条街中选择2条横街即可；（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线，即I H E D A →→→→，I H E B A →→→→，I F E D A →→→→，I F E B A →→→→，分别对4条路线进行分析计算概率；（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.【详解】（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为246C =条.（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线： ①当走I H E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率11313124432p =⨯⨯⨯=；②当走I H E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率2131132444128p =⨯⨯⨯=；③当走I F E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率31111124432p =⨯⨯⨯=；④当走I F E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率4113132444128p =⨯⨯⨯=.所以途中恰好经过E 处,且全程不等信号灯的概率 1234331311321283212864p p p p p =+++=+++=. （3）设以下第i 条的路线等信号灯的次数为变量i X ，则①第一条：13,~1,4I H E D A X B ⎛⎫→→→→ ⎪⎝⎭，则()134E X =；②第二条：23,~3,4I F C B A X B ⎛⎫→→→→ ⎪⎝⎭，则()239344E X =⨯=；③另外四条路线：;I H G D A I H E B A →→→→→→→→；I F E D A →→→→； 3,~2,(3,4,5,6)4i I F E B A X B i ⎛⎫→→→→= ⎪⎝⎭，则()332(3,4,5,6)42i E X i =⨯==综上，小明上学的最佳路线为I H E D A →→→→；应尽量避开I F C B A →→→→.【点睛】本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.。
2020届江苏省普通高中高三下学期高考全真模拟卷(四)数学试题(解析版)
绝密★启用前
江苏省普通高中
2020届高三下学期高考全真模拟卷(四)
(南通密卷)
数学试题
(解析版)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集运算即可求解.
【详解】因为，，
所以
【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于容易题.
2.已知复数，其中i为虚数单位，则的模是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的运算求出，求复数模即可.
【详解】因为，
所以，
故，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,复数的模,属于容易题.
3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n的值是
___________．
【答案】108
【解析】
【分析】
根据小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2,可知分层抽样时,高中生按的比例抽样即可求解.
【详解】因为小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2,
所以样本中高中生人数为,
解得,
故答案为：108
【点睛】本题主要考查了分层抽样,样本容量,属于容易题.
4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x的值为5,那么输出的y的值是
___________．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据框图,模拟程序运算即可求解.。
2020年高考江苏(专用)全真模拟 数学试题(附答案与全解全析)
2020年高考江苏（专用）全真模拟试题数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．定义一种集合运算(){|AB x x A B =∈⋃，且()}x A B ∉⋂}，设{}|22M x x =-<<，{}|13N x x =<<，则MN 所表示的集合是________.2．已知复数z 满足(1)13i z i +=+，则z =________.3．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28sin()a a +=________ 4．函数()f x =的定义域为_______. 5．已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.6．如图，在ABC V 中，若AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，线段AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+u u u v v v，则m n +=_____．7．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.8．设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为______．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，若其外接球的表面积为16π，则异面直线1BD 与1CC 所成的角的余弦值为__________．10．曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______. 11．定义在R 上的奇函数()f x ，若()1f x +为偶函数，且()12f -=，则()()1213f f +的值等于______.12．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，圆222:O x y a +=与双曲线的渐近线在第二象限相交于点M （O 为坐标原点），若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的离心率为______. 14．已知偶函数满足，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小； （2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .16．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =，F 是PB 中点，点E在BC 边上．()f x []2(2)(),1,0()f x f x x f x x -=∈-=且当时，[]13-，()()()log 2a g x f x x =-+a（1）求三棱锥E PAD -的体积； （2）求证：AF PE ⊥；（3）若//EF 平面PAC ，试确定E 点的位置．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.18．已知函数()2ln 1f x x x kx =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()210f x f x <<. 19．已知数列{}n a 中，11a =, 且()21232,1n n n na a n n n N n -*-=+≥∈-g . （1）求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令()13n n nb n N a -*=∈, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 试比较2nS 与n 的大小；（3）令()11n n a c n N n *+=∈+, 数列()221n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T , 求证: 对任意n N *∈, 都有2n T <. 20．如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3OA km =，OB =，AOB 90∠=o 。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(四)高三数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论： （1）焦距长约为300公里； （2）长轴长约为3988公里； （3）两焦点坐标约为()150,0±； （4）离心率约为75994． 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误． 故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=， 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=， 而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1cos 2C =-． 故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 因为2z x y =+的最大值大于17， 所以2217m m ++>，解得5m >． 故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=， 则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=， 在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p． 故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-， 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解： 如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++， 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小， 如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=． 故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________． 答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________． 答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =． 故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________． 答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=， 记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →． 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点， 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解， 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点， 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=． （2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立， 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-． 点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥． 答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅． 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2020届江苏省普通高中高三下学期高考全真模拟卷(八)数学试题(解析版)
绝密★启用前江苏省普通高中2020届高三下学期高考全真模拟卷(八)(南通密卷)数学试题(解析版)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本试卷共2页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合{}1A x x =>-，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B =________.【答案】{}0,1,2,3【解析】【分析】根据交集的定义可求得集合A B . 【详解】{}1A x x =>-,{}2,1,0,1,2,3B =--,因此,{}0,1,2,3A B =.故答案为：{}0,1,2,3.【点睛】本题考查交集的计算,考查计算能力,属于基础题.2. 已知复数2z ai =+的模为5,其中0a >,i 为虚数单位,则实数a 的值是________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的模长公式结合实数a 的取值范围可求得实数a 的值.【详解】2z ai =+,则2225z a =+=,解得1a =±,0a >,因此,1a =. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用复数的模长公式求参数,考查计算能力,属于基础题.3. 执行如图所示的伪代码,则输出的n 的值为________.【答案】6 【解析】 【分析】。
【精品高考数学】2020年4月普通高考数学(江苏卷)全真模拟卷(1)+答案
2020年4月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（1）数学第I 卷（必做题，共160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合()2{}2|1A x log x =-<，{|26}B x x =<<，且A B =I ________．2．i 是虚数单位，复数20171+ii z =，则复数z =______.3．函数122log (1)y x x =+-的定义域为________4．执行下图所示的程序框图，如果输入的918,238a b ==，则输出的n =_____．5．已知{}n a 为等比数列，2351,42a a a ==，则q =_______ 6．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为____．7．如图，已知,E F 分别是矩形ABCD 的边,BC CD 的中点，EF 与AC 交于点G .若,AB a AD b ==ru u u v u u u v r ，用,a b rr 表示AG uuu v ，则AG =u u u v _________.8．函数()cos x f x e x =在点(0,1)处的切线的斜率为________9．袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为________. 10．已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=_______. 11．设奇函数()()y f x x R =∈满足对任意t R ∈都有()(1)f t f t =-，且1[0,]2x ∈时，2()f x x =-，则3(3)()2f f +-的值等于_____12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为2y x =±，点()1,2A 到右焦点F 的距离为22C 的方程为______.13．如图，直三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均为2，D 为棱11B C 上任意一点，则三棱锥1D A BC -的体积是___．14．已知()[)[]e 1,0,22,2,6x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()21x f x 的取值范围为______． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin cos sin cos sin b A C c A B ac B += . (1)证明：bc a = ； (2)若13,cos 6c C ==，求AC 边上的高. 16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱P A 的中点． （1）求证：PC // 平面BDE ；（2）若PC ⊥P A ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面P AB ．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，点()2,1在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线与圆22:2O x y +=相切，与椭圆C 相交于,P Q 两点，求证：POQ ∠是定值. 18．如图为某公园的绿化示意图，准备在道路AB 的一侧进行绿化，线段AB 长为2km ，1OC OD OA OB km ====，设COB θ∠=.(1)为了类化公园周围的环境，现要在四边形ABCD 内种满郁金香，若3COD π∠=，则当θ为何值时，郁金香种植面积最大;(2)为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段BC ，CD 和DA 组成，若BC CD =，则当θ为何值时，栈道的总长l 最长，并求l 的最大值. 19．已知函数()ln m x x x =.（1）设2()[()1]f x a m x x =--'(0)a ≠，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）设()[()1]bg x b m x x -'=-+(0)b >，对任意121,[,]x x e e∈，有12()()2g x g x e -≤-成立，求实数b的取值范围.20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a 2=1，，数列{b n }是公差为d 的等差数列，n ∈N *.（1）求d 的值；（2）求数列{a n }的通项公式； （3）求证：.第II 卷（附加题，共40分）理科附加题21．设二阶矩阵A ＝1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1） 求A －1；（2） 若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C ′：6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：22545x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()3θρπ=∈R . （Ⅰ）求1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅰ）若直线3C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，设2C 与1C 的交点为O ，M ，3C 与1C 的交点为O ，N ，求OMN ∆的面积.23．已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA 来确定是否感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA ，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验.（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？ 24．已知函数3()93x f x =+． （1）求(1)(0)f f +和()(1)f x f x +-的值； （2）记121m m m S f f f f m m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m S ； （3）对（2）中的m S 和任意*m ∈N ，均有121m m m m a a S S ++>成立，求实数a 的取值范围．（直接写出答案即可，不要求写求解过程．）2020年4月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（1）数学第I 卷（必做题，共160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
H06-江苏省盐城市2020届高三第四次模拟调研数学试题(PDF含解析)2020.06.10
30
，……6
分
由1
PC
10
得1 10
cos
1 ，设
cos0 =
1 10
，0
0，
2
，
则
(0，0
]
，
sin
0
=
3 10
11 ，
f ( )
2 3sin cos2
，令
f ( ) 0 得 sin =
2 3
，
…………10 分
设
sin
1
=
2 3
， 1
(0，0
]
，
, f ( ), f ( ) 的情况如下表：
)
的最小值为
4 225
．
………………………………16 分
19．解析：(1)由数列{an}
是
P(1)
数列得
a6
a2a3
1, a12
a2a6
3
，可得
a3
1 3
．………2
分
(2)由{bn} 是 P(2) 数列知 bmn 2bmbn 恒成立，取 m 1得 bn 2b1bn 恒成立，
设
P( x1 ,
y1), Q(x2 ,
y2 ) ，则
x1
x2
4k 2 1 2k 2
,
x1x2
2k 2 2 1 2k 2
，
………………………………6 分
所以 k1
k2
y1 x1 3
y2 x2 3
k[( x1
1)(x2 3) (x2 1)(x1 (x1 3)(x2 3)
3)]
，
化简可得
5
13
5
13
又因为△ ABC 中， A, B (0, ) ，
2020年江苏高考数学全真模拟试卷四全卷+学生
2020年江苏高考数学全真模拟试卷四（南通教研室）数学Ⅰ试题A ．必做题部分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合A ={x ｜x ≥0},B =(－2,－1,0,2)，则A ∩B =▲．2.已知复数z ＋i =－3＋ii,其中i 为虚数单位，则z 的模是▲．3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4:3:2.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n 的值是▲．4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x 的值为5,那么输出的y 的值是▲．5.函数y =log 3(－x ＋5x －6)的定义域是▲．6.某国家队“短道速滑”项目有A ,B ,C ,D ，4名运动员.若这四人实力相当,现从中任选2名参加2022年北京冬奥会,则A ,B 至少有1人被选中的概率是▲．7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线C :x 2a 2－y 2b 2=1(a >0，b >0)的一条渐近线垂直于直线y ＝2x －1则双曲线C 的离心率是▲．8.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6cm .当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高是▲．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答律无效.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.（第4题图）Read x If x ≤4Theny ←6x Elsey ←x ＋5End If Print y（第8题）9.若S n ,是等比数列{a n }的前n 项和,S 3,S 9,S 6成等差数列,则a 9a 6＝▲．10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x ＋4)=f (x ),当0≤x ≤2时,f (x )=－x 2+ax ＋b ,对f (－1)的值是▲．11.已知三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB =4，点A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动,则OA →・OC →的最大值是▲．12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 的方程为x 2+（y －1）2=4.过点P (x 0，y 0)存在直线l 被圆C 截得的弦长为23,则实数x 0的取值范围是▲．13.已知函数f (x )=（a ＋1）x 2－bx ＋a ，若函数f (x )有零点、且与函数y ＝f (f (x ))的零点完全相同，则实数b 的取值范围为▲．14.如图，在ABC 中已知2BC 2+AB 2=2AC 2,且BC 长线上的点D 足DA =DB ,则∠DAC 的最大值是▲．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABCD 为菱形、E 为棱A 1A 的中点,且O 为A 1C 1与B 1D 1的交点.(1)求证:OE ∥平面ABC 1;(2)求证:平面AA 1C 1⊥平面B 1D 1E.O（第11题）ACBy x（第14题）ACBD（第15题）ACBDEOC 1A 1D 1B 116.(本小题满分14分)已知函数f (x )=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0≤φ<2π)的图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若角α满足f (α)=2,α∈(3π4,7π4)求sinα的值.17.(本小题满分14分)图1是某高架桥箱梁的横截面,它由上部路面和下部支撑箱两部分组成.如图2,路面宽度AB =10m,下部支撑箱CDEF 为等腰梯形(CD >EF ),且AC =BD .为了保证承重能力与稳定性,需下部支撑箱的面积为8m 2,高度为2m 且2m ≤EF ≤3m 若路面AB 、侧边CF 和DE 、底部EF 的造价分别为4a 千元/m,5a 千元/m,6a 千元/m (a 为正常数),∠DCF =θ.(1)试用θ表示箱梁的总造价y (千元);(2)试确定cos θ的值,使总造价最低?并求最低总造价.（第17题）（图1）（图2）A CFBD Eθ如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知A (0,1)为椭圆Ex 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点，P 为椭圆E 上异于上、下顶点的一个动点.当点P 的横坐标为233时,OP ＝2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设M 为x 轴的正半轴上的一个动点.①若点P 在第一象限内,且以AP 为直径的圆恰好与x 轴相切于点M ,求AP 的长.②若MA =MP ,是否存在点N ,满足PN →＝4PM →,且AN 的中点恰好在椭圆E 上?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分16分)已知函数f (x )=e x －ax ,其中e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )的图象在点(0,f (0))处的切线方程为y =x ＋1,求实数a 的值;(2)若函数f (x )有2个不同的零点x 1,x 2.①求实数a 的取值范围;②求证:2<x 1＋x 2<2ln a.（第18题）APxy OM对于给定的数列{a n},{b n},设c k=max{ka1+b1,ka2+b2,…,ka k+b k}(k=1,2,…,n),即c k是ka1+b1,ka2+b2,…,ka k+b k中的最大值,则称数列{c n}是数列{a n},{b n}的“和谐数列”}是等差数列；(1)设a n=n+1,b n=2n求c1,c2,c3的值,并证明数列{c nn(2)设数列{a n},{b n}都是公比为q的正项等比数列,若数列{c n}是等差数列,求公比q的取值范围;(3)设数列{a n}满足a n＞0,数列{c n}是数列{a n},{b n}的“和谐数列”,且ka i＋b i＋c k-i+1＝m(m为常数,i=1,2,…,k),求证:c n=m a n＋b n．2020年江苏高考数学全真模拟试卷(四)（南通教研室）数学Ⅱ附加题A ．必做题部分21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝2211,矩阵B 的逆矩阵B -1＝10012.若矩阵M ＝AB ,求矩阵M .B.[选修4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角标系xOy 中,已知直线l ＝1－t ，＝t －1，,(t 为参数,曲线C 的参数＝2sinθ，＝2｜cos θ｜，(θ为参数)求直线l 与曲线C 的交点坐标.注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页,均为非选择题(第21题~第23题).本卷满分为40分,考试时间为30分钟,考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3.请认真核对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答一律无效5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.C.[选修45:不等式选讲](本小题满分10分)已知x ,y ,z 均是正实数,且x 2＋9y 2＋4z 2＝36，求证x ＋y ＋z ≤7.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图,在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥底面ABC ,AB ⊥AC ,AP =AC =4,AB =2,D ,E 分别为棱BC ,PC 的中点,点F 在棱PA 上,设t ＝PFAF.(1)当t ＝13时,求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值；(2)试确定t 的值，使二面角C -EF -D 的平面角的余弦值为42121.（第22题）BACDEPF23.(本小题满分10分)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形(杨辉三角)解释了二项和的乘方规律.右边的数字三角形可以看作当n依次取0,1,2,3,…时(a＋b)n展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列{a n}.例:a1=1,a2=1+1,a3=1+2,….(1)写出数列{a n}的通项公式(结果用组合数表示),无需证明;(2)猜想a1＋a2＋a3＋…＋a n,与a n+2的大小关系,并用数学归纳法证明.。
江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题含附加题(解析版)
江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．若集合A ＝{}x x m ≤，B ＝{}1x x ≥-，且AB ＝{m }，则实数m 的值为 ．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3＋i)＝10，则z 的值为 ．3．从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为 ．4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250] ．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为 天．5．执行如图所示的流程图，输出k 的值为 ．第4题第5题6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线为2y x =±，则其离心率的值为 ．7．若三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥P —BCC 1B 1的体积为 ． 8．“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）． 9．在△ABC 中，C ＝B ＋4π，AB ＝324AC ，则tanB 的值为 ．10．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，12(1)(21)n n n a n -=+--，则1001002a S -的值为 ．11．若集合P ＝{}22(, )40x y x y x +-=，Q＝2(, )x x y y⎧+⎪≥⎨⎪⎩，则PQ 表示的曲线的长度为 ．12．若函数2e , 0()e 1, 0xm x f x x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是 ．13．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝15，∠A 的平分线与边BC 的交点为D ，点E 为边BC 的中点，若AB AD ⋅＝90，则AB AE ⋅的值是 ．14．若实数x ，y 满足4x 2＋4xy ＋7y 2＝l ，则7x 2﹣4xy ＋4y 2的最小值是 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若函数()Msin()f x x ωϕ=+(M ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)的最小值是﹣2，最小正周期是2π，且图象经过点N(3π，1)． （1）求()f x 的解析式； （2）在△ABC 中，若8(A)5f =，10(B)13f =，求cosC 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PC ⊥BC ，点E 是PC 的中点，且平面 PBC ⊥平面ABCD ．求证：（1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O 的道路l 1，l 2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C 到l 1，l 2的距离相等，点C 到点O 的距离约为 10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC 上取一点P ，新建一条道路OP ，并过点P 新建两条与圆C 相切的道路PM ，PN （M ，N 为切点），同时过点P 新建一条与OP 垂直的道路AB （A ，B 分别在l 1，l 2上）．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．（所有道路宽度忽略不计）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为1k ，2k ，3k ，4k ．①若12215k k +=，求直线PQ 的斜率；②求1234()()k k k k ++的最小值．如果存在常数k 使得无穷数列{}n a 满足mn m n a ka a =恒成立，则称为P(k )数列． （1）若数列{}n a 是P(1)数列，61a =，123a =，求3a ； （2）若等差数列{}n b 是P(2)数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在P(k )数列{}n c ，使得2020c ，2021c ，2022c ，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{}n c ；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分）设函数32()3ln 2f x x x ax ax =-++-． （1）若a ＝0时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在x ＝1时取极大值，求实数a 的取值范围； （3）设函数()f x 的零点个数为m ，试求m 的最大值．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 1a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l ：cos 2sin m ρθρθ+=（m 为实数），曲线C ：2cos ρθ=+4sin θ，当直线l 被曲线C 截得的弦长取得最大值时，求实数m 的值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，抛物线C ：22y px =(p ＞0)的焦点为F ，过点P(2，0)作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB的长为（1）求抛物线的方程；（2）若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线l 的方程．23．（本小题满分10分）若有穷数列{}n a 共有k 项(k ≥2)，且11a =，12()1r r a r k a r +-=+，当1≤r ≤k ﹣1时恒成立．设12k k T a a a =+++．（1）求2T ，3T ； （2）求k T ．江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．若集合A ＝{}x x m ≤，B ＝{}1x x ≥-，且A B ＝{m }，则实数m 的值为 ．答案：﹣1考点：集合交集运算解析：∵集合A ＝{}x x m ≤，B ＝{}1x x ≥-，且A B ＝{m }，∴实数m 的值为﹣1．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3＋i)＝10，则z 的值为 ．考点：复数解析：1010(3)33(3)(3)i z i z i i i -===-⇒=++- 3．从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为 ． 答案：34考点：随机事件的概率 解析：34P =． 4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250] ．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为 天．答案：12考点：频率分布直方图解析：(0.0030.005)503012+⨯⨯=．5．执行如图所示的流程图，输出k 的值为 ．答案：4考点：程序框图解析：第一次：S ＝3，k ＝2； 第二次：S ＝9，k ＝3；第三次：S ＝18，k ＝4；∵18＞16，故输出的k 的值为4．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线为2y x =±，则其离心率的值为 ．考点：双曲线的简单性质 解析：根据渐近线可判断2ba=，从而224b a =，由22225c b a a =+=，即25e =，e =7．若三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥P —BCC 1B 1的体积为 ． 答案：8考点：棱柱棱锥的体积解析：11111111111111113P BCC B A BCC B ABC A B C A A B C ABC A B C ABC A B C V V V V V V ------==-=-1112212833ABC A B C V -==⨯=． 8．“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．答案：充分不必要 考点：充要性解析：当ω＝2，526126x πππωπ+=⨯+=，故此时()f x 的图象关于点(512π，0)对称， 而当()f x 的图象关于点(512π，0)对称，则5126k ππωπ⨯+=，1225k ω-=，k ∈Z ， 故“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的充分不必要条件． 9．在△ABC 中，C ＝B ＋4π，AB ＝32AC ，则tanB 的值为 ．答案：2考点：正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数关系式 解析：由AB ＝32AC ，得3232sin sin sin()sin 4C B B B π=⇒+=，2232cos sin sin 224B B B +=，化简得2cos sin B B =， 所以tanB 的值为2．10．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，12(1)(21)n n n a n -=+--，则1001002a S -的值为 ．答案：299考点：数列的求和方法解析：9910022(2199)a =⨯+，10011001242[(13)(57)(197199)]S -=+++++-++-+++-+10021100=-+∴10010010010022398(21100)299a S -=+--+=．11．若集合P ＝{}22(, )40x y x y x +-=，Q ＝2(, )15x x y y ⎧⎫+⎪⎪≥⎨⎬⎪⎪⎩，则P Q 表示的曲线的长度为 ． 答案：23π考点：直线与圆解析：222240(2)4x y x x y +-=⇒-+=，222xxyyx≥-+≥≤=⎪<-⎪⎩，作出两曲线图像如下：此时P Q表示的曲线长度为图中半圆去掉劣弧AB部分，20x--=与圆心的距离1d==，且r＝2，∴∠ACB＝120°，∴曲线长度为：1202243603πππ︒-⨯=︒．12．若函数2e,0()e1,0xm xf xx x⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m的最大值是．答案：2e1+考点：函数与方程解析：题目可转化为函数2e1y x=+与e xy m=+图像在第一象限内有两个交点，22e1e e1ex xx m m x+=+⇒=+-，令2222 ()e1e()e e()(2)e1e1x xg x x g x g x g m'=+-⇒=-⇒≤=+⇒≤+∴实数m的最大值是2e1+．13．在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若AB AD⋅＝90，则AB AE⋅的值是．答案：1752考点：平面向量的数量积解析：由角平分线定理可知323255AC CDAD AC ABAB BD==⇒=+2233290()755555AB AD AB AC AB AB AC AB AC AB⋅=⇒⋅+=+⋅⇒⋅=2111175()2222AB AE AB AB AC AB AB AC⋅=⋅+=+⋅=．14．若实数x，y满足4x2＋4xy＋7y2＝l，则7x2﹣4xy＋4y2的最小值是．答案：38考点：不等式解析：222222744744447x xy y x xy y x xy y -+-+=++，当x ＝0，原式的值为47， 当x ≠0，令222744(74)(44)470447y t t t m m t m t m x t t-+=⇒=⇒-+++-=++ 2438(44)4(74)(47)0783m m m m m ≠⇒∆=+---≥⇒≤≤． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若函数()Msin()f x x ωϕ=+(M ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)的最小值是﹣2，最小正周期是2π，且图象经过点N(3π，1)． （1）求()f x 的解析式； （2）在△ABC 中，若8(A)5f =，10(B)13f =，求cosC 的值． 解：（1）因为()f x 的最小值是﹣2，所以M ＝2．因为()f x 的最小正周期是2π，所以ω＝1，又由()f x 的图象经过点(3π，1)，可得()13f π=，1sin()32πϕ+=，所以236k ππϕπ+=+或526k ππ+，k ∈Z ，又0＜ϕ＜π，所以2πϕ=，故()2sin()2f x x π=+，即()2cos f x x =．（2）由（1）知()2cos f x x =，又8(A)5f =，10(B)13f =，故82cos 5A =，102cos 13B =，即4cos 5A =，5cos 13B =，又因为△ABC 中，A ，B ∈(0，π)，所以3sin 5A ===，12sin 13B ===，所以cosC ＝cos[π﹣(A ＋B)]＝﹣cos(A ＋B)＝﹣(cosAcosB ﹣sin AsinB)＝4531216 () 51351365 -⨯-⨯=．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．求证：（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：平面PAC⊥平面BDE．证明：（1）设AC BD＝O，连结OE，因为底面ABCD是菱形，故O为BD中点，又因为点E是PC的中点，所以AP//OE，又因为OE⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，所以AP//平面BDE．（2）因为平面PBC⊥平面ABCD，PC⊥BC，平面PBC平面ABCD＝BC，PC⊂平面PBC，所以PC⊥平面ABCD又BD⊂平面ABCD，所以PC⊥BD，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，AC PC＝C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC又BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE．17．（本小题满分14分）如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN（M，N为切点），同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB（A，B分别在l1，l2上）．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．（所有道路宽度忽略不计）解：连接CM ，设∠PCM ＝θ，则PC ＝1cos θ，PM ＝PN ＝tan θ， OP ＝OC ﹣PC ＝10﹣1cos θ，AB ＝2OP ＝20﹣2cos θ，设新建的道路长度之和为()f θ，则3()2tan 30cos f PM PN AB OP θθθ=+++=-+ 由1＜PC ≤10得110≤θ＜1，设01cos 10θ=，0θ∈(0，2π)，则θ∈(0，0θ]，0sin 10θ=，0223cos ()cos f θθθ-'=，令0()0f θ'=得2sin 3θ= 设12sin θ=，1θ∈(0，0θ]，θ，0()f θ'，()f θ的情况如下表：由表可知1θθ=时()f θ有最大值，此时2sin 3θ=，cos 3θ=，tan θ=，()30f θ=答：新建道路长度之和的最大值为30- 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为1k ，2k ，3k ，4k ．①若12215k k +=，求直线PQ 的斜率；②求1234()()k k k k ++的最小值．解：（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，所以b ＝1，当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形， 由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故132PF a =，212PF a =， 由2221212PF PF F F =+得2222291144(1)444a a c a a =+=+-，化简得a 2＝2， 故椭圆的方程为2212x y +=． （2）①设直线PQ ：(1)y k x =-，代入到椭圆方程得：2222(12)4(22)0k x k x k +-+-=，设P(1x ，1y )，Q(2x ，2y )，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，所以121221121212[(1)(3)(1)(3)]33(3)(3)y y k x x x x k k x x x x --+--+=+=----， 化简可得122228715k k k k +==+， 解得：1k =或78k =，即为直线PQ 的斜率．②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，1234()()0k k k k ++=， 当两条直线与坐标轴都不垂直时， 由①知122287k k k k +=+，同理可得342287kk k k-+=+ 故21234422244()()1565611356()113k k k k k k k k k --++==++++4225≥=-，当且仅当221k k =即k ＝±1时取等号． 综上，1234()()k k k k ++的最小值为4225-． 19．（本小题满分16分）如果存在常数k 使得无穷数列{}n a 满足mn m n a ka a =恒成立，则称为P(k )数列． （1）若数列{}n a 是P(1)数列，61a =，123a =，求3a ； （2）若等差数列{}n b 是P(2)数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在P(k )数列{}n c ，使得2020c ，2021c ，2022c ，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{}n c ；若不存在，请说明理由．解：（1）由数列{}n a 是P(1)数列得6231a a a ==，12263a a a ==，可得313a =； （2）由{}n b 是P(2)数列知2mn m n b b b =恒成立，取m ＝1得12n n b b b =恒成立，当10b =，0n b =时满足题意，此时0n b =，当10b ≠时，由2112b b =可得112b =，取m ＝n ＝2得2422b b =， 设公差为d ，则21132()22d d +=+解得0d =或者12d =，综上，0n b =或12n b =或2n nb =，经检验均合题意．（3）假设存在满足条件的P(k )数列{}n c ，不妨设该等比数列2020c ，2021c ，2022c ，…的公比为q ，则有2020202020202020202020202020202020202020c kc c c qkc c ⋅-⋅=⇒⋅=⋅， 可得2020202020202020qkc ⋅-=①2020202120202020202120202021202020202020c kc c c q kc c q ⋅-⋅=⇒⋅=⋅⋅，可得2020202120212020qkc ⋅-=②综上①②可得q ＝1，故202020202020c c ⋅=，代入2020202020202020c kc c ⋅=得20201c k=， 则当n ≥2020时1n c k=，又20201202011c kc c c k=⋅⇒=， 当1＜n ＜2020时，不妨设2020in ≥，i N *∈且i 为奇数， 由，而1i n c k =，所以11()i i n k c k -=，1()()ii n c k =，1n c k=， 综上，满足条件的P(k )数列{}n c 有无穷多个，其通项公式为1n c k=． 20．（本小题满分16分）设函数32()3ln 2f x x x ax ax =-++-． （1）若a ＝0时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在x ＝1时取极大值，求实数a 的取值范围； （3）设函数()f x 的零点个数为m ，试求m 的最大值．解：（1）当a ＝0时，3()3ln f x x x =-+，所以31()3()x f x x-'= 由()0f x '=得x ＝1，当x ∈(0，1)时，()f x '＜0；当x ∈(1，+∞)时，()f x '＞0， 所以函数()f x 的单调增区间为(1，+∞)． （2）由题意得23(1)2()[(1)1]3x af x x x x -'=+++， 令22()(1)13a g x x x =+++(x ＞0)，则3(1)()()x f x g x x-'=，当213a +≥0即32a ≥-时，()g x ＞0恒成立，得()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点； 当22(1)403a ∆=+-<即9322a -<<时，此时()g x ＞0恒成立，()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞) 上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点； 当22(1)403a ∆=+-=即92a =-或32a =时，易得()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞) 上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点； 当22(1)403a ∆=+->时，解得92a <-或32a >（舍），当92a <-时，设()g x 的两个零点为1x ，2x ，所以1x 2x ＝1，不妨设0＜1x ＜2x ， 又2(1)303a g =+<，所以0＜1x ＜1＜2x ，故123()()(1)()f x x x x x x x'=---，当x ∈(0，1x )时，()f x '＜0；当x ∈(1x ，1)时，()f x '＞0；当x ∈(1，2x )时，()f x '＜0；当x ∈(2x ，+∞)时，()f x '＞0；∴()f x 在(0，1x )上递减，在(1x ，1)上递增，在(1，2x )上递减，在(2x ，+∞)上递增；所以x ＝1是函数()f x 极大值点，综上所述92a <-． （3）①由（2）知当92a ≥-时，函数()f x 在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故函数()f x 至多有两个零点，欲使()f x 有两个零点，需(1)10f a =-<，得1a >， 此时32()3ln 23ln 2f x x x ax ax x ax =-++->--，1()3ln 2f a a>-， 当a ＞e 时，1()0f a>，此时函数()f x 在(0，1)上恰有1个零点； 又当x ＞2时，33()3ln (2)3ln f x x x ax x x x =-++->-+， 由（1）知3()3ln x x x ϕ=-+在(1，+∞)上单调递增，所以3()30f e e >-+>，故此时函数()f x 在(1，+∞)恰有1个零点； 由此可知当a ＞e 时，函数()f x 有两个零点． ②当92a <-时，由（2）知()f x 在(0，1x )上递减，在(1x ，1)上递增，在(1，2x )上递减，在(2x ，+∞)上递增；而0＜1x ＜1，所以311111()3ln (2)0f x x x ax x =-++->，此时函数()f x 也至多有两个零点综上①②所述，函数()f x 的零点个数m 的最大值为2．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 1a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量． 解：由题意知 2113 111a A b α⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2313a b +=⎧⎨+=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩， 所以矩阵A 的特征多项式21 2()(1)42 1f λλλλ--==----，由()0f λ=，解得3λ=或1λ=-， 当1λ=-时，220220x y x y --=⎧⎨--=⎩，令x ＝1，则y ＝﹣1，所以矩阵A 的另一个特征值为﹣1，对应的一个特征向量为 11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l ：cos 2sin m ρθρθ+=（m 为实数），曲线C ：2cos ρθ=+4sin θ，当直线l 被曲线C 截得的弦长取得最大值时，求实数m 的值．解：由题意知直线l 的直角坐标方程为x ＋2y - m = 0 ，又曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ＋4sin θ，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为22240x y x y +--=，所以曲线C 是圆心为(1，2)的圆，当直线l 被曲线C 截得的弦长最大时，得1＋2⋅ 2-m ＝0，解得m ＝5． C ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值． 解：由柯西不等式有2222222(112)()(2)1x y z x y z ++++≥++=，所以22216x y z ++≥(当且仅当112x y z ==即16x y ==，13z =时取等号)， 所以222x y z ++的最小值是16．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，抛物线C ：22y px =(p ＞0)的焦点为F ，过点P(2，0)作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB的长为（1）求抛物线的方程；（2）若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线l 的方程．解：（1）当直线l 与x 轴垂直时AB的长为P(2，0)，取A(2，)，所以222p =⋅，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =．（2）由题意知1122APF A A S FP y y ==△，12BPO B B S OP y y ==△， 因APF BPO S S =△△，所以2A B y y =当0AB k =时，直线AB 与抛物线不存在两个交点，所以0AB k ≠， 故设直线AB 的方程为2x my =+，代入抛物线方程得2480y my --=， 所以4A B y y m +=，8A B y y =-， 当0A y >，0B y <时，2A B y y =-，228By -=-，所以2B y =-，214B B y x ==， 所以2PB k =，直线AB 的方程为240x y --=，当0A y <，0B y >时，同理可得直线AB 的方程为240x y --=， 综上所述，直线AB 的方程为240x y --=．23．（本小题满分10分）若有穷数列{}n a 共有k 项(k ≥2)，且11a =，12()1r r a r k a r +-=+，当1≤r ≤k ﹣1时恒成立．设12k k T a a a =+++．（1）求2T ，3T ；（2）求k T ．解：（1）当2k =时，1r =，由212(12)111a a -==-+，得21a =-，20S =， 当3k =时，1r =或2，由212(13)211a a -==-+，得22a =-， 由322(23)2213a a -==-+，得343a =，313S =． （2）因12()1r r a r k a r +-=+，由累乘法得321122(1)2(2)2()231r r a a a k k r k a a a r +---⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+， 所以1(1)(2)()!(2)(2)231(1)!(1)!rr r k k k r k a r k r k r +---=-⋅⋅⋅=-++--， 所以1111(2)2r r r k a C k+++=--， 当0r =时，11a =也适合1111(2)2r r r k a C k+++=--， 所以11221[(2)(2)(2)]2k k k k k k S C C C k =-+-++--， 即0011221[(2)(2)(2)(2)1]2k k k k k k k S C C C C k =-+-+-++---，所以11[(12)1][1(1)]22k k k S k k=--=---．。
2020年江苏省盐城市高考数学四模试卷 (含答案解析)
2020年江苏省盐城市高考数学四模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合M ={0,1,2}，集合N ={x |x =2a,a ∈M }，则M ∪N =_____．2. 复数z 满足(1+i)z =|√3−i|，则z − =________．3. 一个电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为15000人，其中持各种态度的人数如下表所示：很喜爱 喜爱 一般 不喜爱 3000450050002500电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出150人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样．那么在“喜爱”这类态度的观众中抽取的人数为 ．4. 某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运动会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又有女生的概率是______(结果用最简分数表示)．5. 读如下两个伪代码，完成下列题目．(1)Ⅰ输出的结果为________．(2)若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则伪代码Ⅱ输入x 的值为________．6. 设双曲线y 2a 2−x2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，则其渐近线的方程为______． 7. 在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，点P 在CC 1上，且PC =13CC 1，设三棱锥A 1−ABP 的体积为V 1，三棱锥P −ABC 的体积为V 2，则V1V 2=______．8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a =√7，b =2，A =60°，则sinB =________，c =________．9. 已知数列{a n }满足2a n+1=a n +a n+2(n ∈N ∗)，它的前n 项和为S n ，且a 3=10，S 6=72.若b n =12a n −30，求数列{b n }的前n 项和的最小值为______．10.函数f(x)=x2+1|x|的图像关于________对称．11.当x∈[0,3]时，m≤13x3−4x+4恒成立，则实数m的取值范围是______ ．12.设D在△ABC的BC边上，BD=13BC，若AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数)，则λ1+λ2的值为______ ．13.若函数f(x)=lnx−ax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______．14.P为圆x2+y2=1的动点，则点P到直线3x−4y−10=0的距离的最大值为______ ．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.已知向量m⃗⃗⃗ =(sin(2x+π6),sinx)，n⃗=(1,sinx)，f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−12．(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=2√3，f(A2)=12，若√3sin(A+C)=2cosC，求b的大小．16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1=A1C1，点D，E分别是B1C1，A1B1的中点，AA1=AB=BD=1，∠A1AB=60°．(1)求证：AC1//平面A1BD；(2)求证：平面BDE⊥平面A1B1C1．17.某城市为了丰富市民的休闲生活，现决定修建一块正方形区域的休闲广场ABCD(如图)，其中正方形区域边长为1千米，AE、EF、AF为休闲区域内的直步道，且∠EAF=45°，其余区域栽种花草树木，设∠EAB=θ．(1)当θ=π6时，求EF的长；(2)当步道围成的△AEF面积S最小时，这样的设计既美观同时成本最少，求S的最小值？18.已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，过其右焦点与长轴垂直的弦长为1.如图，A，B是椭圆的左右顶点，M是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AM，BM与直线l：x=4分别交于C，D两点．(Ⅰ)求椭圆G的标准方程；(Ⅱ)若|CD|=4，求点M的坐标．19.已知{a n}是等差数列，其满足S3=18，a4=12．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若c n=a n−b n，且{c n}是以1为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n}的通项公式以及{b n}的前n项和T n．20.已知曲线f(x)=a+lnxx在点(e,f(e))处切线的斜率为−e−2．(1)若函数f(x)在[m,m+1]上存在极值，求实数m的取值范围；(2)求证：当x>1时，f(x)e+1>2e x−1(x+1)(xe x+1)．21.已知矩阵M=[1ab1]，N=[c20d]，若MN=[24−20].求实数a，b，c，d的值．22.在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是{x=3cosα+1y=3sinα+3(α是参数).若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√2.求直线l被曲线C截得的线段长．23.已知实数a，b，c满足a+2b+3c=6，求a2+b2+c2的最小值．24.某高中艺术节的合唱比赛中，甲班、乙班、丙班分别从A，B，C，D四首不同的歌曲中独立地选唱两首，其中甲班必须选唱B歌曲．(1)求甲、乙两班都选唱A歌曲的概率；(2)设A歌曲被甲、乙、丙三个班级选唱的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．25.已知整数n≥3，集合M={1,2，3，…，n}的所有含有3个元素的子集记为A1，A2，A3，…，A C3，n 设A1，A2，A3，…，A C3中所有元素之和为S n．n(1)求S3，S4，S5，并求出S n；5．(2)证明：S3+S4+S5+⋯+S n=6C n+2-------- 答案与解析 --------1.答案：{0,1,2,4}．解析： 【分析】本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题． 先求出集合N ，结合并集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合M ={0,1,2}，集合N ={x |x =2a,a ∈M }={0,2，4}． ∴M ∪N ={0,1,2,4}． 故答案为{0,1,2,4}．2.答案：1+i解析： 【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算与共轭复数的概念，属于基础题． 设出z =a +bi ，得到关于a ，b 的方程组，求出z 的共轭复数即可． 【解答】解：设z =a +bi ．则(1+i)z =(1+i)(a +bi)=(a −b)+(a +b)i ． 又|√3−i|=√3+1=2，所以{a +b =0a −b =2，解得a =1，b =−1，所以z − =1+i ， 故答案是z − =1+i ．3.答案：45解析： 【分析】本题考查分层抽样的应用，属于基础题目． 根据表格中数据计算即可．【解答】解：持“喜爱”态度的观众应抽取人数为150×450015000=45．故答案为45．4.答案：3435解析：解：某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运动会的点名签到工作，基本事件总数n=C74=35，选出的志愿者中既有男生又有女生包含的基本事件个数m=C74−C44=34，∴选出的志愿者中既有男生又有女生的概率是p=mn =3435．故答案为：3435．先求出基本事件总数n=C74=35，选出的志愿者中既有男生又有女生包含的基本事件个数m=C74−C44=34，由此能求出选出的志愿者中既有男生又有女生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：(1)6(2)0解析：【分析】本题考查算法中的赋值语句，(1)根据题中的伪代码直接写出答案；(2)利用两个伪代码输出结果相同，得到关于x的方程，即可求出x的值，属基础题．【解答】解：(1)第一次赋值：x=1;第二次赋值：x=2×1=2;第三次赋值：x=3×2=6，输出：6．(2)由伪代码可知Ⅱ输出的结果是x2+6，若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则x2+6=0，解得x=0．故答案为(1)6(2)0．6.答案：x±2√2y=0解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属基础题．利用双曲线的离心率，先求出a ，b 的关系式，然后求渐近线方程． 【解答】 解：双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，可得 ca =3，则 a b =√a 2c 2−a 2=√1c 2a 2−1=2√2．则其渐近线的方程为y =±ab x 即x ±2√2y =0． 故答案为：x ±2√2y =0．7.答案：3解析：解：在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，点P 在CC 1上，且PC =13CC 1， 设正三棱柱ABC −A 1B 1C 1体积为V ，三棱锥A 1−ABP 的体积为V 1，三棱锥P −ABC 的体积为V 2， 则V 2=13×PC ×S △ABC =13×13×CC 1×S △ABC =V9， V P−A 1B 1C 1=13×PC 1×S △A 1B 1C 1=13×23×CC 1×S △ABC =2V 9，∴V 1=12(V −V9−2V 9)=12×2V 3=V3，∴V 1V 2=V 3V 9=3．故答案为：3．设正三棱柱ABC −A 1B 1C 1体积为V ，三棱锥A 1−ABP 的体积为V 1，三棱锥P −ABC 的体积为V 2，求出V 2=13×13×CC 1×S △ABC =V 9，V P−A 1B 1C 1=13×PC 1×S △A 1B 1C 1=2V9，V 1=12(V −V 9−2V9)=V3，由此能求出V 1V 2．本题考查线面平行的证明，考查五面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.答案：√217；3解析： 【分析】本题考查正余弦定理的应用，属简单题． 由正弦定理可求出sin B ，由余弦定理可求出c ． 【解答】解：由asinA =bsinB ，得sinB =ba sinA =√217，由a2=b2+c2−2bccosA，得c2−2c−3=0，解得c=3或−1(舍)．答案：√217；3．9.答案：−225解析：解：等差数列{a n}中，由a3=10，S6=72，得a1+2d=10，6a1+15d=72，解得a1=2，d=4，∴a n=4n−2．∴b n=12a n−30=2n−31，∵由b n=2n−31≥0，得n≥312，∴{b n}前15项为负值，∴数列{b n}的前n项和T n的最小值=T15=−225．故答案为：−225．等差数列{a n}中，由a3=10，S6=72，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，等差数列{a n}的通项公式，可得数列{b n}的通项，从而可求前n项和T n的最小值．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的最小值的求法．解题时要认真审题，仔细解答．10.答案：y轴解析：【分析】本题考查函数的奇偶性，由已知得f(x)为偶函数即可求解．【解答】解：由已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(−x)=(−x)2+1|−x|=x2+1|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称．故答案为y轴．11.答案：(−∞,−43]解析：解：设f(x)=13x3−4x+4，则f′(x)=x2−4，由f′(x)=0，得x =2，或x =−2(舍)， 又f(0)=4，f(2)=−43，f(3)=1， ∴x ∈[0,3]时，f(x)min =f(2)=−43， ∵当x ∈[0,3]时，m ≤13x 3−4x +4恒成立， ∴m ≤f(x)min =f(2)=−43，∴实数m 的取值范围是(−∞,−43]. 故答案为：(−∞,−43].设f(x)=13x 3−4x +4，当x ∈[0,3]时，m ≤13x 3−4x +4恒成立，等价于m ≤f(x)min ，由此能求出实数m 的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.答案：1解析： 【分析】本题考查的知识点是平面向量的基本定理，其中根据已知得到AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，是解答的关键．由D 在△ABC 的BC 边上，BD =13BC ，可得：BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，进而由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，展开利用平面向量的基本定理得到λ1，λ2的值，进而得到答案． 【解答】解：∵D 在△ABC 的BC 边上，BD =13BC ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即λ1=23，λ2=13， ∴λ1+λ2=1． 故答案为：113.答案：(0,1e )解析： 【分析】函数f(x)=lnx −ax 有两个不同的零点，可化为y =lnx 与y =ax 在R 上有两个不同的交点，作图求解．本题考查了数形结合的应用及函数的零点与函数的图象的应用，属于基础题．【解答】解：函数f(x)=lnx−ax在R上有两个不同的零点可化为y=lnx与y=ax在R上有两个不同的交点，作函数y=lnx与y=ax在R上的图象如下，当直线与y=lnx相切时，则lnxx =1x，解得，x=e；故直线与y=lnx相切时，切线的斜率a=1e；故实数a的取值范围是(0,1e)；故答案为：(0,1e).14.答案：3解析：【分析】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，求出圆心(0,0)到直线3x−4y−10=0的距离，是解题的关键．圆心(0,0)到直线3x−4y−10=0的距离等于√9+16=2，用2加上半径1，即为所求．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线3x−4y−10=0的距离等于√9+16=2，故圆x2+y2=1上的动点P到直线3x−4y−10=0的距离的最大值为2+1=3，故答案为：3．15.答案：解：(Ⅰ)f(x)=sin(2x+π6)+sin2x−12=√32sin2x+12cos2x+1−cos2x2−12=√32sin2x，所以f(x)递减区间是[kπ+π4,kπ+3π4],k∈Z．(Ⅱ)由f(A2)=12和f(x)=√32sin2x得：sinA=√33，若cosA=√63，而sin(A+C)=√33cosC+√63sinC又√3sin(A+C)=2cosC，所以cosC=√2sinC ∵0<C<π，所以cosC=√63若cosA=−√63，同理可得：cosC=−√63，显然不符合题意，舍去．∴sinB=sin(A+C)=2√3cosC=2√23．由正弦定理得：b=asinBsinA=4√2．解析：(Ⅰ)利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性，结合函数的定义域，即可得到结论；(Ⅱ)由f(A2)=12，可得A，利用两角和与差的三角函数以及正弦定理结合√3sin(A+C)=2cosC，即可求边b的长．本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简与三角函数的性质，考查正弦定理以及两角和与差的三角函数的运用，正确化简函数是关键．16.答案：解：(1)连接AB1，交A1B于点F，连接DF，∵四边形ABB1A1是平行四边形，∴F是AB1的中点，又∵D是B1C1的中点，∴DF//AC1，又∵DF⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD，∴AC1//平面A1BD．(2)∵AA1=AB=1，∠A1AB=60°，∴△ABA1是等边三角形，∴A1B=1．∵BB1=AA1=1，A1B1=AB=1，∴△B1BA1是等边三角形，∵E是A1B1的中点，∴BE⊥A1B1，BE=√32．∵D是B1C1的中点，E是A1B1的中点，A1B1=A1C1，∴DE=12A1C1=12A1B1=12AB=12．∵BD=1，∴BD2=BE2+DE2，∴BE⊥DE．∵A1B1⊂平面A1B1C1，DE⊂平面A1B1C1，A1B1∩DE=E，∴BE⊥平面A1B1C1，∵BE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面A1B1C1．解析：(1)连接AB1，交A1B于点F，连接DF，由中位线定理得DF//AC1，故而AC1//平面A1BD；(2)由菱形和等边三角形的性质可求得BE，DE，利用勾股定理的逆定理得出BE⊥DE，故而BE⊥平面A1B1C1，于是平面BDE⊥平面A1B1C1．本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．17.答案：解：(1)在Rt△ABE中，当θ=π6时，BE=√33．在Rt△ADF中，DF=tan(π4−π6)=1−tanπ61+tanπ6=2−√3．∴EF=√=√3)=2−2√33．(2)由题意在Rt△ABE中，BE=tanθ，AE=√1+tan2θ．在Rt△ADF中，DF=tan(π4−θ)，AF=√1+tan2(π4−θ)=√1+(1−tanθ)2(1+tanθ)2=√2(1+tan2θ)(1+tanθ)2．∴S=12AE⋅AFsinπ4=√24√(1+tan2θ)⋅2(1+tan2θ)(1+tanθ)2=1+tan2θ2(1+tanθ)(0<θ<π4)．设t=1+tanθ，则tanθ=t−1(1<t<2)，S=1+(t−1)22t=12(t+2t−2)≥12(2√t⋅2t−2)=√2−1．当且仅当t=2t时取等号，此时t=√2,tanθ=√2−1．∴S的最小值为√2−1．解析：本题考查了解三角形的应用，三角恒等变换与求值，属于中档题．(1)求出CE，CF，利用勾股定理求出EF；(2)用θ表示出AE，AF，代入面积公式得出面积S关于θ的函数，再利用换元法和基本不等式求出S 的最小值．18.答案：解：(Ⅰ)∵G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，∴ca=√32，∵过其右焦点F 与长轴垂直的弦长为1， ∴2b 2a=1，解得a 2=4，b 2=1， ∴∴椭圆的方程x 24+y 2=1；(Ⅱ)设直线AM 的方程为y =k(x +2)(k >0)． 由{x =4y =k(x +2)得C(4,6k)； y =k(x +2)代入椭圆方程，消去y 可得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0， 设M(x 0,y 0)，则(−2)x 0=16k 2−41+4k ，∴x 0=2−8k 21+4k 2， ∴y 0=4k 1+4k 2，即M(2−8k 21+4k ,4k1+4k )，∵B(2,0)，∴直线BM 的方程为y =−14k (x −2)， x =4时，y =−12k ，∴D(4,−12k ) ∴|CD|=|6k +12k |=4∵k >0，∴k =12或16， 从而M(0,1)或M(85,35).解析：(Ⅰ)由已知条件推导出ca =√32，2b 2a=1，由此能求出椭圆的方程；(Ⅱ)分别求出C ，D 的坐标，利用|CD|=4，求出直线AM 的斜率，进而可求点M 的坐标． 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，正确求出M 的坐标是关键．19.答案：解：(1){a n }是公差为d 的等差数列，S 3=18，a 4=12，可得3a 1+3d =18，a 1+3d =12， 解得a 1=3，d =3，则a n =3+3(n −1)=3n ，n ∈N ∗；(2)c n =a n −b n ，且{c n }是以1为首项，2为公比的等比数列， 则c n =2n−1，即a n −b n =2n−1， 则b n =3n −2n−1，{b n }的前n 项和T n =(3+6+⋯+3n)−(1+2+4+⋯+2n−1)=12n(3+3n)−1−2n 1−2=32(n 2+n)−2n +1．解析：本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，数列的求和方法：分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．(1)设{a n }是公差为d 的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和首项，即可得到所求通项公式；(2)由等比数列的通项公式，结合条件可得b n =3n −2n−1，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．20.答案：解：(1)∵f(x)=a+lnx x ，∴f′(x)=1−a−lnxx 2，由题意得：f′(e)=−1e ，∴−ae =−1e ，解得：a =1， ∴f(x)=1+lnx x，f′(x)=−lnx x 2，(x >0)，x ∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)递增， x ∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)递减， 故函数f(x)在x =1时取得极值， 又函数f(x)在[m,m +1]上存在极值， ∴m ≤1≤m +1，∴0≤m ≤1， 故m 的范围是[0,1]；(2)证明：x >1时，f(x)e+1>2e x−1(x+1)(xe x +1)， 即为1e+1⋅(x+1)(lnx+1)x >2e x−1xe x +1，令g(x)=(x+1)(lnx+1)x ，则g′(x)=x−lnx x 2，令ω(x)=x −lnx ，则ω′(x)=x−1x，∵x >1，∴ω′(x)>0， ∴ω(x)在(1,+∞)递增，∵ω(1)=1，∴x >1时，g′(x)>0， g(x)在(1,+∞)递增，∴x >1时，g(x)>g(1)，又g(1)=2， 故g(x)e+1>2e+1， 令ℎ(x)=2e x−1xe x +1，则ℎ′(x)=2e x−1(1−e x )(xe x +1)2，∵x >1，∴2e x−1(1−e x )(xe x +1)2<0，∴x >1时，ℎ′(x)<0，故函数ℎ(x)在(1,+∞)递减， 又ℎ(1)=2e+1，∴x >1时，ℎ(x)<2e+1， ∴g(x)e+1>ℎ(x)，即f(x)e+1>2e x−1(x+1)(xe +1)．解析：(1)求出函数的导数，根据f′(e)=−1e 2，求出a 的值，从而求出函数的单调区间，结合题意得到关于m 的不等式组，解出即可． (2)不等式转化为1e+1⋅(x+1)(lnx+1)x>2e x−1xe x +1，令g(x)=(x+1)(lnx+1)x，令ℎ(x)=2e x−1xe x +1，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道中档题．21.答案：解：由题意，{c =22+ad =4bc =−22b +d =0，∴a =1，b =−1，c =2，d =2．解析：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 首先根据矩阵的乘法得到一组方程式，从而求出a 、b 、c 、d 的值．22.答案：解：由{x =3cosα+1y =3sinα+3得{x −1=3cosαy −3=3sinα两式平方后相加得(x −1)2+(y −3)2=9. 所以曲线C 是以(1,3)为圆心，半径等于3的圆． 直线l 的直角坐标方程为x +y −2=0， 圆心C 到l 的距离是d =√2=√2，所以直线l 被曲线C 截得的线段长为2√9−2=2√7．解析：本题考查了参数方程和极坐标方程，把曲线C 的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离利用勾股定理求得弦长，属基础题．23.答案：解：∵a +2b +3c =6，∴36=(a +2b +3c)2≤(a 2+b 2+c 2)⋅(12+22+32)=14⋅(a 2+b 2+c 2)， ∴a 2+b 2+c2≥3614=187，即a 2+b 2+c 2的最小值为187．解析：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，属于中档题．由条件利用二维形式的柯西不等式，求得a 2+b 2+c 2的最小值．24.答案： 解：(1)由题意知甲班选唱A 歌曲的概率为13，乙班选唱A 歌曲的概率为12，所以甲、乙两班都选唱A 歌曲的概率为13×12=16． (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3．因为甲班选唱A 歌曲的概率为13，乙班选唱A 歌曲的概率为12， 丙班选唱A 歌曲的概率为12，所以P(ξ=0)=(1−13)×(1−12)×(1−12)=16；P(ξ=1)=13×(1−12)2×(1−13)C 21×(1−12)×12=512； P(ξ=2)=13×C 21×(1−12)×12(1−13)×(12)1=13；P(ξ=3)=13×12×12=112．故随机变量ξ的分布列为E(ξ)=0×16+1×512+2×13+3×112=43．解析：【分析】本题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列及数学期望等，考查考生的运算求解能力和解决实际问题的能力．25.答案： (1)解：当n =3时，集合M 只有1个符合条件的子集，S 3=1+2+3=6，当n =4时，集合M 每个元素出现了C 32次， S 4=C 32(1+2+3+4)=30，当n =5时，集合M 每个元素出现了C 42次， S 5=C 42(1+2+3+4+5)=90，所以，当集合M 有n 个元素时，每个元素出现了C n−12次，故S n =C n−12·n(n+1)2．(2)证明：因为S n =C n−12·n(n+1)2=(n+1)n(n−1)(n−2)4=6C n+14．则S 3+S 4+S 5+⋯+S n =6(C 44+C 54+C 64+⋯+C n+14) =6(C 55+C 54+C 64+⋯+C n+14)=6C n+25．解析：本题考查集合的子集以及组合与组合数公式的应用，属于较难题． (1)分别计算n =3，4，5时，含有3个元素的子集中的所有元素即可得到答案; (2)由S n =C n−12·n(n+1)2=(n+1)n(n−1)(n−2)4=6C n+14，再通过S 3+S 4+S 5+⋯+S n即可．。
江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题含附加题答案
由 cni cnni1 kcn cni1 kcn cnni2 k 2 (cn )2 cni2 k i1(cn )i ，
而 cni
1 k
，所以
1 k
k i1(cn )i ， (cn )i
(
1 k
)
i
，
cn
1 k
，
综上，满足条件的
P(k )
数列{cn} 有无穷多个，其通项公式为 cn
此时 f (x) 3ln x x3 ax 2 2ax 3ln x 2ax ， f ( 1 ) 3ln a 2 ， a
设
P( x1 ,
y1), Q(x2 ,
y2 ) ，则
x1
x2
4k 2 1 2k 2
,
x1x2
2k 2 2 1 2k 2
，
………………………………6 分
所以 k1
k2
y1 x1 3
y2 x2 3
k[( x1
1)(x2 3) (x2 1)(x1 (x1 3)(x2 3)
3)]
，
化简可得
)
的最小值为
4 225
．
………………………………16 分
19．解析：(1)由数列{an}
是
P(1)
数列得
a6
a2a3
1, a12
a2a6
3
，可得
a3
1 3
．………2
分
(2)由{bn} 是 P(2) 数列知 bmn 2bmbn 恒成立，取 m 1得 bn 2b1bn 恒成立，
当 b1 0, bn 0 时满足题意，此时 bn 0 ，
a
，
只要坚持 梦想终会实现
2
由
PF12
2020年江苏高三四模数学试卷(百校联考)答案
此时
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2020/4/27
2020年江苏高三四模数学试卷（百校联考）
设 为 的中点，
，
即
，
即
，
，
，
设
，则
，
取
得
，
“获
所以
，
器
∴
．
神
课
二、解答题
“授
15. （ 1 ）证明见解析．
时， 的最大值为
有最大值 ， ．
更多 17. （ 1 ）
．
（2）
或
．
【解析】（ 1 ）∵离心率为 ， 设焦距为 ，
的周长为 ，
则
，解得
，
∴椭圆方程为
．
（ 2 ）设 为
，则
，且
，
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2020/4/27
当
时，有
综上，
，无解20，20年江苏高三四模数学试卷（百校联考）
的解集为
．
11. 【解析】 设容器底面半径为 ，原水面所在半径为 ，母线长为 ，
2020年3月普通高考数学(江苏卷)全真模拟卷(四)(解析word版)
2020年3月普通高考（江苏卷）全真模拟卷四数学试卷第I 卷（必做题，共160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．设集合{}1,1,3A =-，{}22,4B a a =++，{}3A B ⋂=.则实数a =_______.【答案】1【解析】因为{}3A B ⋂=，所以3,3A B ∈∈，显然243a +≠，所以23a +=，解得：1a =. 2．设,x y ∈R ，i 为虚数单位，且511213x y i i i+=+++，则x y +=______. 【答案】4【解析】511213x y i i i+=+++，(1)(12)5(13)(1)(1)(12)(12)(13)(13)x i y i i i i i i i i ---+=+-+-+-，可得213252x xi y yi i ---+=，125223252x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩，解得1,5,4x y x y =-=∴+=.3．已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，则数据1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的标准差为 .【答案】【解析】由题意得：{}n a 为等差数列，公差为2,d =又因为等差数列中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的平均数为3a ，==4．在如图所示的程序框图中输入3，结果会输出________【答案】8【解析】框图首先给累积变量s 赋值1，给循环变量k 赋值1，若输入n 的值为3， k ＝1满足k ≤3，执行s ＝1×2＝2，k ＝1+1＝2； k ＝2满足k ≤3，执行s ＝2×2＝4，k ＝2+1＝3； k ＝3满足k ≤3，执行s ＝4×2＝8，k ＝3+1＝4； k ＝4不满足k ≤3，则退出循环体，输出s ＝8． 5．函数()f x =________________【答案】{|3x x ≤，且}2x ≠【解析】依题意有404120x x x ->⎧⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得3x ≤且2x ≠，故函数的定义域为{|3x x ≤，且}2x ≠.6．已知函数||()x a f x e -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是________. 【答案】(-∞, 1]【解析】令||)(a x x g -=，则)()(x g e x f =，由于底数1>e ，故)(x f 增且)(x g 增，由)(x g 的图象知在[a ,+∞)上递增，所以)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数时，a ≤1. 则a 的取值范围是(-∞, 1]. 7．在ABC ∆中，tan()tan2AB C +=，2AB =，3AC =，则BC =__________．【解析】在ABC ∆中，22tan2tan()tan tan 021tan 2AA B C A A +=-=-=>-，所以tan 2A =，则23A π=， 又因为2AB =，3AC =，由余弦定理得2222222cos 23223cos193BC AB AC AB AC A π=+-⋅=+-⨯⨯=，所以BC = 8．从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数，这样的四位数有 个． 【答案】96【解析】依题意，只需组成的四位数各位数字的和能被3整除．将这六个数字按照被3除的余数分类，共分为3类：{}0,3，{}1,4，{}2,5，若四位数含0，则另外3个数字为3、1,4之一、2,5之一，此时有11132233C C C A 72=种；若四位数不含0，则4个数字为1,2,4,5，此时有4424A =种，由分类计数原理，这样的四位数有722496+=个．9．在等比数列{}n a 中，0,1n a q >>，且8478108281a a a a a a -+=，则69a a -=________. 【答案】-9【解析】因为8478108281a a a a a a -+=，所以226699281a a a a -⋅+=，即 ()69281a a -=，又0,1n a q >>，所以69a a <，故699a a -=-.10．对于函数()2x f x =定义域中任意1x ，212()x x x ≠有如下结论： （1）1212()()()f x x f x f x +=+． （2）1212()()()f x x f x f x +=⋅． （3）1212()()0f x f x x x ->-．（4）1212()()22f x f x x xf ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． 其中正确结论的序号是__________． 【答案】（2）（3）（4）【解析】取121,2x x ==，12()(3)8f x x f +==，12()()(1)(2)246f x f x f f +=+=+=，二者不等（1）不正确；12121212()222()()x x x xf x x f x f x ++==⋅=，（2）正确；()f x 在R 上为增函数，（3）正确；()f x 为下凹函数，（4）正确；其中正确命题的序号是(2)(3)(4).11．若1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x -+≥-对任意实数[1,1]m ∈-恒成立，则a 的取值范围是 ． 【答案】1a ≤-或6a ≥【解析】∵x 1和x 2是方程x 2﹣mx ﹣2＝0的两个实根，∴12122x x m x x +=⎧⎨=-⎩；∴|x 1﹣x 2|==∴当m ∈[﹣1，1]时，|x 1﹣x 2|max ＝3，故不等式a 2﹣5a ﹣3≥|x 1﹣x 2|对任意实数m ∈[﹣1，1]恒成立即 a 2﹣5a ﹣3≥3，解得a ≥6或a ≤﹣1．12．在ABC ∆所在的平面内有一点P ，若2PA PC AB PB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v，那么PBC ∆的面积与ABC ∆的面积之比是________． 【答案】34【解析】依题意2PA PC AB BP AP +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2PA AP PC -=-u u u r u u u r u u u r ，即3PA PC =-u u u r u u u r，所以P 是线段AC上，靠近A 点的四等分点，故两个三角形面积的比等于34PC AC =u u u r u u u r . 13．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，过1BD 的截面的面积为S ，则S 的最小值为_______．【答案】【解析】由题知，过1BD 的的截面可能是矩形，可能是平行四边形，（1）当截面为矩形时，即截面为11ABC D ，11A BCD ，11BB D D ，由正方体的对称性可知111111ABC D A BCD BB D D S S S === （2）当截面为平行四边形时，如下图所示，过点E 作1EM BD ⊥于M ，如图（a ）所示，11BED F S BD EM =⋅，又因为1BD =，所以1BED F S EM =⋅过点M 作1//MN D D 交BD 于N ，连接AN ，当AN BD ⊥时，AN 最小，此时EM 的值最小，且EM =故四边形1BED F 的面积最小值为1BED F S ==又因为>所以过1BD 的截面面积S 的最小值为14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是双曲线C 右支上的一点，射线PQ 平分12F PF ∠交x 轴于点Q ，过原点O 的直线平行于直线PQ 交1PF 于点T ，若12F F =，则双曲线的离心率为__________．【解析】在x 轴上取点N ，使得||||ON OQ =,过N 作直线平行于直线PQ 交1PF 于点M ，如图，因为O 为NQ 中点,所以12||||,||||,MT TP F N F Q ==因为11221122||sin sin ||||sin sin ||F M F NM F QP F P F N F MN F PQ F Q ∠∠===∠∠，所以12||||F M F P =，因此12||||||2,2||2||PM F P F P a PT a PT a =-==∴=122F F c e =∴=∴=Q 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在四边形ABCD 中，AC 平分角DAB ，60ABC ︒∠=，AC=7，AD=6，ADC S ∆=（1）求BC ； （2）求ABC S ∆.【答案】（1）5BC =（2）ABC S ∆=【解析】（1）由已知ADC S ∆=167sin ,22DAC =⨯⨯∠所以sin sin 14DAC BAC ∠==∠，在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC ACBAC B=∠，得5BC =.（2）因为sin BAC ∠=11cos 14BAC ∠=,所以()sin sin 120ACB BAC ︒∠=-∠=，所以ABC S ∆=1572⨯⨯= 16．如图1，在矩形11BB C C 中，1122CC BC ==，1A A ，分别是11BC B C ，的中点，1D D ，分别是11AC A C ，的中点，将四边形11CC D D ，11AA B B 分别沿1DD ，1AA 折起，使平面11CC D D ⊥平面11AA D D ，平面11AA B B ⊥平面11AA D D ，如图2所示，E 是1AA 上一点，且112AE A E =.（1）求证：1111B C AA C C ⊥平面；（2）线段1CB 上是否存在点Q ，使得11//AQ B C E 平面？若存在，求出CQ 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，CQ =【解析】（1）折叠前，11111111,,//DD A D DD C D DD CC ⊥⊥ 所以111111,CC A D CC C D ⊥⊥，又11111A D C D D ⋂=， 所以11111CC A B C D ⊥平面，因为111111B C A B C D ⊂平面，所以111CC B C ⊥因为平面11CC D D ⊥平面11AA D D ，平面11CC D D ⋂平面11AA D D 1DD =，111C D DD ⊥，所以1111C D AA D D ⊥平面，所以1111C D A D ⊥由（1）得11111C D D A ==，所以11C A =在梯形1111A B C D 中，易得112C B =，112A B =，所以，，所以.（2）当时，. 在上取点，使得，连结，所以 又，所以，，， 是平行四边形，所以，，此时所以当时，17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，过椭圆上顶点A 且斜率为()1k k ≥的直线l 交椭圆C 于另一点B ，求直线OB 斜率的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】（1）Q 椭圆C 的方程过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭ 221914a b ∴+=…①Q 离心率12e =12c a ∴=…②，又222a b c =+…③联立①②③，解得：2a =，b = ∴椭圆C 的方程为22143x y+=（2）由（1）知：(A ，设直线):1l y kx k =≥代入椭圆C 方程为22143x y +=，消去y 得：()22340k x ++=，解得：10x =或2x =2B y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则22222343828OBy k k k k k x k k+====-=- Q 函数()328k f k k=-在区间[)1,+∞递增 ()()min1311288f k f ∴==-=1,8OB k ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭18．一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示(单位：)m ，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m ，车与箱共高4.5m ，此车是否能通过隧道？并说明理由．【答案】见解析【解析】以抛物线的上顶点为原点，建立坐标系，则()3,3A --，()3,3B -．设抛物线方程为22(0)x py p =->，将B 点坐标代入，得()923p =-⋅-，32p ∴=．∴抛物线方程为()2330x y y =--≤≤． Q 车与箱共高4.5m∴集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶0.5m ．设抛物线上点D 的坐标为()0,0.5x -，则2032x =，02x ∴==±，023DD x ∴==<'，故此车不能通过隧道．19．已知函数()()2ln ,1f x x ax g x ax =-=+，其中e 为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 在区间[]1,e 上的单调性；（2）已知()0,a e ∉，若对任意[]12,1,x x e ∈，有()()12f x g x >，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 当1a e ≤或1a ≥时， ()f x 在[]1,e 上单调递增，当11a e <<时， ()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；(2)12a <-.【解析】（1），①当时，，，在上单调递增，②当时，，，在上单调递增，③当时，时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，④当时，，，在上单调递增，综上所述，当或时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减 （2），依题意，时，恒成立.已知，则当时，，在上单调递减，而在上单调递增，，，得，当时，，与在上均单调递增，，，，得与矛盾，综上所述，实数的取值范围是.20．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-对一切*N n ∈都成立. (1)当1λ=时.①求数列{}n a 的通项公式；②若()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项的和n T ；(2)是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列.如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)①12n n a -=；②2nn T n =⋅；(2)存在，0.【解析】(1)①若1λ=，因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-，则()()1111n n n n S a S a +++=+，111a S ==.又∵0n a >，0n S >，∴1111n n n nS a S a +++=+，∴3131221212111111n n n n S S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++， 化简，得1112n n S a +++=. ① ∴当2n ≥时，12n n S a +=. ② ②－①，得12n n a a +=，∴()122n na n a +=≥. ∵当1n =时，22a =，∴1n =时上式也成立，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -=.②因为()1n n b n a =+，∴()112n n b n -=+⋅所以012212232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L 所以123122232422(1)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L将两式相减得：1212222(1)2n n n T n --=++++-+⨯L12(12)2(1)2212n n n n n --=+-+⨯=-⨯-所以2nn T n =⋅(2)令1n =，得21a λ=+.令2n =，得()231a λ=+. 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=. 当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==. 当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=. 综上所述，()*1N n a n =∈， 所以0λ=时，数列{}n a 是等差数列.第II 卷（附加题，共40分）理科附加题21．已知矩阵1012,0202A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．（1）求2B ； （2）求12A B -． 【答案】（1）1604⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）1602⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）因为1202B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以2121216=020204B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （2）因为1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，=20A ≠，所以110102A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦.所以12101616==1040202A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 22．在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.【答案】1r =.【解析】以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得cos cossin sin133ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得直线的直角坐标方程为20x --=．曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. 23．某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理,处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为()01p p <<.经化验检测,若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A 级水池,分别取样、检测. 多个污水样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标,则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标,则该组中各个样本必须．．再逐个．．．化验；若混合样本达标,则原水池的污水直接排放. 现有以下四种方案, 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验,剩下的一个单独化验； 方案四：混在一起化验.化验次数的期望值越小,则方案的越“优”. （Ⅰ） 若p =求2个A 级水样本混合化验结果不达标．．．的概率； （Ⅰ） 若p =现有4个A 级水样本需要化验,请问：方案一,二,四中哪个最“优”？ （Ⅰ） 若“方案三”比“方案四”更“优”,求p 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）15;（II ）见解析;（III ）见解析. 【解析】（Ⅰ）该混合样本达标的概率是245=，所以根据对立事件原理，不达标的概率为41155-=．（II ）方案一：逐个检测，检测次数为4．方案二：由（I ）知，每组两个样本的检测时，若达标则检测次数为1，概率为45；若不达标则检测次数为3，概率为1． 故方案二的检测次数2ξ，2ξ可能取2，4，6．概率分布列如下，可求得方案二的期望为()224625252525E ξ=⨯+⨯+⨯=， 方案四：混在一起检测，记检测次数为4ξ，4ξ可取1，5．概率分布列如下，可求得方案四的期望为()415252525E ξ=⨯+⨯=． 比较可得()()424E E ξξ<<，故选择方案四最“优”． （III ）解：方案三：设化验次数3η，3η可取2，5．()()333325153E p p p η=⋅+-=-；方案四：设化验次数4η，4η可取1，5．()()444415154E p p p η=⋅+-=-；由题意得()()34E E ηη< 34353544p p p ⇔-<-⇔<． 故当304p <<时，方案三比方案四更“优”． 24．已知等差数列满足，前8项和．（1）求数列的通项公式； （2）若数列满足．① 证明：为等比数列；② 求集合．【答案】（1）（2）①见解析，②【解析】（1）设等差数列的公差为d ．因为等差数列满足，前8项和，所以，解得，所以数列的通项公式为．（2）①设数列前项的和为．由（1）及得由③-④得3-=-．所以 ，又，所以，满足上式．所以 当时，由⑤-⑥得，．，所以，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以（当且仅当时等号成立）．由，得，所以．设，由，得．当时，，不合题意；当时，，此时符合题意；当时，，不合题意；当时，，不合题意．下面证明当时，．不妨设，，所以在上单调增函数，所以，所以当时，，不合题意．综上，所求集合．。
2020年江苏省南通市高考数学四模试卷（含答案解析）
2020年江苏省南通市高考数学四模试卷一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.己知集合封｛0』，2),B=(x|-l<x<l),则AC\B=・2.复数z=m的共轴复数是______.3.根据如图所示的伪代码，当输入〃的值为3时，最后输出的S的值为Road aI3^-0i iWhile M:—»S^S^a IIF:End While:PrtniS4.从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重(单.位：如)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从各组内的男生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从［60,70］这一组中抽取的人数为・5.设双曲线§_§=10：>0,方>0)的离心率是3,则其渐近线的方程为.6.现有某类病毒记作X m Y n,其中正整数〃】，n(m<7,n<9)可以任意选取，则〃7,〃都取到奇数的概率为.7.若圆锥底面半径为1，高为2,则圆锥的侧而积为.8.(1)曲线y=-5e x+3在点(0,-2)处的切线方程为(2)己知函数=若直线<过点(0,—1)，并且与曲线y=/(x)相切，则直线i的方程为9.如图，在△ABC中，AB=2,BC=3,Z.ABC=60°,AH1BC于点H,4若而=X扁+“无，则人+“=/(x+y-1>010.若实数x,)，满足约束条件|x-3y+3>0,WJz=2x-y的最大值为.11.己知函数/Xx)满足f(l+x)=/(-I+x),fi/(l-x)=f(l+g E R),当x6[0,1]H-f./(x)=2X-1.若曲线y=/'(幻与直线y=k(x-1)有五个交点，则实数k的取值范困是_______.12.等比数列｛%｝中，。
2=9,a s=243.则｛%｝的前4项和为.13.在平面直角坐标系xOy中，点为(4,0),点B(0,2),平面内点P满足R4-PB=1S,则PO的最大值是______.14.己知AylBC的角A.B.C对边分别为a,b,c,若a2=b z+c2-bc.且乙屉。
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数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合
，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集运算即可求解.
【详解】因为
，， 所以 【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于容易题.
2.已知复数
，其中i 为虚数单位，则的模是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的运算求出，求复数模即可.
【详解】因为
， 所以
， 故
， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，复数的模，属于容易题.
3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本，若样本中高中生有24人，则样本容量n 的值是___________．
【答案】108
【解析】
【分析】
根据小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2，可知分层抽样时，高中生按的比例抽。