冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论

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冲激信号δ(t)的三种定义与相关性
质的简单讨论
信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号:0909113224
有一些物理现象,如理学中的爆炸、冲击、碰撞······,电学中的放电、闪电雷击等,它们都有共同特点: ① 持续时间短. ② 取值极大.
冲击函数(或冲击信号)就是对这些物理现象的科学抽象与描述。

通常用δ(t)表示冲激信号,它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号,它也可以被称作δ函数或狄拉克(Dirac )函数,在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性,现给出其两种不严格的定义如下:
定义一:用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲,宽为τ,高为τ
1
,其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变,逐渐减小τ,则脉冲的幅度逐渐增大,当0→τ时,矩形脉冲的极限成为单位冲激函数,即:
⎥⎦

⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t (1-1)
冲击信号的波形就如1-1(b)所示.
δ(t)只表示在t=0点有“冲激”,在t=0点以外的各处函数值均为0,其冲激强度(冲激面积)为1,若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ,描述为A=E δ(t),图形表示时,在

1-2
箭头旁边注上E 。

也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。


⎥⎦

⎢⎣⎡
=


)(lim )(kt Sa k
t k πδ (1-2)
对式(1-2)作如下说明:
Θ Sa(t)是抽样信号,表达式为
t
t
t a sin )(S = (1-3) 其波形如图1-2所示,Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小,sint 是周 期振荡的,因而Sa(t)呈衰减振荡;
并且是一个偶函数,当t=±π,±2π, ···,sint=0,从而Sa(t)=0,是其
零点. 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”, 其余的衰减部分称为“旁瓣”。

0→t 时,1)(S →t a ,并且有:
(a)τ逐渐减小的脉冲函数
(b)冲激信号
图1-1
图 1-3


=
2
)(π
dt t Sa
因其是偶函数有
⎰+∞
∞-=πdt t Sa )( (1-4)
由式(1-4)知
⎪⎪⎩

⎪⎨
⎧==⎰⎰∞+∞-∞
+∞-1)()()(dt kt Sa k
kt d kt Sa ππ (1-5) 式(1-5)表明,)(kt Sa k
π
曲线下的面积为1,且k 越大,函数的振幅
越大,振荡频率越高,离开原点时,振幅衰减越快,当k ∞→时,即得到冲激函数,波形表示如图1-3.
实际上,脉冲函数的选取并不 限于矩形脉冲与抽样函数,其他如三角形脉冲、双边指数脉冲等地极限, 也可以变为冲激函数,作为冲激函 数的定义。

相应可以表示为: 三角形脉冲:
()()[]⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→τετεττδτt t t t ||11lim )(0 (1-6)双边指数脉冲:
⎪⎪⎭

⎝⎛=-→τττ
δ||021lim )(t e t (1-7) 钟形脉冲:
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→201lim )(τπττδt e t (1-8)
这些脉冲波变为相应的冲激函数,如图1-4(a)、(b)、(c).
定义二:狄拉克(Dirac)定义.狄拉克给出冲激函数的定义式为
⎪⎪⎩

⎪⎨⎧≠===⎰+∞∞0
0(t)dt 0
t 1(t)dt -t δδ (2-1)
这一定义与上述的脉冲极限的定义式一致的,因此把δ函数称为狄拉克函数。

现给出δ函数三个有用的特性:
性质一:展缩特性.冲击函数是一个高而窄的峰,时间缩放会改变其面积。

由于δ(t)的面积为1,时间压缩的冲激信号δ(at)的面积为
|
a |1
,由于冲激信号δ
(at)
仍在
t=0处发生,所以它可以被看做一个未
压缩的冲激
)
(
||1at a δ,即有)(|
|1)(at a at δδ=。

由于时间位移不会影响面积的大小,所以有
(a )三角脉冲 (b )指数脉冲 (c )钟形脉冲
图 1-4
[])(|
|1
)(00t t a t t a -=
-δδ (2-2) 式(2-2)可以用定积分中的变量代换法加以证明。

特别的当
0,10=-=t a 时,式(2-2)变为
)()(t t -=δδ (2-3) 从式(2-3)可以看出,δ(t)是一个偶信号。

性质二:抽样特性(筛选性). 用冲激函数)(0t t -δ乘以任意连续信号)(t f ,就可以得到一个冲激函数,它的强度等于)(t f 在0t t =处的值。

即筛选出了)(0t f 。

从而有 ⎰⎰⎰
+∞∞
+∞

+∞

===---)0()()0()0()()()(f dt t f dt f t dt t f t δδδ (2-4)
类似有
⎰⎰⎰
+∞∞
+∞

+∞

=-=-=--0-0000-0)()()()()()()(t f dt t t t f dt t f t t dt t f t t δδδ (2-5)
式(2-4)和式(2-5)表明:当连续时间函数)(t f 与单位冲激信号)(t δ或)(0t t -δ相乘,并在()+∞∞-,时间内积分,可以得到)(t f 在0t t =处的函数值。

性质三:位移特性. 性质一和性质二表明乘积
)()()()(000t t t f t t t f -=-δδ的面积等于)(0t f ,也就是说)(0t t -δ移除了
)(t f 在0t t =处的值。

)()()(0-0t f dt t f t t ⎰
+∞

=-δ (2-6)
值得指出的是,冲激信号与阶跃信号的关系:
)()(-t u d t


=ττδ (2-7)
dt
t du )
()(=
τδ (2-8) )(t δ的狄拉克定义也可以表示为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧==∞=≠=⎰∞∞
-1(t)dt 0(t)0
t 0(t)δδδt (2-6)
上式与式(2-1)一样都表示,0=t 处,是一个间断点,但作为
数学抽象式,式(2-1)中采用⎰+∞
∞-=1(t)dt δ
的约束条件,已经概括了间断点0=t 得邻域内的积分⎰+
=00-
1(t)dt δ,反映出0→∆t 时∞→)(t δ的趋势,
因此采用(2-1)的描述更合适。

另一方面,狄拉克-δ函数的定义在数学上也是不严格的。

如函数
)()('t t δδ+也满足式(2-1)
其中: )()('t
dt
d
t δδ=
为冲激偶信号,但)()('t t δδ+并不是单位冲激信号。

为了给出奇异函数)(t δ的严格定义,我们先引入分配函数的概念。

概念引出(1950年,L. Schwartz )
电压v(t) 表示方法:
分析说明:
① 读数并不是直接待测物理量本身,而是待测函数v (t )与测试仪表特性h (t )二者综合结果
② 电压v (t )的存在和性质借助h (t )来体现(测量系统是检测电压v (t )特性的手段),故称h (t )为检试函数。

下面给出分配函数定义:
定义三:用分配函数定义)(t δ.
)(t δ指定给)(t ϕ的值为)0(ϕ.
通过上面所给出的几种定义和性质,我们可以总结推导关于)(t δ的一些基本运算特性。

(1) 相加:
(3-1)
(2) 相乘:
(3-2)
(3)反褶:
(3-3)证明参见性质一.
(4)尺度:
(3-4)
(5)时移:
(3-5)证明参见性质二.
(6)卷积:
(3-6)仅对i)进行如下证明:
(7)复合函数:
(3-7)
证明:用泰勒级数展开,0)(=i t f ,忽略高次项。

复合函数形式的 [])(t f δ可化简为位于i t t =处的一系列冲激函数的叠加,强度为|
)('|1
i t f 。

参考文献:
[1] 樊尚春,周浩敏.2011.信号与测试技术.2版.北京:北京航空航天大学出版社.
[2] 邹云屏,林桦,邹旭东.2009.信号与系统分析.2版.北京:科学出版社. [3] 彭军,李宏.2009.信号与信息处理基础.北京:中国铁道出版社.
[4]。

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