行程问题

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路程的ｎ倍。 例题６： 甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此 圆形运动，当乙走了１００米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前６０米处又第二次相 遇。求此圆形场地的周长？ Ａ．４２０米 Ｂ．４６０米 Ｃ．４８０米 Ｄ．５００米 【答案详解】当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 1 圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，
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基本公式： 相遇时间＝路程÷（速度１＋速度２） 速度和＝速度１＋速度２ ＝ 路程÷相遇时间 路程＝（速度１＋速度２）×相遇时间 1、基础相遇问题 例题４：两车同时从Ａ、Ｂ两地相向开出，相遇时甲车比乙车多开了６千米。已知甲、 乙两车单独走完全程分别需２小时、３小时，则Ａ、Ｂ两地相距多少千米？ Ａ．２０ Ｂ．３０ Ｃ．４０ Ｄ．５０ 【答案详解】 设Ａ、 Ｂ两地相距ｘ千米， 则二者的相遇路程为ｘ千米。 甲车速度为 X 千
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米／时， 乙车速度为 X 千米／时， 速度和为 X ＋ X ＝ 5 X 千米／时。 相遇时间为ｘ÷ 5 X
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＝１．２小时，则相遇时两车走的路程差为（ X － X ）×１．２＝ X 千米，由题意可得
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X ＝６，解得ｘ＝３０。 5
2、直线多次相遇问题 甲从Ａ地出发，乙从Ｂ地出发相向而行，两人在Ｃ地相遇，相遇后甲继续走到Ｂ地后返 回，乙继续走到Ａ地后返回，第二次在Ｄ地相遇。
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时钟的钟面圆周被均匀分成６０小格，每小格我们称为１分格。分针每小时走６０分格， 即 一周；而时针只走５分格，故分针每分钟走１分格，时针每分钟走 1 分格。
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②度数思路： 从角度观点看，钟面圆周一周是３６０°，分针每分钟转６°，时针每分钟转０．５°。 例题１２：某人下午六点多从甲地步行去乙地，出发时发现表的时针和分针的夹角为 110°，七点前到达乙地时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是 110°，若此人步行的速 度为每小时 6 千米，则此人以每小时 12 千米的速度骑车返回需要多少分钟？ A．20 B．15 C．32 D．18 【答案详解】此题中的时钟问题，可以转化为追及问题来考虑。 此人所用的总时间没有超过一个小时，则分针比时针多走的路程小于 360°，实际上可以得 出分针应该比时针多走了 110°+110°=220°。又知分针与时针的速度差为 5.5°，则实际 步行时间为 220÷5.5=40 分钟。由题意可知，路程一定时，速度是原来的两倍，则时间是原 来的一半，即为 20 分钟。 三、核心要点 行程问题：路程=速度×时间 相遇问题：路程和=速度和×时间 追及问题：路程差=速度差×时间 行程问题一般要通过数形结合进行快速求解，常见的解法包括列方程，比例法等。常考 的题型包括相遇问题和追及问题。
第二次相遇时小赵走了１．４×３＝４．２千米，由此可知Ａ、Ｂ两地相距４．２－ ０．６＝３．６千米。 第四次相遇时小赵走了１．４×７＝９．８千米，９．８＝３．６×２＋２．６，故第 四次相遇时距Ａ地２．６千米。 3、环线多次相遇问题 与直线多次相遇问题不同， 环形多次相遇问题每次相遇时所走的路程之和是一圈。 如果 最初两个人是从同一点出发， 那么第ｎ次相遇时， 每个人走的路程等于他第一次相遇时所走
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行程问题
一、考情分析 无论是从题型种类数还是从出现频率来看，行程问题不得不说是数学运算中第一大题 型。行程问题的解题方法十分常规，考生需要对每种题型的解法了如指掌，这样不单单是对 行程问题的得分大有帮助，对其他题型也容易触类旁通。 二、解题方法 （一）基础行程问题 已知速度、时间、路程三者中的两个量，求第三个量。该类型题目比较简单，举一道例 题说明。 例题１：Ａ、Ｂ两地相距１００公里，甲以１０千米／小时的速度从Ａ地出发骑自行车 前往Ｂ地。６小时后，乙开摩托车从Ａ地出发驶向Ｂ地。问为了使乙不比甲晚到Ｂ地，摩托 车每小时至少要行驶多少千米？ Ａ．２４ Ｂ．２５ Ｃ．２８ Ｄ．３０ 【答案详解】此题为典型的行程问题。路程为１００公里，甲车速度为１０千米／小时， 则甲车时间为１００÷１０＝１０小时； 乙车时间不多于１０－６＝４小时， 而路程依然是 １００公里，则乙的速度不低于１００÷４＝２５千米／小时。 （二）平均速度问题 平均速度问题一般是指存在多个过程， 每个过程物体移动速度不相同， 最终求物体全程 平均速度的问题。这类问题最常见的是时间相同和路程相同两种情况。 1、时间相同 公式：第一个ｔ内运动的速度为ｖ１，第二个ｔ内运动的速度为ｖ２。
由上图可以知道： 在直线道路上不同两地分别同时出发的多次相遇问题中， 第ｎ次相遇 时，每个人走的路程等于他第一次相遇时所走路程的（２ｎ－１）倍。 例题５：小赵和小李是两位竞走运动员，小赵从Ａ地出发，小李同时从Ｂ地出发，相向 而行， 在两地之间往返练习。 第一次相遇地点距Ａ地１． ４千米， 第二次相遇地点距Ｂ地０． ６千米。当他们两人第四次相遇时，地点距Ａ地有多远？ Ａ．２．６千米 Ｂ．２．４千米 Ｃ．１．８千米 Ｄ．１．５千米 【答案详解】此题为直线多次相遇问题。考生需要利用相遇问题的性质，首先求出Ａ、 Ｂ两地的距离，然后再根据距离求出两人第四次相遇地点与Ａ地的距离。 由下图可知，第一次相遇时，两个人走的总路程为Ａ、Ｂ之间的路程，第二次相遇时， 两个人走的总路程为Ａ、 Ｂ之间路程的３倍， 从而每个人走的路程也为他们第一次相遇所走 路程的３倍。
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（三）相遇问题 相遇问题是研究相向运动中的速度、 时间和路程三者之间关系的问题。 一般可以描述为 甲从Ａ地到Ｂ地，乙从Ｂ地到Ａ地，然后甲、乙在途中相遇，实质上是两人共同走了Ａ、 Ｂ 之间这段路程，如果两人同时出发，那么就有Ａ、Ｂ两地的路程＝（甲的速度＋乙的速度） ×相遇时间＝速度和×相遇时间。相遇问题的核心是“速度和”问题。
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千米。 注：船处于漂流状态时，其速度就等于水速。 2、河流中的相遇问题 当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等 于甲、乙两船速度和。甲船顺水速度＋乙船逆水速度＝（甲船速＋水速）＋（乙船速－水速） ＝甲船船速＋乙船船速。 即两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一 样，与水速没有关系。 如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关， 与水速无关。甲船顺水速度－乙船顺水速度＝（甲船速＋水速）－（乙船速＋水速）＝甲船 速－乙船速。 如果两只船逆向追赶，则有甲船逆水速度－乙船逆水速度＝（甲船速－水速）－（乙船 速－水速）＝甲船速－乙船速。 这说明水中相遇、追及问题与在静水中追及问题以及两车在陆地上相遇、追及问题一样。 例题１１：小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并 调过船头时，水壶与船已经相距２千米，假定小船的速度是每小时４千米，水流速度是每小 时２千米，那么他们追上水壶需要多少时间？ 【答案详解】本题是水中的追及问题，已知路程差是２千米，船在顺水中的速度是船速 ＋水速。水壶漂流的速度只等于水速，所以速度差＝船顺水速度－水壶漂流的速度＝（船速 ＋水速）－水速＝船速。 追及时间=路程差÷船速＝２÷４＝０．５小时。 （八）时钟问题 时钟问题相当于封闭曲线上的追及问题。 解题关键是确定分针与时针的初始位置， 确定 分针与时针的路程差。 ①分格思路：
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甲乙共走完１＋ 1 ＝ 3 圈的路程。所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为１∶３，
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因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的３倍， 即１００×３＝３ ００米。 所以半圈为３００－６０＝２４０米， 故此圆形场地的周长为２４０×２＝４８０ 米。 （四）追及问题 追及问题的描述：有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前， 走得快的过了一些时间就能追上他，这就产生了“追及问题” 。实质上，要算走得快的人在 某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差。如果设甲走得 快，乙走得慢，那么在相同时间内，甲走的距离－乙走的距离＝甲的速度×时间－乙的速度 ×时间＝（甲的速度－乙的速度）×时间。通常“追及问题”要考虑速度差。做题时注意追 及路程是指刚开始追及时，两人之间的距离。 基本公式： 追及路程＝速度差×追及时间 追及时间（同向追及）＝追及路程÷速度差 例题７：两辆车从甲地开往乙地，第一辆车以 9 千米/小时的速度从甲地出发，半个小 时后第二辆车以 12 千米/小时的速度从甲地出发，结果两车同时到达乙地。问甲、乙两地相 距多少千米？ A．15 B．18 C．20 D．24 【答案详解】第二辆车出发时，第一辆车已经走了 9÷2=4.5 千米，此时第二辆要追上第 一辆车需要 4.5÷（12-9）=1.5 小时，故甲、乙两地相距 12×1.5=18 千米。 （五）过桥问题 火车过桥问题是行程问题的一种。 首先要弄清楚列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾 离桥。列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。 基本公式： 过桥的路程＝桥长＋车长 车速＝（桥长＋车长）÷过桥时间 例题８： 一列火车长 150 米， 每秒钟行 25 米。 全车通过长 600 米的大桥， 需要多少秒？ A．24 B．30 C．36 D．60 【答案详解】火车从车头上桥到车尾离开桥，走了（桥长+车长）的距离，因此全车通 过大桥，需要（150+600）÷25=30 秒。 （六）走走停停问题 在有些行程问题中，既有路程上的前后调头，又有时间上的走走停停，同时又有速度上 的前后变化。遇到此类问题，我们应分析其中的运动规律，把整个运动过程分成几段，再仔 细分析每一段中的情况，然后再类推到其他各段中去。这样既可使运动关系明确、简化， 又 可减少复杂重复的推理及计算。现在介绍行程问题中的走走停停问题。 例题９：两城市相距３２８千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。 甲
例题２：一辆汽车刚启动时，第１秒内运动２米，第２秒内运动４米，求前２秒内的平 均速度。 【答案详解】根据公式，平均速度＝
24 2 ＝３米／秒。
2、路程相同 公式：第一个路程ｓ以速度ｖ１行驶，第二个路程ｓ以速度ｖ２行驶。
例题３： 张师傅驾驶一辆载重汽车从县城到省城送货， 到达省城后马上卸货并随即沿原 路返回。他驾驶这辆汽车去时每小时行５６千米，返回时每小时行６４千米，往返一趟共用 去１２小时（在省城卸货所用时间略去不计） 。张师傅在省城和县城之间往返一趟共行多少 千米？ 【答案详解】张师傅往返一趟共行 2 × 64 × 56 ×１２＝７１６．８千米。
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每小时行２８千米，乙每小时行２２千米，乙在中途修车耽误１小时，然后继续行驶，与甲 相遇，求出发到相遇经过多少时间？ 【答案详解】乙中途停车的１个小时，走的全部路程为甲１个小时内走的路程，则除去 这一小时，甲乙共同走的路程为３２８－２８＝３００千米，所用实际为３００÷（２８＋ ２２）＝６小时，则出发到相遇经过时间为６＋１＝７小时。 （七）流水问题 流水问题：船在江河里航行时，除了本身的速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种 情况下讨论船只的航行速度、时间和路程的问题，叫做流水问题。 常见公式： 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速 静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷２ 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷２ 1、基本流水问题 例题１０：一只船沿河顺水而行的航速为 30 千米／小时，已知按同样的航速在该河上 顺水航行 3 小时和逆水航行 5 小时的航程相等，则此船在该河上顺水漂流半小时的航程为： A.1 千米 B.2 千米 C.3 千米 D.6 千米 【答案详解】顺水速度为 30 千米/小时，逆水速度为 30×3÷5=18 千米/小时，则水速= （30-18） ÷2=6 千米/小时。此船在河上漂流， 速度等于水速， 所以半小时的航程为 6× 1 =3