基本函数的图象及其基本性质、分段函数、复合函数、抽象函数的图象与
函数完整版PPT课件
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变函数前的系数，实现对函数图 像的纵向拉伸或压缩。
周期变换
通过改变函数内的系数，实现对函数图 像的横向拉伸或压缩。
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相位变换
通过改变函数内的常数项，实现对函数 图像的左右平移。
上下平移
通过在函数后加减常数，实现对函数图 像的上下平移。
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三角函数周期性、奇偶性和单调性
了直线在 $y$ 轴上的位置。
03
性质
当 $k > 0$ 时，函数单调递增 ；当 $k < 0$ 时，函数单调递
减。
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二次函数表达式与图像
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二次函数表达式
$y = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）
图像特点
一条抛物线，开口方向由 $a$ 决定（$a > 0$ 时向上开口 ，$a < 0$ 时向下开口），对称轴为 $x = -frac{b}{2a}$ ，顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
对数函数性质
单调性、定义域、值域等 。
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指数对数方程求解
指数方程求解
通过换元法、配方法等方法将指数方 程转化为代数方程求解。
指数对数混合方程求解
综合运用指数和对数的性质及运算法 则进行求解。
对数方程求解
通过换底公式、消去对数等方法将对 数方程转化为代数方程求解。
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04
三角函数及其性质
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目录
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• 函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数及其性质 • 反三角函数及其性质 • 复合函数与分段函数 • 参数方程与极坐标方程
函数及其图象函数的图像函数的图象
2023函数及其图象•函数的基本概念•函数的图像•不同类型函数的图像目录•函数图像的应用•函数图像的艺术01函数的基本概念设x和y是两个变量，D是一个给定的集合，在D上有唯一确定的y值与x对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。
集合D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。
函数的定义函数的表示方法图象法用图象表示函数，如f(x)=x^2的图象为开口向上的抛物线。
表象法用表格表示函数，如t=sin(x)。
解析法用等式表示函数，如y=2x+1。
函数的分类•常数函数：f(x)=c(c为常数)•一次函数：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)•二次函数：f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)•反比例函数：f(x)=k/x(k为常数，k≠0)•幂函数：f(x)=x^a(a为常数)•指数函数：f(x)=a^x(a为常数，a>0且a≠1)•对数函数：f(x)=log_a x(a为常数，a>0且a≠1)•复合函数：f(x)=u(x)+g(x)，其中u和g都是简单函数。
02函数的图像1函数图像的概念23将函数表达式中自变量与因变量之间的关系用图形表示出来。
函数图像在平面直角坐标系中，以横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
坐标系根据函数表达式的性质，图像呈现不同形状，如直线、曲线、折线等。
函数图像的形状描点法根据函数表达式，求出一些自变量对应的因变量值，然后在坐标系上描出对应的点，最后用平滑的曲线或直线将这些点连接起来。
图示法利用计算器或编程语言，直接在计算机上绘制出函数图像。
绘制函数图像的方法函数图像的变换伸缩将函数图像按比例进行缩放，可以是横向或纵向。
平移将函数图像沿横轴或纵轴方向移动一定距离。
翻折将函数图像以某一条直线或点为对称中心进行翻折。
复合变换以上变换可以同时进行，也可以多次进行。
旋转将函数图像按一定角度顺时针或逆时针旋转一定角度。
03不同类型函数的图像线性函数一次函数的图像是直线，表达式为$y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。
函数与图像的基本概念与性质
函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。
2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。
（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。
（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。
3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。
（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。
二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。
2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。
（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像具有周期性。
（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。
三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。
六大基本初等函数图像及其性质(总12页)
六大基本初等函数图像及其性质(总12页)抛物线函数 y = x^2- 图像为开口朝上的抛物线，顶点在原点(0,0)- 奇函数，即f(-x) = -f(x)- 定义域为全体实数，值域为[0, +∞)- 极值点为顶点(0,0)，不存在最大值和最小值- 函数单调递增且无拐点反比例函数 y = 1/x-tu.grid正比例函数 y = x- 图像为平面直线，通过原点(0,0)- 定义域为全体实数，值域为全体实数- 函数单调递增，无拐点- 斜率代表变化率，斜率越大表示变化速度越快，斜率为正则表示函数单调增加，斜率为负则表示函数单调减少指数函数 y = a^x (a>0且a≠1)- 图像为上凸曲线，通过点(0,1)- 定义域为全体实数，值域为(0,+∞)- 当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减- 随着自变量x的增大，函数值加速增大或减小对数函数y = logₐ(x) (a>0且a≠1)- 反指数函数，图像和指数函数的图像呈镜像关系- 定义域为(0,+∞)，值域为全体实数- 当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减- 随着自变量x的增大，函数值增长速度逐渐变慢三角函数 y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x)- 正弦函数图像为周期性上下波动的连续曲线，取值范围[-1, 1] - 余弦函数图像为周期性波动的连续曲线，取值范围[-1, 1]- 正弦函数、余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]- 正弦函数、余弦函数是周期性函数，周期为2π- 正切函数图像为周期性波动的连续曲线，定义域为实数集合-{(2n + 1)π/2 | n∈Z}，值域为全体实数这些基本初等函数的图像和性质对数学的学习和应用有着重要的作用，掌握这些函数的图像及其性质，有助于理解数学问题的规律，并能够在实际问题中进行分析和求解。
常见函数的图像和性质
常见函数的图像和性质在数学的世界里，函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系。
而函数的图像和性质，则是我们理解和把握这些关系的关键。
今天，咱们就来一起聊聊常见函数的图像和性质。
首先，咱们来看看一次函数。
一次函数的表达式一般写作 y ＝ kx＋ b （k、b 为常数，k ≠ 0）。
它的图像是一条直线。
当 k ＞ 0 时，直线是上升的，意味着函数值 y 随着 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，直线是下降的，函数值 y 随着 x 的增大而减小。
b 呢，则决定了直线与 y轴的交点，当 b ＞ 0 时，交点在 y 轴的正半轴；当 b ＜ 0 时，交点在 y 轴的负半轴；当 b ＝ 0 时，直线过原点。
再来说说反比例函数，它的表达式通常是 y ＝ k ／ x （k 为常数，k ≠ 0）。
反比例函数的图像是两条曲线，叫做双曲线。
当 k ＞ 0 时，双曲线在一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，双曲线在二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。
二次函数也是常见函数中的重要一员，其表达式一般为 y ＝ ax²＋bx ＋ c （a、b、c 为常数，a ≠ 0）。
二次函数的图像是一条抛物线。
当a ＞ 0 时，抛物线开口向上，有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，有最大值。
抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ 2a 。
而且，判别式Δ ＝ b²4ac 能帮助我们判断抛物线与 x 轴的交点情况。
当Δ ＞ 0 时，抛物线与x 轴有两个交点；当Δ ＝ 0 时，抛物线与 x 轴有一个交点；当Δ ＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。
接下来看看指数函数，它的表达式是 y ＝ a^x （a ＞ 0 且a ≠ 1）。
当 a ＞ 1 时，函数单调递增，图像从左到右逐渐上升；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减，图像从左到右逐渐下降。
指数函数的图像恒过点（0, 1)。
常见函数的图像和性质
常见函数的图像和性质函数是高中数学学习中不可避免的部分，常见函数有一些图像和性质。
本文将介绍常见函数的图像和性质，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数。
线性函数是最基本的函数之一，也是最容易理解的函数之一。
线性函数的一般式是y = kx + b，其中k和b是常数，x和y表示函数的自变量和因变量。
线性函数的图像是一条直线，斜率k和截距b决定了直线的位置和倾斜程度。
当k>0时，函数是单调递增的，当k<0时，函数是单调递减的。
斜率越大，直线越陡峭，斜率越小，直线越平缓。
截距决定直线和y轴的交点。
当b>0时，直线在y轴上方，当b<0时，直线在y轴下方，当b=0时，直线经过原点。
线性函数的性质是简单的，任何两个不同的点都能确定一条直线，而且任何一条直线都可以写成y = kx + b的形式。
二次函数是另一个基本函数，一般式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向由系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数图像的性质和线性函数有所不同，首先，二次函数不是单调函数，也就是说，它有一个最值点，最值点的坐标为（-b/2a，c-b^2/4a）。
第二，二次函数图像的对称轴是一个垂直于x轴的线，它的坐标是x = -b/2a。
第三，二次函数图像上任何一条水平线和抛物线只有一个交点，因此，二次函数也称为单峰函数。
指数函数是一种以底数为e的指数型函数，一般式是y = a^x，其中a是正常数。
指数函数的图像呈现出一种快速增长或快速衰减的趋势，指数函数的性质是独特的。
当a>1时，指数函数单调递增，当0<a<1时，指数函数单调递减，当a=1时，指数函数恒等于1。
指数函数图像的特点是固定的x值下y值呈指数型增长或衰减，在坐标系中的图像表现出“指数型曲线”。
高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1
高中不得不掌握的函数图像与常用性质高中常用函数有14种，它们是:1.正比例函数；2.反比例函数；3.根式函数；4一次函数；5.二次函数；6双勾函数.；7. .双抛函数；8.指数函数；9对数函数；10. 三角函数；11分段函数.；12. 绝对值函数；13. 超越函数；14.抽象函数。
而函数的性质常见的有：1.定义域；2.值域；3.单调性；4.奇偶性；5.周期性；6.对称性；7.有界性；8.反函数；9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像，再利用函数图像研究其性质，下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。
1.正比例函数4一次函数5二次函数8.指数函数11.分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。
其图像的画法是按定义域的划分分别作图。
其性质主要是考察求值域和属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。
考单调性。
求值域时一定要首先看x察单调性主要是整个定义域为增函数还是减函数，相当于是恒成立问题。
（1）设函数⎩⎨⎧≥--<+=)1(14)1)(1)(x x x x x f （，则使得1)(≥x f 的自变量x 取值范围是(2)已知⎩⎨⎧<-≥=)0(1)0(1)(x x x f 则不等式5)2()2(≤+++x f x x 的解集是＿＿（3）已知⎩⎨⎧≥<+-=)1()1(12)(x a x x a x f x）（是R 上的增函数，则a 的取值范围是＿＿ 13.绝对值函数 一般有)()()(x g x f y x f y +==和两种类型，只需按绝对值的定义转化为分段函数即可画出图像；其主要考察值域和单调性。
如设的解集求5)(54)(2≥--=x f x x x f 。
14.超越函数 超越函数主要是由1-11种基本初等函数中的两种组合在一起的，例如xxx f sin )(=、12ln )(++=x x x f ；其常见的题型是利用11种函数性质解题，特别是利用可导性、对称性、单调性、奇偶性来判断图像。
常见函数的图像及其性质
常见函数的图像及其性质数学中的函数就像我们日常生活中的“机器”，通过给出一个输入，便能得到一个输出。
而函数所表示的“规律”，可以通过数学的方法加以描述和解释。
在数学中，常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
本文将介绍这些函数的图像及其性质。
一、线性函数线性函数是最基本、最简单的函数之一。
线性函数的一般形式为：y = kx + b其中，k和b是常数，x是自变量，y是因变量。
这里k表示直线斜率，b表示直线截距。
线性函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
当直线斜率为正时，函数是增长函数；当直线斜率为负时，函数是减少函数；斜率为0时，函数是常量函数。
二、二次函数二次函数是一种二次多项式函数，其一般形式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c是常数，x是自变量，y是因变量。
二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线，因为其自变量是平方项的形式。
二次函数的性质包括：1. 当a > 0时，函数开口向上，有最小值；当a < 0时，函数开口向下，有最大值。
2. 当二次函数的判别式b²-4ac > 0时，函数图像与x轴有两个交点；当b²-4ac = 0时，函数图像与x轴有一个交点；当b²-4ac < 0时，函数图像与x轴没有交点。
三、指数函数指数函数是一种以常数e（自然对数常数）为底，自变量是指数的函数。
其一般形式为：y = a^x其中，a是一个大于0且不等于1的常数，x是自变量，y是因变量。
指数函数的图像有如下特点：1. 当a > 1时，函数在x轴右侧增长；当0 < a < 1时，函数在x 轴左侧增长。
2. 当a > 1时，函数的y值无上限，但x轴是渐近线；当0 < a < 1时，函数的y值趋于0，但x轴是渐近线。
四、对数函数对数函数是指既然函数，其一般形式为：y = logₐx其中，a是底数，a > 0且a ≠ 1，x是自变量，y是因变量。
函数的基本性质ppt课件
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即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
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（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
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∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质六大基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
1. 常数函数：y = c，其中c是一个常数。
常数函数的图像是一条平行于x轴的直线，与y轴相距c个单位。
它没有自变量的限制，函数值始终为常数。
2. 幂函数：y = x^n，其中n是任意实数。
幂函数的图像依赖于指数n的符号及大小。
当n为正数时，随着x的增大，函数值也增大；当n为负数时，随着x的增大，函数值减小。
若n为奇数，图像穿过原点；若n为偶数，图像在原点有一个极小值或极大值。
3. 指数函数：y = a^x，其中a是一个正数且不等于1。
指数函数的图像是递增或递减的曲线。
如果a大于1，函数图像是递增的，如果a在0和1之间，函数图像是递减的。
指数函数没有定义域的限制，但其值范围从0到正无穷大。
4. 对数函数：y = log_a(x)，其中a是一个正数且不等于1。
对数函数的图像与指数函数的图像是关于直线y = x对称的。
当x在0到正无穷大之间变化时，函数值从负无穷大逐渐增大到正无穷大。
对数函数的定义域为正实数，值域为负无穷大到正无穷大。
5. 三角函数：包括正弦函数y = sin(x)，余弦函数y = cos(x)，正切函数y = tan(x)，割函数y = sec(x)，余割函数y = csc(x)，和余切函数y = cot(x)。
三角函数的图像是周期性的波形，沿x 轴变化。
例如，正弦函数和余弦函数的图像是在[-π, π]范围上的曲线。
正弦函数的值域在[-1, 1]之间，余弦函数的值域也在[-1, 1]之间。
6. 反三角函数：包括反正弦函数y = arcsin(x)，反余弦函数y = arccos(x)，反正切函数y = arctan(x)，反割函数y = arcsec(x)，反余割函数y = arccsc(x)，和反余切函数y = arccot(x)。
反三角函数的图像是由对应的三角函数的图像上截取而来的。
函数类型及图像
函数类型及图像函数是数学中的一个重要概念，它具有许多不同的类型，比如线性函数、指数函数、根函数、分段函数和三角函数等。
每个函数类型都有其自身的特点和性质，并且可以通过图形的方式表示出来。
线性函数是指y=kx+b的结构，其中，k是斜率，b是截距，x和y是变量。
它的图像是一条直线，斜率表示这条线的倾斜程度，截距以原点（0，0）为准，表示这条线相对于原点的偏移量。
此外，线性函数的特点是当改变自变量时，其变化量是一致的。
经典线性函数举例：y=2x+1。
它的图像是一条斜率为2，且与原点偏移一个单位的直线。
指数函数是指y=b^x的结构，其中，b是指数，x为自变量，其中b的取值范围为0-1。
它的图像是一条开口向上的曲线，曲率表示该函数与x轴之间的关系。
指数函数的特点是当改变自变量时，其变化量会呈指数级增长的趋势。
经典指数函数举例：y=2^x,它的图像是一条斜率为2的开口向上的曲线，曲率为正，表示它们之间关系十分紧密。
根函数是指y=b√x的结构，其中，b为根数，x为自变量，其中b的取值范围为1-∞。
它的图像是一条开口向上的曲线，它的曲率可以表示该函数与x的关系。
根函数的特点是当改变自变量时，其变化量会呈指数级增加的趋势。
经典根函数举例：y=2√x，它的图像是一条开口向上的曲线，曲率为正，表示两者之间关系十分紧密。
分段函数是指将函数分为若干个段，每一段函数都有自己的公式，并以离散点表示其图象。
分段函数的结构比较复杂，但是它们的性质比较稳定，而且可以容易地将其表现为图象。
经典分段函数举例：y={0, x<0; 1/2x+1, 0≤x<2; 3x-2, x≥2}，它的图象是由两条直线和一段函数曲线拼接而成。
三角函数是指sin、cos、tan等函数，它们的结构比较复杂，但是它们的性质比较稳定，而且可以容易地表示为图象。
三角函数的图象是一条X轴为周期轴，Y轴为幅值轴的周期曲线。
它们的特点是，当改变自变量时，其变化趋势是周期性变化的。
高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1
高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中数学中，函数是一个非常重要的概念，是数学的基础。
函数不仅在数学上有很多应用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
函数的图像和性质是我们学习函数的重要内容之一。
下面我将详细介绍高中数学中的14种函数图像和性质。
一、常数函数图像和性质：常数函数是指对于任何定义域内的自变量，其函数值都是一个固定的常数。
常数函数的图像是一个平行于x轴的直线，也可以看作是y轴上的一个点。
常数函数的性质包括：定义域是全体实数，值域是{常数}，奇偶性是偶函数。
二、一次函数图像和性质：一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k和b是常数。
一次函数的图像是一条直线，具有斜率k，截距b。
一次函数的性质包括：定义域是全体实数，值域是全体实数，当且仅当k=0时，为常数函数，奇偶性是奇函数。
三、二次函数图像和性质：二次函数是指函数的表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的抛物线。
二次函数的性质包括：定义域是全体实数，值域受a的正负号和抛物线的开口方向影响，奇偶性当且仅当a=0时，为一次函数。
四、基本初等函数图像和性质：基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
它们都有各自的图像和性质。
1. 幂函数图像和性质：幂函数是指函数的表达式为y=xⁿ，其中n是一个实数，且n≠0。
幂函数的图像随着n的不同而变化，当n>0时，函数的图像是递增的曲线，当n<0时，函数的图像是递减的曲线。
幂函数的性质包括：定义域是正实数或负实数，值域受n的正负号影响，奇偶性当且仅当n为偶数时，函数关于y轴对称。
2. 指数函数图像和性质：指数函数是指函数的表达式为y=aⁿ，其中a是一个正实数，且a≠1，n是一个实数。
指数函数的图像随着a和n的取值不同而变化，当0<a<1时，函数的图像是递减的曲线，当a>1时，函数的图像是递增的曲线。
五大基本函数图像及性质
五大基本函数图像及性质基本函数是数学中最常用的函数，它们能够描述和表示曲线的性质和特征。
常见的基本函数包括指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数和偏微分函数。
二、指数函数指数函数是指一类具有指数表达形式的函数，可以用来描述数据之间的相对关系。
指数函数的图像以指定点作为原点，从原点开始上升或下降，通过控制变量取值范围来表示函数值的变化程度。
三、对数函数对数函数是一类定义在正数域上的函数，它的值由底数和指数决定，即形如ax的形式。
它的图形是一条从有限正数到有穷大的抛物线，图像的斜率代表了变化的程度。
四、三角函数三角函数是描述在给定区间内某物体运动的函数，它的图像主要由正弦函数、余弦函数和正切函数构成。
它们的图像是以某一定点为原点，其值随着x变化而循环变化，斜率可以表示变化的程度。
五、双曲函数双曲函数是一类定义在实数域上的函数，它的值由变量的决定，其图像可以表现为一条弯曲的曲线，它的斜率也可以表示变化的程度。
六、偏微分函数偏微分函数是一类关于一元变量的函数，它表示函数在某一点处的切线斜率，其图像表示函数在某一点处的变化率。
综上所述，基本函数是数学中最常用的函数，它们通过控制变量取值范围来表示函数值的变化程度。
常见的基本函数包括指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数和偏微分函数，它们的图像由指定点作为原点，其值随x的变化而变化，并代表函数值的变化程度。
指数函数是一类具有指数表达形式的函数，它的图像从原点开始上升或下降，可以用来描述数据之间的相对关系。
而对数函数是定义在正数域上的函数，它的图形是从有限正数到有穷大的抛物线，斜率代表了变化的程度。
三角函数是描述在给定区间内某物体运动的函数，它们的图像以某一定点为原点，其值随着x变化而循环变化，斜率可以表示变化的程度。
而双曲函数是一类定义在实数域上的函数，它的图像是一条弯曲的曲线，斜率也可以表示变化的程度。
最后，偏微分函数是关于一元变量的函数，它的图像表示函数在某一点处的变化率。
函数图像及知识点总结
函数图像及知识点总结本文将首先介绍函数的概念，接着讨论函数图像的基本特征和性质，然后给出一些常见的函数图像和它们的性质分析，最后总结本文的内容。
一、函数的概念在代数学中，函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
具体地说，一个函数 f 是一个规则，它将集合 A 中的每个元素 x 映射到集合 B 中的一个元素f(x) 上。
其中，集合 A 被称为函数的定义域，集合 B 被称为函数的值域。
如果对于定义域A 中的每个元素 x，都有一个唯一的值 f(x) 与之对应，那么函数 f 是一一对应的，否则称为多对一的。
函数可以用多种方式来表示，比如用代数式、图表、表格或者用文字描述。
在本文中，我们将主要讨论函数图像的性质和特点。
二、函数图像的基本特征和性质在直角坐标系中，函数 f 的图像是它的定义域的点在坐标系中的表示，即点 (x, f(x))。
函数图像的基本特征和性质可以通过其图像的形状和位置来描述。
1. 函数的增减性和极值对于函数 f，如果在定义域的某个区间上，当 x1 < x2 时有 f(x1) < f(x2)，那么称函数 f 在该区间上是增加的；如果在该区间上，当 x1 < x2 时有 f(x1) > f(x2)，那么称函数 f 在该区间上是减少的。
极值是函数图像中的最高点或最低点，它们可以通过导数或者图像来求得。
2. 函数的奇偶性如果对于函数 f 的所有 x 都有 f(-x) = f(x)，那么称函数 f 是偶函数；如果对于函数 f 的所有x 都有 f(-x) = -f(x)，那么称函数 f 是奇函数。
3. 函数的周期性如果存在一个正数 T，使得对于函数 f 的所有 x 都有 f(x+T) = f(x)，那么称函数 f 是周期函数，其中 T 被称为函数 f 的周期。
4. 函数的对称性如果函数图像关于某个点对称，那么称函数具有对称性。
常见的对称性有关于 x 轴、y 轴和原点的对称性。
46.分段函数、复合函数和抽象函数
46．分段函数、复合函数和抽象函数分段函数、复合函数和抽象函数是三类特殊的函数，它们的性质及其应用也是函数中的一个难点．如何攻克？只需回归函数及其性质（单调性、奇偶性）的定义，其中有解决上述问题的宝贝，就看你能不能淘出来．一、分段函数1．定义域、值域例1 已知函数⎩⎨⎧≤≤+<<--=.30,1,02,212x x x x y ，则它的定义域是 ；值域是 . 分析：把两段的x 的取值范围并起来，即为函数的定义域；分段求出函数值的取值范围，它们的并集就是函数的值域.解：函数的定义域是]3,2(]3,0[)0,2(-=- .因为函数x y 21-=在区间)0,2(-上是减函数，所以此时51<<y ；因为函数12+=x y 在区间]3,0[上是增函数，所以此时101≤≤y .所以函数的值域是]10,1[]10,1[)5,1(= .评注：函数的定义说得清楚：定义域是自变量的取值范围，何为自变量，就是函数中能自主变化的量.值域是函数值的取值集合，故求分段函数的定义域和值域时，要遵循先分后总的原则，把各段自变量和函数值的取值范围并起来.例2 求函数|1||3|+-+=x x y 的值域.分析：通过讨论x 的范围去绝对值符号后，可把此函数转化为分段函数.解：当3-<x 时，2)]1([)3(-=+--+-=x x y ；当13-≤≤-x 时，42)]1([3+=+--+=x x x y ；当1->x 时，2)1(3=+-+=x x y .所以⎪⎩⎪⎨⎧->-≤≤-+-<-=.1 ,2,13 ,42,3 ,2)(x x x x x f ，因为当13-≤≤-x 时，2422≤+≤-x .所以原函数的值域为}22|{}22|{}2{}2{≤≤-=≤≤--y y y y评注：含绝对值的函数一般都需先去掉绝对值符号再解决问题，而去掉绝对值的方法是讨论自变量的范围，这样就把函数转化成了分段函数.2．奇偶性例3 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=.0,,0,,0,2)(x b x x a x x x f 是奇函数，则=+b a .分析：根据奇函数的定义求出b 的值，根据奇函数的性质求出a 的值，即可求b a +.解：当0<x 时，0>-x ，所以2)(--=-x x f .因为函数)(x f 是奇函数，所以)()(x f x f -=-，所以b x x x f +=+=2)(，所以2=b .又因为0)0(==a f ，所以2=+b a .评注：根据奇函数的定义，对于定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，这是本题求解的依据.若给定一个分段函数，判断其奇偶性，那就需依据函数奇偶性的定义，全定义域考证.3．单调性例4 设⎩⎨⎧≥<-+=.1,,1,4)13()(2x ax x a x a x f 是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 . 分析：先求出每一段是增函数时a 的取值范围，再求出当1=x 时24)13(ax a x a ≤-+的a 的取值范围.两个范围的交集即为a 的最终取值范围.解：因为函数)(x f 是R 上的增函数，所以⎪⎩⎪⎨⎧⨯≤-⨯+>>+.141)13(,0,0132a a a a a 解得21≥a . 所以a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21. 淘宝：根据函数单调性的定义，若使函数)(x f 在其定义域上是增函数，只保证答每段都增是不够的，还要保证函数在两端的衔接处也是增的，这一点往往容易被忽视.二、复合函数例5 已知函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，则m 的取值范围是 .分析：函数)78lg(2-+-=x x y 是由函数u y lg =与782-+-=x x u 复合而成的，故它的单调性取决于这两个函数的单调性.因为函数u y lg =是增函数，故若使函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，只需在0782>-+-=x x u 前提下求出782-+-=x x u 的递增区间，即为函数)78lg(2-+-=x x y 的递增区间，然后通过)1,(+m m 是这个递增区间的子集求m 的取值范围.解：由0782>-+-=x x u ，可得71<<x ，而函数782-+-=x x u 的递增区间为)4,(-∞，∴函数)78lg(2-+-=x x y 的递增区间为)4,1(.若使函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，须使)4,1()1,(⊆+m m ，只需⎩⎨⎧≤+≥.41,1m m 解得 31≤≤m ，所以m 的取值范围是]3,1[.评注：二重复合函数))((x g f y =的单调性遵循同增异减的规则，解释如下：函数的性质其实都是由对应关系决定的.函数))((x g f y =的自变量是x ，函数值是y ，根据函数单调性的定义，其单调性要看这两个量的变化关联（)(x g 作为中间变量，只起沟通与过渡的作用）.如：若f 和g 同增，则当x 增大时，)(x g 增大，则))((x g f y =也增大，即x 增大时，y 也增大，所以))((x g f y =单调递增；而当f 和g 同减时，则当x 增大时，)(x g 减，则))((x g f y =反而增大，即x 增大时，y 也增大，所以))((x g f y =也单调递增.所以得出“同增”的结论，“异减”同样分析，关键是看两端（即x 与y ）变化关联.本例的易错点是范围端点值的取舍不当.例6 （多选题）已知函数)(x f 的定义域为R ，且)1(+x f 是偶函数，)1(-x f 是奇函数，则下列说法正确的个数为（ ）A ．0)7(=fB ．)(x f 的一个周期为8C ．)(x f 图象的一个对称中心为)0,3(D ．)(x f 图象的一条对称轴为直线2022=x分析：根据的)1(+x f 和)1(-x f 奇偶性，得到两个等式，进而推出函数)(x f 的的对称性和周期性，即可进行判选.解：由)1(+x f 是偶函数，得)1()1(x f x f +=-①，即直线1=x 是)(x f 图象的对称轴；又由)1(-x f 是奇函数，得-=--)1(x f )1(-x f ②，即点)0,1(-是)(x f 图象的对称中心．在①式中，用1-x 代换x ，可得)()2(x f x f =-；在②式中，用1+x 代换x ，可得)()2(x f x f -=--（原则是把其中一边变成)(x f ）．所以)2()2(x f x f ---=-，用2-x 代换x ，可得)()4(x f x f --=-③，所以)()4()8(x f x f x f -=--=-，所以)(x f 的一个周期为8，B 正确．所以0)1()7(=-=f f ，所以A 正确；由③式得相邻两个对称中心之间的距离是4，所以)(x f 图象的一个对称中心为)0,3(，所以C 正确；每隔一个周期对称轴出现一次，而5825212022+⨯=-，所以直线2022=x 不是)(x f 图象的一条对称轴，所以D 错误．综上，选ABC ．评注：函数))((x g f 的自变量是x ，对应关系是两个对应关系g f ,的复合，由函数奇偶性的定义，可知当))((x g f 是偶函数时，应有))(())((x g f x g f =-；当))((x g f 是奇函数时，应有))(())((x g f x g f -=-，即只改变其中自变量的符号.所以当)1(+x f 是偶函数时，应有)1()1(x f x f +=-，而不是)1()1(x f x f +=--，后者说明f 即外层函数是偶函数；当)1(-x f 是奇函数时，应有)1()1(--=--x f x f .三、抽象函数例7 若对于任意实数y x ,，都有)()(2)2(y f x f y x f +=+．（1）求)0(f 的值；（2）判断函数)(x f 的奇偶性．分析：)0(f 可通过赋予y x ,特殊值求解，函数)(x f 的奇偶性可依据函数奇偶性的定义判断，但需灵活地设置变量．解：（1）令0==y x ，代入)()(2)2(y f x f y x f +=+得)0(3)0(f f =，所以0)0(=f ．（2）令x y -=，代入)()(2)2(y f x f y x f +=+得)()(2)(x f x f x f -+=，即)()(x f x f -=-，所以函数)(x f 是奇函数．评注：抽象函数是指未给出函数解析式的函数，解答抽象函数问题时，因无具体的函数解析式可用，所以在研究它们的性质时，要以相关性质的定义为“指引”，有的放矢，灵活变换已知条件．例8 已知定义在R 上的函数)(x f y =满足)0)(()(><+a x f a x f ，则不等式)12()(+>x f x f 的解集为（ ）A ．}1|{->x xB ．}1|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}1|{<x x分析：先由)0)(()(><+a x f a x f 确定函数)(x f y =的单调性，然后把待解不等式转化，即可求出其解集．解：设21x x <，则)0(12>+=a a x x ，所以)()()(112x f a x f x f <+=，所以0)()()()(1121>+-=-a x f x f x f x f ，所以函数)(x f y =在R 上是减函数，所以12+<x x ，解得1->x ．选A ．评注：待解不等式的两端是两个函数值，因而我们考虑先判断函数的单调性，进而运用单调性脱去不等式中抽象的对应关系“f ”，从而化抽象为具体，使不等式获解．。
2014最新高考数学预测题精选
x 2 1) 是奇函数.④函数 y x x 2 1与函数 y
1 1 ( x ) 互为反函数. 2 x
2 3 2、函数 y = 1 + 4 cos xA) [0,8] 3、 lim (
x 1
(B) [－4,5] A ）
(A) －4≤b<2 (B) b≥－4 (C) b≥2 (D) b<－4
8、已知 a 为实数，函数 f ( x) ( x2 1)( x a) ． (Ⅰ) 若 f (1) 0 ，求函数 y f ( x) 在[－
3 ，1]上的最大值和最小值； 2
(Ⅱ)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线，求 a 的取值范围． 解：(Ⅰ)∵ f (1) 0 ，∴ 3 2a 1 0 ，即 a 2 ．
最新高考数学预测题精选
一、 《集合与简易逻辑》1 题
考点分析：集合概念、集合的运算、逻辑连接词、充要条件、四种命题。 命题趋势：集合与简易逻辑以选择题或填空体形式出现，属低档题。 1．已知集合 A = {x | x 2 + 2ax + 1 = 0} 的真子集只有一个，则 a 值的集合是（C） (A) (－1,1) (B) (－,－1]∪[1,+) (C) {－1,1} (D) {0} 2．设 abc 0 ， “ ac 0 ”是“曲线 ax2 by2 c 为椭圆”的（B ） （A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件
1 2 x
④ 关于原点中心对称. .
-1-
的值域是 (0,1)U(1,+∞)
6、曲线 y x ( x 1)( x 2) „ ( x 50) 在原点处的切线方程为（ D ） (A) y = 1275x (B) y = 502x (C) y = 100x (D) y = 50!x
函数、基本初等函数的图象与性质
()
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析：∵f(x＋5)＝f(x)且 f(－x)＝－f(x)，
∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
故 f(3)－f(4)＝(－2)－(－1)＝－1.
答案：A
题型三 函数的图象及应用
【例 3】 设函数 f(x)＝2x2＋xb>x＋0，c x≤0， 若 f(－4)＝ f(0)，f(－2)＝－2，求关于 x 的方程 f(x)＝x 的解的个数． 解：方法一：由 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∵f(a)＝f(b)＝f(c)，
由图象可知 0<a<1,1<b<10,10<c<12.
∵f(a)＝f(b)，∴|lg a|＝|lg b|，
∴lg a＝－lg b，即 lg a＝lg1b⇒a＝1b，
∴ab＝1,10<abc＝c<12，故选 C.
答案：C
题型二 函数的性质及应用
【例 2】 (2010·南京市高三调研阅试)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且满足 f(x＋2)＝－f(x)，又当 0≤x≤1 时，f(x)＝12x，则{x|f(x)＝ －12}＝________. 解析：由已知条件，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则 f(x)是以 4 为周期 的周期函数． 当－1≤x≤0 时，0≤－x≤1，f(x)＝－f(－x)＝12x， 当 1≤x <3 时，－1≤x－2<1，f(x)＝－f(x－2)＝－12(x－2)．
论
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在c a,b ，使得 f (c) 0，这个c 也就是方程 f (x) 0的根。
高考数学预测题精选
= =
= ……………………12分
由已知x>0,所以 …………………………13分
三、《数列》1题+1题
考点分析：有关等差数列，等比数列的概念、公式和性质；有关数列的综合题及应用题
命题趋势：选择题和填空题主要考查等差数、等比数的概念与性质为主；解答题中会把等差数列、等比数列及性质与不等式，函数相结合，要求较高，要特别注意探索性问题；数列应用题将仍是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.
由 ，得 ．… 4分
因此，函数 的单调增区间为 ， ；单调减区间为 ．
在 取得极大值为 ； 在 取得极小值为 ．
由∵ ， 且
∴ 在[－ ，1∵函数 的图象上有与 轴平行的切线，∴ 有实数解． … 10分
∴ ，∴ ，即 ．
因此，所求实数 的取值范围是 ． … 14分
所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大值为 、最小值为 ………………………3分
（II）设
因为x>1，所以F解，F/(x)<0,所以函数F（x）在区间（1，+ ）上单调递减，………5分
又F（1）= <0,所以，在区间（1，+ ）上，F(x)<0,即
所以函数f(x)的图象在函数 图象的下方。 …………………………8分
命题趋势：对于函数概念与函数性质、图象的直接考查将在选择与填空中出现；利用函数
导数工具解决函数的相关性质；函数与其他方面知识交汇点。如不等式、数列、解析几何有关综合问题，这类题以大题形式出现，属高档题；另函数应用题仍将是命题的热点，主要考函数的基本性质和建立函数模型及解读信息的能力。
函数意识：正确处理特殊与一般关系，具有化归、数形结合、分类讨论数学思想，能熟练求函数的导数，灵活应用配方法、换元法、待定系数法、反证法等。
高三数学二轮复习 2.1函数的图象与性质课件
函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法 贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题．在近几 年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每 年都有函数试题，而且常考常新．以基本函数为背景的应 用题和综合题是高考命题的新趋势．
高考热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期性、对称性和函数的图像．以二次函数、分 段函数、对数函数等为载体的题目在近几年中时有出 现．②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通 过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解 决问题，是考查的热点．③考查运用函数的思想来观察问 题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基 本数学思想．④以导数为工具研究函数的单调性，进而研 究最值、极值，使可研究的函数大大增加．近几年导数的 工具性体现得越来越明显．
判定单调性往往要借助定义域和奇偶性，方法主要有定义 法、图像法、导数法等．
(3)函数的周期性
设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意 x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为y＝ f(x)的一个周期．
周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图像及其解析式相 关联出现．注意从代数变换角度分析．
(2)函数的单调性
函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D上的 函数f(x)，若对于任意x1、x2∈D，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2))，则称f(x)在区间D上为单调增(减)函 数．反映在图像上，若函数f(x)是区间D上的增(减)函数， 则图像在D上的部分从左到右是上升(下降)的．如果函数f(x) 在给定区间(a，b)上恒有f ′(x)>0(f ′(x)<0)，则称f(x)在区间 (a，b)上是增(减)函数，(a，b)为f(x)的单调增(减)区间．
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高考数学讲座——函数
主讲：奉贤中学 宋林荣
函数是中学数学最重要的内容之一（三大板块内容之一），是高中数学教材的一条主线，是历年高考命题的重点。
函数的概念是以集合为基础，也是学习高等数学的基础。
函数的主要．．内容：函数的概念（三个要素：定义域、值域和对应法则）、基本初等函数的性质和图像。
其中包括了三角函数和反三角函数，数列实质上也是函数，只是定义域为正整数集或正整数集的子集。
学习中，要求掌握的函数具体内容有：函数的定义域、值域、图像、奇偶性、单调性、周期性、最值、反函数、和（积）函数，以及相关的具体函数的图像及性质。
研究函数，主要从定义、图像、性质三方面加以研究。
高考相关内容点击： 一、函数与反函数
【例题1】 已知xy 0<，而且2
2
4x 9y 36-=。
由此能否确定一个函数关系y f (x)=？如果能，
求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由。
【例题2】下列各对函数中，相同的是（ ） （A ）2
f (x)l
g x =和g(x)2lg x = （B ）x 1
f (x)lg
x 1
+=-和g(x)lg(x 1)lg(x 1)=+--
（C ）f (s)=
g(t)= （D ）f (x)x =和g(x)=【例题3】求下列函数的反函数：（1）2
y x 2x(x 1)=-≥；（2）x x
21
y (x 0)21
+=<-。
【例题4】下列函数中，反函数为其自身的函数是（ ） （A ）2
f (x)x ,x [0,)=∈+∞ （B ）3
f (x)x ,x (,)=∈-∞+∞
（C ）x
f (x)e ,x (,)=∈-∞+∞ （D ）1
f (x),x (0,)x
=∈+∞ 【例题5】函数x 3f (x)2x 1
+=
-，函数g(x)是函数1
y f (x 1)-=+的反函数，求g(3)的值。
二、函数的定义域与值域（最值） 【例题6】（1）已知函数x
x f -=
11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，求
M N 。
（2
）函数2()f x =的定义域为 。
【例题7
】求函数f (x)=
【变式题】求函数f (x)=定义域和值域。
【例题8】设1x
f (x)tx (t 0)t
-=+>，g(t)是f (x)在x [0,1]∈上的最小值，求g(t)的最大值。
三、和函数与积函数
【例题9】设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ）
(A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数
(C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数
四、函数的奇偶性与单调性
【例题10】（1）判断下列函数的奇偶性： ①x 2f (x)121=+-
；②g(x)|x 2|2
=+-。
（2）已知a 常数，函数x
2
f (x)a (x R)21
=-∈+为奇函数，求实数a 的值；
（3）已知(31)4,1()log ,1
-+<⎧=⎨
≥⎩a a x a x f x x x 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73
（D ）1[,1)7
【例题11】已知函数2
a
f (x)x (x 0,a R)x
=+
≠∈。
（1）当a 为何值时，函数f (x)为偶函数； （2）若函数f (x)在区间[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围。
【例题12】求下列函数的单调区间：（1）f (x)|x 1||2x 4|=-+-；（2）22x 1
f (x)x 1
+=-。
五、函数的对称性与周期性
【例题13】函数x 1
y x
+=的图像关于直线y x 1=-对称的图像为C ，求C 对应的函数的解析式。
【例题14】已知函数f (x)对任意的x R ∈，都有1
f (x)1f (x 2)
=-
+，且f (0)m(m 0)=>。
（1）
求f (2)、f (4)、f (6)的值；（2）求函数f (x)的一个周期并证明；（3）若f (1)1=，求8
f (27)
+的值。
六、函数图像变换与图像应用
【例题15】（1）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数x
f (x)23=+的图像与函数g(x)的图像关于 对称，则函数g(x)= 。
（答案不唯一） （2）若函数f (x)a |x b |2=-+在区间[0,)+∞上是增函数，求实数a 、b 的取值范围。
【例题16】 方程x 2
+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x
的图像交点的横坐
标，若x 4
+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4
x i
)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x
的同侧，则实数a 的取值范围是 。
七、二次函数与分式函数
【例题17】已知函数2
f (x)x mx 2=++，x [1,2]∈-，求函数f (x)的最小值。
【例题18】已知函数2f (x)x ax a =--。
（1）若存在实数x ，使得f (x)0<，求实数a 的取值范围；（2）设g(x)|f (x)|=，g(x)在区间[0,1]上递增，求实数a 的取值范围。
【例题19】已知函数a 2
f (x)x x
-=+ （常数a R ∈）求f (x)在区间(0,3]上的最值。
八、含绝对值函数与分段函数 【例题20】画出函数2|log x|
1
f (x)2|x |x
=--
的大致图像。
【例题21】（1）设函数2x 1x 0f (x)2x
x 0⎧+≥=⎨<⎩，则1
f (10)-= 。
（2）设函数x 123x 0
f (x)lo
g x x 0
+⎧≤=⎨>⎩，若0f (x )3>，则0x 的取值范围是 。
【例题22】 对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩
⎨⎧≥b a b b
a a ＜,,，函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是（ ）
(A)0 (B)
12 (C) 3
2
(D)3 九、复合函数与抽象函数
【例题23】求函数212
()log (2)=-g x x x 的单调递增区间。
【例题24】已知f x ()的定义域为R +
，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，
若f ()84=，则f (2)= 。
【例题25】已知)(x f y =定义域为+R ，且对任意的x 、+∈R y ，恒有)()()(y f x f xy f +=，1>x 时，0)(<x f 。
（１）求)1(f 的值，并证明)()1
(x f x
f -=；（２）求证：在)(1x f y -=的定义域内恒
有)()()(2111211x f x f x x f ---⋅=+。
十、函数的应用性问题与综合性问题
【例题26】已知函数)(x f 的图象与函数21
)(++=x
x x h 的图象关于点A （0，1）对称.（1）求函数)(x f 的解析式（2）若)(x g =)(x f +x
a
，且)(x g 在区间（0，]2上的值不小于6，求实数a 的取值范围。
【例题27】 某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为()2
2
1500x x x H -
=，其中x 是产品销售的数量（0≤x ≤500）。
（1）若x 为年产量，y 表示利润，求y=f(x)的表达式。
(2)当年产量为何值时，工厂的利润最大，其最大值是多少？（3）当年产量为何值时，工厂有盈利？
十一、函数存在性问题与恒成立问题
【例题28】已知函数2ax 1
f (x)(a,b,c R,a 0,b 0)bx c
+=
∈>>+是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)2
5
<
.（1）试求函数f (x )的解析式；（2）问函数f (x )图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标;若不存在，说明理由。
【例题29】设22)(2
+-=ax x x f ，)(R a ∈。
（1）当R x ∈时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取
值范围；（2）当),1[+∞-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围。
【例题30】已知函数)(t f 对任意实数y x ,都有3)2(3)()()(+++++=+y x xy y f x f y x f ，1)1(=f （1）若t 为自然数，试求)(t f 的表达式；
（2）若t 为自然数,且4≥t 时，m t m mt t f 3)14()(2+++≥恒成立，求m 的最大值。