福建省厦门市湖滨中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
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4．D
【解析】
【分析】
由不等式的基本性质逐个分析即可.
【详解】
由 ，可得 ， ， ， ，即A,B,C都成立，D不可能成立.故选D.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质.由基本性质推理或特殊值验证求解.
5．B
【解析】
分析：对所求式子利用对数的运算法则计算，再利用等比数列的性质化简即可.
详解： .
故选：B.
（2）设 ，若 是递增数列，求实数a的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
利用因式分解，结合一元二次不等式的解法求不等式．
【详解】
∵ ，∴ ，解得 ，∴不等式的解集为 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，解集的定义，属于基础题．
2．C
【分析】
由题意可得，数列 为以1为首项以2为公差的等差数列，根据等差数列的前n项和公式计算即可．
【详解】
设球的半径为R，正方体棱长为a，则 ， ，2R＝ a，得a＝2，所以S＝6×2 ＝24.
故选：A．
【点睛】
本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，考查空间想象能力，属于基础题．
8．B
【分析】
由两角和、差的余弦和正弦定理可得： 为正三角形，设 ，由基本不等式得：S△ACD＝ ＝ ＝ （当且仅当x＝2﹣x即x＝1时取等号）得解．
【详解】
在 中，
对于A，若 ，则 或 ，
当A＝B时，△ABC为等腰三角形；
当 时，△ABC为直角三角形，故A不正确，
对于B，若 ，则 ，由正弦定理得 ，即 成立．故B正确；
对于C，由余弦定理可得：b＝ ＝ ，只有一解，故C错误；
对于D，若 ，由正弦定理得 ，∴ ，∴C为钝角，∴ 是钝角三角形，故DLeabharlann Baidu确；
福建省厦门市湖滨中学【最新】高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．不等式 的解集是（）
A． B．
C． 或 D． 且
2．已知数列 满足 ， ，则数列 的前5项和 （）
A．9B．16C．25D．36
3．在 中，若 ， ，则 （）
A．2B．1C． D．
4．若 ，则下列不等式不可能成立的是()
A． B． C． D．
5．在等比数列 中， ，则 （）
A．1B．2C． D．3
6．若 ，则 的最小值是（）
A．2B．aC．3D．4
7．一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积为 ，则该正方体的表面积为（）
A．24B．36C．48D．64
14．如图，港口A北偏东 方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站7海里，该轮船从B处沿正西方向航行3海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离5海里，则此时轮船离港口A有________海里.
15．已知数列 中， ， .若数列 为等差数列，则 ________.
16．已知 ，若不等式 恒成立，求 的最大值为____.
如图所示，设 ，则 ，由已知得0＜x＜2，则S△ACD＝ ＝ ＝ （当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时取等号）
故选：B
【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式求最值，根据三角函数的值求角，属于中档题．
9．BD
【分析】
对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可．
点睛：此题考查了等比数列的性质，以及对数的运算性质，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键.
6．C
【分析】
利用基本不等式化简求解即可．
【详解】
因为 ，所以 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
故选：C．
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，函数的最值的求法，属于基础题．
7．A
【分析】
由球的体积求出正方体的对角线，然后求出正方体的棱长，再求它的表面积．
20．在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，且 .
（1）求证： 成等比数列；
（2）若 的面积是2，求 边的长.
21．已知△ 中，角 、 、 成等差数列，且 ．
（1）求角 、 、 ；
（2）设数列 满足 ，前 项为和 ，若 ，求 的值．
22．已知正数数列 的前n项和为 ，满足 ， .
（1）求数列 的通项公式，若 恒成立，求k的范围；
四、解答题
17．已知函数 .
（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（2）当 时，对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
18．如图，在四边形ABCD中， ， ， .
（1）求 的大小；
（2）若 ， ，求AD的长.
19．数列 是公比大于1的等比数列， ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，若 ，求n的最小值.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，①
因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，由正弦定理得：sin2B＝sinAsinC，②
①﹣②得： ，
化简得：4cos2B+4cosB﹣3＝0，解得：cosB＝ 或cosB＝ （舍），又0＜B＜π，所以B＝ ，
①+②： ， cos（A﹣C）＝1，即A﹣C＝0，即A＝C，即三角形ABC为正三角形，
A．直三棱柱侧面积是 B．直三棱柱体积是
C．三棱锥 的体积为定值D． 的最小值为
三、填空题
11．设 为等比数列 的前 项和，若 ，则 ___________．
12．如图，矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 ， ，则原图形周长是________.
13．设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，则 的外接圆半径为________.
8．设 的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列， ，延长BC至D，若 ，则 面积的最大值为（）
A．2B． C． D．
二、多选题
9．对于 ，有如下判断，其中正确的判断是（）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．若 ，则
C．若 ， ， ，则符合条件的 有两个
D．若 ，则 是钝角三角形
10．如图，直三棱柱 中， ， ， ，侧面 中心为O，点E是侧棱 上的一个动点，有下列判断，正确的是（）
【详解】
∵ ， ，即 ，∴ 数列为以1为首项，以2为公差的等差数列，∴ .
故选：C．
【点睛】
本题考查了等差数列的定义和求和公式的应用，属于基础题.
3．A
【分析】
利用正弦定理列出关系式，将sinB，AC的值代入即可求出所求式子的值．
【详解】
∵在 中，若 ， ，∴由正弦定理 ＝2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．
【解析】
【分析】
由不等式的基本性质逐个分析即可.
【详解】
由 ，可得 ， ， ， ，即A,B,C都成立，D不可能成立.故选D.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质.由基本性质推理或特殊值验证求解.
5．B
【解析】
分析：对所求式子利用对数的运算法则计算，再利用等比数列的性质化简即可.
详解： .
故选：B.
（2）设 ，若 是递增数列，求实数a的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
利用因式分解，结合一元二次不等式的解法求不等式．
【详解】
∵ ，∴ ，解得 ，∴不等式的解集为 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，解集的定义，属于基础题．
2．C
【分析】
由题意可得，数列 为以1为首项以2为公差的等差数列，根据等差数列的前n项和公式计算即可．
【详解】
设球的半径为R，正方体棱长为a，则 ， ，2R＝ a，得a＝2，所以S＝6×2 ＝24.
故选：A．
【点睛】
本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，考查空间想象能力，属于基础题．
8．B
【分析】
由两角和、差的余弦和正弦定理可得： 为正三角形，设 ，由基本不等式得：S△ACD＝ ＝ ＝ （当且仅当x＝2﹣x即x＝1时取等号）得解．
【详解】
在 中，
对于A，若 ，则 或 ，
当A＝B时，△ABC为等腰三角形；
当 时，△ABC为直角三角形，故A不正确，
对于B，若 ，则 ，由正弦定理得 ，即 成立．故B正确；
对于C，由余弦定理可得：b＝ ＝ ，只有一解，故C错误；
对于D，若 ，由正弦定理得 ，∴ ，∴C为钝角，∴ 是钝角三角形，故DLeabharlann Baidu确；
福建省厦门市湖滨中学【最新】高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．不等式 的解集是（）
A． B．
C． 或 D． 且
2．已知数列 满足 ， ，则数列 的前5项和 （）
A．9B．16C．25D．36
3．在 中，若 ， ，则 （）
A．2B．1C． D．
4．若 ，则下列不等式不可能成立的是()
A． B． C． D．
5．在等比数列 中， ，则 （）
A．1B．2C． D．3
6．若 ，则 的最小值是（）
A．2B．aC．3D．4
7．一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积为 ，则该正方体的表面积为（）
A．24B．36C．48D．64
14．如图，港口A北偏东 方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站7海里，该轮船从B处沿正西方向航行3海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离5海里，则此时轮船离港口A有________海里.
15．已知数列 中， ， .若数列 为等差数列，则 ________.
16．已知 ，若不等式 恒成立，求 的最大值为____.
如图所示，设 ，则 ，由已知得0＜x＜2，则S△ACD＝ ＝ ＝ （当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时取等号）
故选：B
【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式求最值，根据三角函数的值求角，属于中档题．
9．BD
【分析】
对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可．
点睛：此题考查了等比数列的性质，以及对数的运算性质，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键.
6．C
【分析】
利用基本不等式化简求解即可．
【详解】
因为 ，所以 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
故选：C．
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，函数的最值的求法，属于基础题．
7．A
【分析】
由球的体积求出正方体的对角线，然后求出正方体的棱长，再求它的表面积．
20．在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，且 .
（1）求证： 成等比数列；
（2）若 的面积是2，求 边的长.
21．已知△ 中，角 、 、 成等差数列，且 ．
（1）求角 、 、 ；
（2）设数列 满足 ，前 项为和 ，若 ，求 的值．
22．已知正数数列 的前n项和为 ，满足 ， .
（1）求数列 的通项公式，若 恒成立，求k的范围；
四、解答题
17．已知函数 .
（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（2）当 时，对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
18．如图，在四边形ABCD中， ， ， .
（1）求 的大小；
（2）若 ， ，求AD的长.
19．数列 是公比大于1的等比数列， ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，若 ，求n的最小值.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，①
因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，由正弦定理得：sin2B＝sinAsinC，②
①﹣②得： ，
化简得：4cos2B+4cosB﹣3＝0，解得：cosB＝ 或cosB＝ （舍），又0＜B＜π，所以B＝ ，
①+②： ， cos（A﹣C）＝1，即A﹣C＝0，即A＝C，即三角形ABC为正三角形，
A．直三棱柱侧面积是 B．直三棱柱体积是
C．三棱锥 的体积为定值D． 的最小值为
三、填空题
11．设 为等比数列 的前 项和，若 ，则 ___________．
12．如图，矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 ， ，则原图形周长是________.
13．设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，则 的外接圆半径为________.
8．设 的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列， ，延长BC至D，若 ，则 面积的最大值为（）
A．2B． C． D．
二、多选题
9．对于 ，有如下判断，其中正确的判断是（）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．若 ，则
C．若 ， ， ，则符合条件的 有两个
D．若 ，则 是钝角三角形
10．如图，直三棱柱 中， ， ， ，侧面 中心为O，点E是侧棱 上的一个动点，有下列判断，正确的是（）
【详解】
∵ ， ，即 ，∴ 数列为以1为首项，以2为公差的等差数列，∴ .
故选：C．
【点睛】
本题考查了等差数列的定义和求和公式的应用，属于基础题.
3．A
【分析】
利用正弦定理列出关系式，将sinB，AC的值代入即可求出所求式子的值．
【详解】
∵在 中，若 ， ，∴由正弦定理 ＝2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．