连续复利问题

类似于连续复利问题的数学模型,在研究人口增长、林木生长、 类似于连续复利问题的数学模型 在研究人口增长、林木生长、 在研究人口增长 设备折旧等问题时都会遇到,具有重要的实际意义 具有重要的实际意义. 设备折旧等问题时都会遇到 具有重要的实际意义
证明: 证明:
1n lim (1+ ) = e n→∞ n
连续复利: 连续复利 设一笔本金A 存入银行,年复利率为 在下列情况下,分别计算 年复利率为r,在下列情况下 分别计算t 设一笔本金 0 存入银行 年复利率为 在下列情况下 分别计算 年后的本利和： 年后的本利和： a)一年结算一次； 一年结算一次； 一年结算一次 b)一年分 期计息 每期利率按 一年分n期计息 每期利率按r/n 计算； 计算； 一年分 期计息,每期利率按 c)银行连续不断地向顾客付利息 此种计息方式称为连续复利 银行连续不断地向顾客付利息,此种计息方式称为连续复利 银行连续不断地向顾客付利息 此种计息方式称为连续复利. 一年结算一次时,一年后的本利和为 一年后的本利和为A 解 a) 一年结算一次时 一年后的本利和为 1=A0+ A0r=A0(1+r), 第二年后的本利和为A 依此递推关系, 第二年后的本利和为 2= A1(1+r)= A0(1+r)2,依此递推关系 t年后的 依此递推关系 年后的 本利和为A 本利和为 t= A0(1+r)t.
类似地, 类似地
x n +1 = 1 + 1 +
1 1 (1 − ) +L 2! n+1 1 1 2 n−1 )(1 − )L (1 − ) + (1 − n! n+1 n+2 n+1 1 1 2 n (1 − )(1 − )L (1 − ). + (n + 1)! n+1 n+2 n+1
显然 xn +1 > xn , ∴ {x n } 是单调递增的 ;
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1 设 x n = (1 + )n n n 1 n(n − 1) 1 n(n − 1)L (n − n + 1) 1 = 1+ ⋅ + ⋅ 2 +L + ⋅ n 1! n 2! n! n n
= 1+1+
1 1 1 1 2 n−1 (1 − ) + L + (1 − )(1 − )L (1 − ). 2! n n! n n n
r b) 一年结算 次, t年共结算 次, 每期利率为 ,则t年后的本利 一年结算n次 年共结算 年共结算nt次 则 年后的本利 n r nt 和为 A t= A0(1+ ) . n ~ A t 为b)中结果 At在n → ∞时的 c)计算连续复利时 t年后的本利和 计算连续复利时, 计算连续复利时 年后的本利和 中结果 极限 r nt ~ A t = lim A t = lim A 0 (1 + ) n→∞ n→ ∞ n n rt r = A 0 lim (1 + ) r = A 0ert n→∞ n
xn < 1 + 1 +
1 1 1 1 1 +L+ < 1 + 1 + + L + n −1 = 3 − n −1 < 3, 2 2! n! 2 2
n→∞
∴ {xn } 是有界的 ; ∴ lim x n 存在.
1 记为 lim (1 + )n = e n→∞ n
(e = 2.71828L)