西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案4

−2 0 ⎞ ⎛1 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 a + 6 1 ⎟ → ⎜ 0 −2 −4 2b ⎟ ⎝ ⎠
0 ⎞ ⎛1 1 0 ⎞ −2 −2 ⎛1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a+6 1 ⎟ → ⎜ 0 −1 a + 6 1 ⎟ ⎜ 0 −1 ⎜ 0 0 −2a − 16 2b − 2 ⎟ ⎜ 0 0 −a − 8 b − 1⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
6
2
试题四参考答案
一、填空题 （ 6 × 3 = 18 分） （1） _2____. （2）A
−1
=
A − 3E 1 . （3）k = 。 （4） A + E = __0___. 4 4
(6) m − r 维.
（5） B 的特征值为_0,0,3____.
二 解: 递推公式为 An = 2 An −1 − An − 2 ，即 An − An −1 = An −1 − An − 2 ， 由此得， An − An −1 = L = A2 − A1 = 3 − 2 = 1 ，即 An = An −1 + 1 ， 因此， An = n + 1 。 三 解： 以 α1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 为列向量作矩阵 A ， 并对 A 进行初等行变换：
k = _____.
（4）设 AA = E , 且 A < 0, 则 A + E = _____.
T
（5）已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，1，2，方阵 B = A − E ，则 B 的特
2
征值为_____. (6) 设 An×m 的秩为 r ，则方程组 Ax = 0 的解空间是_____维.
二、 （10 分）计算 n 阶行列式 2 1 0 L 0 0 1 2 1 L 0 0
⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 2 ⎥ ⎢ 6⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ， p3 = ⎢ p1 = ⎢ 0 ⎥ ， p2 = ⎢ − ⎥。 ⎥ 3 6 ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎦ ⎥ ⎣ ⎢ 6⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
对应的方程组为
⎧ x1 − 4 x3 = 1 T 令 x3 = 0 ，得特解η = (1, −1, 0 ) ⎨ ⎩ x2 + 2 x3 = −1 ⎧ x1 − 4 x3 = 0 x2 + 2 x3 = 0
T
对应的齐次方程组为 ⎨
⎩
取 x3 = 1 ，
得基础解系 ξ = ( 4, −2,1)
则通解为 x = η + kξ , k ∈ R
A=
0 1 2 L 0 0 L 0 0 L L 0 L 2 1
0 0 0 L 1 2 三、 （10 分）
α 3 = (0, 3, 1, 1),
α 1 = (2, 1, 5, 3), α 2 = (1, − 1, 2, 1),
设有向量组
α 4 = (1, 2, 3, 2), α 5 = (−1, 1, − 2, − 8) ，求向量组
⎡1 ⎤ ⎡ −1⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥。 ⎥， ⎢ ⎥， 因为 A 是实对称矩阵， 且 λ1 ≠ λ2 ≠ λ3 ， x1 = ⎢ ⎢ 0 ⎥ x2 = ⎢ −1⎥ x3 = ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦ ⎣1⎥ ⎦ ⎣1⎥ ⎦
所以特征向量 x1 , x2 , x3 必正交。把 x1 , x2 , x3 单位化，得
七 解：由于对称阵 A 的不同特征值对应的特征向量正交。 设 p = ( x1 , x2 , x3 ) 是 A 的 对 应 于 特 征 值 3 的 特 征 向 量 ， 由
T
5
( p, p1 ) = x1 + x2 + x3 = 0 得基础解系 为 p2 = ( −1,1, 0 )
T
, p3 = ( −1, 0,1)
T
它们是 A 对应于特征值 3 的两个线性无关的特征向量。
⎛1 1 1⎞ ⎛1 −1 −1⎞ 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 令 P = ( p1 , p2 , p3 ) = 1 1 0 ⎟ ，则 P = ⎜ −1 2 −1⎟ ⎜ 3⎜ ⎟ ⎜1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ −1 −1 2 ⎠ ⎛6 ⎞ ⎛6 ⎞ ⎛4 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ 且 P AP = 3 ⎟ ，于是 A = P ⎜ 3 ⎟ P ＝⎜1 4 1⎟ ⎜ ⎜1 1 4⎟ ⎜ ⎜ 3⎟ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
的秩和它的一个极大线性无关组。 四、 （12 分）通过正交变换将二次型
1
f = x 2 + 3 y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 xz 化为标准型，写出正交变换矩阵．
五、 （12 分）设 n 阶方阵 A ≠ 0 ，证明：存在一个 n 阶非零方阵 B ，使得
AB = 0 的充要条件是 A = 0 .
（1） 当 a = −8, b ≠ 1 时方程组无解； （2） （3）
a ≠ −8 时，方程组有唯一解；
a = −8, b = 1 方程组有无穷多解 ，此时
⎛ 1 1 −2 0 ⎞ ⎛ 1 1 −2 0 ⎞ ⎛ 1 0 −4 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 3 2 a 1 ⎟ → ⎜ 0 −1 −2 1 ⎟ → ⎜ 0 1 2 −1⎟ ⎜ 1 −1 −6 2b ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝
T T T T T
⎡2 1 ⎢1 −1 T T T T ,α3 ,α 4 ,α5 = A = (α1T , α 2 ) ⎢ ⎢5 2 ⎢ ⎣3 1 2 1 ⎤ ⎡1 ⎡1 −1 3 ⎢0 3 −6 −3 −3 ⎥ ⎢0 ⎥→⎢ →⎢ ⎢0 7 −14 −7 −7 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣0 4 −8 −4 −11⎦ ⎣0 ⎡1 ⎢0 →⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 1 1 1 −2 −1 0 0 0 0 0 0
−1
八 解： （1）因为非零 B 的每一个列向量都是方程组的解，则方程组有非
1
零解，则系数行列式等于 0，即 2
2
−1
−2
λ = 0 ，则有 1+6 λ -4
−1
Fra Baidu bibliotek
3
1
-6+4- λ =0,即 λ ＝1 （2）方程组系数行列式等于 0，则系数矩阵的秩小于 3，即线性无关 的基础解系的向量个数小于 3，而解 B 的每一个列向量都能由基础解系线 性表示，故 B 的列向量组成的列向量组的秩必小于 3，故 B = 0 。
六、 （15 分）已知线性方程组
⎧ x1 + x 2 − 2 x 3 = 0 ⎪ ⎨3x1 + 2 x 2 + ax 3 = 1 ⎪ x − x − 6 x = 2b 2 3 ⎩ 1
讨论 a, b 取何值时，方程组有解、无解；当有解时，求出其通解．
七、 （10 分）设 3 阶对称阵 A 的特阵值为 6，3，3，与特征值 6 对应的特 征向量为 p1 = (1, 1, 1) ，求矩阵 A ．
3
⎡1 1 1⎤ ⎢ ⎥ 四 解 ： 二 次 型 的 矩 阵 为 A= 1 3 1 ， 特 征 多 项 式 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 1 1⎥ ⎦
λ −1 λ E − A = −1
−1
为
−1
−1 −1 = λ ( λ − 4 )( λ − 1) ，所以 A 的特征值
λ −3
−1
λ −1
λ1 = 0 ， λ2 = 1 ， λ3 = 4 。它们对应的特征向量分别为：
T
八、 （13 分）已知三阶方阵 B ≠ 0 ，且解 B 的每一个列向量都是下列方程 组的解
⎧ x1 + 2 x 2 − 2 x 3 = 0 ⎪ ⎨2 x1 − x 2 + λx 3 = 0 . ⎪3 x + x − x = 0 2 3 ⎩ 1
（1） 求参数 λ 的值； （2）证明： B = 0 ．
0 1 −1⎤ 3 2 1⎥ ⎥ 1 3 −2 ⎥ ⎥ 1 2 −8 ⎦ −1 3 2 1 ⎤ 1 −2 −1 −1⎥ ⎥ 0 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0 −7 ⎦
0⎤ 0⎥ ⎥ = (η1 ,η2 ,η3 ,η4 ,η5 ) 1⎥ ⎥ 0⎦
显然，向量组的秩为 3。 因为 η1 ,η 2 ,η5 为 η1 ,η 2 ,η3 ,η 4 ,η5 的一个极大无关组，所以该向量组的一个 极大线性无关组为 α1 , α 2 , α 5 。
4
A = 0。
（充分性）因为 A = 0 ，则齐次方程组 Ax = 0 有非零解 b ，把 b 作 为矩阵 B 的第一列， n − 1 个 n 维零向量作为 B 其它 n − 1 列， 这样的矩阵 B 满足 AB = 0 ，即存在一个 n 阶非零方阵 B ，使得 AB = 0 。
⎛ 1 1 −2 0 ⎞ ⎜ ⎟ 六 解： 3 2 a 1 ⎟→ ⎜ ⎜ 1 −1 −6 2b ⎟ ⎝ ⎠
于是，二次型经正交变换
⎡ 1 ⎢− 2 ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎢x ⎥ = ⎢ 0 ⎢ 2⎥ ⎢ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ 1 ⎢ ⎢ 2 ⎣
1 3 1 − 3 1 3
2
1 ⎤ ⎥ 6⎥ y ⎡ 1⎤ 2 ⎥⎢ ⎥ ， ⎢ y2 ⎥ 6⎥ ⎥⎢y ⎥ 1 ⎥⎣ 3⎦ 6⎥ ⎦
2
得到的标准型 f = y2 + 4 y3 。 五 证明： （必要性） 设存在一个 n 阶非零方阵 B ， 使得 AB = 0 ， 则在 B 中 有非零列向量 b 使得 Ab = 0 ，即齐次方程组 Ax = 0 有非零解 b ，则
试 题 四
一、填空题 （ 6 × 3 = 18 分）
−1 1 −1 1 1
（考试时间：120 分钟）
（1）行列式 1
1
x 的展开式中, x 的系数是_____. −1
2
−1
（2）若 n 阶方阵 A 满足 A − 3 A − 4 E = 0 ，则 A
= _____.
（3）设向量组 α 1 = (1, 2,1), α 2 = ( k , 1, 1), α 3 = (0, 2, 3) 线性相关，则