流体力学 第10章 相似性原理与因次分析
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流体力学第十章 相似原理和因次分析
例如： 粘滞力相似：由 Re m Re p 得
vmlm
m
v pl p
m p
p
vm l p 1 v p lm l
重力相似：由 Frm Frp 得
vm g m lm vp g pl p
gm g p
lp vm 1 vp lm l
由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能 的，只能考虑主要因素做近似模型实验。
Fm mVm vm tm 3 1 2 2 l v t l v Fp pVp v p t p
也可写成：
F 1 2 2 l v
令：
F
l v
2 2
Ne
Ne称为牛顿数， 它是作用力与 惯性力的比值。
Ne称为牛顿数，它是某种作用力与惯性 力的比值，是无量纲数。由此可知，模型 与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必 相等。
qv g H f
f const 2 时， 2
当重力加速度 g 不变时，三角堰流量与堰
顶水头 H 的关系为：
qv CH ~ H
5 2 5 2
其中 c 只能用实验方法或其他方法确定。
【例】 不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道 的压强降 p 与管道长度 L ，内径 d ，绝对粗糙度 ，流体的平均 流速 v ，密度 和动力粘度 有关。试用瑞利法导出压强降的表 达式。 【解】 按照瑞利法可以写出压强降 p kLa d a a v a a a （b）
第三节
动力相似的准则(模型率)
一.相似准则的提出
相似原理说明两个流动系统相似必须在几何相似、 运动相似和动力相似三个方面都得到满足。 但实际应用中，并不能用定义来检验流动是否相 似，因为通常原型的流动是未知的。这就产生一个问
第十章 相似性原理和因次分析
2
这个相似条件，称为弗诺得模型律。按照上述比例关系调整原型 流动和模型流动的长度比例和速度比例， 除了在研究新的流动问题时，我们需探求其模型律外，在学习 相似理论时，也应该掌握常见流动的模型律。
1、水在管中受两端水头差的作用而流动，水流的平均流速，根据连续 性方程，只受断面大小及其沿程变化的制约。 断面流速分布和沿程水头损失，在同一水头差的条件下，与 管道本身是否倾斜，与倾斜大小无关，这说明重力不起作用，影响流速 分布的因素是黏性力，因此采用雷诺模型律。 管中流动，由于管壁摩擦作用成为重要因素，在几何相似的设计中，还要 注意管壁粗糙度的相似。管壁绝对粗糙度K也应保持同样的长度比例关 系常数，即：
un1 un 2 vn v，v 称为速度比例常数。 um1 um 2 vm 有了速度比例常数，和长度比例常数，显然可以根据简单t l / v的关系， 得出时间比例常数t l / v 即时间比例常数是长度比例常数和速度比例常数之比，这个比例常数表 明，原型流动和模型流动实现一个特定流动过程时间之比。 不难证明，加速度比例常数是速度比例常数除以时间比例常数，即
d n ln l d m lm 这个比例常数，称为长度比例常数。显然，两相应面积之比， A 为长度比例的平方，即 n A l2 Am 而相应体积之比，为长度比例的立方，即 几何相似，是力学相似的前提。 Vn v l3 Vm
二、运动相似
两流动运动相似，要求两流动的相应流线几何相似，或说，相应点的流 速大小成比例，方向相同。有：
F n Fpn FGn FIn FEn F m Fpn FGm FI m FEm 式中，、P、G、I、F 分别表示黏性力、压力、 重力、惯性力、弹性力。 动力相似在力学相似中起着什么作用呢？两惯性 力相似是其他合力作用相似的结果。所以动力相 似是运动相似的保证。
第10章相似性原理与因次分析
v L 1
v l
1.5 L
结论：模型律不能同时满足所有准则。 怎么办？抓主要矛盾。如重力流?船舶航行？ 自动模型区（自模区）
K K ( ) p ( )m d d
（气体）淹没出流，空气与射流气体温度相同，不考虑重力
与浮力，流速大不考虑粘性，实质是压力为主，所以——欧
第十章 概述
相似性原理与因次分析
1. 模型试验的意义：
1.流体运动具有复杂性，有些问题的机理尚不清楚，需探讨。 2. 对于工程，有一定的理论及设计经验，对于大型、重要工 程，也需用模型试验验证。
2. 简史
1898年 第一个河流水力学实验室建成（H.Engels 恩格斯) 1901年 雷白克（T.Rehbock)建成河流水力学实验室。 1904年 普兰特在哥廷根大学建立流体力学实验室。 --------之后相继建成水力学、流体机械实验室，水力 模拟被公认为是解决工程问题的标准方法。(风洞）
6.4
模型设计
实验场地和模型制作 ① 确定长度比尺。 ② 根据模型率确定流速比尺。 ③ 按相似准则确定流量比尺，校核实验室的供水 能力。 ④ 按模型率选择模型材料，尽量满足糙率相似。
同 一 介 质 情 况 下
雷诺准则 弗劳德准则 流速比尺 流量比尺 时间比尺 力的比尺
v l1
v l
u l
2 u
2 l
u l 1
Re p Re m
原型雷诺数=模型雷诺数 （雷诺相似准数）
2. 重力相似准则（弗劳德准则）
考虑重力相似 重力比尺：
G Mg V
G
M pgp M m gm 3g l
G I
1 g l
流体力学 第10章 相似性原理与因次分析
x3+1 π 3+1 = α β γ x1 x2 x3
共写出 (n 3) 个有效
π 式,此物理过程可写为
F (π 4 , π 5 , π 6 π n ) = 0
通过量纲和谐原理建立其物理量之间的关系, 通过量纲和谐原理建立其物理量之间的关系,此乃 π 定理. 定理. 例:有压管道两测点压强降 p 与管长 l ,管径 d ,绝 对粗糙度 ,管断面平均流速 v ,流体密度 ρ , 有关, 流体动力粘性系数 有关,应用 π 定理建立压强降 的表达式. 的表达式. :(1 解:(1)依题意写出
Re = vd
ν
10.1.2 量纲和谐原理
(1)物理方程由物理量组成,一个理论上成熟的物理方程一 物理方程由物理量组成, 定是量纲和谐的(量纲齐次). 定是量纲和谐的(量纲齐次). 如:能量方程
z1 +
p1
γ
+
α1v12
2g
= z2 +
p2
γ
+
2 α 2 v2
2g
+ hl
(2)将有量纲的物理方程改写为无因次方程其性质不变. (2)将有量纲的物理方程改写为无因次方程其性质不变. 将有量纲的物理方程改写为无因次方程其性质不变 如:
1 2 s = gt 通过量纲和谐原理分析得: 通过量纲和谐原理分析得: 2
s = f ( g , t, G)
定理—布金汉 Buckingham)定理 布金汉( (2) π 定理 布金汉(Buckingham)定理 任一物理过程, 个物理量, 任一物理过程,存在有 n 个物理量,总可以写成函数
f ( x1 , x2 , x3 .....xn ) = 0
ρu 2l ρu 2l ( )p = ( )m σ σ
7_相似性原理和因次分析
• 1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对 应点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； • 2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解， 即流动满足单值条件； • 3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流 动相似也必须满足的条件。
2008-12-4
4
第一节 力学相似性原理（流动相似）
• 原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 • 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放 大）的代表物，称为模型。
–水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑 物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的 水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应 用到原型中，分析判断原型的情况。 –试验目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。 –关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。
λQv = λv λl2 = λl
λQv = λv λl2 = λl
2 λF = λρ λ2 λ v l
52
−1 λt = λl λv = λl2
−1 2 λt = λl λv = λ1 l
λF = λ ρ λ λ
2 2 v l
若 λρ = 1，则 λF = 1
2008-12-4
若λρ = 1，则λF = λ3 l
• 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、 压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这 两个 流动就是相似的。 2008-12-4 5
流动的力学相似
表征 流动 过程 的物 理量
描述几何形状的
按性 质分
如长度、面积、体积等
几何 相似 运动 相似 动力 相似
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
2008-12-4
4
第一节 力学相似性原理（流动相似）
• 原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 • 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放 大）的代表物，称为模型。
–水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑 物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的 水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应 用到原型中，分析判断原型的情况。 –试验目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。 –关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。
λQv = λv λl2 = λl
λQv = λv λl2 = λl
2 λF = λρ λ2 λ v l
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−1 λt = λl λv = λl2
−1 2 λt = λl λv = λ1 l
λF = λ ρ λ λ
2 2 v l
若 λρ = 1，则 λF = 1
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若λρ = 1，则λF = λ3 l
• 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、 压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这 两个 流动就是相似的。 2008-12-4 5
流动的力学相似
表征 流动 过程 的物 理量
描述几何形状的
按性 质分
如长度、面积、体积等
几何 相似 运动 相似 动力 相似
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
流体力学 - 相似理论
Lm U 1 1 = ( m )2 = ( )2 = L U 6 36
6. 缩尺比为 1：64 的船模，模型试验测得兴波阻力 10N，求原船的兴波阻力。 解：由兴波阻力系数相等： Cw =
Fwm 1 ρU 2 m Am 2
U Lg
=
Fw 1 ρU 2 A 2
佛鲁德数相等 Fr =
Um Lm g
=
速度之比：
迁移惯性力 粘性力 迁移惯性力 局部惯性力
Fr =
迁移惯性力 重力
Eu =
压力 迁移惯性力
Se =
4.相似理论的应用 完全相似：满足两流动现象相似的全部动力相似准则，但在工程实际中难于做到。 部分相似：对某一具体问题，只考虑对流动起主导作用的动力相似准则，忽略次要因素的相 似准则。 5.自动模拟 当雷诺数达到一定数值时，阻力系数几乎不随雷诺数而变化，这一阻力系数不随雷诺 数而变的区域称为自动模拟区，所对应的雷诺数称为自模雷诺数。不同形状的物体，所对应 的雷诺数也不同。
−1 导出量纲：导出单位的量纲称为导出量纲，例如流体运动粘性系数 [ν ] = ⎡ ⎦ 等。 ⎣ LT ⎤
量纲齐次性原理：一个具有物理意义的方程中各项的因次必须相同称量纲齐次性。有量纲
的方程可以用无量纲形式表示。 无量纲数：又称无因次数，例如压力系数 C p =
p 1 ρV 2 A 2
Π定理：描述某物理现象的有量纲参数，可以转化为无量纲参数。 设某个物理现象与n个物 理量 α1 , α 2 ,"" , α n 有关，可以由函数关系式 f (α1 , α 2 ,"" , α n ) = 0 表示。如果n个物理 量中有P个基本量纲, 则可将n个物理量组合成n-p个独立的无量纲数Π1，Π1，Πn-p，因而该物 理现象可以由无量纲关系式 F (Π1 , Π 2 ,"" , Π n − p ) = 0 所描述。 在不可压缩流体流动中，p=3, 则有 F (Π1 , Π 2 ,"" , Π n −3 ) = 0 不可压缩流体流动中Π定理的运用： 1） 在 n 个物理量中选 3 个基本量（循环量） ，基本量选取的一般原则： 为保证几何相似，选取一个与长度直接相关的量， 为保证运动相似，选取一个与速度直接相关的量， 为保证动力相似，选取一个与质量直接相关的量。 2）用所选定的 3 个基本量与其余 n-3 个物理量依次组合成无量纲数。 3. 相似准则 两流动现象相似的充分必要条件是： 两力学现象应满足同一微分方程式， 且具有相似的 边界条件及初始条件。 应用量纲分析法，由 N-S 方程得到如下相似准数： 1）雷诺数 Re =
第十章 相似性原理和因次分析
流动相似包括
几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似
一、几何相似
l3''
l3 ' A
l1'
l2 '
l2''
B l1''
原型
模型
l1 l2 l3 l p Cl 长度比尺 l1 l2 l3 lm
原型几何特征尺度
模型几何特征尺度
二、运动相似
相应点的流速大小成比例，方向相同。
模型系统 vmz vmz vmz vmz 1 pm （模型)： tm vmx xm vmy ym vmz zm = - g m m zm
m-表示模型
m 2 vmz 2 vmz 2 vmz 2 2 m xm ym zm 2
将方程与模型系统流动微分方程相比较
如果： Cp Cv C Cv C 2v Cg 2 Ct Cl Cl C C l C
C v Cl
2
相似准则
原型方程 与模型方程 完全相同 边界条件 相同
由模型方程的解可获得原型方程的解
Cl Cv C CFra bibliotekCv Cl 2 1 C C Cg Cl Ct C
Cp
2
由于惯性力相似与运动相似直接 相关，我们把以上的关系分写为和惯 性力相联系的下列等式：
导出的相似准数
l p p p
p pp
p p
2
2
lmm m
m
pm
2
l
p
2
Re 雷诺数
欧拉数
m m
Eu
实验流体力学-相 似 理 论
与流体力学有关的相似参数
Euler数 压力 pl2 p Eu 2 2 2 2 1 2 惯性力 l V V 2
瑞士数学家、物理学家（1707-1783）。 主要应用范围：管流、绕流、气蚀、流体机械。
Newton数
外力 F 2 2 惯性力 l V L D 如：CL 1 , CD 1 , 2 2 2 V S 2 V S Ne M CM 1 2 V SC 2
例题
• 油(比重为0.85,运动粘性系数0.24Ns/m2)以速度3.5m/s在直径为 100mm的管道中流动。问雷诺数多大？
例题
• 一股垂直的水射流以速度76ft/sec从一个喷管向上喷出，其高度距 离地面为90ft. 要使一股水流在月球上升到120ft的高度，问这股射 流的速度应该多大？不计空气阻力，月球的加速度为1/6地球的加 速度。
相似准则的第二种寻找方法：Pi定律
布金汉π定理的运用步骤
1.确定关系式。根据对所研究现象的认识，确定影 响这个现象的各个物理量及其关系式。
f ( x1 , x2 , , xn ) 0
2.确定基本物理量。从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取 m=3。使基本量纲的行列式不等于零，即保障基 本无论量相互独立。
例题
• 为了研究潮汐，建造了一个1:600的模型。1）与原型中一天的时 间相对应的模型的时间长度是多大？2)假设我们这个模型可以在 月球上实验，那么这种情况下，模型与原型的时间关系如何？
例题
• 水流过一个1：35的溢洪道的顶部，在其上一个特定的点测得流 速为0.46m/s.这个速度对应在原型上是多大？在模型某个面积上 测得的受力为0.12N.问元模型对应面积上的力是多大？力的比尺 是多少？
相似性原理和因次分析
υ px = Cvυmx ,υ py = Cvυmy ,υ pz = Cvυmz
动力相似： p p = C p pm , g p = C g g m 动力相似： 其他物理量相似： 其他物理量相似： ρp
= Cρ ρm , µp = Cµ µm
将相似变换代入原型系统流动微分方程
8.2.1 相似准则
Cυ ∂vmz Cυ 2 ∂vmz ∂vmz ∂vmz + + vmy + vmz vmx = -C g g m Ct ∂t m Cl ∂xm ∂y m ∂z m
v1''
几何相似的两个流动系统中对 应的流线形状也相似。 应的流线形状也相似。
v1' 1 A 2 v2'
1 A o
2
v2''
运动相似条件： 运动相似条件： 作相似变换： 作相似变换： 速度比尺
加速度比尺
l′ l ′′ v 系统1： ′ = 系统 ： v ′ 系统 ： ′′ = t ′′ t 系统2：
面积比尺，体积比尺
原型几何特征尺度
模型几何特征尺度
9.1.3 运动相似
是指流体运动的速度场相似， 是指流体运动的速度场相似，也即两流场各 相应点（包括边界上各点）的速度u 相应点（包括边界上各点）的速度u及加速 方向相同，且大小各具有同一比值。 度a方向相同，且大小各具有同一比值。
v3'' 3
v3' 3
l Sr = υt
9.3 模型实验 模型实验
模型研究方法的实质： 在相似理论的指导下， 模型研究方法的实质 ： 在相似理论的指导下 ， 建立与实际问题相似的模型， 建立与实际问题相似的模型 ， 并对模型进行实 验研究，把所得的结论推广到实际问题。 验研究，把所得的结论推广到实际问题。 模拟相似条件 几何相似 物理相似 定解条件相似
第十章_相似原理和量纲分析
0、 0、 0 几何学量纲 x L , t , M 0、 0、 0 运动学量纲 0、 0、 0 动力学量纲
§10.4 因次分析法
一、因次分析的概念和原理 3.量纲公式:
问题： 速度v, 长 度l,时间t的无量 纲集合是：（ ）
§10.2 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则 对于作用在流体上的作用力，一般从流体的物理性质进 行分类，如万有引力特性产生重力，流体的粘滞性产生的 粘滞力，压缩性产生的弹性力以及表面张力等。另外还有 惯性产生的惯性力。 除惯性力外，其他各力都是企图改变流体的运动状态， 而惯性力则是去尽量维持流体的原有运动状态，所以流体 运动状态的变化和发展是惯性力和其他各种作用力相互作 用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力 为一方来相互比较。 在两种相似的流动里，这种比例关系应当保持不变。
§10.2 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则
动力相似准数：在两相似的流动中，各种力与惯性力 之间保持固定不变的比例关系。
l 4 2 2 2 F ma l . l t l v 惯性力： I 2 t
3
则 一般称
FI
l v l v
2 2 2 2
适用范围：流体流动以动水 压差为主要作用力的情况。
当弹性力起主要作用时， 如水击，空气动力学中的亚 音速或超音速运动等，动力 相似有： M n M m或 v ＝ 1 c
例1：有一直径为15cm的输油管，管5m，管 中要通过的流量为0.18m3/s,现用水来作模型 试验，当模型管径和原型一样，水温为10℃ （原型中油的运动粘度ν n=0.13cm2/s），问 水的模型流量应为多少时才能达到相似？
§10.4 因次分析法
一、因次分析的概念和原理 3.量纲公式:
问题： 速度v, 长 度l,时间t的无量 纲集合是：（ ）
§10.2 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则 对于作用在流体上的作用力，一般从流体的物理性质进 行分类，如万有引力特性产生重力，流体的粘滞性产生的 粘滞力，压缩性产生的弹性力以及表面张力等。另外还有 惯性产生的惯性力。 除惯性力外，其他各力都是企图改变流体的运动状态， 而惯性力则是去尽量维持流体的原有运动状态，所以流体 运动状态的变化和发展是惯性力和其他各种作用力相互作 用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力 为一方来相互比较。 在两种相似的流动里，这种比例关系应当保持不变。
§10.2 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则
动力相似准数：在两相似的流动中，各种力与惯性力 之间保持固定不变的比例关系。
l 4 2 2 2 F ma l . l t l v 惯性力： I 2 t
3
则 一般称
FI
l v l v
2 2 2 2
适用范围：流体流动以动水 压差为主要作用力的情况。
当弹性力起主要作用时， 如水击，空气动力学中的亚 音速或超音速运动等，动力 相似有： M n M m或 v ＝ 1 c
例1：有一直径为15cm的输油管，管5m，管 中要通过的流量为0.18m3/s,现用水来作模型 试验，当模型管径和原型一样，水温为10℃ （原型中油的运动粘度ν n=0.13cm2/s），问 水的模型流量应为多少时才能达到相似？
流体力学_10相似原理和因次分析分解
（10—1） （10—2） （10—3）
4
二 、 运动相似 定义： 原型与模型中相应流线几何相似，即对应的运动参数如速 度、加速度方向一致，大小成比例，称为运动相似。
时间比尺为
速度比尺为
加速度比尺为
2018/10/25
ln n tn l m lm t tm ln an tn 2 l a 2 l am t m tm 2
9
三、欧拉数 研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时， 起主要作用的力为压力F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
2 pn l n pmlm 2 2 2 2 m n ln n m lm 2
将其代替式（10—10）中的F时，则
即
p
2
pn
式中
物理意义：
n g n ln m g m lm 2 2 2 nln n mlm 2 m
3
2 n
用以代替式（10—10）中的F，则
3
简化后得
g m lm 2 数。 Fr ，称为弗劳德 Froude 式中
gl
g n ln
m 2
（10—14）
物理意义： 惯性力与重力之比。 2018/10/25
2018/10/25
2
§10-1 相 似 原 理
当设计制造某些复杂而庞大的水力机械，建造水利工程
以及研究某些复杂的水力现象时，往往要根据相似原理，设
计制造缩小了尺寸的模型。进行模拟实验，通过对模型的流 动状况观测来推断实物的流动状况及有关数据。 定义： 分析研究模型和实物间的相似关系的基本理论称为相似 理论。
tn t tm
（10—4）
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所以上式写为
可写成: 可写成:
除以上式, 用 ρg 除以上式, λ 并令 f ( , Re) = d 2 则 或:
l 2 p = f ( , Re) ρv d d
p l v = hf = λ ρg d 2g
2
p
l v = hf = λ d 2g γ
2
第二节
流动相似的基本概念
力学相似性原理) (力学相似性原理) 模型——研究题目,状态,过程的简化表述. 研究题目,状态,过程的简化表述. 模型 研究题目 模型试验成果要用于原型, 模型试验成果要用于原型,故原型与模型两液流 动相似,即原型(prototype)与模型 与模型(model)上同名 动相似,即原型 与模型 上同名 物理量( 对应成比例. 物理量( v, p, F ....... )对应成比例. 6.2.1 几何相似 原型与模型几何长度对应成比例,对应角相等. 原型与模型几何长度对应成比例,对应角相等. 长度比尺: 面积比尺: 长度比尺: λ = l p 面积比尺: λ = λ2
λT = λI
λν = λu λl
ul ul = ν p ν m
λρ λν λu λl = λρ λ λ
2 u
2 l
λu λl =1 λν
Re p = Re m
原型雷诺数=模型雷诺数 原型雷诺数 模型雷诺数 雷诺相似准数) (雷诺相似准数)
2. 重力相似准则(弗劳德准则) 重力相似准则(弗劳德准则)
研究,解决, 研究,解决, 发现, 发现,发明 模型试验的理论与方法是工程师必备知识! 模型试验的理论与方法是工程师必备知识! 是工程师必备知识
量纲分析法(因次分析法)(第四节) )(第四节 第一节 量纲分析法(因次分析法)(第四节) 10.1.1 量纲
物理量:包括量的种类和数值. 物理量:包括量的种类和数值. 物理量的种类——量纲(因次) 量纲(因次) 物理量的种类 量纲 基本量纲: 基本量纲:M ] ,[l ] , [T ] . [ 导出量刚: 导出量刚:流速 [l / T ] ,面积 [l 2 ] , 密度 [M / L3 ] . 无量纲量(无因次) 无量纲量(无因次)——纯数 纯数 如:雷诺数
1.
模型律
2 v
λv λL λ =1 =1 满足粘滞力相似(雷诺准数) 满足粘滞力相似(雷诺准数) λν λg λL
2 z1 p1 α1v12 z 2 p2 α 2 v2 hl + + = + + + H γH 2 gH H γH 2 gH H
有的经验公式可以是量纲不和谐的. 有的经验公式可以是量纲不和谐的.
10.1.3 量纲分析法
(1)瑞利(Rayleigh)法 瑞利(Rayleigh)法 若一个物理过程, 个或小于4个物理量( 若一个物理过程,由4个或小于4个物理量(参 ),并可以写出这些参数的指数方程 并可以写出这些参数的指数方程, 数),并可以写出这些参数的指数方程,再利用量纲 和谐原理建立其明确的关系,叫做瑞利法. 和谐原理建立其明确的关系,叫做瑞利法. 自由落体运动,下落距离表达式.若假定由4 如:自由落体运动,下落距离表达式.若假定由4 个物理量: 个物理量:如下落距离 s 与时间 t ,重量 G ,重 有关. 力加速度 g 有关. 可写为
相似准数 1.雷诺数 雷诺数
Re =
vd
ν
v 2.弗劳德数 Fr = 弗劳德数 gh
4.马赫数 马赫数
2
3.欧拉数 欧拉数
p Eu = 2 ρv
v M= c
定性量 定性流速
v, ρ, g
l (d , R)
定性长度
v
l
二,由运动微分方程是推导相似准数(×) 由运动微分方程是推导相似准数(
第四节 10.4.1 模型律的确定
ρu 2l ρu 2l ( )p = ( )m σ σ
(We) p = (We) m
柯西准则: 柯西准则:弹性力与惯性力相似
(
ρu 2
K
)p = (
ρu 2
K
)m
(Ca ) p = (Ca ) m
雷诺准则,重力相似准则为独立准则, 雷诺准则,重力相似准则为独立准则,其他为 导出准则. 导出准则. 一般情况下,只能满足一个准则, 一般情况下,只能满足一个准则,其他准则近 似满足. 似满足.
P = pA
pp
( pA)p λP = = λ pλA ( pA)m
λ p λ A = λρ λ λ
pm = 2 2 ρ p u p ρ mum
2 2 l u
λP = λI
λp =1 2 λρ λu
p Eu = 2 ρu
( Eu ) p = ( Eu ) m
4.
其他准则
韦伯准则:表面张力与惯性力成比例
1 2 s = gt 通过量纲和谐原理分析得: 通过量纲和谐原理分析得: 2
s = f ( g , t, G)
定理—布金汉 Buckingham)定理 布金汉( (2) π 定理 布金汉(Buckingham)定理 任一物理过程, 个物理量, 任一物理过程,存在有 n 个物理量,总可以写成函数
f ( x1 , x2 , x3 .....xn ) = 0
考虑重力相似 重力比尺: 重力比尺:
G = Mg = γV
λG =
M pgp M m gm = λρ λ3λg l
2 λρ λ3λg = λρ λl2 λu l
λG = λI
λ =1 λg λl
2 u
u2 u2 = gl gl p m
Frp = Frm
3.欧拉准则 欧拉准则 考虑动水压力相似 压力比尺: 压力比尺:
第十章 概述
相似性原理与因次分析
1. 模型试验的意义: 模型试验的意义:
1.流体运动具有复杂性,有些问题的机理尚不清楚,需探讨. 1.流体运动具有复杂性,有些问题的机理尚不清楚,需探讨. 流体运动具有复杂性 2. 对于工程,有一定的理论及设计经验,对于大型,重要工 对于工程,有一定的理论及设计经验,对于大型, 也需用模型试验验证. 程,也需用模型试验验证.
x3+1 π 3+1 = α β γ x1 x2 x3
共写出 (n 3) 个有效
π 式,此物理过程可写为
F (π 4 , π 5 , π 6 π n ) = 0
通过量纲和谐原理建立其物理量之间的关系, 通过量纲和谐原理建立其物理量之间的关系,此乃 π 定理. 定理. 例:有压管道两测点压强降 p 与管长 l ,管径 d ,绝 对粗糙度 ,管断面平均流速 v ,流体密度 ρ , 有关, 流体动力粘性系数 有关,应用 π 定理建立压强降 的表达式. 的表达式. :(1 解:(1)依题意写出
F2 p F2 m
=
F3 p F3m
=…=
Ip Im
6.2.4 初始条件与边界条件相似 初始条件:对非恒定流是必需的. 初始条件:对非恒定流是必需的. 边界条件:几何方面, 边界条件:几何方面,运动方面 结论: 结论: 1. 几何相似是原型与模型两液流相似的前提. 几何相似是原型与模型两液流相似的前提. 2. 运动相似是原型与模型两液流相似的结果. 运动相似是原型与模型两液流相似的结果. 3. 动力相似是原型与模型两液流相似的主导 因素. 因素.
Fp
Fm = 2 2 2 2 ρ p v p l P ρ M vm l m
( Ne) p = ( Ne) m
牛顿相似准则(基本准则) 牛顿相似准则(基本准则)
1.雷诺准则 1.雷诺准则
考虑粘滞力与惯性力相似 则粘滞力比尺: 则粘滞力比尺:
du p Ap dy p λT = = λρ λν λu λl du m Am dy m
Re = vd
ν
10.1.2 量纲和谐原理
(1)物理方程由物理量组成,一个理论上成熟的物理方程一 物理方程由物理量组成, 定是量纲和谐的(量纲齐次). 定是量纲和谐的(量纲齐次). 如:能量方程
z1 +
p1
γ
+
α1v12
2g
= z2 +
p2
γ
+
2 α 2 v2
2g
+ hl
(2)将有量纲的物理方程改写为无因次方程其性质不变. (2)将有量纲的物理方程改写为无因次方程其性质不变. 将有量纲的物理方程改写为无因次方程其性质不变 如:
β =1
π7 = ρdv
所以这一物理过程写为
p l F1 ( 2 , , , )=0 ρv d d ρdv
或
p l = f1 ( , , ) 2 ρv d d ρdv
∵ p 与 l 又
成正比, 成正比,与
d
成反比. 成反比.
1 1 = = ρdv dv Re ν
p l = f ( , Re) 2 ρv d d
加速度比尺: 加速度比尺:
λa = λl λ
2 t
6.2.3 动力相似
两液流的同名力,方向一致,对应成比例. 两液流的同名力,方向一致,对应成比例. 按达朗贝尔原理, 按达朗贝尔原理,质点所受诸力与惯性力组成 一个封闭的力多边形.所以, 一个封闭的力多边形.所以,
λF = λI
即
F1 p F1m
=
1946年 北洋大学与华北局建成水力学实验室(第一水工所) 1946年 北洋大学与华北局建成水力学实验室(第一水工所) 1953年 第一水工所解体,一部分去北京建立水科院, 1953年 第一水工所解体,一部分去北京建立水科院,而后 建南京水科院(南试处)一部分留天津大学(水利馆) 建南京水科院(南试处)一部分留天津大学(水利馆) 现在:科研机构众多(各省市,大设计院,大学) 现在:科研机构众多(各省市,大设计院,大学),都建有水 工试验厅( 工试验厅(室).