第二章角动量
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2.何时M 为零？ a. F 0 b.力的作用线与轴相交 c.受到有心力作用
注意：
3.如果力 F 的方向始终指向一个固定点，则该力就称为
有心力，该固定点称为这个力的力心。 受到有心力作用的物体，相对于力心，其所受力矩为零。
【补充例】一质量为m的质点沿着一条空间曲线运 动，该曲线在直角坐标下的矢径为：
联立求解，得
(2)人造地球卫星在近地点处的法向加速度分量为
利用
an
1
v
2 1
得近地点处轨道的曲率半径为
1 2 2 Rg / 3 8R v1 an g/4 3
【例2-32】如图所示，质量为m的飞船绕质量为M的 地球作匀速圆周运动，轨道半径为3R(R为地球半径)， 它的运行速率v0为多少?飞船在此处要将它的运动速 度至少增加到v1为多少时，才能飞离地球?若飞船在 3R处将速度增加到v1后关闭发动机，在离地心为12R 处，它的切向加速度分量at为多少?该处轨道的曲率 半径为多少(用地球半径R以及地球表面附近的重力 加速度g表示结果)?
L (4i 3 j ) 6mj 24m k (Z轴正方向)
解：分析 L r mv, r 4i 3 j
0
x
思考：该时刻质点受到的对0点
利用
的力矩的大小和方向？
M r F
【补充例】 t=0时，质量为m的质点由 P点自由下落。 问：1. 在任意t时刻，质点所受的对原点O的力矩? 2.在任意t时刻，质点对原点O的角动量。 O b 解: 在任意t时刻 F mgj 1 2 r xi yj bi gt j v gt j 2 y 1 2 M r F ( bi gt j ) mgj bmg k
y
v2
近地点
远地点
O
x
v1
y
v2
近地点 远地点
O
x
v1
解： (1)系统内的作用力是有心力，且为保守力，因此 系统对地心的角动量守恒。
在远地点和近地点，速度与相对于O点的位置矢 量垂直，所以有
机械能守恒
等式两边分别为卫星在近地点和远地点时的 角动量及机械能。引力势能的一般表示式为
考虑到在地面附近 故
二、质点的角动量、角动量定理 在惯性参考系中，一质点 的角动量 L
z
L r p r mv
p
r
为质点的位置矢量
方向由右手螺旋规则确定
大小： L pr sin 由矢量微商法则
x
O
r
P
y
得
dL dr d p pr dt dt dt
§2.3 角动量定理
力矩是通过分析引起转动状态改变的原因而引入的。 本部分通过研究力矩的时间累积效应，引进冲量矩的 概念，建立刻画与力矩的作用效果有关的质点运动 状态的另一描述量—角动量，推导出质点角动量定 理，并将之推广到质点系的一般情形，并考虑了重 要的力矩的时间累计效应为零这一特殊情形。作为 力学基本定理的总结，本部分扼要介绍对称性与守 恒律的问题。 本 §2.3 .1 质点角动量定理与角动量守恒定律 部 §2.3 .2 质点角动量定理与角动量守恒定律 分 内 §2.4 对称性与守恒定律 容
r a cost i b sint j
其中a、b、 皆为常数，求该质点对原点的角动量。
d r 解： v a sin t i b cos t j d r v dt a sin t i b cos tj
【补充例】质点的圆周运动 （对圆心的）角动量：
L
m
v
【补充例】 行星在绕太阳公转时的椭圆轨 道运动对定点（太阳）的角动量： L
大小： L mvr sin
L r p m(r v)
v
o
r
θ
方向：垂直于轨道平面
【补充例】 一质量为m、长为L的均匀细棒， 可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转 动，已知细棒与桌面的摩擦因素为 ,求棒转动 时受到的摩擦力矩的大小。
z
v
v0
设小球上升到碗口时速度为v，沿水平方向，则在此 处小球对点O的角动量沿z方向，大小为
故 又，小球上升过程系统的机械能守恒，即
2 gr v0 cos 0
【补充例】在半角为α的圆锥面内壁距顶角h 的高处，有一个小球以初速度v0沿内壁水平方
向射出。设锥面内壁光滑。
（1）为使小球在高h处的水平面上作匀速圆 周运动，v0＝？； （2）若初速度为v1=2v0，求小球在运动过程 中的最大高度。
张力力矩
R mg v r mg v
合力力矩
R (mg T ) 0
R mv c
r (mg T ) r mg
r mv
v
【例2-29】如图所示，质点受轻绳的约束在光滑的水 平桌面上运动。开始时质点绕点O作半径为R0的匀速 圆周运动，速率为v0。若用外力F通过轻绳使质点的圆 周运动半径减小到R1，问质点的运动速率变为多少?动 能如何变化?
T
N
mg
解： 质点受到重力mg、桌面支持力N和绳子拉力T的共 同作用。选O为参考点，mg和N平衡，对点O的合 力矩为零。绳子拉力T通过点O，它的力矩也为零。
因此，所有作用力对点O的合力矩等于零。质点m 在运动过程中相对点O的角动量守恒，即
因此，得
质点动能的变化为
因为R1 < R0 ，所以△Ek>0，即质点的动能增加。增 加的这部分能量来源于力F所做的功。
d A B dA dB B A dt dt dt
r F M
v mv r F
dL M dt
质点对固定点O的角动量定理 在惯性参考系中，质点对固定参考点的角 动量在任意时刻的时间变化率等于质点在 该时刻所受合外力对该点的力矩。
角动量守恒定律
有时质点在运动过程中所受力矩在某个方向上的分量为零， 则在该方向上的角动量分量守恒，例如 时， (恒量)
dL M dt
如行星在太阳的万有引力的作用 下，显然，相对于太阳的力矩为 m · 零，相对于太阳的角动量不变， v F 不但大小不变，而且方向不变， r 行星的轨道在同一平面内。
dS const . dt
力
动量
冲量
力与动量
F P mv t I t12 F dt
d mv F dt
力矩
角动量
冲量矩
M rF L r mv t2 t1 Mdt
力矩与角动量
dL M dt
动量定理(冲量与动量)
z
i j k j k i k i j
M r F x
k
i
j
P
x
i j y Fy k z Fz
O
y
( yFz zFy )i
M xi M y j M z k
Fx
( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
【例2-30】 将一质点沿一个半径为 r 的光滑半球形 碗的内面水平地投射, 碗保持静止, 如图, 设 v0 是质 点恰好能达到碗口所需的初速率。(1) 试说明质点为 什么能到达碗口? (2) 求 v0 与 0 的关系。 (0 是质点 的初始角位置，O为球心) z 解： (1)如图，设碗对小球的支持力 为N，其水平分量提供了小球 绕 z轴做圆周运动的向心力。 v0 0 小球圆周运动的速度v0越大， N就越大，当Ncos 0>mg时， 小球将向上加速，向碗口运动。 当v0大到一定程度时，小球能到达 甚至飞出碗口。 (2)由题设条件， v0与0满足小球刚好能到达碗口,即 小球到达碗口时速度沿水平方向,沿碗口作圆周运动。
【补充例】 一质量为m的质点以速率v作 圆锥摆运动。
求 分别以圆心O 和悬挂点A 为参考点，分析张力力矩、 重力力矩、 合力力矩 和质点的角动量。
A
r T r mv
m
R
mg
重力力矩
解
v
O
角动量
R T O 方向 v r T 0 A 方向
dt
L r mv
2 2 mab k mab cos t k mab sin t k
【补充例】质量为 m 的质点，某时刻的位置如图， y 速度为 v 6 j 受力为 F 2 j （4，3） 求：该时刻质点对 0点的角动量 L ？ （SI）
N
【解】（1）小球受力： 重力mg，约束反力 N。小球的运动方程
h
v0
α
mg
(2) 当初速度v1＝2v0时，
平衡不成立。小球 作螺旋运动。机械 能守恒，设上升得 最大高度x，其速 度为v2 ，则
N
x v1
mg
h
α
以圆锥顶点为参考点，合力矩方向始终在水平面内， 所以沿圆锥轴线得角动量分量守恒
（ 4）
上两式联立可得
2h gh v2 h x
x 2， ＝ 2 3 3h
（ 5）
由（4）、（5）式得到
x 3h x 0
3
得：
x 3h
【例2-31】如图所示，人造地球卫星近地点离地r1=2R (R为地球半径)，远地点离地心r2=4R。求：(1)卫星在 近地点及远地点的速率v1和v2。 (用地球半径R以及地球 表面附近的重力加速度g表示)；(2)卫星运行轨道在 近地点的曲率半径。
L
L mrvsin L0
S
L mrvsin L0
开普勒第二定律
L
F
v r
m
dr
L mvr sin
m dr r sin
dt 1 r dr sin dS 2 2m 2m dt dt
dr r dr r 三角形面积
2
M r F
L r mv
P x
1 2 L r m v b i gt j mgtj bmgtk 2
方向垂直于纸面向里
o r L r (mv) mr v (r v) 大小：L mvr sin mvr 方向：
定义冲量矩：
tb
ta
b Mdt dL Lb La
a
角动量定理的另一形式 在惯性参考系中，质点所受合外力在其任一运动过程 中对任一固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量在 该过程中的增量。
1. r 为物体相对于指定参考点的位矢，所以求物体所受 的力矩时必须先指明参考点，相对于不同的参考点，对 应的位矢 r 不同。物体所受的力矩不同。
t2 t1
F dt m v 2 m v1
角动量定理(冲量矩与角动量)
t2 t1
L2 M dt L1 d L L 2 L1
动量守恒：某一时间间隔内， 角动量守恒：对固定参考点而 质点系所受外力矢量和始终 言，质点受到的合力矩始终为 为零，… 零，…
z
到达碗口后，沿碗 口作圆周运动
v
沿碗面螺旋上升
v0
z
0
v0
Βιβλιοθήκη Baidu
在小球上升过程中，相对于参考点O，支持力N的力 矩为零，但小球所受重力矩不为零（始终在水平面 内），即合力矩即重力矩M≠0，这样，小球对点O的 角动量不守恒。 但是，由于重力矩M在z方向的分量为零，即Mz=0， 所以，小球在上升过程中对点O的角动量L在z方向的 分量守恒, 为
§2.3.1 质点的角动量定理 一、力矩 M 力对参考点O的力矩：
z
r
M r F
为力的作用点的位置矢量
x
O
r
P
F
y
方向由右手螺旋规则确定。
力矩大小：
M Fr sin
在直角坐标系中
r xi yj zk
F Fxi Fy j Fz k
o
x
dx
x
解： 如图，距O点为x，长为dx的质元dm m 的质量 dm dx
其所受阻力矩
M xdmg
l dM x(dm g) mg L 1
l
x
0
xdx
2
mgL
o
dx x
三、质点角动量守恒定律
若外力对某个固定点O的力矩为零时，即 M 0 ， 则对同一固定点O的角动量不变，即 L L0
注意：
3.如果力 F 的方向始终指向一个固定点，则该力就称为
有心力，该固定点称为这个力的力心。 受到有心力作用的物体，相对于力心，其所受力矩为零。
【补充例】一质量为m的质点沿着一条空间曲线运 动，该曲线在直角坐标下的矢径为：
联立求解，得
(2)人造地球卫星在近地点处的法向加速度分量为
利用
an
1
v
2 1
得近地点处轨道的曲率半径为
1 2 2 Rg / 3 8R v1 an g/4 3
【例2-32】如图所示，质量为m的飞船绕质量为M的 地球作匀速圆周运动，轨道半径为3R(R为地球半径)， 它的运行速率v0为多少?飞船在此处要将它的运动速 度至少增加到v1为多少时，才能飞离地球?若飞船在 3R处将速度增加到v1后关闭发动机，在离地心为12R 处，它的切向加速度分量at为多少?该处轨道的曲率 半径为多少(用地球半径R以及地球表面附近的重力 加速度g表示结果)?
L (4i 3 j ) 6mj 24m k (Z轴正方向)
解：分析 L r mv, r 4i 3 j
0
x
思考：该时刻质点受到的对0点
利用
的力矩的大小和方向？
M r F
【补充例】 t=0时，质量为m的质点由 P点自由下落。 问：1. 在任意t时刻，质点所受的对原点O的力矩? 2.在任意t时刻，质点对原点O的角动量。 O b 解: 在任意t时刻 F mgj 1 2 r xi yj bi gt j v gt j 2 y 1 2 M r F ( bi gt j ) mgj bmg k
y
v2
近地点
远地点
O
x
v1
y
v2
近地点 远地点
O
x
v1
解： (1)系统内的作用力是有心力，且为保守力，因此 系统对地心的角动量守恒。
在远地点和近地点，速度与相对于O点的位置矢 量垂直，所以有
机械能守恒
等式两边分别为卫星在近地点和远地点时的 角动量及机械能。引力势能的一般表示式为
考虑到在地面附近 故
二、质点的角动量、角动量定理 在惯性参考系中，一质点 的角动量 L
z
L r p r mv
p
r
为质点的位置矢量
方向由右手螺旋规则确定
大小： L pr sin 由矢量微商法则
x
O
r
P
y
得
dL dr d p pr dt dt dt
§2.3 角动量定理
力矩是通过分析引起转动状态改变的原因而引入的。 本部分通过研究力矩的时间累积效应，引进冲量矩的 概念，建立刻画与力矩的作用效果有关的质点运动 状态的另一描述量—角动量，推导出质点角动量定 理，并将之推广到质点系的一般情形，并考虑了重 要的力矩的时间累计效应为零这一特殊情形。作为 力学基本定理的总结，本部分扼要介绍对称性与守 恒律的问题。 本 §2.3 .1 质点角动量定理与角动量守恒定律 部 §2.3 .2 质点角动量定理与角动量守恒定律 分 内 §2.4 对称性与守恒定律 容
r a cost i b sint j
其中a、b、 皆为常数，求该质点对原点的角动量。
d r 解： v a sin t i b cos t j d r v dt a sin t i b cos tj
【补充例】质点的圆周运动 （对圆心的）角动量：
L
m
v
【补充例】 行星在绕太阳公转时的椭圆轨 道运动对定点（太阳）的角动量： L
大小： L mvr sin
L r p m(r v)
v
o
r
θ
方向：垂直于轨道平面
【补充例】 一质量为m、长为L的均匀细棒， 可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转 动，已知细棒与桌面的摩擦因素为 ,求棒转动 时受到的摩擦力矩的大小。
z
v
v0
设小球上升到碗口时速度为v，沿水平方向，则在此 处小球对点O的角动量沿z方向，大小为
故 又，小球上升过程系统的机械能守恒，即
2 gr v0 cos 0
【补充例】在半角为α的圆锥面内壁距顶角h 的高处，有一个小球以初速度v0沿内壁水平方
向射出。设锥面内壁光滑。
（1）为使小球在高h处的水平面上作匀速圆 周运动，v0＝？； （2）若初速度为v1=2v0，求小球在运动过程 中的最大高度。
张力力矩
R mg v r mg v
合力力矩
R (mg T ) 0
R mv c
r (mg T ) r mg
r mv
v
【例2-29】如图所示，质点受轻绳的约束在光滑的水 平桌面上运动。开始时质点绕点O作半径为R0的匀速 圆周运动，速率为v0。若用外力F通过轻绳使质点的圆 周运动半径减小到R1，问质点的运动速率变为多少?动 能如何变化?
T
N
mg
解： 质点受到重力mg、桌面支持力N和绳子拉力T的共 同作用。选O为参考点，mg和N平衡，对点O的合 力矩为零。绳子拉力T通过点O，它的力矩也为零。
因此，所有作用力对点O的合力矩等于零。质点m 在运动过程中相对点O的角动量守恒，即
因此，得
质点动能的变化为
因为R1 < R0 ，所以△Ek>0，即质点的动能增加。增 加的这部分能量来源于力F所做的功。
d A B dA dB B A dt dt dt
r F M
v mv r F
dL M dt
质点对固定点O的角动量定理 在惯性参考系中，质点对固定参考点的角 动量在任意时刻的时间变化率等于质点在 该时刻所受合外力对该点的力矩。
角动量守恒定律
有时质点在运动过程中所受力矩在某个方向上的分量为零， 则在该方向上的角动量分量守恒，例如 时， (恒量)
dL M dt
如行星在太阳的万有引力的作用 下，显然，相对于太阳的力矩为 m · 零，相对于太阳的角动量不变， v F 不但大小不变，而且方向不变， r 行星的轨道在同一平面内。
dS const . dt
力
动量
冲量
力与动量
F P mv t I t12 F dt
d mv F dt
力矩
角动量
冲量矩
M rF L r mv t2 t1 Mdt
力矩与角动量
dL M dt
动量定理(冲量与动量)
z
i j k j k i k i j
M r F x
k
i
j
P
x
i j y Fy k z Fz
O
y
( yFz zFy )i
M xi M y j M z k
Fx
( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
【例2-30】 将一质点沿一个半径为 r 的光滑半球形 碗的内面水平地投射, 碗保持静止, 如图, 设 v0 是质 点恰好能达到碗口所需的初速率。(1) 试说明质点为 什么能到达碗口? (2) 求 v0 与 0 的关系。 (0 是质点 的初始角位置，O为球心) z 解： (1)如图，设碗对小球的支持力 为N，其水平分量提供了小球 绕 z轴做圆周运动的向心力。 v0 0 小球圆周运动的速度v0越大， N就越大，当Ncos 0>mg时， 小球将向上加速，向碗口运动。 当v0大到一定程度时，小球能到达 甚至飞出碗口。 (2)由题设条件， v0与0满足小球刚好能到达碗口,即 小球到达碗口时速度沿水平方向,沿碗口作圆周运动。
【补充例】 一质量为m的质点以速率v作 圆锥摆运动。
求 分别以圆心O 和悬挂点A 为参考点，分析张力力矩、 重力力矩、 合力力矩 和质点的角动量。
A
r T r mv
m
R
mg
重力力矩
解
v
O
角动量
R T O 方向 v r T 0 A 方向
dt
L r mv
2 2 mab k mab cos t k mab sin t k
【补充例】质量为 m 的质点，某时刻的位置如图， y 速度为 v 6 j 受力为 F 2 j （4，3） 求：该时刻质点对 0点的角动量 L ？ （SI）
N
【解】（1）小球受力： 重力mg，约束反力 N。小球的运动方程
h
v0
α
mg
(2) 当初速度v1＝2v0时，
平衡不成立。小球 作螺旋运动。机械 能守恒，设上升得 最大高度x，其速 度为v2 ，则
N
x v1
mg
h
α
以圆锥顶点为参考点，合力矩方向始终在水平面内， 所以沿圆锥轴线得角动量分量守恒
（ 4）
上两式联立可得
2h gh v2 h x
x 2， ＝ 2 3 3h
（ 5）
由（4）、（5）式得到
x 3h x 0
3
得：
x 3h
【例2-31】如图所示，人造地球卫星近地点离地r1=2R (R为地球半径)，远地点离地心r2=4R。求：(1)卫星在 近地点及远地点的速率v1和v2。 (用地球半径R以及地球 表面附近的重力加速度g表示)；(2)卫星运行轨道在 近地点的曲率半径。
L
L mrvsin L0
S
L mrvsin L0
开普勒第二定律
L
F
v r
m
dr
L mvr sin
m dr r sin
dt 1 r dr sin dS 2 2m 2m dt dt
dr r dr r 三角形面积
2
M r F
L r mv
P x
1 2 L r m v b i gt j mgtj bmgtk 2
方向垂直于纸面向里
o r L r (mv) mr v (r v) 大小：L mvr sin mvr 方向：
定义冲量矩：
tb
ta
b Mdt dL Lb La
a
角动量定理的另一形式 在惯性参考系中，质点所受合外力在其任一运动过程 中对任一固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量在 该过程中的增量。
1. r 为物体相对于指定参考点的位矢，所以求物体所受 的力矩时必须先指明参考点，相对于不同的参考点，对 应的位矢 r 不同。物体所受的力矩不同。
t2 t1
F dt m v 2 m v1
角动量定理(冲量矩与角动量)
t2 t1
L2 M dt L1 d L L 2 L1
动量守恒：某一时间间隔内， 角动量守恒：对固定参考点而 质点系所受外力矢量和始终 言，质点受到的合力矩始终为 为零，… 零，…
z
到达碗口后，沿碗 口作圆周运动
v
沿碗面螺旋上升
v0
z
0
v0
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在小球上升过程中，相对于参考点O，支持力N的力 矩为零，但小球所受重力矩不为零（始终在水平面 内），即合力矩即重力矩M≠0，这样，小球对点O的 角动量不守恒。 但是，由于重力矩M在z方向的分量为零，即Mz=0， 所以，小球在上升过程中对点O的角动量L在z方向的 分量守恒, 为
§2.3.1 质点的角动量定理 一、力矩 M 力对参考点O的力矩：
z
r
M r F
为力的作用点的位置矢量
x
O
r
P
F
y
方向由右手螺旋规则确定。
力矩大小：
M Fr sin
在直角坐标系中
r xi yj zk
F Fxi Fy j Fz k
o
x
dx
x
解： 如图，距O点为x，长为dx的质元dm m 的质量 dm dx
其所受阻力矩
M xdmg
l dM x(dm g) mg L 1
l
x
0
xdx
2
mgL
o
dx x
三、质点角动量守恒定律
若外力对某个固定点O的力矩为零时，即 M 0 ， 则对同一固定点O的角动量不变，即 L L0