基本函数的图象及其基本性质、分段函数、复合函数、抽象函数的图象与

高考数学讲座——函数

主讲：奉贤中学 宋林荣

函数是中学数学最重要的内容之一（三大板块内容之一），是高中数学教材的一条主线，是历年高考命题的重点。函数的概念是以集合为基础，也是学习高等数学的基础。

函数的主要．．内容：函数的概念（三个要素：定义域、值域和对应法则）、基本初等函数的性质和图像。其中包括了三角函数和反三角函数，数列实质上也是函数，只是定义域为正整数集或正整数集的子集。

学习中，要求掌握的函数具体内容有：函数的定义域、值域、图像、奇偶性、单调性、周期性、最值、反函数、和（积）函数，以及相关的具体函数的图像及性质。

研究函数，主要从定义、图像、性质三方面加以研究。 高考相关内容点击： 一、函数与反函数

【例题1】 已知xy 0<，而且2

2

4x 9y 36-=。由此能否确定一个函数关系y f (x)=？如果能，

求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由。

【例题2】下列各对函数中，相同的是（ ） （A ）2

f (x)l

g x =和g(x)2lg x = （B ）x 1

f (x)lg

x 1

+=-和g(x)lg(x 1)lg(x 1)=+--

（C ）f (s)=

g(t)= （D ）f (x)x =和g(x)=【例题3】求下列函数的反函数：（1）2

y x 2x(x 1)=-≥；（2）x x

21

y (x 0)21

+=<-。

【例题4】下列函数中，反函数为其自身的函数是（ ） （A ）2

f (x)x ,x [0,)=∈+∞ （B ）3

f (x)x ,x (,)=∈-∞+∞

（C ）x

f (x)e ,x (,)=∈-∞+∞ （D ）1

f (x),x (0,)x

=∈+∞ 【例题5】函数x 3f (x)2x 1

+=

-，函数g(x)是函数1

y f (x 1)-=+的反函数，求g(3)的值。

二、函数的定义域与值域（最值） 【例题6】（1）已知函数x

x f -=

11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，求

M N 。

（2

）函数2()f x =的定义域为 。

【例题7

】求函数f (x)=

【变式题】求函数f (x)=定义域和值域。

【例题8】设1x

f (x)tx (t 0)t

-=+>，g(t)是f (x)在x [0,1]∈上的最小值，求g(t)的最大值。

三、和函数与积函数

【例题9】设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ）

(A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数

(C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数

四、函数的奇偶性与单调性

【例题10】（1）判断下列函数的奇偶性： ①x 2f (x)121=+-

；②g(x)|x 2|2

=+-。

（2）已知a 常数，函数x

2

f (x)a (x R)21

=-∈+为奇函数，求实数a 的值；

（3）已知(31)4,1()log ,1

-+<⎧=⎨

≥⎩a a x a x f x x x 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73

（D ）1[,1)7

【例题11】已知函数2

a

f (x)x (x 0,a R)x

=+

≠∈。

（1）当a 为何值时，函数f (x)为偶函数； （2）若函数f (x)在区间[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围。

【例题12】求下列函数的单调区间：（1）f (x)|x 1||2x 4|=-+-；（2）22x 1

f (x)x 1

+=-。

五、函数的对称性与周期性

【例题13】函数x 1

y x

+=的图像关于直线y x 1=-对称的图像为C ，求C 对应的函数的解析式。

【例题14】已知函数f (x)对任意的x R ∈，都有1

f (x)1f (x 2)

=-

+，且f (0)m(m 0)=>。（1）

求f (2)、f (4)、f (6)的值；（2）求函数f (x)的一个周期并证明；（3）若f (1)1=，求8

f (27)

+的值。

六、函数图像变换与图像应用

【例题15】（1）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数x

f (x)23=+的图像与函数g(x)的图像关于 对称，则函数g(x)= 。（答案不唯一） （2）若函数f (x)a |x b |2=-+在区间[0,)+∞上是增函数，求实数a 、b 的取值范围。

【例题16】 方程x 2

+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x

的图像交点的横坐

标，若x 4

+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4

x i

)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x

的同侧，则实数a 的取值范围是 。 七、二次函数与分式函数

【例题17】已知函数2

f (x)x mx 2=++，x [1,2]∈-，求函数f (x)的最小值。

【例题18】已知函数2f (x)x ax a =--。（1）若存在实数x ，使得f (x)0<，求实数a 的取值范围；（2）设g(x)|f (x)|=，g(x)在区间[0,1]上递增，求实数a 的取值范围。