材料力学附录
材料力学附录
图A.6
A.3设圆的直径为 d(见图 A.6)，试求图形对其形心的积惯性矩、对形心轴
的惯性矩及惯性半径值。 解图中
代入公式 (A.7a)，因为图形对称，y,z 为对称轴，得
因为图形对称，y,z 为对称轴，所以 Iy=Iz。据公式(A.8)，对坐标原点的
极惯性矩为
据公式（A.10）惯性半径为
A.3惯性矩、惯性积的平行移轴公式
几何特性，因此称它们为截面图形的几何性质。 A.1静矩和形心
A.1.1截面图形的静矩
设有一任意截面图形如图 A.1 所示，其面积为 A。选取直角坐标系为yOz ，在坐标值为 (y,z) 处取一微小面积 dA，定义微面积 dA 乘以到 y 轴的
距离z，沿整个截面的积分为图形对 y 轴的静矩Sy，其数学表达式
而改变的规律。将式 (A.13) 的前两式相加，可得
这说明截面图形对正交轴系的惯性矩之和为一常数。
现在我们来研究 (A.13) 的第三式。Iy1z1随 α而改变，当Iy1z1=0时，相 应的坐标轴为主惯性轴，用y0,z0表示，即
由此求得
式（A.14)中的α0和α0+π2表示了主轴y0,z0的方位角。
工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，可将这些复杂的截面形状看成 是由若干简单图形 ( 如矩形、圆形等 ) 组合而成的。对于这样的组合截面
图形，计算静矩 (Sz，Sy) 与形心坐标 (yC，zC) 时，图A.2可用以下公式
式中Ai，yi，zi——分别表示第i个简单图形的面积及其形心坐标值；
n——组成组合图形的简单图形的个数。
附 录
附录A截面图形的几何性质
任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面
的几何形状和尺寸有关。如计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面面积 A ， 计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩Ip等，计算弯曲应力时所用到的
材料力学附录
h
dy
y O
x（ c 2） h/2 x h/2
1 bh3 bh3 Ix 2 12 24
（ 3）
x1
2h bh I x1 I xc 3 2
2
h h bh I x I xc 2 3 2
y
a
a
a z
a
4
4a 4 5a 4 3 64
四 惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的主惯 性轴和主惯性矩
y
I x1 I y1
Ix Iy
2 Ix Iy 2
Ix Iy
2 Ix Iy
cos I xy sin 2 cos I xy sin 2
I x1 y1
如图所示将截面任意分为两部分A1与A2，证明这 I.4 两部分面积对整个截面形心轴xc的静矩绝对值相 等。
例题
设： A1，A2对xc轴的静矩分别为Sxc1和Sxc2
S xc S xc1 S xc2
A1
0 S xc1 S xc2
C
xc
S xc1 S xc2
A2
证毕
S y Ax
S x Ay
1 截面图形的静矩相对坐标轴定义的，与坐 标轴有关 2 静矩的值可能为正、负、也可能为零 3 截面对形心轴的静矩为零
4 若截面对某轴的静矩为零，则该轴 必为形心轴
二 极惯性矩.惯性矩.惯性积
y
x dA
I p dA
2
I x y dA
2
x
ρ
y
O
I y x dA
材料力学(金忠谋)第六版答案-附录
材料力学(金忠谋)第六版答案-附录附录I 截面图形的几何性质I-1 求下列截面图形对z 轴的静矩与形心的位置。
解：（a ）)2)2((2)2(2h t h b t h ht t h bt s z ++=⋅++=hb h t h b h b t h t h b t A s y zc +++=+++==2)2()()2)2((22（b ）322332219211)}2)4()43()41()43(32(])4()43[(2{4442DD D D D D D D D D s z =--⨯-+⨯⨯-=ππDD D D D DAs y z c 1367.0])2()43[(2)44(219211223=-⨯+⨯==π（c ）]22)[(22)(2h t t b t h ht t t t b s z +⋅-=⨯+⨯⨯-=tb)(2)(2t b h h t t b A s y z c -++-==I-2 试求（1）图示工字形截面对形心轴 y 及 z 的惯性矩zI 与I y 。
（2）图示 T 字形截面对形心轴的惯矩zI 与I y 。
解(a)12)2)((12)2)((123333t h t b bh t h t b bh J z ---=---=12))2(2(12))(2(1222333t t h b t t t h tb J y -+=-+=(b) cmy c 643.9)520515(2)515(552522=⨯+⨯-⨯+⨯=(b433423231615121551252010186520)643.91025(12205515)5.2643.9(12515cm J cm J y z =⨯+⨯==⨯⨯--+⨯+⨯⋅-+⨯=I-3 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径与对形心的极惯矩。
解：θθcos ,sin ⋅=⋅=a z b yθθd b dy cos = ⎰⎰--⋅==∴b bbbz zdyy dA y J 222322223224cos sin 2cos cos sin 2ab d abd b a b J bb z πθθθθθθθππ==⋅=⎰⎰--)(4)(42422333b a ab b a ab J J J b ab ab AJ i y z p zz +=+=+====ππππI-4 试求图示的41的圆面积（半径a ）对于z ，yyy 轴的惯性积zyI 。
材料力学附录
zc
v zdv V
O
y
平面物体形心：yc
A ydA A
zc
A zdA A
z
yC
C
dA
A
y
z
zC
O
面积矩：
S y A zdA
zc A
Sz A ydA
yc A
同一截面，面积矩可正、 y 可负，也可为零。
如截面对某轴的面积矩为零，意味着？
组合图形的面积矩和形心
面积矩：
n
S y Ai zci i 1
四、惯性矩和惯性积的转轴公式
z`
z y sin z cos
O
α
α z
y` y
dA
z I y z2dA
A
sin2 y2dA cos2 z2dA
A
A
z`
2sin cos yzdA
A
y` y
I y
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos 2
I yz sin2
O
α
α z
y
y`
I y
Iy
2
O 20
140 y
20
100 O Ⅰ C1
C z1
C2 y
Ⅱ
y1
20
z 20
yc
100
20 10 100 20
140 140
20 20
90
yC 56.67mm
140
I z1
1 201403 12
20140 90 56.672
1 100 203 12
20 100 56.67 102
iz
Iy , A
Iy
《材料力学》课程讲解课件附录I平面图形几何性质
解：
y
d
S x
yd A
A
2 yb( y) d y
0
b(y)
C
xc
yc
d
2 y2
R2 y2 d y d3
0
12
x
d
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
b( y) 2 R2 y2
29
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
y
2、求对形心轴 xc 的惯性矩
Ix
πd 4 64 2
3、惯性积是对轴而言。
y
z
dA
4、惯性积的取值为正值、负值、零。
y
5、规律：
o
z
20
5、规律：
Izy
zydA
A
0
y
dA z z dA
y
y
z
o
两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则 图形这一对坐标轴的惯性积为零。
21
对比记忆 静矩、形心；惯矩和惯性半径；它们都是反映截
面面积关于坐标轴分布情况的物理量。 静矩=（面积）（形心坐标） 惯矩=（面积）（惯性半径）2
z
o
dA y
z
全面积对z轴的惯性矩: I z y2dA,
2 z2 y2
全面积对y轴的惯性矩: I y A z2dA
A
15
Iz y2dA, I y z2dA
A
A
y
z
dA
y
o
z
2、量纲：［长度］4；单位：m4、cm4、mm4。 2 z2 y2
3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。
A
材料力学笔记(附录)
材料力学（土）笔记附录I 截面的几何性质1．截面的静矩和形心位置设任意形状的截面，其截面面积为A ，从截面中坐标为(,)x y 处取一面积元素dA 则xdA 和ydA 分别称为该面积元素dA 对于y 轴和x 轴的静矩或一次矩y AS xdA =⎰定义为该截面对y 轴的静矩x AS ydA =⎰定义为该截面对x 轴的静矩上述积分应遍及整个截面面积A截面的静矩是对一定的轴而言的，同一截面对不同坐标轴的静矩不同 静矩可能为正值也可能为负值，也可能等于零，常用单位为m ³或mm ³ 由理论力学可知，在Oxy 坐标系中，均质等厚度薄板的重心坐标为y AxdA S x AA==⎰，xAydA S y AA==⎰ 均质薄板的重心与该薄板平面图形的形心是重合的上式可计算形心坐标，在知道截面对y 轴和x 轴的静矩以后，即课的截面形心坐标 将上式改写为y S Ax =，x S Ay =则在已知截面的面积A 及其形心的坐标x 、y 时 就可求得截面对y 轴和x 轴的静矩，由上式可看出，截面对通过其形心的轴的静矩恒等于零反之，若截面对于某一轴的静矩等于零，则该轴必通过截面的形心当截面由若干简单图形组成时，由于简单图形的面积及其形心位置均为已知由静矩定义可知，截面各组成部分对某一轴的静矩之代数和等于该截面对同一轴的静矩 即得整个截面的静矩为1n y i i i S A x ==∑，1nx i i i S A y ==∑式中，i A 和i x 、i y 分别代表任一简单图形的面积及其形心的坐标n 为组成截面的简单图形个数可得组合截面的星系坐标为11ni ii nii A xx A===∑∑，11ni ii nii A yy A===∑∑2．极惯性矩·惯性矩·惯性积设一面积为A 的任意形状截面，从截面坐标为(,)x y 处取一面积元素dA 则dA 与其至坐标原点距离平方的乘积2dA ρ 称为面积元素对O 点的极惯性矩或截面二次极矩2p AI dA ρ=⎰定义为整个截面对O 点的极惯性矩上述积分应遍及整个截面面积A ，极惯性矩的数值恒为正，单位为4m 或4mm面积元素dA 与其至y 或x 轴距离平方的乘积2x dA 或2y dA 分别称为该面积元素对y 轴或x 轴的惯性矩或截面二次轴距22y Ax A I x dA I y dA ⎫=⎪⎬=⎪⎭⎰⎰ 分别定义为整个截面对y 轴或x 轴的惯性矩 上述积分遍及整个截面的面积A222x y ρ=+，故有222()p y x AAI dA x y dA I I ρ==+=+⎰⎰任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和面积元素dA 与分别至y 轴和x 轴距离的乘积xydA ，称为该面积元素对两坐标轴的惯性积 定义为整个截面对x 、y 两坐标轴的惯性积，其积分也应遍及整个截面的面积 从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩或惯性积一般是不同的 惯性矩的数值恒为正值，而惯性积可能为正值也可能为负值，也可能等于零 若x 、y 两坐标轴有一为截面的对称轴，则其惯性积恒等于零因在对称轴两侧，处于对称位置的两面积元素dA 的惯性积xydA ，数值相等而正负号相反 致使整个截面的惯性积必等于零，惯性矩和惯性积的单位相同在某些应用中，将惯性矩表示为截面面积A 与某一长度平方的乘积，即2y y I i A =，2x xI i A = 式中，y i 和x i 分别称为截面对y 轴和x 轴的惯性半径，其单位为m 或mm 当已知截面面积A 和惯性矩y I 和x I 时，惯性半径即可从下式求得y i =x i =3．惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合截面的惯性矩和惯性积 3.1 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 面积为A 的任意形状的截面截面对任意的x 、y 两坐标轴的惯性矩和惯性积分别为x I 、y I 和xy I 通过截面的形心C 有分别与x 、y 轴平行的C x 、C y 轴称为形心轴 截面对形心轴的惯性矩和惯性积分别为xC I 、yC I 和xCyC I截面上任一面积元素dA 在两坐标系内的坐标(,)x y 与(,)C C x y 间的关系为C x x b =+，C y y a =+式中，a 、b 是截面形心在Oxy 坐标系内的坐标值，即两平行坐标系间的间距 将其代入可得2222()2x C C C AAAAAI y dA y a dA y dA a y dA a dA ==+=++⎰⎰⎰⎰⎰根据惯性矩和静矩的定义，上式右端的各项积分分别为2C xC Ay dA I =⎰，C xC Ay dA S =⎰，AdA A =⎰其中xC S 为截面形心轴C x 的静矩，恒等于零，则原式子可写为2x xC I I a A =+，同理2y yC I I b A =+，xy xCyC I I abA =+a 、b 有正负号，可由截面形心所在的象限来确定，上式称为平行移轴公式应用上式即可根据截面对形心轴的惯性矩或惯性积，计算截面对于形心轴平行的坐标轴的惯性矩惯性矩或惯性积，或进行相反运算3.2 组合截面的惯性矩及惯性积组合截面对某坐标的惯性矩（或惯性积）就等于其各组成部分对同一坐标轴的惯性矩（或惯性积）之和，若截面是由n 个部分组成，则组合截面对x 、y 两轴的惯性矩和惯性积为1n x xi i I I ==∑，1n y yi i I I ==∑，1nxy xyi i I I ==∑式子中，xi I 、yi I 、xyi I 分别为组合截面中组成部分i 对x 、y 两轴的惯性矩和惯性积4．惯性矩和惯性积的转轴公式·截面的主惯性轴和主惯性矩 4.1 惯性矩和惯性积的转轴公式 设一面积为A 的任意形状截面截面对通过其上任意一点O 的两坐标轴x 、y 的惯性矩和惯性积分别为x I 、y I 和xy I 若坐标轴x 、y 绕O 点旋转α角（α角以逆时针转向为正）至1x 、1y 则该截面对新坐标轴1x 、1y 的惯性矩和惯性积分别为1x I 、1y I 和11x y I 截面上任一面积元素dA 在新、老两坐标系内的坐标11(,)x y 与(,)x y 的关系为1cos sin x x y αα=+ 1cos sin y y x αα=-经过展开逐项积分可得，该截面对坐标轴1x 的惯性矩1x I22221cos sin 2sin cos x AAAI y dA x dA xydA αααα=+-⎰⎰⎰根据惯性矩和惯性积的定义，右端的各项积分分别为2x Ay dA I =⎰，2y Ax dA I =⎰，xy AxydA I =⎰将其代入，即得1cos 2sin 222x y x y x xy I I I I I I αα+-=+- 1cos 2sin 222x yx yy xy I I I I I I αα+-=-+11sin 2cos 22x yx y xy I I I I αα-=+以上三式就是惯性矩和惯性积的转轴公式11x y x y I I I I +=+上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数 并等于截面对该坐标原点的极惯性矩4.2 截面的主惯性主和主惯性矩当坐标轴旋转时，惯性积11x y I 将随着α角作周期性变化，且有正有负 必有一特定的角度0α，使得截面对该坐标轴0x 、0y 的惯性积等于零 截面对其惯性积等于零的一对坐标轴，称为主惯性轴 截面对于主惯性轴的惯性矩，称为主惯性矩当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，则称为形心主惯性轴 截面对于形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩设0α角为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角 则将0α角代入惯性积的转轴公式并令其等于零，即00sin 2cos 202x yxy I I I αα-+=移项后得02tan 2xy x yI I I α-=-由上式解得的0α的值，即为梁主惯性轴中0x 轴的位置将所得的0α值代入，即得截面的主惯性矩0cos 2I I α-==02sin 2I α-==经化简后即得主惯性矩的计算公式0022x yx x y y I I I I I I +=+=惯性矩1x I 、1y I 都是α角的正弦和余弦函数，α角在0°到360°内变化 因此1x I 、1y I 必有极值由于对通过同一点的任意一对坐标轴的两惯性矩之和为一常数因此其中一个将为极大值，另一个则为极小值，由10x dI d α=和10y dI d α= 解得时惯性矩取得极值的坐标轴的位置的表达式，与上式完全一致可知，截面对通过任一点的主惯性轴的主惯性矩的值也就是通过该点所有轴的惯性矩中的极大值max I 和极小值min I在通过截面形心的一对坐标轴中，若有一个为对称轴，则该对坐标轴就是形心主惯性轴 因为截面对于包括对称轴在内的一对坐标轴的惯性积等于零 在计算组合截面的形心主观性轴是，首先应确定其形心位置 然后通过形心选择一对便于计算惯性矩和惯性积的坐标轴 算出组合截面对这一对坐标轴的惯性矩和惯性积最后利用主惯性矩的计算公式即可确定形心主惯性轴的位置和形心主惯性矩的数值 若组合截面具有对称轴，则包含对称轴的一对相互垂直的形心轴就是形心主惯性轴。
材料力学 附录_2
267 104 mm4
附录I 截面的几何性质
于是有组合截面对于两主轴x轴和y轴的惯性矩分别为
I x I x1 2 I x2 3690 10 4 mm 4 2 2110 10 4 mm 4 7910 10 4 mm 4 I y I y1 2 I y2 431 10 4 mm 4 2 267 10 4 mm 4 965 10 4 mm 4
附录I 截面的几何性质
解：将原平面图形分成上中下三个矩形。过形心建立参考坐标 系
40 53 5 603 I x 2I x1 I x2 2 40 5 27.52 12 12 y 4 4 393333 mm 39.33cm I y 2 I y1 I y2
I yC 218.415 cm 形心位置如图所示 90 mm×90 mm×12 mm 等边角钢截面
4
A 20.30 cm 2 I xC I yC 149.22 cm 4
形心位置如图所示
附录I 截面的几何性质
组合截面的形心C在对 称轴x上。以两个角钢截面的 形心连线为参考轴,只需求组 合截面形心C以该轴为基准 的横坐标 x ：
a
x
附录I 截面的几何性质
例题
图示组合截面由一个 25c号槽钢截面和两个 90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面组成。 试求此截面分别对于形 心轴x和y的惯性矩Ix 和 Iy 。
附录I 截面的几何性质
解: 1. 求组合截面的形心位置
由型钢规格表查得：25c号槽钢截面 A 44.91cm 2， I xC 3 690.45 cm4
I x1 y1 dA
2 A
x1 x cos y sin y1 x sin y cos
材料力学(I)附录
16
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录
Ⅱ. 组合截面的惯性矩及惯性积
若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于z，y 两轴的惯性矩和惯性积分别为
I z I zi ，
i 1
n
I y I yi，
i 1
n
I zy I ziyi
i 1
n
d2
y2
z
O z
y1 y
b
17
d1
h
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
顺便指出，该组合截面的x轴为对称轴，因此截面对 于x，y这对轴的惯性积Ixy等于零。
25
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录
思考题: 图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合截面。
已知每根槽钢截面面积A，每根槽钢截面对于自身形心轴
y0的惯性矩Iy0以及通过槽钢截面腹板外侧的轴y1的惯性矩 Iy1，试问是否可用下列两式中的任何一式求组合截面对于 y轴的惯性矩Iy并说明理由：
⒉掌握平行移轴公式，会计算组合截面的惯性矩、惯性积。
27
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录
§Ⅰ-4 惯性矩和惯性积的转轴公式· 截面的主惯性轴和主惯性矩(选讲)
在下面的分析中为使结果具有普遍性，坐标轴的原点O并
不要求必须是形心C。此外，坐标轴按所用教材的附录I标为x 轴和y轴。(本节中的x轴就是以前我们所用的z轴)
附录
§Ⅰ- 3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式· 组合
截面的惯性矩和惯性积
工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面 例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力
作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴z，y 的惯
材料力学公式附录
附 录一、应力与强度条件 1、 拉压 []σσ≤=maxN max AF2、 剪切 []ττ≤=AF smax 挤压 []bs bsbsbs A P σσ≤=3、 圆轴扭转 []ττ≤=tmax W T4、 平面弯曲①[]σσ≤=max z max W M②[]t max t z maxmax t y I M σσ≤= max c max max y I Mzc =σ[]c σ≤③[]ττ≤⋅=bI S F z *max z max s max5、斜弯曲 []σσ≤+=maxyyz z max W M W M6、拉（压）弯组合 []σσ≤+=maxmax zW M A N[]t max t z max t σσ≤+=y I M A N z []c max c z z max c σσ≤-=ANy I M 7、圆轴弯扭组合： ①第三强度理论 []στσσ≤+=+=z2222r3W T M 4②第四强度理论 []στσσ≤+=+=z2222r4W T 75.0M 3二、变形及刚度条件 １、 拉压 ∑⎰===∆L Ni N N EAxd )x (F EA L F EA L F L ２、 扭转 ()⎰=∑==p p i i p GI dx x T GI L T GI TL ϕ πθ0180⋅=Φ=p GI T L （m / ） ３、 弯曲(1)积分法:)x (M )x (EIw ''= C x d )x (M )x (EI )x (EIw '+⎰==θD Cx x d ]x d )x (M [)x (EIw ++⎰⎰=(2)叠加法:()21P ,P w …=()()21P f P w ++…， ()21,P P θ=()()++21P P θθ… (3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)EI ML B =θ EI PL B 22=θ EIqL B 63=θEI2ML w 2B =EI 3PL w 3B = EI 8qL w 4B =PAB MAB A BqL LLEI ML B 3=θ,EI ML A 6=θ EIPL A B 162==θθ EI qL A B 243==θθ EI 16ML w 2c = EI 48PL w 3c = EI384qL w 4c =(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)EIL M U 22==i i i EI L M 22∑=()⎰EI dxx M 22 (5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)=∂∂=∆ii P U()()⎰∂∂∑dx P x M EI x M i三、应力状态与强度理论 １、 二向应力状态斜截面应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=２、 二向应力状态极值正应力及所在截面方位角22min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= y x xy σστα--=22tg 0 ３、 二向应力状态的极值剪应力22max )2(xy yx τσστ+-=注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450４、 三向应力状态的主应力：321σσσ≥≥最大剪应力：231max σστ-=5、二向应力状态的广义胡克定律（1）、表达形式之一（用应力表示应变）)(1y x x E μσσε-=)(1x y y E μσσε-= )(y x z E σσμε+-= Gxy xy τγ= （2）、表达形式之二（用应变表示应力）)(12y x x E μεεμσ+-=)(12x y y E μεεμσ+-=0=z σ xy xy G γτ=6、三向应力状态的广义胡克定律()[]z y x x E σσμσε+-=1()z y x ,, Gxy xy τγ= ()zx yz xy ,,LL7、强度理论（1）[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤ []bbn σσ=（2）[]σσσσ≤-=313r ()()()[]213232221421σσσσσσσ-+-+-=r []σ≤ []s s n σσ=8、平面应力状态下的应变分析 （1）αγαεεεεεα2sin 22cos 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++=xyyx yx +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αεεγα2sin 22y x αγ2cos 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xy （2）22min max 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x yx γεεεεεε yx xyεεγα-=02tg四、压杆稳定1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）①细长受压杆 1λλ≥ ()2min2crL EI F μπ= 22crλπσE = ②中长受压杆 21λλλ≥≥ λσb a -=cr③短粗受压杆 2λλ≤ “cr σ”=s σ 或 b σ 2、关于柔度的几个公式 i Lμλ= p21σπλE = b a s 2σλ-=3、惯性半径公式A I i z =（圆截面 4di z =，矩形截面12min bi =（b 为短边长度））五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式）能量方程 U V T ∆=∆+∆动荷系数 std 211∆++=hK （自由落体冲击） st20d ∆=g v K （水平冲击） 六、截面几何性质1、 惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）⎰=dA I P 2ρ=324d π()44132απ-D D d=α⎰==6442d dA y I z π ()44164απ-D 123bh 123hb323maxd y I W zz π==()43132απ-D 62bh 62hb2、惯性矩平移轴公式A a I I 2zc z +=。
材料力学叠加法附录表
材料力学叠加法附录表是工程设计中经常使用的一种计算方法。
在设计中，我们需要考虑多个因素对物体的影响，例如温度变化、载荷作用等等。
材料力学叠加法就可以帮助我们将这些因素分别计算，然后将其叠加起来得到最终的结果。
以下是材料力学叠加法附录表的详细内容。
一、引言材料力学叠加法是一种常用的结构设计计算方法。
它可以将多种载荷和边界条件的影响分别计算，然后将它们叠加起来得到最终的结果。
这种方法适用于各种不同的结构，例如梁、板、壳等等。
在本文中，我们将主要介绍材料力学叠加法的附录表。
二、材料力学叠加法附录表材料力学叠加法的附录表包括了多个表格，每个表格都对应一个不同的载荷或边界条件。
以下是具体的内容：1. 一般叠加法表格这个表格用于计算多种载荷和边界条件的组合情况。
表格中列出了不同情况下的载荷系数、边界条件系数和相应的计算公式。
使用这个表格时，我们需要将各个系数代入公式中进行计算，然后将它们叠加起来得到最终结果。
2. 温度变化叠加法表格这个表格用于计算温度变化对结构的影响。
表格中列出了不同温度变化情况下的热应力系数和相应的计算公式。
使用这个表格时，我们需要将热应力系数代入公式中进行计算，然后将其叠加到其他载荷的结果中。
3. 偏心叠加法表格这个表格用于计算偏心载荷对结构的影响。
表格中列出了不同偏心距离情况下的偏心系数和相应的计算公式。
使用这个表格时，我们需要将偏心系数代入公式中进行计算，然后将其叠加到其他载荷的结果中。
4. 地震叠加法表格这个表格用于计算地震对结构的影响。
表格中列出了不同地震波形情况下的地震系数和相应的计算公式。
使用这个表格时，我们需要将地震系数代入公式中进行计算，然后将其叠加到其他载荷的结果中。
5. 水压力叠加法表格这个表格用于计算水压力对结构的影响。
表格中列出了不同水压力情况下的水压力系数和相应的计算公式。
使用这个表格时，我们需要将水压力系数代入公式中进行计算，然后将其叠加到其他载荷的结果中。
材料力学(附录)
2I xy Ix I y
0
x1
x
012tan1(I2xIxIyy )
0
0
2
与 0 对应的旋转轴为x0 、y0 轴，
平面图形对x0 、y0轴惯性矩 I x0 、 I y0 为
y
IIm mianxIx2Iy (Ix2Iy)2Ix2y
y0
x0
0
x
平面图形对x0 、y0 轴的惯性积 I x 0 y 0 为
单位：cm
40 10
20 y
1
C2
15 单位：cm
Iy
Iy
i
I y1
Iy2
1020 3 I y1 12
0.67104(cm4)
I
y
2
40 15 12
3
1.13104(cm4)
x
Iy Iy1Iy2
y
x1
(0.671.13)104
1.8104 (cm4 )
[例] 计算图示图形对其形心轴x轴的惯性矩。
360 40
40
20 180
2.592108(mm4)
t
an20
2I xy Ix I y
52.7(521.15.8932)21.3226
2052.9 , 0 26.45
yo 180 y
I max I min
IxIy 2
(Ix 2Iy)2Ix2y
360 40
§I-2 惯性矩和惯性半径 一、惯性矩：
定义： I x y 2 dA
A
I y x 2dA
y
A
Ix、Iy称为图形对x轴、y轴
材料力学 第2版 附录A 平面图形的几何性质
解:
Iy
bh 3 12
bh(h )2 2
z
b
bh 3
3
I yz
0
hb bh( )( )
22
o
b2h2
4
c
h
y
23
A.3 平行移轴公式
例A-7 求 I yc
zc 20
解：取通过矩形II的形心且
z 140 20
平行于底边的参考轴
c
yc
y,则
y
z A1z1 A2z2 A1 A2
II
100
0.14 0.02 0.08 0.1 0.02 0 0.14 0.02 0.1 0.02
SAi
zi
SA i
S Ai
8
A.1 静矩和形心
例A-2 求形心坐标
zb1t1来自y =0z=
SA i
zi
SA i
z z2
b2
z1
y t2
9
A.2 惯性矩、惯性半径、惯性积
一、惯性矩——面积对轴的二次方矩
定义：
Iy
A z 2dA
z
y
I z A y 2dA o
z
y
特点：1、I恒大于0
2、量纲：长度4
3 ．a、b有正、负。
21
A.3 平行移轴公式
I I
y z
I yc I zc
a2A b2A
I
yz
I yc zc
abA
结论：对所有平行轴而言，对形心轴的惯
性矩取最小值。
应用: 1 可计算平行轴的惯性矩、惯 性积；
2 可计算组合图形的惯性矩、
惯性积。
22
A.3 平行移轴公式
材料力学附录I-1
I.2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 2. 惯性矩
x 2 d A A I x y 2 d A A Iy
称为整个截面对y轴或x轴的惯性矩，亦称面积对轴 的二次矩，常用单位为m4或mm4。
图 I-5
I p 2 d A x2 d A y 2 d A I y I x
A A A
上式表明平面图形对任意两个互相垂直的轴的惯性矩之和等于该图 形面积对两轴交点的极惯性矩。 平面图形对过同一原点的任意两个互相垂直的轴的惯性矩之和是一个常量。
3. 惯性积
I xy
xy d A
A
称为整个截面图形A对x、y轴的惯性积。惯性积是对一对正交轴定义的，
因此也是面积的二次矩，可正、可负也可能为零，常用单位为m4或mm4。 若x、y轴中有一个轴为截面的对称轴，则整个截面对两轴的惯性积恒 等于零。可以证明，在对称轴两侧对称位置处的微面积对于两轴的惯性积 数值相等而符号相反，因此整个截面对两轴的惯性积必然等于零。若x、y 轴都为对称轴，则整个截面对两轴的惯性积自然为零。
S x S x I S xII
图 I-4 例题I-3图
由 S x I S xII 0 ，可得
S x I S xII
I.2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 1. 极惯性矩
I p 2 dA
A
定义为整个截面对O点的极惯性矩。 极惯性矩的数值恒为正，常用单位为m4或mm4。
图 I-5
S x y d A y d A1 y d A2 A A1 A2 S y x d A x d A1 x d A2 A A1 A2
或
S x yC A yC1 A1 yC 2 A2 yCi Ai i 1 n S y xC A xC1 A1 xC 2 A2 xCi Ai i 1
材料力学附录(截面特性)
设
、
为形心坐标，则根据合力之矩定理
(A-2) 或
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(A-3)
这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。 根据上述定义可以看出： 1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为 正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的
,
(A-12) (A-13)
式中，D为圆环外径；d为内径。 4.根据惯性矩的定义式(A-6)、(A-7)，注意微面积的取法(图A-3所示)，不难求得矩形对于平 行其边界的轴的惯性矩：
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2005-8-23
附录A平面图形的几何性质
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(A-18)
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附录A平面图形的几何性质
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此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理。其中，式(A-18)表明： 1.图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两平 行轴间距离平方的乘积。
之间的关系。
根据转轴时的坐标变换：
于是有
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附录A平面图形的几何性质
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将积分记号内各项展开，得
改写后，得
(A-19)
上述式(A-19)和(A-20)即为转轴时惯性矩与惯性积之间的关系。
（A-20）
若将上述
高教社2024材料力学1第7版习题解答附录1 平面图形的几何性质
题型：问答题Ⅰ.1在例题Ⅰ.1中，取微面积dA=dydz，试用二重积分重解该题。
答案：略。
解析：取平行于y轴的狭长条作为微面积，改变积分限，完成积分。
难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：附录I平面图形的几何性质题型：问答题Ⅰ.2确定图示各图形形心的位置。
答案：见习题答案。
解析：利用组合图形求形心的方法。
难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：附录I平面图形的几何性质题型：问答题Ⅰ.3试用积分法求图示各图形的I y值。
答案：见习题答案。
解析：利用I y的定义，用积分法求解。
难度：一般能力：知识运用用途：作业，考试，自测知识点：附录I平面图形的几何性质题型：问答题Ⅰ.4试计算题Ⅰ.2中各平面图形对形心轴y C的惯性矩。
答案：见习题答案。
解析：利用组合图形求惯性矩的方法和平移轴公式。
难度：一般能力：熟练计算用途：作业，考试，自测知识点：附录I平面图形的几何性质题型：问答题Ⅰ.5薄壁圆环的平均半径为r，厚度为δ(r≫δ)，试证薄壁圆环对任意直径的惯性矩为I=πr3δ，对圆心的极惯性矩为I p=2πr3δ。
答案：略。
解析：分别用半径是r+δ2实心圆的惯性矩和极惯性矩减去半径是r−δ2实心圆惯性矩和极惯性矩，化简并略去高阶小量。
难度：一般能力：熟练计算用途：作业，考试，自测知识点：附录I平面图形的几何性质题型：问答题Ⅰ.6计算图示半圆形对形心轴y C的惯性矩。
答案：见习题答案。
解析：先算出形心位置，半圆图形对y轴的惯性矩是整个圆对y轴的惯性矩的一半，再利用平移轴公式计算。
难度：一般能力：熟练计算用途：作业，考试，自测知识点：附录I平面图形的几何性质题型：问答题Ⅰ.7计算图示图形对y、z轴的惯性积I yz。
答案：见习题答案。
解析：（a）利用平移轴公式计算；（b）用积分法计算。
难度：一般能力：熟练计算用途：作业，考试，自测知识点：附录I平面图形的几何性质题型：问答题Ⅰ.8计算下列图形对y、z轴的惯性矩I y、I z和惯性积I yz。
材料力学附录I
§I.1 静矩和形心
z
一、基本概念
dA
1.静矩（或一次矩）
C
z
z
z dA ——微面积对y轴的静矩
O
y dA ——微面积对z轴的静矩
y
y
y
S y
zdA
A
——整个平面图形对y轴的静矩
Sz
ydA
A
——整个平面图形对z轴的静矩
（I.1）
常用单位：m3 或mm3 。 数值：可心的计算方法
80 2
50mm
z2 5mm
所以 y A1 y1 A2 y2 23mm A1 A2
z A1z1 A2z2 38mm A1 A2
z 10
1
y1
z1
2 z2
10
O y2
y
90
方法2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
z
负面积
C2 C1
C1（0,0） C2（5,5）
y
y yi Ai y1 A1 y2 A2
为什么要研究截面图形的几何性质
研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、 刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形 状和尺寸有关的量。
这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性 矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。
因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩 形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、 形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积 分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴 定理。
I y
z2dA
A
h/2 bz2dz bh3
h / 2
12
z
同样,可求得:
dz
hb3
刘鸿文版材料力学附录
2
2
=
Iy +Iz 2
+
Iy −Iz 2
Hale Waihona Puke cos 2α − I yz sin 2α
转轴公式：
=1 yI =1zI
2 2
+ −
2 2
− +
−+ −+
αα αα αα
zyzy
zyzy
Iy−Iz + =11 zyI 2
2cos2sin
主惯性轴方位： 设正交坐标轴y0 、z0 是主惯性轴，其方位 角为α 0 ，则
I y 0 z0 =
Iy −Iz 2
sin 2α 0 + I yz cos 2α 0 = 0
2 I yz tan 2α 0 = − Iy −Iz
主惯性矩公式：
Iy +Iz I0 = y 2 Iy +Iz Iz0 = − 2 I y − I z + 2 I y − I z 2 + I yz 2
Iy Aiy 或 iy =
2
Iy A Iz A
I z = A iz
2
或 iz =
i y 、iz 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
二、极惯性矩
z
I p = ∫ A ρ dA
2
y
dA z
ρ
2 Θ ρ 2= y + z
2
∴ Ip =Iy +Iz
O
y
例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。
解：
2
0
37.3 或 52.7
I yz = 0
材料力学附录I
tg 2α 0 =−
2 I xCyC I xC − I yC
⎧ I x −I y 2 2 ⎪ I x0 I x + I y ± ( ) + I xy 主惯性矩： ⎨ = 2 2 ⎪ ⎩ I y0
2.形心主轴和形心主惯性矩： 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之 惯性矩，称为形心主惯性矩
2 A
y r z
dA
y
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
I yz = ∫ yzdA
A
如果 y 或 z 是对称轴，则Iyz =0
附录 I.3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）
z y a r b
以形心为原点，建立与原坐标轴
zC dA C z y
平行的坐标轴如图 ⎧ y = yC + a ⎨ z = zC + b yC ⎩ 2
dA y1 x1 x
α
I x + I y ⎛ I x −I y ⎞ ⎟ +⎜ − I x1 = cos 2 α I sin 2 α xy ⎟ 2 ⎜ 2 ⎝ ⎠
I x + I y ⎛ I x −I y ⎞ −⎜ I y1 = cos2α −I xy sin2α ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎛ I x −I y ⎞ I x1 y1 =⎜ ⎜ 2 sin2α + I xy cos2α ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
dS z = dA ⋅ y
y z y dA
S y = ∫ dS y = ∫ zdA
A A
S z = ∫ dS z = ∫ ydA
A A
二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)
yd m ∫ m y=
材料力学课件 4附录
I xy I x y abA
平行移轴定理
y’ y
α
x’ x
结论 :
1 2 ( I y I x ) cos 2 I xy sin 2
I y
1 2
(I y I x )
I x
1 2
(I y I x )
1 2
1 2
( I y I x ) cos 2 I xy sin 2
x
i
ci
Ai
组合图形的面积 组合图形的形心公 式为
A
A
i i
i
xc
x
i
ci
AiALeabharlann iiyc yci A i
A
i
i
二、几何图形的二次矩
惯性矩 ( moment of inertia )
y
x
Ix
dA y
A
y dA
2
Iy
A
x dA
2
r
惯性积 ( product of inertia )
不为零
习
题
A-1 A-3 A-5 A-7 A-8 (a)(c.) A-9
本章内容结束
形心 ( center of an area ) 公式
xc 1
x
x dA A
A
Sy A
yc
1
y dA A
A
Sx A
S x yc A
S y xc A
重要结论 坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。
组合图形(combined area) 组合图形的面积矩
Sy
S
i
yi
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注意: C点必须为形心
例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。
y
解 ：求解此题有两种方法：
d O
一是按定义直接积分；
x
二是用平行移轴定理等知识求。
A
B
建立形心坐标如图,求图形对形
心轴的惯性矩。
I
x
I
y
IP 2
d 4
64
I
d 4
32
I
x
I
y
圆
2
I
x
I
AB
I
x
d
2
Ad 4
64
d
4
4
5d
64
4
附录 I§1-4 惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩
b
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
y1
x1xcos ysin y1xsin ycos
y
x x1
dA y y1
x1 x
I
x1
I
x
I 2
y
I
x
I 2
y
cos2
I
xy
sin
2
I
y1
I
x
I 2
y
I
x
I 2
y
cos2
I
xy
sin
2
I
x1 y1
I
x
I 2
y
sin
2
I
xy
cos2
I x1 I y1 I x I y
二、极惯性矩： A
y
是面积对极点的二次矩。
x
I 2dAIxI y
A
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
Ixy xydA
A
y 如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0
x dA
y
x
附录 I§1-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）
y
yC
x
dA
a
质心： y
x mxdm
m 等厚
ydm 均质
y m m
xtdA
A
xtdA A
S
y
tA
A A 等于形心坐标
ytdA
A
A
ytdA
S
x
tA A A
x dA
x yy
累加式:x
y
xi Ai
A (正负面积法公式 ) yi Ai
A
S y Ax Ai xi
x
Sx Ay Ai yi
例1 试确定下图的形心。
(
I
x
I 2
y
)2
I
2 xy
2.形心主轴和形心主惯性矩： 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之
惯性矩，称为形心主惯性矩
tg
2
0
2I I xC
xC yC
I yC
形心主惯性矩：
I I
xC0 yC0
I
xC
I 2
yC
(
I
xC
I 2
yC
)2
I
2 xCyC
3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系
1.5d(2d )3 3d 2 (0.177 d )2[d 4 d 2 (0.5d0.177 d )2 ]0.685 d 4
12
64 4
y
I
yC
I
矩xC
I圆xC
(1.5d )32d 12
d 4
64
0.513
d
4
d
yC
x1
2d
I xCyC0
O
x
xC yC轴便是形心主轴
xC
I I xC、 yC便是形心主惯性矩
②计算面积和面积矩
③求形心位置
x
Sy A
xi Ai A
y
Sx A
yi Ai A
④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC
⑤求形心主轴方向 — 0
tg20
2I xCyC I xC I yC
⑥求形心主惯性矩
I I
xC0 yC0
I
xC
I 2
yC
(
I
xC
I 2
y
C
)
2
I
2 xCyC
例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)
负面积
C2 C1
C1（0,0） C2（5,5）
x
x
xi
Ai
x 1
A1
x
2
A2
A
A1A2
5(70110) 20.3 1208070110
图(b)
附录 I§1-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
一、惯性矩：(与转动惯量类似）
是面积与它到轴的距离的平方之积。
Ix y2dA
y
A
I y x2dA
x dA
附录 I§1-1 面积矩与形心位置 一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)
是面积与它到轴的距离之积。
y
m a x
Nmax A
;
Mn
GI P
;
max
M n max WP
x
ห้องสมุดไป่ตู้dA
y
x
dSx dAy
dS y dAx
S x dS x ydA
A
A
Sy dSy xdA
A
A
二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时；恰好有
I
x0
y0
(
I
x
I 2
y
s
in2
0
I
x
y
cos2
0
)0
与 0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主
轴之惯性矩主惯性矩。
tg20
2I xCyC I xC I yC
主惯性矩：II
x0 y0
I
x
I 2
y
10
y
解 ： 组合图形，用正负面积法解之。
C2
C1(0,0)
1.用正面积法求解，图形分割及坐标
C2(-35,60)
如图(a)
120 10
C1 80
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
x
A
A1A2
图(a)
3510110 20.3 101108010
y 6010110 34.7 101108010
y
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
y
d
yC
x1
解： ①建立坐标系如图。
2d
O
x
xC
b
②求形心位置。
x
xi Ai 0 0 AA
y
yi A
Ai
d d 2
2 3d 2
4
d
2
0.177d
4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
I xC I矩xC I圆xC I矩x A矩 y 2 [I圆x1A圆 (0.5dy)2 ]
bC y
I x I xC b2 A
以形心为原点，建立与原坐标轴平行
的坐标轴如图
xaxC yb yC
xC
I x
y 2dA
A
x
(
A
yC
b)
2
dA
SxC AyC 0
(
A
yC2
2byC
b
2
)dA
I xC2bSxCb2 A
I x I xC b2 A I y I yC a2 A I xy I xCyC abA I IC (ab)2 A