专题四 第2讲 概 率

第2讲 概 率

[做真题]

1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )

A ．0.3

B ．0.4

C ．0.6

D ．0.7

2．(2019·高考全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )

A.23

B.35

C.25

D.15

3.(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )

A.14

B.π8

C.12

D.π4

4.(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16

B.14

C.13

D.12

5.(2018·全国Ⅰ卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )

A.p 1＝p 2

B.p 1＝p 3

C.p 2＝p 3

D.p 1＝p 2＋p 3

6.(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.

7.(2019·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

(1)

(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由.

8．(2017·高考全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

[明考情]

1．以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用，同时渗透互斥事件、对立事件．

2．概率常与统计知识结合在一起命题，主要以解答题形式呈现，中档难度．

几何概型(基础型)

[知识整合]

几何概型的概率公式

P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.

求解几何概型的概率应把握的两点

(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．

(2)寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

[考法全练]

1．(2019·福建五校第二次联考)在区间[0，2]上随机取一个数x ，使sin π2x ≥3

2的概率为

( )

A.1

3 B.12 C.23

D.34

2．(2019·广东六校第一次联考)在区间[－π，π]上随机取两个实数a ，b ，记向量m ＝(a ，4b )，n ＝(4a ，b )，则m·n ≥4π2的概率为( )

A ．1－π8

B ．1－π

4

C ．1－π

5

D ．1－π

6

3．(2019·福建省质量检查)某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖．规定每位顾客有3次抽奖机会，但中奖1次就停止抽奖．假设每次抽奖相互独立，则顾客中奖的概率是( )

A.427

B.13

C.59

D.19

27

探究提高 1.几何概型适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积时，应考虑使用几何概型求解.

2.求解关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.

易错警示 在计算几何概型时，对应的是区间、区域还是几何体，一定要区分开来，否则结论不正确.

【对点练习】

1.若函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧e x ，0≤x <1，

ln x ＋e ，1≤x ≤e 在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e

的概率是( ) A.1

e

B.1－1e

C.e 1＋e

D.11＋e

2.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin π

4x

的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示).其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.

古典概型(综合型)

[知识整合]

古典概型的概率

P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.

古典概型的两个特点

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．

[典型例题]

(2019·安徽五校联盟第二次质检)一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均

有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：

A 类轿车

B 类轿车

C 类轿车

舒适型 100 150 z 标准型

300

450

600

类轿车10辆．