实验六拟合与插值问题.ppt
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插值与拟合实验
x x x x
j 1 j 1 j + 1 j + 1
, x , x 其
j 1
≤ x
x ≤
≤ x
x
j
j
≤ 它
j + 1
1 , 6≤ x≤6 【例 2】 g ( x ) = 】 2 1+ x
用分段线性插值法求插值,并观察插值误差 用分段线性插值法求插值 并观察插值误差. 并观察插值误差 1.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取5个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch11) 2.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取11个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch12) 3.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取21个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch13) 4.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取41个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch14)
Matlab程序： 程序： 程序 ch607.m
【例 5】 】 已知飞机下轮廓线上数据如下， 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。 每改变0.1时的y 0.1时的
X Y
0 0
3 5 7 9 11 12 13 14 15 12 17 20 21 20 18 12 10 16
机翼下 轮廓线
【例 6】 】 测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 3*5网格点处的温度分别为 测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。 z=f(x,y)的图形 1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图. 1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图. 先在三维坐标画出原始数据 输入以下命令： 输入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; mesh(x,y,temps) 2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值. 以平滑数据, 方向上每隔0.2个单位的地方进行插值. 0.2个单位的地方进行插值
数学建模～插值与拟合(课件ppt)
• 代数多项式插值是最常用的插值方式，其内容也 是最丰富的，它又可分为以下几种插值方式： （1）非等距节点插值，包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值； （2）非等距节点插值，包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等； （3）在插值中增加了导数的Hermite（埃尔米特） 插值； （4）分段插值，包括分段线性插值、分段Hermite （埃尔米特）插值和样条函数插值； （5）反插值。 • 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元 插值和多元插值。
引言2---插值和拟合的联系与区别
联系：二者都是函数逼近的主要方法
• 区别： •运算过程上的区别：
– 拟合：是将数据点用最恰当的曲线描述出来，以反映问题的规律， 是特殊到一般的过程。 – 插值：是在知道曲线的形状后得出某些具体点的性质的过程,是 从一般到特殊。
•求解误差上的区别：
– 拟合：考虑观察值的误差（误差不可避免时）。以偏差的某种最 小为拟合标准
n n ik
0 i k 而： lk xi 1 i k
22
例1
x1 1, x2 2, x3 4, f ( x1 ) 8, f ( x2 ) 1, f ( x3 ) 5
求二次插值多项式。
解:
按拉格朗日方法，有：
L( x) y1l1 x y2l2 x y3l3 x ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) 8 1 5 (1 2)(1 4) (2 1)(2 4) (4 1)(4 2) 3x 2 16 x 21
4.2 插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效 果就不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。
第3章插值与拟合ppt课件-PPT精品文档
3.1 插值法 3.1.1 问题的提出 ) 插值问题的一般描述：若已知函数 y f (x （通常为 , ,x 未知）在给定的 n 1 个互不相同的观测点 x 0,x 1 n , ,y 上的函数值（通常为实验或观测值）y 0, y 1 n ， 希望寻求某一近似函数 ( x) , 使满足 ( x f ( x y , i 0 , 1 , 2 , ,n i) i) i （3.1） 则我们称此类问题为插值问题，近似函数 ( x) 称为插 值函数，观测点称为插值节点，式（3.1）称为插值条 min { x }, b max { x } i i 件，若令 a , 则[a,b]称为插值区间。 0 i n 0 i n 若 ( x) 已找到，则在任一点 x （ x ） 上的函 [a ,b ] 数值 f ( x ) 就可以由其插值函数 ( x ) 近似估计。
3.1.2 插值多项式的求法
1 一般方法 线性插值：给定两个互不相同的观测点 ( x0 , y0 ) 和 (x1, y1), ( x ) a a x 求一线性多项式 p 1 0 1 ( x ) y , p ( x ) y 1 0 0 1 1 1 使其通过这两个观测点，即 p 。显然 p1 ( x) 是平面上的一条直线，其表达式可采用两点式或点斜式直接 y y 1 0 给出，即 p( x ) y ( x x ) 1 0 0 x x （3.4） 1 0 当然，也可以利用代数方程组的方法求出待定参数 a 0 , a1 . p1 ( x) 通过这两个观测点，故有 由插值条件，
解此线性方程组，可采用消元法，也可以采用矩阵方法直接 求解. 详见3.1.3.
a0 a1 x0 y0 a0 a1 x1 y1
( x0 , y0 ) , (x1, y1) 和 (， x2 y2 ) 二次插值：给定三个互不相同的观测点， 2 p ( x ) a a x a x 求一个次数不超过2次的多项式 2 0 1 2 使其通过这三个观测点。求解方法与线性插值完全类似，此处 不再累述。二次插值又称抛物型插值。 n次插值多项式：当 n 大于或等于2时，采用上述方法无法直 接给出多项式的表达式，需要求解线性方程组。对 n 次插值多 项式的确定，由于多项式中含有 n +1 个待定系数，通常需要 给定 n +1个互不相同的观测点，由此可建立 n +1元线性方程 组，如下式： 2 n a0 a1 x0 a2 x0 an x0 y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 a a x a x2 a x n y （3.5） n n n 0 1 n 2 n 直接解此线性方程组，通常比较麻烦，可通过数学软件(如 Matlab)求解。
《插值与拟合》课件
拟合的方法
1
最小二乘法
通过最小化残差平方和，找到与数据最匹配的函数。
2
局部加权回归
给予附近数据点更高的权重，拟合接近局部数据点的函数。
3
多项式拟合
用多项式函数逼近数据，通过选择合适的次数实现拟合。
插值与拟合的误差分析
插值和拟合都会引入近似误差，需要评估误差范围和影响因素。
插值与拟合在数据处理与分析中的应用
数据分析
通过插值和拟合方法对数据进 行探索和分析。
数据处理
在数据处理过程中使用插值和 拟合技术来填充缺失值和平滑 数据。
数据建模
利用插值和拟合模型对数据特 征进行捕捉和预测分析。
插值与拟合的推广和发展前景
随着数据科学和人工智能的不断发展，插值和拟合在各个领域的应用前景越 来越广阔。
插值与拟合的应用范围
科学研究
用于数据分析、信号优化设计、近似计算和 效能提升。
经济金融
用于市场分析、预测模型和 风险评估。
插值的方法
1
拉格朗日插值
基于多项式插值公式，用拉格朗日多项式逼近函数。
2
牛顿插值
基于差商的概念，用多项式逼近函数的值。
3
分段插值
将插值区间划分为多个子区间，并在每个子区间上进行插值。
《插值与拟合》PPT课件
插值与拟合是数值计算和数据分析中重要的概念。
插值与拟合的概念
插值
通过已知值的推算，计算在未知点的近似值。
拟合
通过曲线或曲面拟合已知数据，以描述和预 测未知数据。
插值与拟合的区别与联系
1 区别
2 联系
插值重点关注已知点的准确性，而拟合则 着重于整体形状的拟合。
插值和拟合都通过数学模型逼近离散数据， 以实现数据的补全和预测。
实验六拟合与插值问题PPT课件
2021/8/17
插值问题实例1
机翼下 轮廓线
y
x
19
第19页/共47页
插值问题的提法 已知 n+1个节点 (xj,yj)(j 0 ,1 ,L n ,其中 x j
互不相同，不妨设 a x 0 x 1 L x n b ) , 求任一插值点 x*( xj )处的插值 y * .
节点可视为由
y* y1
2[a1
xi
a2)
yi ]xi
0
i1
2[a1xi
a2 )
yi
]
0
a1,a2
2021/8/17
13
第13页/共47页
用MATLAB作线性最小二乘拟合 1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有程序:
a=polyfit(x,y,m)
输出拟合多项式系数 a=[a1, …,am , am+1] (数组）
1200
1000
800
600
400
200
0
0
2
4
6
8
10
12
14
2021/8/17
17
第17页/共47页
二、插 值
1. 插值的基本原理；三种插值方法：拉格朗日 插值，分段线性插值，三次样条插值。
2. 面 对 一 个 实 际 问 题，应 该 用 插 值，还 是 拟 合。
2021/8/17
18
第18页/共47页
y* y1
y0 •
• •
• •
x0 x1 x*
xn
2021/8/17
21
第21页/共47页
拟合与插值专题ppt课件
在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析 函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问 题有两种方法。
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
插值与拟合实验
Matlab程序： ch602.m ch603.m ch604.m ch605.m
（3）三次样条插值 y
比分段线性插值更光滑。
xi-1 xi
b x
a
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分 段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一
x
Matlab程序： ch608.m
4、用MATLAB做二维网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点的 函数值 插值 节点 被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 缺省时, 双线性插值 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取
称为拉格朗日插值基函数。特别的：
两点一次(线性)插值多项式:
x x0 x x1 L1 x y0 y1 x0 x1 x1 x0
三点二次(抛物)插值多项式:
x x1 x x2 y x x0 x x2 y x x0 x x1 y L2 x 0 1 2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1
其中 a1, a2, …am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）：
使n个点（xi, yi) 与曲线y=f (x)的距离i 的平方和最小 。 记 J (a1 , a2 , am )
（3）三次样条插值 y
比分段线性插值更光滑。
xi-1 xi
b x
a
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分 段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一
x
Matlab程序： ch608.m
4、用MATLAB做二维网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点的 函数值 插值 节点 被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 缺省时, 双线性插值 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取
称为拉格朗日插值基函数。特别的：
两点一次(线性)插值多项式:
x x0 x x1 L1 x y0 y1 x0 x1 x1 x0
三点二次(抛物)插值多项式:
x x1 x x2 y x x0 x x2 y x x0 x x1 y L2 x 0 1 2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1
其中 a1, a2, …am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）：
使n个点（xi, yi) 与曲线y=f (x)的距离i 的平方和最小 。 记 J (a1 , a2 , am )
数学建模课件——拟合与插值[课堂课资]
![数学建模课件——拟合与插值[课堂课资]](https://img.taocdn.com/s3/m/7578ddab10661ed9ad51f3f1.png)
i 1
i 1
nm
[ ak rk (xi ) yi ]2
(2)
i1 k 1
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
8
2020/6/27
线性最小二乘法的求解：预备知识
超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组
r11a1
r12a2
r1m am
y1
(n m)
+
+
y=f(x) +
x i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
6
2020/6/27
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)：
则称a为上述超定方程的最小二乘解。
9
2020/6/27
线性最小二乘法的求解
所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以 下超定方程组的最小二乘解的问题。
Ra=y
（3）
其中
r1 ( x1 ) rm ( x1 )
R
,
r1 ( xn ) rm ( xn )
a1
a
,
am
y1
11
中 的 A (a1, a2, a3) 使得:
[ f ( xi ) yi ]2 最小
i 1
x12 x22
, ,
x1, 1 x2 , 1
K K K
x121, x11, 1
a1
a2
a3
y1
插值和拟合
插值和拟合
浙江大学控制学院
2016/6/12
数值计算方法
1
举例
t(s)
v(t)(m/s)
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
已知火箭在几个不同时刻的速度如下表 所示，求t=16时的速度？
2016/6/12
数值计算方法
2
插值和拟合
(a) 用直线段连接这 些点
x0 )(x − x1) x0 )(x2 − x1)
= 0 +1.386294 (2 −1)(2 − 6) +1.791759 (2 −1)(2 − 4) = 0.5658442
(4 −1)(4 − 6)
(6 −1)(6 − 4)
εt = 18.4%
高次插值通常优于低次插值
2016/6/12
数值计算方法
=i 1, , n +1
⇒
Pn (x)
f (x) − P= n (x)
f (n+1) (n +
(ξ1 )
1)!
(
x
−
x0
)
(
x
−
xn
)
f (n+1) (ξ2
(n +1)!
)
(
x
−
x1 ) ( x
−
xn +1 )
假设
f (n+1) (ξ1) ≈ f (n+1) (ξ2 )
通过两个结果的偏差来估计 插值误差
数据点分布接近线 性或彼此距离很近
(b) 用曲线描述了数 据所具有的局部变 化趋势
浙江大学控制学院
2016/6/12
数值计算方法
1
举例
t(s)
v(t)(m/s)
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
已知火箭在几个不同时刻的速度如下表 所示，求t=16时的速度？
2016/6/12
数值计算方法
2
插值和拟合
(a) 用直线段连接这 些点
x0 )(x − x1) x0 )(x2 − x1)
= 0 +1.386294 (2 −1)(2 − 6) +1.791759 (2 −1)(2 − 4) = 0.5658442
(4 −1)(4 − 6)
(6 −1)(6 − 4)
εt = 18.4%
高次插值通常优于低次插值
2016/6/12
数值计算方法
=i 1, , n +1
⇒
Pn (x)
f (x) − P= n (x)
f (n+1) (n +
(ξ1 )
1)!
(
x
−
x0
)
(
x
−
xn
)
f (n+1) (ξ2
(n +1)!
)
(
x
−
x1 ) ( x
−
xn +1 )
假设
f (n+1) (ξ1) ≈ f (n+1) (ξ2 )
通过两个结果的偏差来估计 插值误差
数据点分布接近线 性或彼此距离很近
(b) 用曲线描述了数 据所具有的局部变 化趋势
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2021年3月10日
9
2021年3月10日
y a1x a2
线性模型
如何确定a1 , a2 10
一、曲线拟合
1 曲线拟合问题的提法:
已知一组（二维）数据，即平面上的 n 个点(xi , yi )， i 1,2, L,n, xi 互不相同，寻求一个函数（曲线）y f (x)，
使 f (x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合
1100
y1=polyval(z,x) 1000
hold on
900
plot(x,y1,'b+-')
800
700
600
500 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
2021年3月10日
17
syms x
传染病模型3的解
n
n
J (a1,a2 )
2 i
[a1 xi a2 ) yi ]2达到最小。
i 1
i 1
为此，只需利用极值的必要条件 J 0(k 1,2)得到关 ak
于 a1 , a2的线性方程组，
n
i 1 n
2[a1 xiΒιβλιοθήκη a2 ) yi ]xi
0
i1
2[a1 xi
a2 )
yi ]
0
a1 , a2
2021年3月10日
4
1.1问题重述
问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望 建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进 行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命 财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行 一定的比较分析和评价展望。
2021年3月10日
6
实验问题
2021年3月10日
7
模型（一） 模型（二）
Matlab---微分方程的求解
今天我们研究问 题4的方法
2021年3月10日
已解决
拟合 插值
8
拟合问题实例1
据人口统计年鉴，知我国从1949年至1994年 人口数据资料如下： (人口数单位为：百万)
年份 人口数 年份 人口数
数学实验 六
数学模型
一、实验项目名称
传染病模型 ——插值与拟合
2021年3月10日
1
二、实验目的
1. 进一步巩固、加强Matlab的应用能力、 2. 学会用MATLAB软件进行数据拟合
3. 了解在最小二乘意义下数据拟合的理 论和方法.
4. 通过对实际问题的分析和研究，初步 掌握建立数据拟合数学模型的方法
多项式： y a1 xm L am x am1
双曲线（一支):
y
a1 x
a2
指数曲线： y a1ea2x
2021年3月10日
12
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x),…,rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …,n 作图，通过直观判断确定 f(x)：
1949 541.67 1974 908.59
1954 1959 602.66 672.09
1979 1984 975.42 1034.75
1964 1969 704.99 806.71
1989 1994 1106.76 1176.74
（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。
（2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999 年的人口数。
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syms x x=1949:5:1994;
人口模型的解
y=[541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59
975.42 1034.75 1106.76 1176.74];
plot(x,y,'r*’)
1200
z=polyfit(x,y,1)
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数， 建立模型求t时刻的感染人数。
x 2染、人假数设的环增境长条率件是下感所染允人许数的的最线大性可函感数染，人最数大为感染m时。的单增位长时率间为内零感。
建立模型求t时刻的感染人数。
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•3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一 定时间内一定间隔区间的感染人数数据 （见下表），利用该数据确定上述两个模 型中的相关参数，并将它们的预测值与实 际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并 对两个模型进行适当的评价。（注：该问 题中，设最大可感染人数为2000人）
f=a1+a2x +
++
++
f=a1+a2x+a3x2 +
+
+ +
+
f=a1+a2x+a3x2
++ +
+ +
f=a1+a2/x +
+++ +
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f=aebx
+
+
++ +
+ f=ae-bx + + ++
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３ 拟合函数组中系数的确定
以f ( x) a1 x a2为例, 即确定a1，a2使得
5. 插值的基本原理
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2
三、实验内容与步 骤
1、建模实例：传染 病模型 2、MATLAB求函 数的拟合与插值
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1、传染病模型
• 描述传染病的传播过程
目
• 分析受感染人数的变化规律
的
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
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人口预测线性模型
对于开始提出的实验问题, 代如数据，计算得
a1 15,a2 27754
从而得到人口数与年份的函数关系为
y 15x 27754 线性预测模型
把x=1999代如，估算出1999年的人口数为 y=1252.1（百万）＝12.52亿
1999年实际人口数量为１２.６亿。
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用MATLAB作线性最小二乘拟合 1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有程序:
a=polyfit(x,y,m)
输出拟合多项式系数 a=[a1, …,am , am+1] (数组）
输入同长度 的数组x，y
拟合多项 式次数
2.多项式在x处的值y可用以下命令计算： y=polyval（a，x）
得最好，如图:
y
确定f(x)使得
+
i
( xi
,
yi
)
n
n
2 i
[ f ( xi ) yi ]2
++
+ y f (x)
i 1
i 1
达到最小
+
+
+
+
0
最小二乘准则
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x
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２. 用什么样的曲线拟合已知数据?
１．画图观察； ２．理论分析
常用的曲线函数系类型：
直线： y a1x a2