冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论

冲激信号δ(t)的三种定义与相关性

质的简单讨论

信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224

有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.

冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：

定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ

1

，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）

冲击信号的波形就如1-1(b)所示.

δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在

图

1-2

箭头旁边注上E 。

也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡

=

∞

→

)(lim )(kt Sa k

t k πδ （1-2）

对式（1-2）作如下说明：

Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为

t

t

t a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；

并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其

零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。0→t 时，1)(S →t a ，并且有：

(a)τ逐渐减小的脉冲函数

(b)冲激信号

图1-1

图 1-3

⎰

∞

=

2

)(π

dt t Sa

因其是偶函数有

⎰+∞

∞-=πdt t Sa )( （1-4）

由式（1-4）知

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧==⎰⎰∞+∞-∞

+∞-1)()()(dt kt Sa k

kt d kt Sa ππ （1-5） 式（1-5）表明，)(kt Sa k

π

曲线下的面积为1，且k 越大，函数的振幅

越大，振荡频率越高，离开原点时，振幅衰减越快，当k ∞→时，即得到冲激函数，波形表示如图1-3.

实际上，脉冲函数的选取并不 限于矩形脉冲与抽样函数，其他如三角形脉冲、双边指数脉冲等地极限， 也可以变为冲激函数，作为冲激函 数的定义。相应可以表示为： 三角形脉冲：

()()[]⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→τετεττδτt t t t ||11lim )(0 （1-6）双边指数脉冲：

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=-→τττ

δ||021lim )(t e t （1-7） 钟形脉冲：

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→201lim )(τπττδt e t （1-8）

这些脉冲波变为相应的冲激函数，如图1-4(a)、(b)、(c).

定义二：狄拉克(Dirac)定义.狄拉克给出冲激函数的定义式为

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧≠===⎰+∞∞0

0(t)dt 0

t 1(t)dt -t δδ （2-1）

这一定义与上述的脉冲极限的定义式一致的，因此把δ函数称为狄拉克函数。

现给出δ函数三个有用的特性：

性质一：展缩特性.冲击函数是一个高而窄的峰，时间缩放会改变其面积。由于δ(t)的面积为1，时间压缩的冲激信号δ(at)的面积为

|

a |1

，由于冲激信号δ

(at)

仍在

t=0处发生，所以它可以被看做一个未

压缩的冲激

)

(

||1at a δ，即有)(|

|1)(at a at δδ=。 由于时间位移不会影响面积的大小，所以有

（a ）三角脉冲 （b ）指数脉冲 （c ）钟形脉冲

图 1-4

[])(|

|1

)(00t t a t t a -=

-δδ （2-2） 式（2-2）可以用定积分中的变量代换法加以证明。特别的当

0,10=-=t a 时，式（2-2）变为

)()(t t -=δδ (2-3) 从式（2-3）可以看出，δ(t)是一个偶信号。

性质二：抽样特性（筛选性）. 用冲激函数)(0t t -δ乘以任意连续信号)(t f ，就可以得到一个冲激函数，它的强度等于)(t f 在0t t =处的值。即筛选出了)(0t f 。从而有 ⎰⎰⎰

+∞∞

+∞

∞

+∞

∞

===---)0()()0()0()()()(f dt t f dt f t dt t f t δδδ （2-4）

类似有

⎰⎰⎰

+∞∞

+∞

∞

+∞

∞

=-=-=--0-0000-0)()()()()()()(t f dt t t t f dt t f t t dt t f t t δδδ （2-5）

式（2-4）和式（2-5）表明：当连续时间函数)(t f 与单位冲激信号)(t δ或)(0t t -δ相乘，并在()+∞∞-,时间内积分，可以得到)(t f 在0t t =处的函数值。

性质三：位移特性. 性质一和性质二表明乘积

)()()()(000t t t f t t t f -=-δδ的面积等于)(0t f ，也就是说)(0t t -δ移除了

)(t f 在0t t =处的值。

)()()(0-0t f dt t f t t ⎰

+∞

∞

=-δ （2-6）

值得指出的是，冲激信号与阶跃信号的关系：

)()(-t u d t

⎰

∞

=ττδ （2-7）

dt

t du )

()(=

τδ （2-8） )(t δ的狄拉克定义也可以表示为