13.4课题学习最短路径问题(2)
13.4 课题学习 最短路径问题2教案
动 设计意图题，并观 察图片， 获 得 感 活动 1：思考画图、得出数学问题。
追问 2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， “13.4 课题学习 最短路径问题教学目标1.目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问 题中的作用；感悟转化思想.2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题教学过程教学内容与教师活动学生活一、创设情景 引入课题师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段 学 生 思 最短”、 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线 考 教 师 展 示 问 段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活 中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探 究数学史中著名的“将军饮马问题”．（板书）课题性认识.二、自主探究 合作交流 建构新知 追问 1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 动手画 将 A ，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直 线．直线观察口答B并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识： 动手连。
Al从生活中问 题出发，唤 起学生的学 习兴趣及探 索欲望.为学生提供 参与数学活 动的生活情 境，培养学 生的把生活 问题转化为 数学问题的 能力.经历观察 -B （ A上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和 由.C 。
A（1）从 A 地出发，到河边 l 饮马，然后到 B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与 A ， 连 接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地 到饮马地点，再回到 B 地的路程之和； 3）现在的问题是怎 样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点．设 C 为 直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C 在 l 的 什么位置时，AC 与 CB 的和最小（如图）．线观察口答 画图 - 说理 等活动，感 受几何的研 究方法，培 养学生的逻 辑思考能 力.独立思 考合作交 流强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”B汇报交活动 2：尝试解决数学问题 流成果， 问题 2 ： 如图，点 A ，B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线 书写理l 最小？追问 1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条达到轴对称 知识的学以 致用注意问题解 决方法的小 结：抓对称 性来解决件的点 B ′吗？B ′思 考 感 悟活动 1 中 的 将 军 饮 马 问题，把 刚 学 过 的 方 法 及时进行学 法指导，注 重方法规律 的提炼总 结.B问题 3 如图，点 A ，B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和 最小？l经 验 迁 移过来学 生 独 立完成，集 体 订 学以致用， 正 及时巩固BA′由轴对称的性质知，AC师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相 补充如果学生有困难，教师可作如下提示 作法：（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′；（2）连接 AB ′，与直线 l 相交于点 C ，则点 C 即为所求． 如图所示：B问题 3 你能用所学的知识证明 AC +BC 最短吗？教师展示：证明：如图，在直线 l 上任取一点 C ′（与点 C 不重合），连接 AC ′，BC ′，B ′C ′．BBC =B ′C ，BC ′=B ′C ′． ∴ AC +BC l= AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′．学 生 独立完成， 集 体 订 正注意问题解 决方法的小 结：抓轴对 称来解决经历观察 - 画图 - 说理 等活动，感 受几何的研 究方法，培 养学生的逻 辑思考能 力.ACCl如何在 BC 上找到一点 R ，使 PR 与 QR 河岸和最小”． Q AB C山 P互 相 交流 解 题 提炼思想方 经验 法：轴对称，线段和最短方法提炼：B将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”. 问题 4 练习 如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请画出旅游船的最短路径．B基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接 PQ ， 线段 PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一 条直线 BC ，这样问题就转化为“点 P ，Q 在直线 BC 的同侧，的 问题5 造桥选址问题 如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN.乔早在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）大桥独 立 完成，交流 体会转化思 经验 想，观 察 思考，动手 体验轴对称 画图，用 知识的应用 轴 对 称 知 识 进 行解决教师：上述方法都能做到使Ｎ1、2两种方法改变了.怎样调整呢？A或B分别向下或BAＭA思维分析：1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？B思维点拨：改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.AM+MN+BN不变呢？请检验.把上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?问题解决：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN如图所示：A各抒己见动手体验合作与交流动手作图交流体体验转化思会想M容与教师活动NＮ１方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”A1教学内 Ｍ１三、巩固训练1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题， 只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点 A ，B 分别是直线 l 异侧的两个点，在 l 上找一个点 C ，使 CA ＋CB 最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点．学生活动设计意图(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题， 只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个 点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点 A ，B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个 点 C ，使 CA ＋CB 最短，这时先作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′，则点 C 是直线 l 与 AB ′的交点．巩固所学知学 生 独 识，增强学 立 思 考 生应用知识 解 决 问 的能力，渗 题 透转化思想.2.如图，A 和 B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一 座桥 MN 和 PQ.桥分别建在何处才能使从 A 到 B 的路径最短？ （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ独立思提炼方法，在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线考，合为课本例题段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧作交奠定基础.先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都流.平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处.四、反思小结布置作业自由发总结回顾学小结反思言,相习内容，帮（1）本节课研究问题的基本过程是什么？互借助学生归纳（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？鉴.自反思所学知解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？我评识及思想方你还有哪些收获？价.法.作业布置、课后延伸关注学生的必做题：课本P93-15题；选做题：生活中，你发现那些需要个体差异.用到本课知识解决的最短路径问题板书设计：13.4最短路径问题两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”教学反思：。
〖2021年整理〗《最短路径问题2》名师优秀教案
课题学习最短路径问题（第二课时）造桥选址问题（邹敏）一、教学目标：（一）学习目标1熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；2学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；3体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（二）教学重点教学重点：利用平移将“造桥选址”的实际问题转化为“两点之间，线段最短”问题（三）教学难点教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题二、教学设计（一）课前设计1预习任务⑴平移不改变图形的和;⑵三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差第三边;⑶如图，直线AB，CD且AB∥CD，在直线AB上任取不同两点NMBC DA P Q图1图3图2BA PBAP BA PlBAlPAB l图1CA'BADCE FA DCE FFE FQP CA B DE（图2）E F'DCBA F lBAlPABFDCABE（图1）DCBAF1212AC BC AB ⋅6810⨯2452451212245GE FCA BP ，BD =30m ，且CD =30m ．现在要在河流CD 上建立一个泵站、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =1，ON =3，点、N 分别在边OA 、OB 上的定点，作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为M′OB=∠AOB=30°，O N′=ON=3，OM′=OM=1，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=2231=10．故答案为10．【答案】10自助餐1 如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD 于点E，即可得出答案．【解题过程】如图所示，点E即为所求．2 如图，在一条笔直的公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差即｜lBAlPABlCB'BAD ABCE FP 为直线AB 上的一动点，过M 作轴的垂线，垂足为点N ，连接＋MN ＋NQ 的最小值；xy C QP O AB【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】将直线AB 和轴看作河的两岸，点→N →Q ，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要N 到＋MN ＋′，连接，则N ＋NQ 的最小值为线段yM N Q'P'C QP O A B，则N ＋NQ的最小值为线段N 的长．又易得22''C Q C P +2268+＋MN ＋NQ 的最小值为102=12【答案】N ＋NQ 的最小值为12。
《13.4 课题学习 最短路径问题》优质课件(2套)
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
A
于是AD=FD′,
C
DF
同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知， GF最小.
C′ D ′ E E′
BG
拓展提升
6.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使
C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． A
在△AB′C′中，
AC 与CB 的和最小（如图）．
B
A
C
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问1 对于问题2，如何
A
将点B“移”到l 的另一侧B′
·
处，满足直线l 上的任意一点
C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
B
·
l
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题， 从而作出最短路径的选择.
当堂练习
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m 对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别 交于P、Q，下面的说法正确的是（ A ） A．P是m上到A、B距离之和最短的
课题学习最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题一、教课方案理念最短路径问题在现实生活中常常碰到，初中阶段主要以“两点之间线段最短”、“连结直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变化进行研究。
本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马”“造桥选址”为载体睁开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实质问题转变为数学识题，利用轴对称、平移等变化再把数学识题转变为线段和最小问题，并运用“两点之间线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）解决问题，表现了数学化的过程和转变思想。
最短路径问题从实质上说是最值问题，作为初中生，此前极少在几何中接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对拥有实质背景的最值问题，更会感觉陌生，无从下手．解答“当点 A、B 在直线 l 的同侧时，如安在直线 l 上找到点 C，使 AC 与 CB的和最小”，需要将其转变为“在直线 l 异侧两点的线段和最小值问题”，为何需要这样转变、如何经过轴对称、平移变化实现转变，一些学生在理解和操作上存在困难．在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点 (与所求作的点不重合 )，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生想不到．因此在讲堂上特别对这几个问题进行了针对性的设计。
二、教课对象剖析八年级的学生已经学习研究过一些“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等问题。
向来以来，学生对多媒体环境下的几何研究都十分感兴趣，有较强的好奇心，在学习上有较强的求知欲念，学习投入程度大。
他们察看、操作、猜想能力较强，但演绎推理、概括、运用数学意识的思想比较单薄，思想的广阔性、矫捷性、灵巧性比较短缺，自主研究和合作学习能力也需要在讲堂教课中进一步增强和指引。
学生在数学识题的提出和解决上有必定的方法，但不够深入和全面，需要教师的指引和帮助，学生自己拥有必定的研究精神和合作意识，能在亲自的经历体验中获得必定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，几何演绎推理能力有待增强。
13.4 课题学习 最短路径问题
13.4课题学习最短路径问题(Ⅰ)如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？依据：两点之间,线段最短.(Ⅱ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
作法：连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。
根据：两点之间，线段最短.(Ⅲ)两点在一条直线同侧★★★如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？答：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．(Ⅳ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小作法：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求．(Ⅴ)造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。
）例．如图，两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）【思考】如果A、B两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是要与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的距离呢？【进一步的思考】如果A、B两地之间有三条平行的河流呢？【拓展】如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不是平行，又该如何建桥呢？请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将行走的路线用粗实线画出来．。
13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
13.4课题学习 最短路径问题第二课时 学案-2022-2023学年人教版八年级数学上册
课题：课题学习最短路径问题第二课时学习目标：利用轴对称和平移解决最短路径问题学习重点: 利用轴对称和平移解决最短路径问题学习难点：解决生活中最短路径问题学习过程：知识点1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B 关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．知识点2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．知识点3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？【例3】如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？知识点4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a图b5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．【例5】如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．提升训练：1.如图14－119所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船以每小时10海里的速度航行到C处，再观测海岛B在北偏东30°方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间.2.如图14－120所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE=BD，过点D，E引直线交AC于点F，则有AF=FC，为什么？当堂检测：1.如图14-111所示，在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，若∠BDC=69°，则∠A等于( )A.32°B.36°C.48°D.52°2.成轴对称的两个图形的对应角，对应线段 .3.等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴.4.等腰三角形顶角的与底边上的、重合，称三线合一.5.（1）等腰三角形的一个内角等于130°，则其余两个角分别为；（2）等腰三角形的一个内角等于70°，则其余两个角分别为 .6.如图14－112所示，△ABC是等边三角形，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数.7.如图14－113所示，在△ABC中，AB=AC，E在CA延长线上，AE=AF，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由.8.如图14－114所示，在△ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F，使△ENF的周长最小，试说明理由.布置作业：1.如图14－115所示，设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，能表示它们之间关系的是( )2.等腰三角形ABC 的底边BC=8cm ，且BC AC -=2Cm ，则腰AC 的长为( )A.10cm 或6cmB.10cmC.6cmD.8cm 或6cm3.已知等腰三角形的两边a ，b ，满足532+-b a +(2a +3b-13)2=0，则此等腰三角形的周长为( )A.7或8B.6或10C.6或7D.7或104.如图14－116所示，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于( )A.90°B.75°C.70°D.60°5.等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长为 .6.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°，则这个三角形的顶角为 .7.在△ABC 中，AB=AC ，∠A+∠B=140°，则∠A= .8.如果等腰三角形的两个角的比是2∶5，那么底角的度数为 .9.如图14－117所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，CD=3，BD=5，则点D 到AB 的距离为 .10.如图14－118所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，BE ⊥AC 于E ，延长BC 到D ，使CD=CE ，连接DE ，若△ABC 的周长是24，BE=a ，则△BDE 的周长是 .。
教学设计2：13.4课题学习 最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题一、教学目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用；3.能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想二、教学过程（一）预习内容自学课本85页，完成下列问题：追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动1：思考画图、得出数学问题将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．（二）探究学习1、活动2：尝试解决数学问题问题2 ：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问1你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充如果学生有困难，教师可作如下提示作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C，则点C 即为所求三、巩固测评（一）基础训练：1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点．2.如图，A 和B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处才能使从A 到B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（二）变式训练：如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a 所示两直排(图中的AO ，BO )，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘（三）综合训练：子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a图b四、课堂小结。
13.4 课题学习-最短路径问题 人教版八年级数学上册作业课件
A.(0,4)
)
B.(0,3) C.(0,2) D.(0,0)
答案
4.A 如图,作点B关于y轴的对称点B',连接AB'交y轴于点C',当点C运动到C'处
时,△ABC的周长最小.过点A作AE⊥x轴于点E,∵点A,B的坐标分别为(1,5)和(4,0),∴点
PA+PB最短.由图可知点P应选在C点.
3.如图,直线m是△ABC中BC边的垂直平分线,点P是直线m上的一动点,若
AB=5,AC=4,BC=6,则△APC周长的最小值是 (
A.9
答案
3.A
B.10
C.11
D.12.5
)
4. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,5)和(4,0),点C是y轴上的一个动点,
(2)作点B关于直线l2的对称点B';
(3)连接A'B',分别交直线l1,l2于点C,D,连接AC,BD,此时AC+CD+BD最小.
所以先到点C处设卡检查,再到点D处设卡检查,最后到B处执行任务,按这样的路线所走
的总路程最短.
能力练
1. 如图,在等边三角形ABC中,D为AC的中点,P,Q分别为AB,AD上的点,且
5. 某大学建立分校,校本部与分校隔着两条平行的小河(甲和乙),如图所示,A为校本部大
门,B为分校大门.为了方便人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使
A,B两点间来往路段最短,试在图中画出符合条件的路径,并标明桥的位置.
答案
5.解:如图,设在小河甲上建桥CD,小河乙上建桥EF,则A,B两
人教版八年级上册数学：13.4 课题学习 最短路径问题(二)
N
O
PQ
B
N'
回顾提升
通过这节课的学习你有哪些收获？
1．运用轴对称的性质和“两点之间，线段最 短”的性质，解决最短路径的问题． 2．运用轴对称的性质和“两点之间，线段最 短”的性质，解决线段之差最大或最小的问 题．
当点N在直线b的什 么位置时， AM+MN+NB最小？
图13.4-7
操作探究，解决问题
问题3 上面的问题可以转化为下面的问题： 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB 最小？
（2）由于河岸宽
度是固定的，因此
求AM+MN+NB最
小的问题可以转化
为什么问题？
图13.4-7
操作探究，解决问题
问题3 上面的问题可以转化为下面的问题： 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB 最小？
当点P（或Q）在直线 OB的什么位置时， a MP+ NQ最小？
O
A
M N B
操作探究，解决问题
（2）能否通过图形的变化（轴对称、平移 等），把上图转化为“两点分别在一条直 线的同侧，在直线上找一点，使这个点到 前面两点的距离的和最短”的情况？
当点Q在直线OB的什么位置时， M′Q+NQ最小？
A
a
（3）两个图形关于某条直线对称或一个图形 是轴对称图形，如果它们的对应线段或延长 线相交，那么交点在对称轴上．
复习回顾，引出课题
（1）点A，B分别是直线l异侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？ （2）点A，B分别是直线l同侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？
人教版数学八年级上册《13.4 课题学习 最短路径问题》教学设计2
人教版数学八年级上册《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计2一. 教材分析《人教版数学八年级上册》第13.4课题学习“最短路径问题”是本册内容的一个重要组成部分。
本节课主要让学生了解最短路径问题的背景和应用，掌握利用图的性质和简单的图算法解决最短路径问题的方法。
通过本节课的学习，学生能够进一步提高分析问题和解决问题的能力，培养逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的相关知识，如图的定义、图的表示方法、图的性质等。
同时，学生也了解了一些简单的算法，如深度优先搜索、广度优先搜索等。
但部分学生对这些知识的掌握程度不够扎实，对算法的理解也相对模糊。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导他们更好地理解和掌握本节课的内容。
三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和应用，理解最短路径的概念。
2.掌握利用图的性质和简单的图算法解决最短路径问题的方法。
3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的解决方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。
2.教学难点：算法的原理和实现，以及如何将实际问题转化为最短路径问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.案例教学法：分析具体的最短路径问题案例，让学生直观地了解问题的解决过程。
3.算法分析法：引导学生分析算法的原理和实现，提高学生的逻辑思维能力。
4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示最短路径问题的背景、应用和解决方法。
2.案例材料：准备一些具体的最短路径问题案例，供学生分析和讨论。
3.编程环境：为学生提供编程环境，以便他们在课堂上实践算法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示最短路径问题的背景和应用，如地图导航、网络通信等。
引导学生关注最短路径问题，激发学生的学习兴趣。
人教版八年级数学上册13.4 课题学习 最短路径问题--将军饮马课件
l
我们是怎样解决问题的？说说思考问题的思路．
反思与总结
新知一 两点一线型
实际问题1 图形表示，数学化 几何问题2
轴对称，转化问题 求两点之间线 段最短问题．
实际意义解释
实际问题1的解
几何问题2的解
轴对称，还原问题
B
B
A
A
DC
l
B′
拓展延伸
新知二 两线一点型
如图，将军从A地出发,先到草地边某处巡逻,再到河边 饮马,然后回到A地,应该怎样走才能使路程最短？
A
拓展延伸
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象
为两条直线.
l2
A
l1
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得 △AMN的周长最小.
l2
A l1
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得
分析问题
新知一 两点一线型 问题2 如图，A，ห้องสมุดไป่ตู้是直线l同侧的两点，在直线l上作一
点C，使AC+BC最小．
A
问题难在哪里？怎么办？
l
C
如点A，B在直线两侧． B
依据：“两点之间，线段最短”
分析问题
问题2 如图，A，B是直线l同侧的两点，在直线l上作一 点C，使AC+BC最小．
能否把点B变到直线l的另一侧？要求？方法？ 对于直线上任一点C有BC=B′C． 作点B关于直线l的对称点B′．
△AMN的周长最小.
作法：过点A分别作关于直线l1，
A2 N
人教版数学八年级上册13 课题学习 最短路径问题 (2)教案与反思
13.4 课题学习最短路径问题祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。
《老子·五十八章》涵亚学校陈冠宇【知识与技能】1.了解最短路径问题.2.掌握解决最短路径问题的方法.【过程与方法】通过解决最短路径问题的过程培养学生分析问题的能力.【情感态度】通过对最短路径问题的学习，增强应用数学知识解决实际问题的信心.【教学重点】解决最短路径问题.【教学难点】最短路径的选择.一、情景导入，初步认识问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）【教学说明】（1）C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小.作出点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.（2）N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB 最小?将AM沿与河岸垂直方向平移，移动距离为河宽，则A点移到A′点，连接A′B，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知例要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？【分析】本问题就是要在l上找一点C，使AC与CB的和最小.设B′是B关于直线l的对称点，本问题也就是要使AC与CB′的和最小.在连接AB′的线中，线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.【教学说明】解决最短路径问题通常运用的知识有“过直线作已知点的对称点”，“两点的所有连线中，线段最短”等.三、师生互动，课堂小结这节课主要学习了最短路径问题，让学生相互交流体会与收获，并总结本课所学知识.完成练习册中本课时的练习.本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，据本课内容特点，可依据其学科知识间联系调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.【素材积累】司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.
13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。
13.4_课题学习__最短路径问题
A M
a b
N
B
由于河宽是固定的，因此当 AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
分析：
A A' N M
a
b
A C
l
B
B
如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点 A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转 化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.
（四）两点在两条直线内部 如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人从A地出发，先 到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 B，请画出最短路径. C 作法： G N M 1.作点A关于直线 H MN 的对称点点C, · A 2. 作点B关于直线 ON B D 的对称点点D, 3.连接CD分别交直线MN、ON于点G、· H， O 则AG+GH+BH最短
l1 M A l2
N
思维障碍
点A在l1、l2之间，AM+ＭＮ＋BＮ只能是折线，无法直接 利用“两点之间，线段最短”解决问题，怎么办？
图形转化
我们能否把A点转化到l1、l2的外侧呢？
转化需要遵循的原则是什么？ 不能改变AM和BM的长
你采用什么图形变换可以实现转化目标？ 轴对称
解决问题
（三）一点在两相交直线内部
最短路线：A
P
Q
B
A/
P
N
Q
B/
A
M
B
l
问题5
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
134课题学习最短路径问题2
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
A
B
思维分析
A
1、如图假定任选位置造桥 Ｍ1Ｎ1，连接ＡＭ1和ＢＮ1，从 A到B的路径是AM1+M1N1+BN1， 那么怎样确定什么情况下最短 呢？
思维分析
如图，问题中所走总路径是
A
AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．
桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两 点之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长.
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
M N
P Q
G H
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１ ＝MN，A１A２ ＝PQ， A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
A·
MC
13.4 课题学习 最短路径问题 (2)
13.4 课题学习最短路径问题
课型：新授课时： 1 主备人：冯蕾修订人：授课时间：
教学目标
知识与技能
通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短性质.
过程与方法
让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想和方法.
情感、态度、
价值观
在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系.
重
点
应用所学知识解决最短路径问题.
难
点
选择合理的方法解决问题.
环
节主备备注
自主学习知识回顾
1、两点之间，线段最短.
2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
精讲点拨将军饮马问题
问题1从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？
合作探究 造桥选址问题
如图所示，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
巩固训练
1、作图在直线l 上找一点C ，使AC +BC 最小.
2、如图，已知牧马营地在P 处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线. 课堂小结
今天有什么收获？ 作业布置
教材P93页的第15题 板书设计
教后反思。
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一、学习目标
①能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
②体会图形的变化在解决最值问题中的作用；
③能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想二、预习内容
自学课本85页，完成下列问题：
追问1:观察思考，抽象为数学问题
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
活动1:思考画图、得出数学问题
将A，B两地抽象为两个点，将河I抽象为一条直线.
追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：（1）从A地出发,
到河边I饮马，然后到B地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线
段的长度之和，就是从A地
到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线I上的点.设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在I的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）.
、探究学习
1、活动2:尝试解决数学问题
问题2 :如图，点A, B在直线I的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在I的什么位置时，AC与CB的和最小？
追问1你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B'吗？
师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充
如果学生有困难，教师可作如下提示
作法：
（1）作点B关于直线I的对称点B';
（2）连接AB，与直线I相交于点C,则点C即为所求
四、巩固测评
（一）基础训练：1、最短路径问题
（1）求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求•如图所示，点A，B分别是直线I异侧的两个点, 在I上找一个点C,使CA+ CB最短，这时点C是直线I与AB的交点.
⑵ 求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.
如图所示，点A，B分别是直线I同侧的两个点，在I上找一个点C,使CA + CB最短，这时先作点B关于直线I的对称点B',则点C是直线I与AB的交
占
八、、・
2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN ffi PQ桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直)
(二)变式训练：•如图，小河边有两个村庄A，B,要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水.
E F
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂?
(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方?
(三) 综合训练:
拿橘子再拿糖果，然后到 的总路程最短？
4 -------- 0
B
图a
五 、
得 ____________________
a 所示两直排(图中的 站在
C 处的学生小明先 条行走
路线，使其所走
茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 AQ BO), A0桌面上摆满了橘子，0B 桌面上摆满了糖果,
D 处座位上，请你帮助他设计。