连续复利问题
B—S期权定价模型中应用连续复利存在的问题
从研发 支出这一科 目中 ，既 可以看到每年研 发支 出的发生
额， 又可 了解每年研发成功项 目的金额 。
３ 、 在会计报表附注中予 以多层次披露
除了在资产负债表主表披露符合确认标准 （ 即可 以予 以
资本化 ） 的研发信 息和在利 润表“ 管理费用 ” 披露不符合资本 ２ ０ ０ ７ （ ９ ） 化条件予 以费用化的支 出外 ， 还应当在会计报表附注 中具体 ［ ５ ］ 杨 臣． 全 面提 升 Ｒ ＆Ｄ经费投入 在 Ｇ Ｄ Ｐ中的比重【 Ｊ Ｊ ， 当代 披露符合资本化条件的无形资产详细资料 ， 和不符合资本化 科技 ２ ０ ０ ８ （ １ ０ ） 条件的研发支 出的具体数额 ， 企 业对研发支 出所采用 的会计 ［ ６ 】陈芳 、钟丹． 我 国研 发支 出会计处 理研 究 ［ Ｊ 】 ，商业文 化 政策 、 摊 销方法 、 期初和期末 未摊销 的研发支 出余额等。除了 ２ ０ １ ２ （ １ ） 披露研发支 出的数量信息外 ， 还应在不泄露上市公 司商业秘 ［ ７ ］ 王新红、卢卫青． 新准则实施后上 市公 司 Ｒ ＆ Ｄ信息披露 密的基础上在会计报表 附注 中， 单独列示 各个 研发项 目的总 现 状 分 析 ［ Ｊ 】 ， 财 会 通 讯 ２ ０ １ ０ （ ５ ） 括费用 、 进展等情况 ， 披露研 发项 目的进展情况 。
中ｌ ｌ ＿ （ 第１ ９ ６页 ） 解 释（ ２ ） 式时说 ， 资金利息“ 归并 的次数多些 ， 那么资金就增 长的快些 ” 。这种 解释是不对 的。 例如 ， 假设本金是 １ ０ ０ ０ ０元 ， 年利率是 ， ＝ １ ０ ０ ％， 如第一
若将一年分 为期 坍计算 ， 每期利率 取为 ， 得复利 分期
的著作 中文翻译本 《 通俗 数学 》 中［ ３ １ （ 第 １ ０ ９ 页） 说， “ 当还息
第四章 财务估价基础-连续复利问题简介
2015年注册会计师资格考试内部资料财务成本管理第四章 财务估价基础知识点：连续复利问题简介● 详细描述：如果每年复利次数m趋近于无穷，则这种情况下的复利称为“连续复利”。
1.连续复利情况下的有效年利率2.连续复利情况下的复利终值和现值计算 假设期数为t，则：例题：1.某企业于年初存入银行10000元，假定年利息率为12%,每年复利两次，已知（F/P，6%,5)=1.3382,(F/P,6%,10)=1.7908,(F/P,12%,5)=1.7623，(F/P,12 %,10)=3.1058,则第5年年末的本利和为（）元。
A.13382B.17623C.17908D.31058正确答案：C解析：由于每年复利两次，所以对应的期利率为12%/2=6%,期数为10,所以第5年年末的本利和=10000X(F/P,6%,10)=10000x1.7908=17908(元）。
2.下列表述中正确的有（）。
A.年度内的复利次数越多，则有效年利率高于报价利率的差额越大B.从统计学上可以证明，几种商品的利润率和风险是独立的或是不完全相关的。
在这种情况下，企业的总利润率的风险并不能够因多种经营而减少C.按照资本资产定价模型，某股票的系数与该股票的必要收益率成正相关D.证券报酬率之间的相关性越弱，风险分散化效应就越弱，机会集是一条直线正确答案：A,C解析：年度内的复利次数越多，每次的计息期越短，实际支付的利息越大，有效年利率越高，选项A正确；几种商品的利润率和风险是独立的或是不完全相关的，企业的总利润率的风险不能完全消除，但能降低，所以选项B错误；按照资本资产定价模型，某种股票的必要收益率Ri=Rf+βX(Rm-Rf),该股票β系数越大，要求的风险补偿率越大，该种股票的必要收益率越大，所以选项C正确；证券报酬率之间的相关性越弱，风险分散化效应就越强，机会集曲线就越弯曲，所以选项D错误。
连续复利错误面面观
有 ３００ 多年了ꎮ
我们批驳连续复利的文章« 关于所谓增长率的连续计算 问题»１９８８ 年发表在« 数学的实践与认识» 上[１３] ꎬ３０ 年过去 了ꎬ这种所谓连续复利计算仍广泛存在于经济数学[１ꎬ４ꎬ９] 、工程
经济学[６] 、金融学[７ꎬ１０] 、财务管理[８] 、衍生工具[１１] 等课程教材
中ꎬ存在于 ｂ － ｓ 期权定价模型、资金流现值等公式的计算中ꎬ
１９９７ 年诺贝尔经济学奖授予了 ｂ － ｓ 期权定价模型的创立和
发展者ꎬｂ － ｓ 期权定价模型中关于连续复利的应用自然就推
进了这种错误的流传ꎬ所以就更有必要对这种方法进行一次
全面上不成立
连续复利公式的推导在数学上是不存在的ꎮ 根据 Ａ( ｔ) ＝ Ａ０ (１ ＋ ｒ) ｔ ꎬ利用任何数学知识都不能推导 出 Ａ( ｔ) ＝ Ａ０ ｅｒｔ ꎮ 根据 Ａ( ｔ) ＝ Ａ０ (１ ＋ ｒ) ｔ 推导出 Ａ( ｔ) ＝ Ａ０ ｅｒｔ ꎬ 就是根据 Ａ ＝ Ａ０ (１ ＋ ｒ) ｔ 推导出 Ａ( ｔ) ＝ Ａ０ ｅｒｔ ＝ Ａ０ [１ ＋ ( ｅｒ －
理论探讨
连续复利错误面面观
高俊科
摘要:通常教材中讲述的连续复利在数学推导上ꎬ复利 计算的构成上都是错误的ꎬ推导中用的公式在经济生活中是 不存在的ꎬ普通的利率本身就是资金价值连续增长的结果ꎬ 所谓连续复利并没有实现时间变量可取连续值的目的ꎮ 这 样的连续计算在 ｂ － ｓ 期权定价模型等公式中的解释和应用 都是错误的ꎬ这也说明ꎬ１９９７ 年诺贝尔经济学奖评委会没有 看到连续复利推导的错误ꎮ
总之ꎬ所谓的连续复利公式的推导在数学上不成立ꎮ ( 二) 所谓连续复利在计算复利上的构成上是错误的 从公式(１)到所谓复利分期计算公式(２) 的推导表面上 是一步ꎬ而人的思维过程实际上有四步ꎬ而且这四步都是含 糊不清的、甚至是错误的ꎮ 第一步:没有说公式(１) 中的年利率 ｒ 与资金连续增值 规律有没有关系ꎬ没有说公式(１) 能长期广泛应用是否有合 理性ꎮ 明确的含义反而是ꎬ公式(１) 用于利息计算不是连续 的、是离散的ꎻ在不到一年的时间内是不产生利息的或说是 不知道按什么规律产生利息ꎬ特别明确的含义是ꎬ公式(１) 中 的时间变量 ｔ 不能取连续实数ꎬ公式(１)中的年利率 ｒ 不是资 金随时间连续“ 利生利” 的结果ꎮ 第二步:将一年分成 ｍ 次计算ꎬ每经过 １ 个 １ / ｍ 年资金 总额都有一个增加了的值ꎬｍ 是任意整数ꎬ当 ｍ ＝ ３６５ 时ꎬ就 说明了资金总额每天都在增长ꎬ当 ｍ ＝ ３６５ × ２４ × ６０ × ６０ 时ꎬ 就说明资金总额分分秒秒都在增长ꎬ实际上这就已经把利息 随时间增长的计算连续化了ꎬ也只有在资金连续增值时ꎬ这 种分期计算才可以进行ꎬ这就是毫无根据地、不知不觉中将 离散的、不连续的公式(１) 变成了资金总额或利息是连续增 长的了ꎮ 第三步:每次计算的利率取为 ｒ / ｍꎬ这是按利率与时间 成正比计算ꎬ是一种单利思维ꎬ这就是在将一年内利息的离 散计算变成连续计算的基础上ꎬ进一步改变成了按单利方式 连续增长ꎬ这无疑又是一步错误思维ꎮ 第四步:将离散的、不连续的(１) 式无根据地改变成按单 利方法增长后ꎬ实际是在 １ / ｍ 年按单利计算一次得出 Ａｍ (１ / ｍ) ＝ Ａ０ (１ ＋ ｒ / ｍ) 后就又想起来了“ 利生利” ꎬ按复利计算ꎬ一 年计算 ｍ 次ꎬ 一 年 后 的 资 金 总 量 就 是 Ａｍ ( １ ) ＝ Ａ０ ( １ ＋ ｒ / ｍ) ｍ ꎬｔ 年计算 ｍｔ 次ꎬ这就构成了所谓的复利分期计算公式 Ａｍ ( ｔ) ＝ Ａ０ (１ ＋ ｒ / ｍ) ｍｔ ꎬ这是又一步的混乱思维ꎮ 在构成(２) 式四步思维中ꎬ每一步的思维都是混乱甚 至 错误的ꎬ连续复利公式(３) 就是在这样混乱、错误的基础上构
《连续复利》课件
管理难度
实施连续复利策略需要投 资者具备一定的投资知识 和经验，以及对市场的敏 感度和判断力。
如何平衡连续复利的优缺点
制定合理的投资目标
投资者应该根据自身的财务状况和需求，制 定合理的投资目标，并确保目标的可实现性
。
分散投资
投资者应该定期评估投资组合的表现，并根 据市场变化和自身需求进行调整，以确保投
资组合与目标保持一致。
定期评估和调整
通过将资金分散投资到不同的资产类别和市 场，可以降低单一资产或市场波动对整体投 资组合的影响。
长期投资观念
连续复利策略强调长期回报，因此投资者应 该树立长期投资观念，避免短期市场波动的 影响。
05
连续复利的前景展望
连续复利的发展趋势
持续创新
随着科技的不断进步，连 续复利技术有望在更多领 域得到应用和创新。
连续复利的特点
连续复利具有时间连续性，即在极短的时间 间隔内，投资的收益会不断累积。
由于连续复利的时间连续性，它能够更好地 反映实际投资过程中收益的累积情况。
连续复利的计算公式与离散复利不同，其计 算公式更为复杂，需要使用微积分等高等数 学知识。
连续复利的应用场景
金融投资
连续复利可以用于计算金融投资的未来价值 ，例如股票、债券、基金等的未来价值。
3
资本资产定价模型（CAPM）
连续复利能够为资本资产定价模型提供更准确的 风险和回报参数，以帮助投资者制定有效的投资 组合策略。
04
连续复利的优缺点分析
连续复利的优点
高回报潜力
连续复利能够带来更高的回报， 尤其是在长期投资中。由于复利 的效应，资金随时间增长的速度
更快。
风险分散
通过将投资分散到多个资产类别或 市场中，连续复利策略有助于降低 投资风险，减少单一资产或市场波 动的影响。
连续 复利
例2 连续复利。
设银行某种定期储蓄的年利率是r ，本金是0A ，按年计算复利，那么t 年后，本金与利息合计值1t A （）应为多少？若改为每半年计息一次，t 年后的本利和为多少？若改为每月计息一次，t 年后的本利和为多少？若每时每刻都计利息（即连续复利，也称瞬时复利），t 年后的本利和为多少？解若按年计息一次，则1000=(1)A A rA r A +=+，221110=(1)=1+)A A rA r A r A +=+（，…，所以t 年后本金与利息合计值1t A （）应为 t 0(1)=(1+)t A A r 。
若每半年计息一次，每月的利率是2r，共计息2t 次，所以t 年后的本利和为 2t 0(2)=(1+)2t rA A 。
若每月计息一次，每月的利率是12r，共计息12t 次，所以t 年后的本利和为12t 0(3)=(1+)12t rA A 。
若每年计息n 次，则每次的利率是rn ，共计息nt 次，所以t 年后的本利和为t 0()=(1+)nt rA n A n。
当n →∞时，即得瞬时复利t 年后的本利和为t 000lim ()=lim (1+)lim[(1)]nnt rt rt r t n n n r r A A n A A A e n n→∞→∞→∞==+=。
假设1,1r t ==，这时 1100(1)=(1+1)=2A A A ，21001(2)=(1+)=2.252A A A ，121001(3)=(1+) 2.6130412A A A ≈，1002.71828A A e A =≈。
这表明瞬时复利的储蓄方式并未使储户的本利和大幅增加。
数学知识告诉我们，如果按此种方式你向银行存入10万元，一年后也不可能成为百万富翁，它仅仅是银行的吸储策略而已。
但复利在计算货币的时间价值上有着重要的应用。
沥青摊铺机操作与施工技术摘要结合自身的工程实践，论述了铺筑沥青路面时摊铺机的操作与施工技术。
关键词沥青路面摊铺机操作施工1 选型、定人合理(1)为保证沥青路面摊铺质量，应选用宽度合适、设有总开关、自动找平装置、卸载装置、双夯锤和闭锁装置的摊铺机。
连续复利的现值计算公式
连续复利的现值计算公式连续复利的现值计算公式是投资者在对未来投资收益做出预测时必须了解的一种重要计算方式。
它可以帮助投资者预期投资回报的大小，从而作出明智的投资决策。
关于“连续复利的现值计算公式”，需要先介绍两个重要概念复利和现值，这是利用其计算现值所必须掌握及了解的基本概念。
复利是指投资者收到的本金及其相关收益之和。
投资者在投资资金时，通常会得到一定的回报，这些回报可能是收益，也可能是损失。
复利的计算是把本金及其相关收益按照时间来计算的过程。
现值是把未来的收入、支出或者投资的资金以现在的价值来计算的一种金融概念。
现值计算是根据未来的投资回报和当前的投资成本，基于时间价值理论（Time Value of Money），用当前价格计算出一次性投资或者多期投资的价值。
现在，让我们来看看“连续复利的现值计算公式”。
续复利的现值计算公式的一般形式如下：PV=M * (1+r)^t其中，PV表示现值，M表示复利，r表示复利率，t表示投资期限。
根据连续复利的现值计算公式，投资者可以通过改变复利、复利率和投资期限三个变量中的任意一个来预测投资回报。
以张先生为例，他投资了100元，并取得了每年10%的复利。
假设他投资期限为5年，根据连续复利的现值计算公式，其现值为：PV=100*(1+0.1)^5PV=162.88从上述的实例中可以看出，张先生的投资总金额是162.88元，其中本金为100元，收益为62.88元。
此外，连续复利的现值计算公式也可用于对未来的投资收益做预测的时候。
假设张先生现在想预测他投资一年后的投资收益，在这种情况下，张先生可以使用连续复利的现值计算公式，把他的未来一年收益计算出来，即：PV=100*(1+0.1)^1PV=110从上面的实例中可以看出，张先生投资一年后的投资收益是110元，其中本金为100元，收益为10元。
由此可见，连续复利的现值计算公式对投资者而言是十分重要的。
它不仅可以帮助投资者估算投资回报，还可以帮助投资者更好的预测投资收益。
连续复利公式
连续复利公式
连续复利公式是指未来财富净值可以用目前财富总值进行计算，表示投资者在某一段时间内将财富净值增长到多少。
用数学表示，中的的A 代表未来的财富净值，P 是目前拥有的财富总值，r 是利率，t 是时间，一般来说，连续复利公式如下：A = P（1+r)^t 。
连续复利公式可以让我们了解投资未来可以得到多少财富。
它同时也可以用来评估未来预期的投资收益，投资者可以根据它计算指定收益的可能性，并判断是否有必要在其中进行投资。
使用连续复利公式实现财富增值的策略，既包括有效的投资以提高财富增值的机会，也要注意降低风险，例如，可以考虑将大部分财富投入保本型投资，以获得稳定的收益，以及一些较少的投入支持市场投资，例如股票，债券等，以期获得更多的收益。
只要坚持市场投资的持续复合投资，投资者就可以实现最大的收益，并通过连续复利公式管理自己的财富。
总之，连续复利公式是一个有用的财富管理方法，它可以帮助投资者预测未来财富，确定未来最佳投资组合，并努力实现投资目标。
投资者可以使用连续复利公式估算今年的预期投资收益，并有针对性的进行投资，充分利用它的优势，获得最大的投资回报。
连续复利公式[指南]
![连续复利公式[指南]](https://img.taocdn.com/s3/m/f0491cfa534de518964bcf84b9d528ea81c72ffa.png)
连续复利公式一、名义利率、实际利率、连续复利当计息周期不是年，如何将其转化为年利率？在普通复利计算以及技术经济分析中，所给定或采用的利率一般都是年利率，即利率的时间单位是年，而且在不特别指明时，计算利息的计息周期也是以年为单位，即一年计息一次。
在实际工作中，所给定的利率虽然还是年利率。
由于计息周期可能是比年还短的时间单位，比如计息周期可以是半年、一个季度、一个月、一周或者为一天等等，因此一年内的计息次数就相应为2次、4次、12次、52次、或365次等等。
这样，一年内计算利息的次数不止一次了，在复利条件下每计息一次，都要产生一部分新的利息，因而实际的利率也就不同了（因计息次数而变化）。
假如按月计算利息，且其月利率为1%，通常称为“年利率12%，每月计息一次”。
这个年利率12%称为“名义利率”。
也就是说,名义利率等于每一计息周期的利率与每年的计息周期数的乘积。
若按单利计算，名义利率与实际利率是一致的，但是，按复利计算，上述“年利率12%，每月计息一次”的实际年利率则不等于名义利率，应比12%略大些。
为12.68%。
例如，本金1000元，年利率为12％，若每年计息一次，一年后本利和为：F＝1000＊（1＋0.12／12）12＝1126.8（元）实际年利率i为：i=(1126.8-1000)/1000*100%=12.68%这个12.68%就是实际利率。
在上例中，若按连续复利计算，实际利率为：i=e0.12-1=1.1257-1=12.75%设名义利率为r，一年中计息次数为m，则一个计息周期的利率应为r／m，求一年后本利和、年利率？分析：单利方法：一年后本利和F=P(1+i期×m) 利息P×i期×m年利率：P×i期×m / P = i期×m = r复利方法：一年后本利和 F=P(1+i期) m 利息P(1+i期) m - P年利率：i = [ P(1+i期) m—P]/ P = (1+i期) m -1所以，名义利率与实际利率的换算公式为: i = (1+i期) m–1= (1+r/m) m–1当m＝l时，名义利率等于实际利率；当m＞1时，实际利率大于名义利率。
国外教材中关于连续复利讲授的种种错误
国外教材中关于连续复利讲授的种种错误作者：高俊科来源：《金融经济·学术版》2014年第09期摘要：本文分析说明，国外各学科教材中关于连续复利的认识和应用都是错误的。
关键词：年利率；增长率；连续复利1.问题的提出通常国外教材[1-5]中讲的连续复利是：设初始资金为A0，年利率为r，按复利计算，t年后资金总额为文[6、7]已经详细分析了连续复利公式（3）推导中的问题。
连续复利这种概念长时期存在于多学科国外的教材中，但其论述都是不对的。
2.推证中的问题例12006年机械工业出版社出版的《微积分及其应用》（英文第8版翻译本）用解微分方程和求极限两种方法推证了连续复利模型。
“例4商业：永续复利（这里的”永续复利”即一般书中的连续复利；这个词在该书中第一次出现就是在这个例题中—本文注）假设投入资金p0到储蓄中，年永续复利率为7%，即结存p的增长率为a）根据所给出的p0和0.07，求满足这个方程的函数。
b）假设投资100美元，1年后结存是多少？c）多少时间之后所投资的100美元能翻一番？解：a）P（t）=P0e0.07tb）p（1）=100e0.07（1）=100e0.07=100（1.072508）≈107.25美元c）求时间T，使得P（T）=200美元，数T称为倍增时间（doubling time），为了求T，解方程200=100e0.07.T2=e0.07T在这本《微积分及其应用》用微分方程方法证明连续复利模型的过程中，通过具体数值，从dpdt=0.07p和初始条件p（0）=p0推出了p（t）=p0e0.07t。
这也就是从dpdt=kp和初始条件p（0）=p0推出p（t）=p0ekt。
用极限方法证明连续复利模型的过程中，用到了A=p0（1+kn）nt。
这就是说用dpdt=kp（初始条件p（0）=p0）与A=p0（1+kn）nt都能推出p（t）=p0ekt，并且两种推证方法中用到的是相同的参数k，这就更容易让人相信连续复利法的正确性。
连续复利计算公式
F G(F / A,i, n 1) G(F / A,i, n 2)
G(F / A,i,2) G(F / A,i,1)
G [(1 i) 1] nG
ii
i
将上式代入（a）式，得：
A2
{G i
[(1 i)n i
1]
nG}[ i (1
i i)n
] 1
G[1 i
(1
n i)n
] 1
G(
A
/
G,
i,
n)
式中 1
n
[ i
(1
i)n
] 1
称为等差分付等值系数，可用符
号（A/G, i, n）表示。
由公式（b）知：
F
G
[ (1
i)n
1
n]
G(F
/
G, i,
n)
ii
式中 1[(1 i)n 1 n] ii
称为等差分付终值系数，可用符号
图中：A1——某一定值； h——某一固定的百分比。
九、普通复利公式小结与应用
（一）小结 1. 互为倒数关系 2. 乘积关系
(P / A,i, n) (F / A,i, n)(P / F,i, n) (F / A,i, n) (P / A,i, n)(F / P,i, n)
3. 等额分付资本回收公式与等额分付偿债基金公 式有以下关系
等值资金是指在特定的利率下，在不同的时间上绝 对数额不同，而价值相等的若干资金。
影响资金等值的因素有三个，即资金额大小、资金 发生的时间和利率。
利用等值概念，将一个时点发生的资金金额按一定 利率换算成另一时点的等值金额，这一过程叫资金 等值计算。
大一高数课件ch2-5极限存在准则两个重要极限连续复利
两个重要极限的应用
总结词
两个重要极限在微积分、概率论和统计 学等领域有广泛应用。
VS
详细描述
第一个重要极限常用于解决一些微积分问 题，例如求不定积分和定积分；第二个重 要极限则常用于解决一些概率论和统计学 问题，例如计算概率和期望值等。两个重 要极限都是微积分和概率论中非常重要的 概念，对于理解这些学科的基本原理和解 决问题具有重要意义。
在一些特定的金融产品中，如指数基金、期权等，连续复利的应用尤为重 要。
连续复利还可以用于评估企业的价值，如市盈率、市净率等指标的计算中 ，连续复利的应用也是不可忽视的。
CHAPTER 04
极限存在准则与连续复利的 关系
极限存在准则对连续复利的影响
01
极限存在准则为连续复利的计算提供了理论基础， 确保了复利计算的正确性和可靠性。
CHAPTER 03
连续复利
连续复利的概念
连续复利
是一种计算利息的方式，它假设本金在每个时间点上都获得利息 ，而不是在固定的时间段内获得利息。
与离散复利的区别
离散复利假设本金在固定的时间段内获得利息，而连续复利则假设 本金在每个时间点上都获得利息。
连续复利的计算公式
A=P*e^rt，其中A是未来的总金额，P是本金，r是年利率，t是时 间。
详细描述
柯西收敛准则是一个非常强大的工具，用于证明数列的收敛性。这个准则表明，如果一个数列的任意 两项之间的差的绝对值可以任意小，那么这个数列就是收敛的。柯西收敛准则可以用来证明许多复杂 的数列的收敛性，尤其是在处理无穷级数时非常有用。
极限存在准则三
总结词
极限存在准则三是闭区间套定理，它指出如果一个数列的项构成一个闭区间套， 即每个区间端点的极限相等且等于该数列的项，则该数列收敛于这个极限。
连续复利
例2 连续复利。
设银行某种定期储蓄的年利率是r ，本金是0A ，按年计算复利，那么t 年后，本金与利息合计值1t A （）应为多少？若改为每半年计息一次，t 年后的本利和为多少？若改为每月计息一次，t 年后的本利和为多少？若每时每刻都计利息（即连续复利，也称瞬时复利），t 年后的本利和为多少？解 若按年计息一次，则1000=(1)A A rA r A +=+，221110=(1)=1+)A A rA r A r A +=+（，…，所以t 年后本金与利息合计值1t A （）应为 t 0(1)=(1+)t A A r 。
若每半年计息一次，每月的利率是2r ，共计息2t 次，所以t 年后的本利和为 2t 0(2)=(1+)2t r A A 。
若每月计息一次，每月的利率是12r ，共计息12t 次，所以t 年后的本利和为 12t 0(3)=(1+)12t r A A 。
若每年计息n 次，则每次的利率是r n ，共计息nt 次，所以t 年后的本利和为 t 0()=(1+)nt r A n A n。
当n →∞时，即得瞬时复利t 年后的本利和为t 000lim ()=lim (1+)lim[(1)]nnt rt rt r t n n n r r A A n A A A e n n→∞→∞→∞==+=。
假设1,1r t ==，这时 1100(1)=(1+1)=2A A A ，21001(2)=(1+)=2.252A A A ， 121001(3)=(1+) 2.6130412A A A ≈， 1002.71828A A e A =≈。
这表明瞬时复利的储蓄方式并未使储户的本利和大幅增加。
数学知识告诉我们，如果按此种方式你向银行存入10万元，一年后也不可能成为百万富翁，它。
复利与连续复利
。
终值和现值是刻画货币时间价值的两个概念。
例如在复利计算中，设本金为P，每期利率为 R，货款期数为 n，到n期末的本利和S称为P的 终值。反过来，现值就是现在手中多少钱存 银行n期就可以变成S元.
Байду номын сангаас
复利计算方法是在贷款一期之末结息一次，再
将利息转为本金，即和原来的本金一起作为下一 期的本金而产生利息，这种计算方法称为复利。 用 P 表示本金, R 表示期利率, I 表示利息，表示 S 本利和，试建立贷款时间为 n期的本利和 Sn 以 及利息 I n 的计算公式。
向银行存款或贷款是最常见的金融活动，贷款的报酬 称为利息。贷款有规定的计息期限（例如：一年，一 月或一日为一期等），贷款的总额称为本金，作为贷 款的报酬，收回贷款时所收的额外的本金的一定百分 比或千分比即利息，如何计算利息以及由此产生的货 币的时间价值是本节讨论的问题。记本金为P，每期利 息与本金之比为利率，记为R。利率与贷款期限的长短 有关，按期限为年，月，日分别称为年利率，月利率 和日利率。利率用百分率和千分率表示，习惯上称为 分或厘。如月息3厘表示一个月可获本金3‰作为利息。 年利率、月利率和日利率可以相互换算。例如2005年 银行的存款利率为，活期0.72%，三个月期1.71%，一 年期2.25%，二年期2.70%，三年期3.24%，五年期3.6% （上述利率均指年利率）经换算可得三个月期的期利 率为R=1.74%/4=0.4275
这是复利的力量
爱因斯坦提出的72法则 72法则：资产价值增长一倍所需的时间与复 利呈72/R的关系。在1%年增长率下，1块钱 经过72年变成2块；在10%的年增长率下， 资产价值翻一倍的时间则仅为7.2年。
这也是复利的力量
2005年银行存款利率一年期2.25%,故A先生每年存 入10000元钱 一年后总钱数为10000（1+2.25%）=10225.00 二年后总钱数为20225（1+2.25%）=20680.06 ………… ………… 三十年后总钱数为431446.54 2005年银行存款利率三个月期1.71%,故B先生第一 个月存入10000元钱，六个月后的总钱数为 10000（1+1.71%/4）（1+1.71%/4） 10085.7
连续复利收益率探源
连续复利收益率探源作者：高俊科来源：《金融经济·学术版》2014年第03期在数学、经济学中说的“连续”，指事物是随时间连续发生的，在对该事物的量进行计算时，时间变量可连续取值；“复利”是指在每经过一个计息期后，都要将所得利息加入本金来计算下期的利息。
“收益率” 则是投资（纯）收益与投资的比率。
但“连续复利收益率”这一概念与“复利”不沾边，也没有能特别说明事物“连续”发生的意思，其值也不等于通常说的“收益率”。
本文先说明所谓连续复利概念存在的问题，接着分析连续复利收益率带给人们的困惑，然后证明所谓连续复利收益率在数值上就是即时的单位变化率。
把单位变化率用在投资上明确含义就是任意时刻的1元资金的收益速度。
一、连续复利的困惑二、连续复利收益率的困惑三、连续复利收益率的实际含义四、结论1. 连续复利收益率实际上就是（即时）单位收益变化率（速率），（即时）单位收益变化率（速率）有清晰的经济解释，单位收益率与通常用百分比表示的收益率不同，但两者有着准确的数学关系，两者各有各的用处。
2.在许多经济数学、工程经济学、金融学教材中，实质上等同于中的量被称为连续复利率，在有的书或文章中被称为利息力、内禀增长率、瞬时增长率、连续增长率。
由此我们看到，中的是一个用途广泛的参数，所以从数学角度给出这个参数一个能体现其含义的概念是很有必要，本文中称为函数的单位变化率。
参考文献：[1]杨春鹏.实物期权及其应用[M].上海：复旦大学出版社，2003.[2]中国人民大学数学教研室.经济应用数学基础（一）微积分[M].北京：中国人民大学出版社，1982[3]（美）威廉.G.沙立文、埃琳.M.威克斯、詹姆斯.T.勒克斯霍著，邵颖红等译.工程经济学[M].北京：清华大学出版社，2007.[4]朱顺泉.金融财务建模与计算[M].北京：电子工业出版社，2009.[5]（美）罗伯特E.惠利著.胡金焱、王起、李穎译.衍生工具[M].北京：机械工业出版社，2010.[6]（加）约翰 C.赫尔著，王勇、袁俊译.期权与期货市场基本原理（原书第7版）[M].北京：机械工业出版社，2011.[7]郭献芳.工程经济学[M].北京：机械工业出版社，2012[8]杨朝军.证券投资分析[M]. 上海：格致出版社/上海人民出版社，2012.[9]高俊科，高明辉，韩晓东，邢士宾。
单利、复利与连续复利
单利、复利与连续复利
同样的货币在不同的时间点上的价值是不等的，现在一元钱的价值也要大于以后的一元钱的价值，这就是货币的时间价值。
而利息就是衡量货币时间价值的一种方式。
计息的方式有两种：单利和复利。
所谓单利，是指计算利息时，上期利息并不计入本金之内，仅按本金计算的利息，其计算公式如下：
单利利息=本金×利率×期数
例1某人在银行存款10000元，月利率为0.5%，按照单利计算。
求一年后的本息和。
解：由单利计算公式，一年后的本息和为
（元）
10600210.5%1000000001=⨯⨯+复利不同于单利，它不仅要计算本金上的利息，也要计算利息所产生的利息，即所谓“利上滚利”。
按这种计算方法计息，每期末结息一次，然后将利息加入本金作为下一次计息的基础，复利终值的计算公式如下：
本金
利率本金复利利息期数-)1(+⨯=例2设复利年利率为5%，那么20年后，1000元现金产生的利息和是多少？解：由复利计算公式，20年后的利息和为
（元）
65311000-%)51(10002020=+⨯=S 连续复利是复利中的特殊情况。
它是指在期数趋于无限大的极限情况下得到的利率，此时不同期之间的间隔很短，可以看作是无穷小量。
连续复利的公式为：
本金
本金连续复利利息期限利率-⨯⨯=e 例3设连续复利下，年利率为5%，那么20年后，1000元现金产生的利息和是多少？
解：由连续复利计算公式，20年后的总利息为
（元）17181000-e 100020%520=⨯=⨯S。
微积分 连续复利问题
b)一年分n期计息,每期利率按r/n 计算； c)银行连续不断地向顾客付利息,此种计息方式称为连续复利. 解 a) 一年结算一次时,一年后的本利和为A1=A0+ A0r=A0(1+r), 第二年后的本利和为A2= A1(1+r)= A0(1+r)2,依此递推关系, t年后的 本利和为At= A0(1+r)t.
类似于连续复利问题的数学模型,在研究人口增长、林木生长、 设备折旧等问题时都会遇到,具有重要的实际意义.
证明:Βιβλιοθήκη 1 n lim (1 ) e n n
1 设 x n (1 )n n n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n n 1) 1 1 2 n 1! n 2! n! n n
显然 x n 1 x n , xn 是单调递增的;
xn 1 1
1 1 1 1 1 1 1 n1 3 n1 3, 2! n! 2 2 2
n
xn 是有界的; lim xn 存在.
1 记为 lim (1 )n e n n
r b) 一年结算n次, t年共结算nt次, 每期利率为 ,则t年后的本利 n r nt 和为 A t= A0(1+ ) . n ~ c)计算连续复利时, t年后的本利和 A t 为b)中结果 At在n 时的 极限 r nt ~ A t lim A t lim A 0 (1 ) n n n n rt r (1 ) r A 0ert A 0 lim n n
11
1 1 1 1 2 n 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 ). 2! n n! n n n
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1 设 x n = (1 + )n n n 1 n(n − 1) 1 n(n − 1)L (n − n + 1) 1 = 1+ ⋅ + ⋅ 2 +L + ⋅ n 1! n 2! n! n n
= 1+1+
1 1 1 1 2 n−1 (1 − ) + L + (1 − )(1 − )L (1 − ). 2! n n! n n n
连续复利: 连续复利 设一笔本金A 存入银行,年复利率为 在下列情况下,分别计算 年复利率为r,在下列情况下 分别计算t 设一笔本金 0 存入银行 年复利率为 在下列情况下 分别计算 年后的本利和： 年后的本利和： a)一年结算一次； 一年结算一次； 一年结算一次 b)一年分 期计息 每期利率按 一年分n期计息 每期利率按r/n 计算； 计算； 一年分 期计息,每期利率按 c)银行连续不断地向顾客付利息 此种计息方式称为连续复利 银行连续不断地向顾客付利息,此种计息方式称为连续复利 银行连续不断地向顾客付利息 此种计息方式称为连续复利. 一年结算一次时,一年后的本利和为 一年后的本利和为A 解 a) 一年结算一次时 一年后的本利和为 1=A0+ A0r=A0(1+r), 第二年后的本利和为A 依此递推关系, 第二年后的本利和为 2= A1(1+r)= A0(1+r)2,依此递推关系 t年后的 依此递推关系 年后的 本利和为A 本利和为 t= A0(1+r)t.
类似于连续复利问题的数学模型,在研究人口增长、林木生长、 类似于连续复利问题的数学模型 在研究人口增长、林木生长、 在研究人口增长 设备折旧等问题时都会遇到,具有重要的实际意义 具有重要的实际意义. 设备折旧等问题时都会遇到 具有重要的实际意义
证明: 证明:
1n lim (1+ ) = e n→∞ n
xn < 1 + 1 +
1 1 1 1 1 +L+ < 1 + 1 + + L + n −1 = 3 − n −1 < 3, 2 2! n! 2 2
n→∞
∴ {xn } 是有界的 ; ∴ lim x n 存在.
1 记为 lim (Βιβλιοθήκη + )n = e n→∞ n
(e = 2.71828L)
r b) 一年结算 次, t年共结算 次, 每期利率为 ,则t年后的本利 一年结算n次 年共结算 年共结算nt次 则 年后的本利 n r nt 和为 A t= A0(1+ ) . n ~ A t 为b)中结果 At在n → ∞时的 c)计算连续复利时 t年后的本利和 计算连续复利时, 计算连续复利时 年后的本利和 中结果 极限 r nt ~ A t = lim A t = lim A 0 (1 + ) n→∞ n→ ∞ n n rt r = A 0 lim (1 + ) r = A 0ert n→∞ n
类似地, 类似地
x n +1 = 1 + 1 +
1 1 (1 − ) +L 2! n+1 1 1 2 n−1 )(1 − )L (1 − ) + (1 − n! n+1 n+2 n+1 1 1 2 n (1 − )(1 − )L (1 − ). + (n + 1)! n+1 n+2 n+1
显然 xn +1 > xn , ∴ {x n } 是单调递增的 ;