惯性矩总结(含常用惯性矩公式)

惯性矩就是一个物理量,通常被用作描述一个物体抵抗扭动,扭转得能力。

惯性矩得国际单位为(m^4)。

工程构件典型截面几何性质得计算
2、1面积矩
1.面积矩得定义
图2-2、1任意截面得几何图形
如图2-31所示为一任意截面得几何图形(以下简称图形)。

定义:积分与分别定义为该图形对z轴与y轴得面积矩或静矩,用符号S z与S y,来表示,如式(2—2、1)
(2—2、1)面积矩得数值可正、可负,也可为零。

面积矩得量纲就是长度得三次方,其常用单位为m3或mm3。

2.面积矩与形心
平面图形得形心坐标公式如式(2—2、2)
(2—2、2)
或改写成,如式(2—2、3)
(2—2、3)
面积矩得几何意义:图形得形心相对于指定得坐标轴之间距离得远近程度。

图形形心相对于某一坐标距离愈远,对该轴得面积矩绝对值愈大。

图形对通过其形心得轴得面积矩等于零;反之,图形对某一轴得面积矩等于零,该
轴一定通过图形形心。

3.组合截面面积矩与形心得计算
组合截面对某一轴得面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩得代数与。

如式(2—2、4)
(2—2、4)
式中,A与y i、z i分别代表各简单图形得面积与形心坐标。

组合平面图形得形心位置由式(2—2、5)确定。

(2—2、5)
2、2极惯性矩、惯性矩与惯性积
1.极惯性矩
任意平面图形如图2-31所示,其面积为A。

定义:积分称为图形对O点得极惯性矩,用符号I P,表示,如式(2—2、6)
(2—2、6)
极惯性矩就是相对于指定得点而言得,即同一图形对不同得点得极惯性矩一般就是不同得。

极惯性矩恒为正,其量纲就是长度得4次方,常用单位为m4或mm4。

(1)圆截面对其圆心得极惯性矩,如式(2—7)
(2—2、7)
(2)对于外径为D、内径为d得空心圆截面对圆心得极惯性矩,如式(2—2、8)
(2—2、8)
式中,d/D为空心圆截面内、外径得比值。

2.惯性矩
在如图6-1所示中,定义积分,如式(2—2、9)
(2—2、9)
称为图形对z轴与y轴得惯性矩。

惯性矩就是对一定得轴而言得,同一图形对不同得轴得惯性矩一般不同。

惯性矩恒为正值,其量纲与单位与极惯性矩相同。

同一图形对一对正交轴得惯性矩与对坐标原点得极惯性矩存在着一定得关系。

如式2—2、10)
I P=I z+I y (2—2、10)
上式表明,图形对任一点得极惯性矩,等于图形对通过此点且在其平面内得任一对正交轴惯性矩之与。

表6-1给出了一些常见截面图形得面积、形心与惯性矩计算公式,以便查用。

工程中使用得型钢截面,如工字钢、槽钢、角钢等,这些截面得几何性质可从附录得型钢表中查取。

3.惯性积
如图2—32所示,积分定义为图形对y,、z轴得惯性积,用符号I yz表示,如式(2—11)
图2-2、2具有轴对称得图形
(2—11)
惯性积就是对于一定得一对正交坐标轴而言得,即同一图形对不同得正交坐标轴得惯性积不同,惯性积得数值可正、可负、可为零,其量纲与单位与惯性矩相同。

由惯性积得定义可以得出如下结论:若图形具有对称轴,则图形对包含此对称轴在内得一对正交坐标抽得惯性积为零。

如图2-32所示,y为图形得对称轴、则整个图形对y、z轴得惯,性积等于零。

常见图形得面积、形心与惯性矩表2—2、1
序
图形面积形心位置惯性矩(形心轴)
号
1
2
3
4
5
6
2.3组合截面得惯性矩
1.惯性矩与惯性积得平行移轴公式
任意平面图形如图2-2、3所示。

z、y为一对正交得形心轴,z1、y1为与形心轴平行得另一对正交轴,平行轴间得距离分别为a与b。

已知图形对形心轴得惯性矩I z、I y与惯性积I zy,现求图形对z1、y1轴得惯性矩I z1、I y1与惯性积I z1y1。

有惯性矩与惯性积得平行移轴公式如式(2—2、12)与式(2—2、13)
(2—2、12)
I z1y1=I zy+abA (2—2、13)
可见,图形对于形心轴得惯性矩就是对所有平行轴得惯性矩中最小得一个。

在应用平行移轴公式(2—2、12)时,要注意应用条件,即y、z轴必须就是通过形心得轴,且z1、y
轴必须分别与z、y轴平行。

在应用式(2—2、13)计算惯性积时,还须注意a、b得正负1
号,它们就是截面形心c在z1oy1坐标系中得坐标值。

2.组合截合惯性矩计算
组合图形对某一轴得惯性矩,等于其各组成部分简单图形对该轴惯性矩之与,如式(2—2、14)
(2—2、14)
在计算组合图形对z、y轴得惯性矩时,应先将组合图形分成若干个简单图形,并计算出每一简单图形对平行于z、y轴得自身形心轴得惯性矩,然后利用平行移轴公式(2—2、12)计算出各简单图形对z、y轴得惯性矩,最后利用式(2—2、14)求总与。

2、4主惯性轴与主惯性矩
过图形上任一点都可得到一对主轴,通过截面图形形心得主惯性轴,称为形心主轴,图形对形心主轴得惯性矩称为形心主惯性矩。

在对构件进行强度、刚度与稳定计算中,常常需要确定形心主轴与计算形心主惯性矩。

因此,确定形心主轴得位置就是十分重要得。

由于图形对包括其对称轴在内得一对正交坐标轴得惯性积为零,所以对于如图6-4所示具有对称轴得截面图形,可根据图形具有对称轴得情况,观察确定形心主轴得位置。

(1)如果图形有一根对称轴,则此轴必定就是形心主轴、而另一根形心主轴通过形心,并与对称轴垂直,如图2-34 b)、d)所示。

(2)如果图形有两根对称轴,则该两轴都为形心主轴,如图6-4 a)、c)所示。

(3)如果图形具有3根或更多根对称轴,过图形形心得任何轴都就是形心主、轴,且图形对其任一形心主轴得惯性矩都相等,如图6-4 e)、f)所示。

图2-2、4具有对称轴得截面图形常用惯性矩公式:。