归纳问题.ppt
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演绎推理与归纳推理ppt课件
原因一 问题一
Байду номын сангаас
原因一 问题一
原因一
03 PART ONE
演绎推理与归纳推理的区别
演绎推理
第二点是对第一点主语或谓语的论述
归纳推理
同组中的思想具有类似的主语或谓语。
THANKS
解释
03 解释说明其共性。
在用归纳法进行创造性思维时，我们必须具备以下两项主要技能：
1 正确定义该组思想。 2 准确识别并剔除该组思想中与
其他思想不相称的思想。
归纳法论述过程
假设你想告诉某人必须以某种方式进行改革，你的论述过程的基本推理过程
如何进行？
你必须进行改革
措施一
措施二
措施三
为什么？ 问题一
为什么？
这些是目前存在的 问题
这些是产生问题的 原因
因此，这些是你必 须采取的措施。
问题一 问题二 问题三 原因一 原因二 原因三 措施一 措施二 措施三
02 PART ONE
归纳推理
将具有共性的事物归类到同一组
找共性
01 寻找若干不同事
物的共性，共同 点。
归类
02 将具有相同共性
的事物分到同一 个组中。
目录
CONTENTS
01
演绎推理
02
逻辑推理
03
演绎推理与逻辑推理的区别
01 PART ONE
演绎推理
线性的推理方式
问题
01 已存在的某种问
题或现象
原因
02 产生这个问题的
根源或原因
方案
03 解决问题的方案
演绎推理论述过程
假设你想告诉某人必须以某种方式进行改革，你的论述过程的基本推理过程
你必须进行改革
2.1.2演绎推理课件(共24张PPT)
概念辨析
分析下列推理是否正确，说明为什么？
(1)自然数是整数， 3是自然数，
大前提错误 (2)整数是自然数，
-3是整数，
所以3是整如数何. 保证演绎推理的所以-3是自然数. 结论是正确的？
(3)自然数是非负整数， (4)自然数是整数，
-3是自然数，
－3是整数，
-3是非负整数. 小前提错误
－3是自然数. 推理形式错误
概念辨析
分析下面两个推理是否正确？
(1)因为指数函数 y ax 是增函数，
而 y ( 1 ) x 是指数函数
2
所以
y
(
1 2
)
x是增函数
大前提不正确
(2) 因为无理数是无限小数
1 是无限小数
3
所以
1
是无理数
3
推理形式错误
亚三段里论士的多创德始（人前。384—前322年），欧 （几 约里 公得 元前330年—前275年），几何原本
推
（2100+1）是奇数，
理 叫
所以（2100+1）不能被2整除。
概念深化
完成下列推理，它们是演绎推理吗？ 它们由几部分组成？试着说出每一部分的作用。
1.太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行, 一般性的原理
冥王星是太阳系的行星,
特殊情况
所以冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行. 结论
2.全等三角形面积相等 ,
温故知新
由个别到一般的推理
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
温故知新
由特殊到特殊 由两类对象具有某些类似特征 和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
数学归纳法课件
第一章
§4
路 · 高中新课程
· 学习指导 · 北师大版 · 数学 · 选修2-2
学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确．
第一章
§4
路 · 高中新课程
· 学习指导 · 北师大版 · 数学 · 选修2-2
6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数 n有关的命题，
要求这个命题对所有的正整数n都成立；
第一章
§4
路 · 高中新课程
· 学习指导 · 北师大版 · 数学 · 选修2-2
(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是
论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必 须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传 递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题 对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为
2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一 项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n ＝ k 成立的归纳假设．步骤二中，在由 k 到 k ＋ 1 的递推过程 中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键
是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时
命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不 等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法 等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法．
第一章
§4
路 · 高中新课程
· 学习指导 · 北师大版 · 数学 · 选修2-2
2k＋1 2k＋2 2 · 2k＋1 2k ＋2 4k2＋8k＋4 4k2＋8k＋3 ＝ ＝ ＞ 2 2k＋1 2 2k＋1 2 2k＋1 2k＋3· 2k＋1 2k＋1＋1 ＝ ＝ ， 2 2· 2k＋1 ∴n＝k＋1时，不等式也成立． ∴对一切大于1的自然数n，不等式成立．
归纳中国邮递员问题.pptx
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4
– 第二步：考虑到从配货中心出发的送货车辆，在送完所有的门店货物 后，仍需要返回配货中心，故再需对生成的最小树采用中国邮递员线 路的算法进行扩充。
奇点有：V0，V1，V3，V4，V6，V7，V8，V9，V10，V12。故需增加边 V3V5，重复边V0V1，V5V6，V4V9，V9V10，V7V12，V8V12，V9V12等 7条。
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6
– 第四步：检查有重复边的线路是否是多余的。即检查重复边的两端是
否已有其他线路相连通，如有的话，可将重复边连同原边从线路图中 删去。发现重复边V4V5的两端可通过其他线路相连，可将V4V5及重复 边一起从线路图中删去。即可得送货线路如下：V0—V1—V2—V3— V5—V6—V10—V9—V12—V7—V8—V12—V9—V4—V11—V1—V0。线 路的总长度减少为215千米。总长度较前减少了20千米。
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7
– 第五步：要综合考虑问题，在优化第三步时，同时考虑第四步有没有 重复边是多余的。此例题发现：圈V0—V1—V2—V13—V0中，加重复 边的长度为23， 不加重复边的长度为15+9+8=32，故不需要改进，但 是，去掉重复边V0V1，增加重复边V1V2，V0V13，V13V2。则V1V2成 为重复边，发现重复边V1V2的两端可通过其他线路相连，可将V1V2及 重复边一起从线路图中删去。这样去掉重复边V0V1和V1V2，总和长度 为31千米，增加V0V13和V13V2，总和长度为24千米，总长度较前减少 了7千米。即可得送货线路如下： V0—V1—V11—V4—V9—V12—V7— V8—V12—V9—V10—V6—V5—V3—V2—V13—V0。线路的总长度减少 为208千米。
类比与归纳课件
追求个人成长
培养团队成员之间的类比和归 纳能力，推动团队协作和创新。
通过类比和归纳，不断总结和 反思个人经验，实现自身能力 的提升。
结束语
通过本课程的学习，我们了解了类比与归纳这两个重要的思考工具，它们能够帮助我们更好地解决问题 和创造价值。
1 总结学习内容
回顾类比和归纳的基本 概念、作用以及注意事 项。
2 灵活运用
鼓励学生在实践中灵活 运用类比和归纳，发掘 新的解决方法。
3 深入探究
引导学生深入探究类比 和归纳的研究领域，拓 展思维和知识广度。
类比与归纳ppt课件
本课程将介绍类比与归纳这两个重要的思考工具，以及如何在实际应用中使 用这些工具来解决问题。
类比的基本概念
类比是一种比较不同事物之间相似性的方法，它可以帮助我们从一个领域的知识转移到另一个领 域，解决新的问题。
1 定义和作用
类比是通过找到两个不同事物之间的共性，来推理和解决问题的有效思考工具。
2 案例分析
了解如何使用类比来解决实际问题，通过举例说明类比的应用效果。
3 误区和注意事项
探讨在使用类比时需要注意的误区，以及如何避免这些误区。
பைடு நூலகம்
归纳的基本概念
归纳是从个别事实中推断出普遍规律的思考方法，它帮助我们总结和提炼大量信息，形成新的认知。
定义和作用
归纳是通过整合和总结大 量个别事实，从中提取出 普遍规律和原则。
案例分析
展示如何使用归纳来解决 实际问题，通过具体案例 加深理解。
误区和注意事项
探讨在归纳过程中需要注 意的误区，以及如何避免 这些误区。
类比与归纳的应用
了解如何将类比和归纳结合使用，以增强问题解决的能力和创造性思维。
3.3.2 问题解决策略：归纳 (课件)北师大版(2024)数学七年级上册)
第三章 整式及其加减
问题解决策略：归纳
学习目标
学习目标
1．能够利用从特殊到一般的归纳方法，从而发现 数学结论、解决数学问题 2.体验从特殊到一般，再到特殊的辩证思想。
导入新课
走近游乐园 (1)一首永远唱不完的儿歌，你能用字母表示这 首儿歌吗?1 只青蛙1张嘴，2 只眼睛4 条腿，1 声扑通跳下水。 (2)联欢会上，小明按照4个红球、3 个黄球、2 个绿球、一个白气球的顺序把气球串起来装饰 会场，第52个气球是什么颜色?
如图 3-10，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形;当长方形内有 2个点时，可分得6个三角形(不计被分割的三角形)。问题：当长方形 内有35个点时，可分得多少个三角形？
2、理解问题 (1)先动手画一画，感受分割得到三角形的过程。
(2)已知条件是什么?目标是什么?
3、拟订计划 (1)直接研究“长方形内有 35 个点”的情形，你遇 到了什么困难?
5、回顾反思 （1）从特殊到一般，当长方形内有n个点时，分得 的三角形个数是多少？用含n的代数式来表示。 归纳：4+2×（n-1）=2n+2
（2）从一般再到特殊，当长方形内有100、1000、 10000个点时，分得的三角形个数是多少？
总结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单 情形中寻找相应的规律。初步发现规律后，可以通过 更多的情形验证，再考虑一般情况。最后，试着给出 合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律。
课堂练习 教材p102习题3.4第1~4题。
课堂小结 本节课你有哪些收获呢？
课后作业 教材p104复习题
探究新知
1、提出问题 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为 若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的 效果，随着三角形数量增加，效果更为斑斓绚丽。将长方形区域分 割成三角形的过程是:在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个 顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到 长方形内所有区域都变成三角形。
问题解决策略：归纳
学习目标
学习目标
1．能够利用从特殊到一般的归纳方法，从而发现 数学结论、解决数学问题 2.体验从特殊到一般，再到特殊的辩证思想。
导入新课
走近游乐园 (1)一首永远唱不完的儿歌，你能用字母表示这 首儿歌吗?1 只青蛙1张嘴，2 只眼睛4 条腿，1 声扑通跳下水。 (2)联欢会上，小明按照4个红球、3 个黄球、2 个绿球、一个白气球的顺序把气球串起来装饰 会场，第52个气球是什么颜色?
如图 3-10，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形;当长方形内有 2个点时，可分得6个三角形(不计被分割的三角形)。问题：当长方形 内有35个点时，可分得多少个三角形？
2、理解问题 (1)先动手画一画，感受分割得到三角形的过程。
(2)已知条件是什么?目标是什么?
3、拟订计划 (1)直接研究“长方形内有 35 个点”的情形，你遇 到了什么困难?
5、回顾反思 （1）从特殊到一般，当长方形内有n个点时，分得 的三角形个数是多少？用含n的代数式来表示。 归纳：4+2×（n-1）=2n+2
（2）从一般再到特殊，当长方形内有100、1000、 10000个点时，分得的三角形个数是多少？
总结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单 情形中寻找相应的规律。初步发现规律后，可以通过 更多的情形验证，再考虑一般情况。最后，试着给出 合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律。
课堂练习 教材p102习题3.4第1~4题。
课堂小结 本节课你有哪些收获呢？
课后作业 教材p104复习题
探究新知
1、提出问题 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为 若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的 效果，随着三角形数量增加，效果更为斑斓绚丽。将长方形区域分 割成三角形的过程是:在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个 顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到 长方形内所有区域都变成三角形。
归纳大学生学习焦虑问题.ppt
第四，大脑休息不足。有些学 生，为了考试拼命复习功课，以致 睡眠不足。如果再不注意营养和睡 眠，心身需要的能量得不到及时的 补充和缓冲，也同样会陷入焦虑之 中。
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6
-------我们的烦恼不是源于我们遇到的问题，而是源于我们对所 遇问题的看法
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7
1.正确认知 接纳焦虑
• 考前紧张≠考试焦虑症 • 考前适当紧张和焦虑有利于发挥 • 去除消极的自我暗示
第三，外部压力大。市场经济 条件下，人才竞争十分激烈。在考 试成绩上，父母或朋友对学生的过 高要求，评优和奖学金的标准以成 绩为主，都是造成心理压力的主要 原因。有的学生怕考试出错，把考 场纪律也视为一种精神上的“压 力”。考试时，明明自己在思考着 问题，却不知不觉地担心自己是否 违纪了，造成心理障碍。
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1
学习焦虑的表现
内部原因
学
自信心不足
习
成就动机过强
焦
失败恐惧心理
虑
兴趣爱好单一
的
性格内向自我
原
封闭
因
注意力涣散、记忆力减退、思维混乱、 烦躁、易怒等。严重的还常伴有头晕、 头痛、忧虑等。
外部原因
学业压力 考试压力 环境压力
“中学可以轻松的拿班上第一，到了大 学，拼死拼活连个三等奖学金都混不到，
由于他热情、积极，社会活动能力强，很快担任了学生会主席、社团会长等职 务。但大一的期末考试就让他大失所望。他发现医学科目并不是自己所“擅长” 的，考得不理想，甚至影响学年度奖学金的领取。在极度的失望后，他又振作起 来，更加的勤奋和刻苦，但由于学习时间支配不过来，考试成绩仍然不理想，出 现了学习和工作的强烈冲突，于是他开始怀疑自己的能力，怀疑自己并不像原来 想象的那样聪明。由于学习成绩是学生干部的部分要求，在开展工作时，他感到 无力、焦虑、不自信了。
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-------我们的烦恼不是源于我们遇到的问题，而是源于我们对所 遇问题的看法
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7
1.正确认知 接纳焦虑
• 考前紧张≠考试焦虑症 • 考前适当紧张和焦虑有利于发挥 • 去除消极的自我暗示
第三，外部压力大。市场经济 条件下，人才竞争十分激烈。在考 试成绩上，父母或朋友对学生的过 高要求，评优和奖学金的标准以成 绩为主，都是造成心理压力的主要 原因。有的学生怕考试出错，把考 场纪律也视为一种精神上的“压 力”。考试时，明明自己在思考着 问题，却不知不觉地担心自己是否 违纪了，造成心理障碍。
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学习焦虑的表现
内部原因
学
自信心不足
习
成就动机过强
焦
失败恐惧心理
虑
兴趣爱好单一
的
性格内向自我
原
封闭
因
注意力涣散、记忆力减退、思维混乱、 烦躁、易怒等。严重的还常伴有头晕、 头痛、忧虑等。
外部原因
学业压力 考试压力 环境压力
“中学可以轻松的拿班上第一，到了大 学，拼死拼活连个三等奖学金都混不到，
由于他热情、积极，社会活动能力强，很快担任了学生会主席、社团会长等职 务。但大一的期末考试就让他大失所望。他发现医学科目并不是自己所“擅长” 的，考得不理想，甚至影响学年度奖学金的领取。在极度的失望后，他又振作起 来，更加的勤奋和刻苦，但由于学习时间支配不过来，考试成绩仍然不理想，出 现了学习和工作的强烈冲突，于是他开始怀疑自己的能力，怀疑自己并不像原来 想象的那样聪明。由于学习成绩是学生干部的部分要求，在开展工作时，他感到 无力、焦虑、不自信了。
数学归纳法完整PPT课件
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
请问：以上四个结论正确吗？为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
❖共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。
☺
.
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。
3、数学归纳法只适用于和正整数有关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命题。
.
8
a 例2：已知数列{ n }，其通项公式为 an = 2n- 1，试猜想该
数列的前n和公式 s n ，并用数学归纳法证明你的结论。
数学归纳法
（一）
太康县第二高级中学 郭伟峰
.
1
引入
问题1：从前一个地主的孩子学写字，学过一二三后得出结论四就是四 横五就是五横。
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
请问：以上四个结论正确吗？为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
❖共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。
☺
.
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。
3、数学归纳法只适用于和正整数有关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命题。
.
8
a 例2：已知数列{ n }，其通项公式为 an = 2n- 1，试猜想该
数列的前n和公式 s n ，并用数学归纳法证明你的结论。
数学归纳法
（一）
太康县第二高级中学 郭伟峰
.
1
引入
问题1：从前一个地主的孩子学写字，学过一二三后得出结论四就是四 横五就是五横。
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
数学归纳法PPT优秀课件(1)
下面按照上述证 思明 路等 具 式 体 :
证明 1当 n1时 ,式 左右两边 1,即 都这 等 时等 成 式.立 2 假 n 设 k k 1 时 当 等 成 ,即 式 立 1 3 5 1 k 2 k 1 1 k k .
但是正整数是无限,多我个们无法对它们一一验
证.所以,通过验证的方法无成 法证 完明.
要证明这个,必 问须 题寻找一种有骤限 ,就个步 能够处理完无限象多的个方对 . 法
我 们 先 从 多 米 诺 骨 牌 游 戏 说 起 .这 是 一 种 码 放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块 骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块 骨 牌 倒 下.这 样, 只 要 推 倒 第1块 骨 牌,由 于 第1 块骨牌倒下,就可导致第2块骨牌倒下;而第 2 块 骨 牌 倒 下, 就 可 导 致 第3块 骨 牌 倒 下 最 后, 不 论 有 多 少 块 骨 牌 , 都 能 全 部 倒 下.
数学归纳法
一、提出问题
在数学研究中 , 人们会遇到这样的情况 , 对于
任意正整数 nn N 或不小于某个数 n0 的 任意正整数 n n N , n n0 , 都有某种不等
关系成立 .为表达这样的关系 , 就出现了与无 数多个正整数相关的不 等式 , 例如 :
| sin n | n | sin | n N , n2 2n n N , n 5, 1 xn 1 nx x 1, n N .
的 乘 积 a 1 a 2 a n 1 ,那 么 它 们 的 和 a 1 a 2 a n n . 分析这是与正整数密切 的相 不关 等,它 式的形式 简洁和.用 谐数学归纳法证明 ,应它 注时 意利n用 个 正数的乘积 1的为条件 ,并对什么是归纳假 由设 它和 要递推的目标心.中有数
证明 1当 n1时 ,式 左右两边 1,即 都这 等 时等 成 式.立 2 假 n 设 k k 1 时 当 等 成 ,即 式 立 1 3 5 1 k 2 k 1 1 k k .
但是正整数是无限,多我个们无法对它们一一验
证.所以,通过验证的方法无成 法证 完明.
要证明这个,必 问须 题寻找一种有骤限 ,就个步 能够处理完无限象多的个方对 . 法
我 们 先 从 多 米 诺 骨 牌 游 戏 说 起 .这 是 一 种 码 放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块 骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块 骨 牌 倒 下.这 样, 只 要 推 倒 第1块 骨 牌,由 于 第1 块骨牌倒下,就可导致第2块骨牌倒下;而第 2 块 骨 牌 倒 下, 就 可 导 致 第3块 骨 牌 倒 下 最 后, 不 论 有 多 少 块 骨 牌 , 都 能 全 部 倒 下.
数学归纳法
一、提出问题
在数学研究中 , 人们会遇到这样的情况 , 对于
任意正整数 nn N 或不小于某个数 n0 的 任意正整数 n n N , n n0 , 都有某种不等
关系成立 .为表达这样的关系 , 就出现了与无 数多个正整数相关的不 等式 , 例如 :
| sin n | n | sin | n N , n2 2n n N , n 5, 1 xn 1 nx x 1, n N .
的 乘 积 a 1 a 2 a n 1 ,那 么 它 们 的 和 a 1 a 2 a n n . 分析这是与正整数密切 的相 不关 等,它 式的形式 简洁和.用 谐数学归纳法证明 ,应它 注时 意利n用 个 正数的乘积 1的为条件 ,并对什么是归纳假 由设 它和 要递推的目标心.中有数
小学奥数植树问题归纳总结-课件
植树问题 之
间隔问题
专题分析
爬楼梯的层次问题，锯木头的段数问题，敲钟遇到的时 间，排队问题等
1、爬楼梯遇到层数问题，主要是要明白几楼与几层楼 梯是不同的，楼数比楼梯层数多1。
楼数=楼梯层数+1 2、锯木头的段数问题，主要是要明白锯成木头的段数 比锯木头的次数多1。
锯的次数 = 段数－1
3、敲钟遇到的时间问题，应先考虑敲的次数比敲的 间隔数多1。
答：第1和第9棵树相距24米。
练一练
（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到 终点共插了20面，这条道路有多长？
5×（20-1）=95 （米） （2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起 点到终点一共放了15盆，这条走廊长多少米？
4×（15-1）=56 （米）
例题 1.2 求棵距
在一条长42米的大路两侧栽树，从起点 到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树 之间的距离都相等，问相邻两棵树之间 的距离是多少米？
2.张亮家住四楼，他从底楼到二楼需2分钟，那么他 从底楼到四楼需要几分钟？
3．小冬住在大厦11层，他数了10楼到11楼有21级台 阶，你能算出从底楼到小冬家有多少级台阶吗？
例题 2
锯木头的段数问题
把1根木头锯断，要2分钟。把这 根木头锯成4段，要几分钟？
【点拨与解答】
可以这样想：把1根木头锯断，也就是锯1次要用 2分钟。而把这根木头锯成4段，需要锯几次？
48÷（4－1）=16（秒）
再求出从4楼到8楼用的时间，从图中也可以知 道，要上4层楼梯，也就是4个16秒。
48÷（4－1）=16（秒） 16×（8－4）=64（秒） 答：还要64秒。
例题 1.2
荣荣住的这幢楼共七层，每层楼 梯20级，她家住在五楼，你知 道荣荣走多少级楼梯才能到自 己住的那一层？
间隔问题
专题分析
爬楼梯的层次问题，锯木头的段数问题，敲钟遇到的时 间，排队问题等
1、爬楼梯遇到层数问题，主要是要明白几楼与几层楼 梯是不同的，楼数比楼梯层数多1。
楼数=楼梯层数+1 2、锯木头的段数问题，主要是要明白锯成木头的段数 比锯木头的次数多1。
锯的次数 = 段数－1
3、敲钟遇到的时间问题，应先考虑敲的次数比敲的 间隔数多1。
答：第1和第9棵树相距24米。
练一练
（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到 终点共插了20面，这条道路有多长？
5×（20-1）=95 （米） （2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起 点到终点一共放了15盆，这条走廊长多少米？
4×（15-1）=56 （米）
例题 1.2 求棵距
在一条长42米的大路两侧栽树，从起点 到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树 之间的距离都相等，问相邻两棵树之间 的距离是多少米？
2.张亮家住四楼，他从底楼到二楼需2分钟，那么他 从底楼到四楼需要几分钟？
3．小冬住在大厦11层，他数了10楼到11楼有21级台 阶，你能算出从底楼到小冬家有多少级台阶吗？
例题 2
锯木头的段数问题
把1根木头锯断，要2分钟。把这 根木头锯成4段，要几分钟？
【点拨与解答】
可以这样想：把1根木头锯断，也就是锯1次要用 2分钟。而把这根木头锯成4段，需要锯几次？
48÷（4－1）=16（秒）
再求出从4楼到8楼用的时间，从图中也可以知 道，要上4层楼梯，也就是4个16秒。
48÷（4－1）=16（秒） 16×（8－4）=64（秒） 答：还要64秒。
例题 1.2
荣荣住的这幢楼共七层，每层楼 梯20级，她家住在五楼，你知 道荣荣走多少级楼梯才能到自 己住的那一层？
三年级归一问题归纳.ppt
3个 ？个
18元 30元
先求一个碗要多少钱？
18÷3=6（元） 再求30元可以买几个碗？ 30÷6=5（个）
相同点：都知道了3个碗用了18元，每1个碗的价钱是相同的，要先求出1个碗的价钱。
不同点：第1题求8个碗需要多少钱，是求8个6元，用乘法计算。
第2题求30元可以买几个碗？是求30元里面有几个6元，用除法计算
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3
帮妈妈算一算 妈妈买3个碗用了18元。30元可以买几个同样的碗？
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4
比一比，有什么相同和不同
1、妈妈买3个碗用了18元。如果 买8个同样的碗，需要多少钱？
3个
18元
8个
？元
先求一个碗要多少钱？
18÷3=6（元） 再求8个碗需要多少钱？ 6×8=48（元）
2、妈妈买3个碗用了18元。30元可以 买几个同样的碗？
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5
拓展运用
1、小林读一本故事书，3天读了24页。 （1）照这样的速度，7天可以读多少页？ （2）照这样的速度，全书64页，几天可以读完？
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6
达标检测
1、大扫除，3名同学擦12块玻璃。 （1）照这样计算，5个同学可以擦几块玻璃？ （2）教室共有28块玻璃，需要几个同学？
2、3个篮球90元，照这样计算，6个篮球要多少钱？
3、8箱蜜蜂可以酿出48千克精蜂心整蜜理 ，照这样计算，24
7
箱蜜蜂可以酿多少最突出的特点是（1个单位数量 ）不变。
2、解决“归一问题”的关键是（先用除法求出单位数量
）
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8
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9
人教版数学三年级上册
解决归一问题
执教者：骆晓菊
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1
数学归纳法完整版课件
数学归纳法完整版课件一、教学内容本节课将深入探讨数学归纳法，这是高中数学的一个重要部分。
教学内容基于教材第四章第四节“数学归纳法”，详细内容包括：1. 数学归纳法的定义与基本思想；2. 数学归纳法证明步骤；3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤；2. 能够运用数学归纳法证明等式和不等式；3. 培养学生逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的定义、证明步骤及在实际问题中的应用。
难点：如何引导学生从具体问题中发现规律，并运用数学归纳法进行证明。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用PPT展示一个与数学归纳法相关的生活实例，引发学生思考，激发学习兴趣。
例：有一堆砖，第1块砖摞1厘米，以后每增加1块砖，摞的高度增加2厘米。
求第n块砖摞的高度。
2. 知识讲解（10分钟）详细讲解数学归纳法的定义、证明步骤，通过例题解释如何运用数学归纳法。
例题：证明1+2+3++n = n(n+1)/2。
3. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
练习题：证明2+4+6++2n = n(n+1)。
4. 互动讨论（5分钟）邀请几名学生分享解题思路，共同讨论解决方法。
六、板书设计1. 板书左侧：数学归纳法的定义与证明步骤；2. 板书右侧：例题及解题过程。
七、作业设计1. 作业题目：证明1^3+2^3+3^3++n^3 = (1+2++n)^2。
答案：数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，即1^3+2^3++k^3 = (1+2++k)^2；（3）当n=k+1时，等式左侧为1^3+2^3++k^3+(k+1)^3，根据归纳假设，等于(1+2++k)^2+(k+1)^3；（4）将(1+2++k)^2+(k+1)^3展开，得到(1+2++k+k+1)^2，即(1+2++n)^2，等式成立。
数学归纳法课件
下面我们来证明前面问题3中猜想的正确性
例1、用数学归纳法证明：当n∈N+时， －1+3－5＋ …＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n （*）
证明: (1)当n=1时,左边=－1,右边=－1, ∴左边=右边, ∴ 当n=1时，式（*）成立 (2)假设当n=k时，式（*）成立， 即 －1+3－5＋ …＋（－1）k（2k－1）＝（－1）k k 在这个假设下再考虑当n=k+1时，式（*）的左右两边
凑结论
由（1）（2）可知，
－1+3－5＋ …＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n
下面的框图表示了数学归纳法的基本过程：
（1）验证：n=n0 （n0∈N+） 时命题成立。
奠基
（2）证明：假设n=k （k≥n0）时命题成立， 则n=k+1时命题也成立。
假设与 递推
对所有的n （n0∈N+， n≥n0）命题成立
明确初始值n0，验证真假。（必不可少） “假设n=k时命题正确”，写出命题形式。 证明“n=k+1时”命题成立。 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出 与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应 增加的项。 注意用上假设， 要作结论
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:
德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的 现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数 的和.他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给 予证明. 1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的 瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现: 问题 的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个 质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验 算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日， 他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶 数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但 我确信无疑这是完全正确的定理。” 这就是著名的哥德巴赫猜想.
新教材人教a版选择性必修第二册44数学归纳法课件17
备课素材
4.用数学归纳法证明时有一个技巧,即当n=k+1时,代入假设后再写出结论,然 后往中间“凑”.但中间的计算过程必须有,不能省略也不能含糊不清.这一步 是数学归纳法的精华所在,是阅卷老师关注的重要环节. 5.数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制,从而间接地验证了命题对从n0 开始的所有正整数n都成立,它能证明许多与正整数有关的命题,但与正整数有 关的命题不一定要用数学归纳法证明,有些命题用数学归纳法也难以证明. 归纳推理能发现结论,数学归纳法能证明结论,二者强强联合,优势互补,能很好 地解决与正整数有关的一些问题.
f(2)=2,Un=f(2n)(n∈N*),求 证:Un+1>Un.
故Un=f(2n)=n·2n. 因为Un+1-Un=(n+1)·2n+1-n·2n=2n(n+2)>0, 所以Un+1>Un.
备课素材
3.求值、猜想、证明.
备课素材
备课素材
4.用数学归纳法解决其他问题
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例4 [2020·南阳高二期中] 用数学归纳法证明:(cos θ+isin θ)n=cos nθ+isin nθ,i 为虚数单位,θ∈R,n∈N*,且n≥2.
2.赋值、猜想、证明.
备课素材
例2 已知f(x)是定义在R上的不 证明:当n=1时,f(2)=2=1×21;
恒为零的函数,且对任意的 当n=2时,f(22)=f(2×2)=2f(2)+2f(2)=2×22;
a,b∈R,都满足
当n=3时,f(23)=f(2×22)=2f(22)+22f(2)=3×23
* 数学归纳法
【目标认知】
课程标准
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产褥热有流行性的影响 (第二病房没受影响，假说×) 第一病房过于拥挤 (后来第二病房更拥挤，假说×) …… 血液中毒 (医生用漂白粉洗手，死亡率迅速下降；假说√)
问题：Duhem-Quine命题
(T∧H)→O, ¬O├ ¬T∨¬H 不能确定T(理论)和H(辅助假说)何者为假。
科学史案例：天王星的异动
4. 反权威的论证
x是在p方面的可靠反权威。 x说p ∴非p
x在S领域所做的大多数断言是假的。 p是x在S领域所做的断言。 ∴p为假。
发生论(genetic)谬误
通过批评陈述人的方法，来否认陈述的真值。 (人身攻击的谬误)
5. 类比推论(analogy)
X类物体具有性质GH等。 Y类物体具有性质GH等。 X类物体具有性质F。 ∴Y类物体具有性质F。
ABCD→X ABCE→X ABDF→X ACDG→X ∴A作为唯一共同的，所以A是X的原因。
求异法
ABCD→X (非A)BCD→非X ∴A是X的原因。
混合法
ABCD→X (非A)BCD→非X ABCE→X (非A)BCE→非X ABDF→X (非A)BDF→非X ACDE→X (非A)CDE→非X
世界上有些事件有规律，有 些事件可能没有规律。
对于有规律的事件，归纳法 有效；对于无规律的事件， 没有方法是有效的。
使用归纳法有益而无害
四、归纳逻辑(inductive logic)
卡尔纳普(Rudolf Carnap, 1891-1970)
通过归纳逻辑来计算命题之 间的逻辑概率，从而得到证 据与理论之间的“验证程 度”(degree of confirmation)。也有译为 “认证程度”。
3. 来自权威的论证
x是在p方面的可靠权威。 x说p ∴p
可能出现的谬误
1. 权威被误用。 2. 专家做的判断是在自己熟悉的领域之外。 3. 明星用作权威。 4. 有些专家做的未必有证据支持。 5. 专家可能不一致。
权威论证可改造为统计三段论的形式
x在S领域所做的大多数断言是真的。 p是x在S领域所做的断言。 ∴p为真。
科学研究中不使用归纳法， 只使用演绎法(假说证伪 法)。
既然科学研究不用归纳法， 就不会遇到所谓的“归纳 问题”了。
假说-证伪法
“假说-证伪法”的逻辑形 式
T→O，¬O，∴¬T T为理论(theory)，O为观
察(observation)
假说证伪法是尔维斯1844-1848年在维也纳总医院做医生。第一 病房的产妇有很高比例得产褥热死亡，他通过假说检验的 方法，最终找到了原因。
逻辑概率
区分两种概率：统计概率和逻辑概率
口袋中白球概率为90%。 从口袋中取一个球。
这是个白球。
(统计概率) (归纳概率)
最主要思想在于，C(h, e)是可以计算的。
通过比较C(h1, e)和 C(h2, e)的大小，来判定 哪一个科学假说更好。
五、对归纳逻辑的反驳
古德曼(Nelson Goodman, 1906-1998)
竖为求同，横为求异。 可控实验主要是基于混合法。
剩余法
ABCD等因素导致了复杂现象abcd的产生。 B→b C→c D→d 那么剩余的A是a的原因。
共变法
A和X的变化成正比或反比，A是X的原因。
7. 假说演绎法
T→O O ∴T
正确的演绎论证应为 T→O ¬O ∴ ¬T
二、归纳问题(传统表述)
归纳法是到目前为止行之有效的科学方法，所以应 继续使用。
问题：用归纳法证明归纳法，循环论证。
2. 自然齐一律的辩护
自然界是有规律的，归纳法可以帮助我们发现这些 规律。
问题： 我们如何知道自然界是有规律的? 如果是归纳得出的，那么仍是循环论证。
3. 对归纳法的消解
波普尔(Karl Popper, 1902-1994)
Nelson Goodman: Fact, Fiction, and Forecast， Harvard University Press, 4th ed., 1983
陈晓平：《归纳逻辑与归纳悖论》，武汉大学出版社， 1994
陈晓平：大弃赌定理及其哲学意蕴，《自然辩证法通讯》， 1997(2)
一﹑归纳方法
1. 枚举法
观察到的F是G。 ∴所有的F都是G。
观察到的F中Z%是G。 ∴所有F中有Z%是G。
可能出现的谬误：
(1)不充分统计 (2)有偏差的统计
2. 统计三段论
Z%的F是G。(Z %可改为大部分) x是F。 ∴x是G。
Z近100时为很强的论证，接近50时较弱。 小于50时，可将推论改为x不是G。
休谟(David Hume,1711-1776)
归纳法是从有限推论无限，从 过去推论未来，因此没有必然 性；而我们通常认为科学定律 是普遍而必然的。
没有必然性的归纳法如何推出 具有必然性的科学定律？
用心理习惯来说明因果律
归纳问题(幽默表述)
罗素火鸡问题
三、对归纳问题的回答
1. 归纳辩护
XY物体越相似，成功可能性越大。
类比推论是从个别到个别。
6. 穆勒(J.S. Mill, 1806-1873)五法
英国思想家、哲学家、 经济学家、哲学心理学 家，经验主义、功利主 义、自由主义的代表人 物
代表作： 《穆勒名學》、 《论自由》、 《政治经 济学原理》、 《功利主 义》等
求同法
归纳方法与归纳问题
参考文献
W. Salmon: Logic, N.J. : Prentice-Hall, 3rd ed., 1984
D. Hume：《人类理解研究》，关文运译，北京 : 商务 印书馆, 1982
P.A. Schilpp ed.: The Philosophy of Rudolf Carnap, Open Court, 1963
牛顿力学理论是对的，辅助假说错了(发现海王星)。
4. 对归纳辩护的消解
斯特劳森(Peter Strawson, 1919-2006)
对于所有的方法之辩护， 都需要更基本的方法来说 明。
归纳法是用以证明其他方 法的最基本方法，它本身 不能再被证明。
5. 实效辩护
赖欣巴哈(Hans Reichenbach, 1891-1953)
问题：Duhem-Quine命题
(T∧H)→O, ¬O├ ¬T∨¬H 不能确定T(理论)和H(辅助假说)何者为假。
科学史案例：天王星的异动
4. 反权威的论证
x是在p方面的可靠反权威。 x说p ∴非p
x在S领域所做的大多数断言是假的。 p是x在S领域所做的断言。 ∴p为假。
发生论(genetic)谬误
通过批评陈述人的方法，来否认陈述的真值。 (人身攻击的谬误)
5. 类比推论(analogy)
X类物体具有性质GH等。 Y类物体具有性质GH等。 X类物体具有性质F。 ∴Y类物体具有性质F。
ABCD→X ABCE→X ABDF→X ACDG→X ∴A作为唯一共同的，所以A是X的原因。
求异法
ABCD→X (非A)BCD→非X ∴A是X的原因。
混合法
ABCD→X (非A)BCD→非X ABCE→X (非A)BCE→非X ABDF→X (非A)BDF→非X ACDE→X (非A)CDE→非X
世界上有些事件有规律，有 些事件可能没有规律。
对于有规律的事件，归纳法 有效；对于无规律的事件， 没有方法是有效的。
使用归纳法有益而无害
四、归纳逻辑(inductive logic)
卡尔纳普(Rudolf Carnap, 1891-1970)
通过归纳逻辑来计算命题之 间的逻辑概率，从而得到证 据与理论之间的“验证程 度”(degree of confirmation)。也有译为 “认证程度”。
3. 来自权威的论证
x是在p方面的可靠权威。 x说p ∴p
可能出现的谬误
1. 权威被误用。 2. 专家做的判断是在自己熟悉的领域之外。 3. 明星用作权威。 4. 有些专家做的未必有证据支持。 5. 专家可能不一致。
权威论证可改造为统计三段论的形式
x在S领域所做的大多数断言是真的。 p是x在S领域所做的断言。 ∴p为真。
科学研究中不使用归纳法， 只使用演绎法(假说证伪 法)。
既然科学研究不用归纳法， 就不会遇到所谓的“归纳 问题”了。
假说-证伪法
“假说-证伪法”的逻辑形 式
T→O，¬O，∴¬T T为理论(theory)，O为观
察(observation)
假说证伪法是尔维斯1844-1848年在维也纳总医院做医生。第一 病房的产妇有很高比例得产褥热死亡，他通过假说检验的 方法，最终找到了原因。
逻辑概率
区分两种概率：统计概率和逻辑概率
口袋中白球概率为90%。 从口袋中取一个球。
这是个白球。
(统计概率) (归纳概率)
最主要思想在于，C(h, e)是可以计算的。
通过比较C(h1, e)和 C(h2, e)的大小，来判定 哪一个科学假说更好。
五、对归纳逻辑的反驳
古德曼(Nelson Goodman, 1906-1998)
竖为求同，横为求异。 可控实验主要是基于混合法。
剩余法
ABCD等因素导致了复杂现象abcd的产生。 B→b C→c D→d 那么剩余的A是a的原因。
共变法
A和X的变化成正比或反比，A是X的原因。
7. 假说演绎法
T→O O ∴T
正确的演绎论证应为 T→O ¬O ∴ ¬T
二、归纳问题(传统表述)
归纳法是到目前为止行之有效的科学方法，所以应 继续使用。
问题：用归纳法证明归纳法，循环论证。
2. 自然齐一律的辩护
自然界是有规律的，归纳法可以帮助我们发现这些 规律。
问题： 我们如何知道自然界是有规律的? 如果是归纳得出的，那么仍是循环论证。
3. 对归纳法的消解
波普尔(Karl Popper, 1902-1994)
Nelson Goodman: Fact, Fiction, and Forecast， Harvard University Press, 4th ed., 1983
陈晓平：《归纳逻辑与归纳悖论》，武汉大学出版社， 1994
陈晓平：大弃赌定理及其哲学意蕴，《自然辩证法通讯》， 1997(2)
一﹑归纳方法
1. 枚举法
观察到的F是G。 ∴所有的F都是G。
观察到的F中Z%是G。 ∴所有F中有Z%是G。
可能出现的谬误：
(1)不充分统计 (2)有偏差的统计
2. 统计三段论
Z%的F是G。(Z %可改为大部分) x是F。 ∴x是G。
Z近100时为很强的论证，接近50时较弱。 小于50时，可将推论改为x不是G。
休谟(David Hume,1711-1776)
归纳法是从有限推论无限，从 过去推论未来，因此没有必然 性；而我们通常认为科学定律 是普遍而必然的。
没有必然性的归纳法如何推出 具有必然性的科学定律？
用心理习惯来说明因果律
归纳问题(幽默表述)
罗素火鸡问题
三、对归纳问题的回答
1. 归纳辩护
XY物体越相似，成功可能性越大。
类比推论是从个别到个别。
6. 穆勒(J.S. Mill, 1806-1873)五法
英国思想家、哲学家、 经济学家、哲学心理学 家，经验主义、功利主 义、自由主义的代表人 物
代表作： 《穆勒名學》、 《论自由》、 《政治经 济学原理》、 《功利主 义》等
求同法
归纳方法与归纳问题
参考文献
W. Salmon: Logic, N.J. : Prentice-Hall, 3rd ed., 1984
D. Hume：《人类理解研究》，关文运译，北京 : 商务 印书馆, 1982
P.A. Schilpp ed.: The Philosophy of Rudolf Carnap, Open Court, 1963
牛顿力学理论是对的，辅助假说错了(发现海王星)。
4. 对归纳辩护的消解
斯特劳森(Peter Strawson, 1919-2006)
对于所有的方法之辩护， 都需要更基本的方法来说 明。
归纳法是用以证明其他方 法的最基本方法，它本身 不能再被证明。
5. 实效辩护
赖欣巴哈(Hans Reichenbach, 1891-1953)