三角形的边角转换-三角形边角转换公式
三角形中的边角关系
三角形中的边角关系三角形，作为几何学中最基本且最古老的存在之一，是我们理解空间结构的重要元素。
在众多的几何图形中，三角形以其独特的性质和关系，展示了丰富多样的形态和功能。
其中，边角关系是三角形属性中的核心内容之一。
我们来看三角形中的边与角的关系。
在任意一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这是三角形边长关系的基本定理，它告诉我们三角形的三边长度之间是相互制约的。
同时，三角形的三个内角之和等于180度，这是三角形角的关系的基本定理。
我们来看三角形中的特殊边角关系。
等边三角形是三边长度相等的三角形，其三个内角都是60度。
这是三角形中一种简单而特殊的形式，其中所有的边都相等，所有的角也都相等。
等腰三角形是两边长度相等的三角形，其两个内角相等。
这是三角形中另一种常见的形式，其中两边的长度相等，相应的两个角也相等。
在等腰直角三角形中，两边的长度相等，一个角是直角。
这种三角形的特性是，其斜边的长度是直角的边的两倍。
这种关系在解决几何问题时非常重要，例如在勾股定理的应用中。
我们还可以看到，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
这是勾股定理的表现形式，它揭示了直角三角形中边与边之间的深刻关系。
三角形的边角关系是几何学中的基本概念，它反映了三角形的基本属性和结构。
对这些关系的理解和掌握，不仅可以帮助我们解决各种几何问题，还可以帮助我们理解更复杂的几何结构。
这些知识将贯穿我们在数学和其他科学领域的学习和应用中。
一、测试目的本单元测试旨在检验学生对三角形中边角关系的理解与运用。
三角形中的边角关系是几何学中最基本的概念之一，理解并掌握这些关系对于进一步学习和解决几何问题具有重要意义。
二、测试内容本单元测试主要包括以下几个方面的内容：1、三角形内角和定理及其应用2、三角形边角关系的应用3、特殊三角形的性质与判定三、测试形式本单元测试采用闭卷、笔试形式，考试时间为60分钟，满分为100分。
三角恒等变换的公式
三角恒等变换的公式
三角恒等变换是指三角形的三条边和几何形状特性保持不变，但边上的相对边角距离发生变化的一种变换。
它是一种广泛使用的几何图形变换方法，经常用于存储和显示图像信息，也用在测量、定位和制图等方面。
三角恒等变换的公式是指三个变量的线性函数，这三个变量分别为三角形的三条边长度和相对角度，最常见的公式为：
A =
B * sin (C)
B = A * sin (C)
C = arcsin (A/B)
A，B，C分别表示三角形的三条边长度，arcsin表示反正弦函数，求取三角形的边长，只需用任意一条边的值和角度，即可计算出其它两条边的值。
同时，三角恒等变换还能够帮助绘制几何形状，可以很方便的求出多边形的中心，对图像的处理具有非常重要的作用。
三角恒等变换的公式可以用来提高图像的处理速度，减少存储空间，减少计算量，加快查找速度。
它是计算机图像处理领域非常典型的计算方式，可以用它把需要处理的图像拆分成多个三角形，并利用其特性进行编码，从而缩小处理时间，提高处理效率。
第六讲 直角三角形的边角关系
第六讲 直角三角形的边角关系【基础知识精讲】一、正弦与余弦，正切：1、 在ABC ∆中，C ∠为直角，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，⋅=∠=caA A 斜边的对边sin)90sin(cos )90cos(sin A A A A -︒=-︒= tan (90)A A =︒-五、同角三角函数：1cos sin 22=+A A 1tan tan =⋅B A六、坡比（坡度）：坡面的铅直高度h 与水平宽度L 的比叫做坡角的正切或坡比. 用字母i 表示，即i= tana = lhla h【例题巧解点拨】例1.计算：（1）02222289sin 88sin 3sin 2sin 1sin +++++变式训练：1. （2011苏州）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ）A.43B.34C.53D. 542．如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们 的角为α，则它们的重叠部分的面积为_________.例4.（2007北京） 在Rt ⊿ABC 中，︒=∠90C ，斜边c=5，两直角边的长a 、b 是关于x 的一元二次方程0222=-+-m mx x 的两个根，求Rt ⊿ABC 较小锐角的正弦值.米，长为1.2米，落在地面上的影子长为2.4米，则树高为_____米。
5.（2010咸宁）如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条 平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点 分别在四条直线上，则sin α= ．A B CD α1l 3l 2l4lE6.（2012福州）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是 .（结果保留根号）四、解答题：9.（2012•湘潭）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，请你计算车位所占的宽度EF约为多少米？（，结果保留两位有效数字．）DA望子成龙学校家庭作业姓名：_______一、选择、填空题：1.（2010常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanB= .2.（2010温州）如图，已知一商场自动扶梯的长z为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于( )。
直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系
直角三角形的角关系:任意两条边的长度之和大于第三条边，任意两条边的长度之差小于第三条边。
斜边的平方等于两条直角边的平方和。
直角三角形的判断:有一个直角的三角形是直角三角形；两个锐角互补的三角形是直角三角形；如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形的性质:1。
角的性质:直角三角形的两个锐角是互补的。
2.边的性质:直角三角形的三条边满足勾股定理，这是直角三角形最重要的性质。
3.斜边上的高度:直角三角形的斜边上的高度高于两个直角除以斜边的乘积，这是一种很常见的求高度线的方法。
4.斜边上的中线:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，常用于几何计算和证明。
5、一副直角三角形包含两个特殊的三角形，含30°角的直角三角形和等腰直角三角形，在含有30°角的直角三角形中，30°角所对应的直角边是斜边的一半。
6、HL定理，判断两个直角三角形全等的特殊定理，本质是全等三角形的SSS定理，注意本定理只能在直角三角形中才能运用。
三角形的边角关系
隨堂練習
（3）已知有一個等腰三角形，其三邊長 分別為5、6、x，則 x ＝？
答：5，6
三角形任意兩邊差小於第三邊
c＋a＞b 移項 b－a＜c
a＋b＞c
c－b＜a
b＋c＞a
a－c＜b
A
c
b
B
C a
隨堂練習
（3）已知有長度分別為1、2、3、4、 5、6 的竹籤各一支，試問用這 些竹籤可排出幾種不同形狀的三 角形？
答：2、3、4；2、4、5；2、5、6； 3、4、5；3、4、6；3、5、6； 4、5、6 共 7 種
隨堂練習
（3）已知有長度分別為1、2、3、4、5、 6、7、8、9、10 的竹籤各一支， 試問用這些竹籤可排出幾種不同形狀 的三角形？
答：共 50 種
等腰三角形兩底角相等
【已知】等腰△ABC中，AB＝AC
§3-4三角形的邊角關係
重點：三角形邊角間的不等關係 （1）三角形任意兩邊和大於第三邊 （2）三角形任意兩邊差小於第三邊 （3）三角形中若有兩邊不相等，則大邊對大角，
小邊對小角 （4）等腰三角形兩底角相等 （5）三角形中若有兩邊不相等，則大角對大邊，
小角對小邊 （6）樞紐定理
三角形任意兩邊和大於第三邊
A
D
大
小
B 大 C E 小F
隨堂練習
已知△ABC與△DEF中，AB＝DE， AC＝DF （1）若∠A＝∠D，則BC EF
（填＞、＝、＜） （2）若∠A＞∠D，則BC EF
（填＞、＝、＜） 答：（1）＝
（2）＞
隨堂練習
直角三角形中，哪一邊最長？為什麼？
答：斜邊 因為直角為直角三角形的最大角， 所以直角所對的邊（斜邊）為最大邊。
三角形全等之边角对应关系
三角形全等之边角对应关系
介绍
在几何学中，当两个三角形的对应边和对应角都相等时，我们称这两个三角形是全等的。
全等三角形在几何学中具有重要的性质和应用。
边角对应关系
全等三角形的边和角之间存在着一一对应的关系。
下面是全等三角形的边角对应关系：
- 对应边：两个全等三角形的对应边相等，即分别相等的边互为对应边。
- 对应角：两个全等三角形的对应角相等，即分别相等的角互为对应角。
应用举例
全等三角形的边角对应关系在解决几何题目中通常具有重要的应用。
以下是一些应用举例：
1. 通过边角对应关系可以求解未知边长或角度的问题。
已知两个全等三角形，如果其中一个的边长或角度已知，可以通过对应边或对应角的相等关系来求解另一个三角形的边长或角度。
2. 边角对应关系也可以用来证明两个三角形全等。
如果已知两个三角形的对应边和对应角相等，可以利用边角对应关系来证明这两个三角形是全等的。
3. 通过边角对应关系可以推导出其他几何性质。
全等三角形的边角对应关系可以用来证明其他几何定理或性质，例如角平分线定理、相似三角形的性质等。
总结
全等三角形的边角对应关系是几何学中重要的概念，它可以帮助我们解决几何问题，证明定理和推导其他几何性质。
了解和应用边角对应关系可以提高我们在几何学中的解题能力和理解能力。
以上是关于三角形全等之边角对应关系的简要介绍。
希望对您有所帮助！。
正,余弦定理公式
正，余弦定理公式正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
正弦定理 (Sine Rule)在任意三角形ABC 中，如果a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则正弦定理可以表示为：R Cc B b A a 2sin sin sin === 其中，R 是三角形外接圆的半径。
这个定理可以用于解决以下问题：1.已知三角形的两角与一边，解三角形2.已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形3.运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
余弦定理 (Cosine Rule)余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。
余弦定理可以用来找到三角形中任意一边的长度，如果知道该边所对角的大小以及三角形的其他两边。
在三角形ABC中，余弦定理可以表示为：c2=a2+b2-2abcos C同样的规则适用于其他的边和角，即：a2=b2+c2-2abcos Ab2=a2+c2-2abcos B性质：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosAb^2= a^2 + c^2 - 2·a·c·cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosCcosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c)cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。
解直角三角形的边角关系
解直角三角形的边角关系解直角三角形的边角关系-解直角三角形常用公式-直角三角形的判定方法-手机版移动版一、直角三角形的判定方法判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若a²+b²=c²，则以a、b、c为边的三角形是以c 为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。
那么判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
判定7：一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。
（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。
）二、解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
三、解直角三角形——锐角三角形函数（1）互余角的三角函数值之间的关系：若∠ a+∠ b=90°，那么sina=cosb或sinb=cosa（2）同角的三角函数值之间的关系：①sin^2a+cos^2a=1②tana=sina/cosa③tana=1/tanb④a/sina=b/sinb=c/sinc（3）锐角三角函数随角度的变化规律：角a的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。
直角三角形的定义有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形（rt△）（英文：right triangle）。
四、解直角三角形概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
解三角形常用定理及公式
解三⾓形常⽤定理及公式正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同⼀个三⾓形中是恒量，R是此三⾓形外接圆的半径）。
变形公式（1）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（2）sinA：sinB：sinC=a：b：c（3）asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB（4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R（5）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC注：勾股定理其实是余弦定理的⼀种特殊情况。
变形公式cosC=(a2+b2-c2)/2abcosB=(a2+c2-b2)/2accosA=(c2+b2-a2)/2bc海伦-秦九韶公式p=(a+b+c)/2（公式⾥的p为半周长）假设有⼀个三⾓形，边长分别为a、b、c，三⾓形的⾯积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ⾼中数学基本不⽤。
已知三条中线求⾯积⽅法⼀：已知三条中线Ma,Mb,Mc，则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ；⽅法⼆：已知三边a，b，c ；则S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]；其中：p=(a+b+c)/2 ；解三⾓形知识点汇总1．正弦定理：在⼀个三⾓形中,各边和它的所对⾓的正弦的⽐相等.形式⼀：?(解三⾓形的重要⼯具)形式⼆： (边化正弦)形式三：（⽐的性质）形式四：（正弦化边）2.余弦定理：三⾓形任何⼀边的平⽅等于其他两边的平⽅的和减去这两边与它们夹⾓的余弦的积的两倍.形式⼀：形式⼆：?3．（1）两类正弦定理解三⾓形的问题：1、已知两⾓和任意⼀边，求其他的两边及⼀⾓.2、已知两⾓和其中⼀边的对⾓，求其他边⾓.（2）两类余弦定理解三⾓形的问题：1、已知三边求三⾓.2、已知两边和他们的夹⾓，求第三边和其他两⾓.4．判断三⾓解时，可以利⽤如下原理：5. 三⾓形⾯积公式：设?则在三⾓形中⼤边对⼤⾓，反之亦然.6. 判定三⾓形形状时，可利⽤正余弦定理实现边⾓转化，统⼀成边的形式或⾓的形式.7．解题中利⽤ABC?中ABC????，以及由此推得的⼀些基本关系式x进⾏三⾓变换的运算，如：8. 诱导公式和三⾓恒等变换在三⾓函数中总是最基础的.。
正弦定理和余弦定理详细讲解
高考风向1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识梳理1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，解决不同的三角形问题．2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解[难点正本 疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A<sinB,cosA<sinC·2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b .解析：sin sin a cA C=， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===， ∴ 180()105B A C =-+=， 又sin sin b cB C=， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯+====⨯=+． 总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。
三角形边角关系
三角形边角关系
三角形边角关系:
1. 三角形边角关系是指由三条边、三个角组成一个三角形，三角形边角之间有着一定的关系。
2. 三角形的定理：角平分线相交于三角形的内心，且该点距离三条边的距离均相等。
3. 余弦定理：在三角形中，其中有两边和临街角的余弦之积是其外边的平方。
4. 三角形相似定理：两个三角形若存在一对对应顶点两两对应相等，则两个三角形相似。
5. 海伦-秦九韶定理：在任意三角形中，三边之和等于周长的一半。
6. 等腰三角形边角关系：可以称为金字塔定理。
即两等腰三角形的对边和相应的外角的乘积之和，等于两个等腰三角形的底边及其外角的乘积。
7. 直角三角形边角关系：一个直角三角形的两条斜边的乘积等于该直角三角形的底边长度的平方。
8. 三角形外接圆边角关系：三角形的外接圆半径等于三边之和与周长之比的一半。
三角形的边角性质
三角形的边角性质甲内容提要三角形边角性质主要的有：1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。
用式子表示如下：a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+⇔＜推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 1803. 边与角的关系① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。
② 在直角三角形中，△ABC 中∠C=Rt ∠222c b a =+⇔(勾股定理及逆定理) △ABC 中⇔⎭⎬⎫=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中⇔⎭⎬⎫=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 乙例题例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。
(1988年泉州市初二数学双基赛题)解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧<->>51135.1a a ∴1.5<a<5答当1.5<a<5时，三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形例2.如图A B C DAB=x ，AC=y, AD=z 若以AB 和CD 分别绕着点B 和点C 旋转，使点A 和D 重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？① x<2z , ②y<x+2z , ③y<2z 解由已知AB=x, BC=y －x, CD=z －x 要使AB ，BC ，CD 组成三角形，必须满足下列不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+-->-+->-+x y z x y x y y z x y z x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧>>+>x z y z x z y 2222∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<>222z x z x y z y 答y<x+2z 和y<2z 必须满足。
解三角形中的边角互化，就是这么简单！
解三⾓形中的边⾓互化，就是这么简单！⼩数⽼师说先给⼤家通告⼀个好消息，⾼中数学终于具有原创功能了，以后⼤家可以随时在下⾯评论了哈！感谢平台上的各位家长，同学以及⽼师的帮助与⽀持，以后⼩数⽼师还是会⼀如既往的原创好内容，帮助⼤家⼀起成长！谢谢！⾼中阶段的解三⾓形⼀共有3个定理，正弦定理，余弦定理与三⾓形的⾯积公式，没有三⾓函数的公式多，但是考试时⼀般会考察这3个定理的变形，所以，同学们必须对这3个定理⾮常熟悉，才能解题。
变形中，最常⽤的就是“边⾓互化”，下⾯⼩数⽼师重点来介绍⼀下这个应⽤。
例1、（2016桂林⼀模）在△ABC中，⾓A、B、C的对边分别是a,b,c，，，若b∈[1,3]，则c的最⼩值为（）A、2B、3C、D、分析：从题⽬条件看，第⼀个式⼦很明显要进⾏转化，可以发现此式是关于“边”的齐次式，所以可以把边化成⾓，也就是a变为sinA，但是，变完之后就会发现，式⼦⿇烦，⽽且我们也没见过，，式⼦越来越复杂，所以放弃；继续观察，等号左边的分式分⼦分母都含有这⼏个⾓的正弦，但是并不是齐次式，分⼦是1次，分母是2次，能统⼀都变了吗？我们可以稍微试⼀下，先把分⼦上的正弦变为对应的边，分母只能变⼀个，会发现式⼦变为或者是，那到底选择哪个呢？我相信同学们已经有判断了，等号左边的分⼦与余弦定理很像，再联系⼀下余弦定理，我们知道，肯定选择前⾯的式⼦，往余弦定理去扣就可以了。
答案：选择B.注：齐次式，齐次”从字⾯上解释是“次数相等”的意思。
例2、（2016重庆校级模拟）在△ABC中，内A、B、C的对边长别是a,b,c，已知，且sin(A-C)=2cosAsinC，则b=( )A、6B、4C、2D、1分析：本题有2个式⼦，两个式⼦都不是齐次式，好像不能变形，所以，很多同学就没有了思路，但是，第2个式⼦是可以进⾏化简的，左边的式⼦进⾏展开即可，化简为：SinAcosC-cosAsinC=2cosAsinC，所以sinAcosC =3 cosAsinC，此时就可以进⾏边⾓互化了，把正弦值化为边，余弦值也化为边，可以得到边之间的关系，，化简可得：，与第⼀个式⼦联⽴，可以得出b值。
直角三角公式大全
直角三角公式大全在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首位顺次相接的图形，且有一个内角为90°的三角形，叫做直角三角形（简称 ‘Rt △’）。
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
AB C性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5：30度的锐角所对的直角边是斜边的一半。
直角三角公式大全:1.勾股定理在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边（最长边，与直角相对）的平方。
如果直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，则有： a2+b2=c2。
2.边角关系：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
此外，两个锐角互为余角（两角相加等于90°）3.面积公式：直角三角形的面积等于两条直角边的乘积除以2，即S=21ab 。
也可以表示S=21bh,其中b 是底边，h 是对应底边的高。
4.三角函数：三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
对于直角三角形中的任意一个非直角 (设为θ ) ,可以定义以下几种基本的三角函数:（1）正弦( sine ):对边与斜边的比例,记作sin(θ) =斜边对边=ca (假设θ对应于边长为a 的角)（2）余弦(cosine):邻边与斜边的比例,记作cos(θ)=斜边邻边=cb （3）正切(tangent) :对边与邻边的比例,记作tan(θ)=邻边对边=b a。
高三第一轮复习边角互化问题及三角形的形状判定
边角互化问题及三角形的形状判定【提纲挈领】主干知识归纳ABC ∆的6个基本元素：C B A c b a ,,,,,.其中三内角C B A ,,所对边边长分别为c b a ,,.1．正弦定理及其变式R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是ABC ∆的外接圆的半径）变式1：C R c B R b A R asin 2,sin 2,sin 2===变式2：C B A c b a sin :sin :sin ::=变式3：Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin===2．余弦定理及其变式A bc c b a cos 2222-+=，B ca a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=. 变式：abc a b C ac b a c B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=.3.三角形中的一些重要结论 （1）内角和定理及其相关结论：π=++C B A ，)cos(cos ),sin(sin C B A C B A +-=+=，.2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A +=+= （2）大边对大角，大角对大边，即B A B A b a sin sin >⇔>⇔>.（3）A 为锐角00cos 1222>-+⇔>≠⇔a c b A ；A 为钝角00cos 1222<-+⇔<≠-⇔a cb A .方法规律总结1.解三角形问题边角互化：（1）若已知等式（或不等式）中左右均有齐次边，一般利用正弦定理将边化为角； （2）若已知等式（或不等式）中左右均有角的正弦，也可利用正弦定理将角化为边； （3）遇到222,,c b a等，一般用余弦定理求角（范围）.2判定三角形形状主要有下面两种途径：（1）“角化边”：把已知条件（一般是边的一次式、角的正弦或余弦）转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的关系，从而判断三角形形状；.（2）“边化角”：把已知条件（一般是边的二次式或两边之积、角的余弦）转化为内角的三角函数关系，通过三角恒等变换得到内角的关系，从而判断三角形形状.【指点迷津】【类型一】角化边【例1】在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 ( )A ．（0，6π] B ．[6π，π）C ．（0，3π] D ．[3π，π） 【解析】:由题意正弦定理22222222211cos 023b c a a b c bc b c a bc A A bc π+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤【答案】C【例2】【2015北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【例3】在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.求证:a,b,c 成等差数列.[解析]：由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B ，因为sinB 不为0,所以sinA+sinC=2sinB ，再由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c 成等差数列.【类型二】边化角【例1】在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b .则角A= . 【解析】：利用正弦定理将条件化为B B A sin 3sin sin 2=,且),2,0(π∈B所以,0sin ≠B 所以23sin =A ,且),2,0(π∈A 所以3π=A .答案：3π【例2】[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .【解析】：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.【例3】[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．【解析】：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立，∴cos B 的最小值为12.【类型三】三角形的形状判定【例1】（2012年上海理）在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定[解析]: 由条件结合正弦定理,“角化边”得222c b a <+,再由余弦定理,得0cos 2222<=-+abc b a C ,所以C 是钝角,选C. 答案：C【例2】（2013年陕西理）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为（ ） (A) 锐角三角形(B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定【解析】：由条件结合正弦定理,“边化角”得A B C C B 2sin cos sin cos sin =+，再由三角恒等变换得A A C B 2sin sin )sin(==+，所以1sin =A ，所以 A 是直角,选B.【答案】B【例3】在ABC ∆中，若)sin()cos(21)sin(C A C B B A +++=-，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．不含060等腰三角形D ．钝角三角形【解析】：由条件可得0901sin )sin(sin cos 21)sin(=⇔==+⇔-=-C C B A B A B A,所以选B. 答案：B【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1. 在ABC ∆中，若5:4:3sin :sin :sin =CB A ，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【解析】：由5:4:3sin :sin :sin =C B A 及正弦定理得a:b:c=3:4:5，由余弦定理得0432543cos 222=⨯⨯-+=c ，所以角C 为直角.又易知两直角边不相等，选B. 答案：B.2.在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，则ABC ∆一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】：从角考虑：⇔=+⇔=C B C B C B A cos sin 2)sin(cos sin 2sin0)sin(0sin cos cos sin =-⇔=-C B C B C B ,所以C B =,选A.角化边：c b c b abc b a b a C B A =⇔=-⇔-+⨯=⇔=022cos sin 2sin 22222. 答案：A3．在ABC ∆中，若2cos2cos2cosC c B b A a ==，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形【解析】：由正弦定理“边化角”和二倍角公式得：⇔==2cossin 2cos sin 2cos sin C CB B A A 2sin 2sin 2sinCB A ==，又)2,0(2,2,2π∈C B A ，所以2A =2B =2C,所以A=B=C. 答案：D 4. （2013年课标Ⅰ文）已知锐角ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =（）A ．10B ．9C ．8D ．5[解析]：由223cos cos 20A A +=得251cos 252=A ，又A 为锐角，所以51cos =A ，由余弦定理有bb 127651222-+=0651252=--⇔b b ，解得5=b . 【答案】D5．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= （ ） A.6π B.3πC.23π D.56π【解析】：将条件用正弦定理“边化角”得B A B C C B A sin 21cos sin sin cos sin sin =+，进而有21sin =B，又a b >，所以=B 6π【答案】A二、填空题6．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．[解析]： ∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c .又∵b －c ＝a 4，∴a ＝2c ，b ＝32c ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝94c 2＋c 2－4c 22×32c ×c＝－14. 答案：－147．（2013年安徽理）设ABC ∆的内角,,A B C所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【解析】:由题意正弦定理有b a 53=，所以a b 53=，又2b c a +=，所以a c 57=，由余弦定理有 21)56()2515(2cos 22222-=÷-=-+=a a ab c a b C ，又),0(π∈C ，所以32π=C .【答案】32π=C8．[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________．【解析】：利用正弦定理，将b cos C ＋c cos B ＝2b 化简得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝2sin B ．∵sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝2sin B ，利用正弦定理化简得a ＝2b ，故ab＝2.答案：2三、解答题 9．在ABC∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a、b、c，已知222a c b-=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b.【解析】法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 法二:由余弦定理得: 2222cos ac b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠.所以2cos 2b c A =+…………………………………①又sin cos 3cos sin A CA C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bBC c=，故4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =. 答案：4b =10. （2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B. 【解析】：由cos （A -C ）+cosB=32及B=π-（A+C ）得cos （A -C ）-cos （A+C ）=32，cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32,sinAsinC=34.又由2b =ac 及正弦定理得2sin sin sin ,B A C =故23sin4B =，所以3sin B =或3sin B=（舍去），于是 B=3π 或 B=23π，又由2b ac =知a b ≤或c b ≤，所以B =3π. 答案：B=3π【二级目标】能力提升题组一、选择题1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab( ) （A ）23 （B ）22（C 3（D 2[解析]：将条件用正弦定理“边化角”得A A B B A sin 2cos sin sin sin 22=+，进而有A B sin 2sin =，所以2sin sin =A B ，再由正弦定理“角化边”得2sin sin ==ABa b .答案：D2．已知C a b sin =，B a c cos =，则ABC ∆一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】:“边化角”：B A B A B A C B a c cos sin )sin(cos sin sin cos =+⇔=⇔=0sin cos =B A ，又因为0sin ≠B ，所以0cos =A ，所以2π=A ；C A B C a b sin sin sin sin =⇔=，又2π=A ，所以B=C ，综上ABC ∆是等腰直角三角形.“角化边”：2222222cos a c b ac b c a a c B a c =+⇔-+⨯=⇔=，所以2π=A ，后略.【答案】D 二、填空题3．(2016年上海9)已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________[解析]：不妨设7,5,3===c b a ，则1433sin 1413752375cos 222=⇒=⨯⨯-+=A A ，由正弦定理有3373314sin 2=⇒==R A a R.【答案】337． 三、解答题4. (2009湖南卷理)在ABC ∆，已知2233AB ACAB AC BC ⋅=⋅=，求角A ，B ，C 的大小.【解析】：设,,BC a AC b AB c ===,由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos 3bc A bc =，所以3cos 2A =， 又(0,),A π∈因此6A π=，233AB AC BC ⋅=得23bc a =，于是23sin sin 3C B A ⋅=，所以53sin sin()6C C π⋅-=，133sin (cos )2C C C ⋅=，因此22sin cos 233,sin 2320C C C C C ⋅+=-=，既sin(2)03C π-=，由A=6π知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===. 【答案】2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===. 【高考链接】1. （2010上海文数18）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC（A ）一定是锐角三角形 （B ）一定是直角三角形（C ）一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 [解析]：由sin :sin :sin 5:11:13A B C=及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角 答案：C2. （2016年四川理17）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265bc a bc +-=，求tan B .【解析】：（Ⅰ）根据正弦定理，可设===k (k >0)．则a =k sin A ，b =k sin B ，c =k sin C ．代入+=中，有+=，变形可得sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B )．在△ABC 中，由A +B +C =π，有sin(A +B )=sin(π–C )=sin C ， 所以sin A sin B =sin C ．（Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=bc ，根据余弦定理，有cos A ==．所以sin A ==．由（Ⅰ），sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B ，所以sin B =cos B +sin B ，故tan B ==4．3. （2016全国I ，17）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若7=c ，ABC ∆33，求ABC ∆的周长． 【解析】：（1）“边化角”，由条件可得C A B B A C sin )cos sin cos (sin cos 2=+21cos sin )sin(cos 2=⇔=+⇔C C B A C ，所以3π=C .“角化边”可得⇔=-+⨯+-+⨯⨯-+⨯c bc a c b b ca b a c a ba c a b )22(22222222222 ba c a b c c ba c a b =-+⇔=⨯-+222222，所以212cos 222=-+=ab c a b C ，所以3π=C .(II)由已知，233sin 21=C ab ，又3π=C ，所以6=ab ，由已知及余弦定理得7cos 222=-+C ab b a ，故1322=+b a ，从而525)(2=+⇒=+b a b a ，所以ABC ∆的周长为75+.。
直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一条边与另外两条边直角相交。
在直角三角形中，边角关系非常重要，它们描述了三角形的性质和特点。
本文将详细介绍直角三角形中的边角关系。
首先，我们来讨论直角三角形中的两个锐角，也就是除了直角以外的两个角。
这两个锐角的和等于90度，因为三角形中所有角的和为180度。
所以我们可以得到一个重要的关系式：锐角1 + 锐角2 = 90度。
此外，直角三角形中的两条直角边（非斜边）之间也存在一些特殊的关系。
这两条直角边分别称为直角边1和直角边2。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。
换句话说，斜边的长度等于直角边1的长度的平方加上直角边2的长度的平方的平方根。
这个关系式可以表示为：斜边的长度 = sqrt(直角边1的长度^2 + 直角边2的长度^2)。
除了以上提到的关系外，直角三角形中的边角关系还包括边长比和三角函数。
由于直角三角形中的一个角是90度，所以可以使用三角函数（正弦、余弦、正切）来描述角与边的关系。
在直角三角形中，角A、B、C分别对应三条边a、b、c。
根据三角函数，我们可以得到以下边角关系：1. 正弦定理：sin(A) = a / c，sin(B) = b / c，sin(C) =a / b；2. 余弦定理：cos(A) = b / c，cos(B) = a / c，cos(C) =b / a；3. 正切定理：tan(A) = a / b，tan(B) = b / a，tan(C) =a / b。
除了边角关系外，直角三角形中还有一些重要的性质。
例如，直角三角形中的任意两条边（包括斜边和直角边）的比值都是有理数，即可以表示为两个整数的比。
这是由于直角三角形中的边长之间存在一些整数关系，例如3-4-5三角形、6-8-10三角形等。
综上所述，直角三角形的边角关系包括锐角的和为90度、直角边之间的关系、边长比和三角函数。
这些关系不仅可以帮助我们计算直角三角形的边长和角度，还可以应用于日常生活和实际问题中。
三角形的边角关系
三角形的邊角關係一、重要定理的證明：(PART B)(1)三角形的任兩邊和必大於第三邊(三角形的任兩邊差必小於第三邊)(2)同一三角形中，大邊對大角；小邊對小角。
(逆性質：同一∆中，大角對大邊；小角對小邊)已知：∆ABC中，AB>AC求證：∠C>∠B(3)樞紐定理：兩∆中，若有二組對應邊相等，且夾角愈大時，第三邊愈長樞紐逆定理：兩∆中，若有二組對應邊相等，且第三邊愈長時，夾角愈大(4)一圓中最長的弦為該園的直徑已知：AB為圓O之直徑，CD為圓上不為直徑的弦求證：AB>CD(5)同一圓中，圓心角越大，則弦越長。
(逆性質亦成立)已知：如圖，A、B、C、D在圓上，且∠AOB>∠COD求證：AB>CD(6)已知：∆ABC中，P為內部一點求證：PB+PC<AB+AC(7)DABCAB CPPL已知：P 在直線L 外，PH ⊥L求證：PH 為P 到直線L 之最短距(8)若∆ABC 之最長邊為BC ，當AB 2+AC 2>BC 2則∆ABC 為銳角∆ 當AB 2+AC 2<BC 2則∆ABC 為鈍角∆ 已知：∆ABC 中，BC 為最長邊，若AB 2+AC 2>BC 2 求證：∆ABC 為銳角三角形二、幾何證明題：(PART B)例1.已知：∆ABC 中，P 為內部一點求證：12 周長<PA+PB+PC<周長特例1.已知：∆ABC 為正∆，P 為內部一點求證：12 周長<PA+PB+PC<23 周長練1.已知：四邊形ABCD 中，對角線AC,BD求證：12 周長<AC+BD<周長例2.已知：P 為圓內一點，P 在直徑AB 上 求證：PA 為P 到圓上點的最短距 PB 為P 到圓上點的最長距例3.已知：A,B在直線L的同側求作：L上一點P，使得PA+PB最短做法：證明：例4.已知：∆ABC中，AD為∠BAC的平分線且AB>AC求證：①BD>CD ②∠ADB>∠ADC練2.已知：P為圓外一點，OP交圓O於A,B 求證：PA為P到圓上點的最短距PB為P到圓上點的最長距練3.已知：A,B在直線L的異側，且A,B至L不等距求作：L上一點P，使得|PA-PB|最長做法：證明：練4.已知：∆ABC中，AD為∠BAC的平分線且AB>AC求證：AB-AC>PB-PC例5.已知：∆ABC中，AD為BC之中線，且AB>AC求證：①∠ADB>∠ADC ②∠CAD>∠BAD③AB+AC>2AD練6.已知：如圖，BD=DE=EC求證：AB+AC>AD+AE例 6.設AT是∆ABC中∠A的平分線段，AM,AN分別是BC上的中線及高，試討論這三線段的長度大小關係。
1.三角形的边角转换 (2)
第63课 三角形的边角转换
基本方法：
通常可以利用正余弦定理进行边角转换，之后结合诱导公式（通常与三角形内角和有关），两角和差公式，二倍角公式等进行化简.
一、典型例题
1. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且cos cos cos 2b C c B B +.求B .
2. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=，证明：2A B =.
二、课堂练习
1. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos a c B b C -=，求角B 的大小.
2. 已知ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()()()sin sin sin sin a c A C b A B -+=-.求角C .
三、课后作业
1. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1cos 2
a C c
b -=，求角A 的大小. 2. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b
c ，且cos cos 2cos cos b C c B a A a A
+=，求角A . 3. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin B C A B B C A =++=-m n ，且⊥m n .求角C 的大小.。
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三角形的边角转换
基本方法：
通常可以利用正余弦定理进行边角转换，之后结合诱导公式（通常与三角形内角和有关），两角和差公式，二倍角公式等进行化简.
一、典型例题
1. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且cos cos cos 2b C c B B +.求B .
2. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=，证明：2A B =.
二、课堂练习
1. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos a c B b C -=，求角B 的大小.
2. 已知ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()()()sin sin sin sin a c A C b A B -+=-.求角C .
三、课后作业
1. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1cos 2a C c b -=，求角A 的大小.
2. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
cos cos 2cos cos b C c B a A a A +=，求角A . 3. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin B C A B B C A =++=-m n ，且⊥m n .求角C 的大小.。