二面角习题及答案

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二面角

1.如图三棱锥 P-ABC 中,PC ⊥平面ABC ,PC =3

2 ,D 是 BC 的中点,且△ADC 是

边长为 2的正三角形,求二面角 P-AB -C 的大小。 解

2.如图在三棱锥 S-ABC 中,SA ⊥底面ABC ,AB ⊥BC ,DE 垂直平分SC ,且分别交 AC 、SC 于D 、E ,又SA =AB ,BS =BC , 求以BD 为棱,BDE 与BDC

解:

3. 如图:ABCD 是矩形,AB =8,BC =4,AC 与 BD

相交于O 点,P 是平面 ABCD 外一点,PO ⊥面ABCD ,PO =4,M 是 PC 的中点,求二面角 M-BD-C 大小。 解:

4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直,且AB =BC =BD ,∠ABC =∠DBC =120,求二面角 A-BD-C 的余弦值。 解:

A

B

A

C

5.已知正方体 AC',M 、N 分别是BB',DD'的中点,求截面 AMC'N 与面ABCD ,CC'D'D 所成的角。 解:

6.如图 AC ⊥面BCD ,BD ⊥面ACD ,若AC =CD =1,∠ABC =30°,求二面角D AB C --的大小。 解:

7. 三棱锥 A-BCD 中,∠BAC =∠BCD =90°,∠DBC =30°,AB =AC =6,AD =4,求二面角 A-BC-D 的度数。 解:

9. 如图所示,四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形,∠A =60°,PC ⊥平面ABCD ,PC =a,E 是PA 的中点.

(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD.(2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析:

D ’

B ’

D

A

C ’

B

A ’

C

M

N

B F E

A

C

D

D

O A

B

C

10. 如图,已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1,E 、F 分别在棱AB 、BC 上,G 在

对角线BD1上,且AE =41,BF =21

,D1G ∶GB =1∶2,求平面EFG 与底面ABCD 所成

的二面角的大小.

11. 如图,设ABC —A1B1C1是直三棱柱,E 、F 分别为AB 、A1B1的中点,且AB =2AA1=2a,AC =BC =3a. (1)求证:AF ⊥A1C

(2)求二面角C —AF —B 的大小

12.如图1111D C B A ABCD -是长方体,AB=2,11==AD AA ,求二平面C AB 1与1111D C B A 所成二面角的大小.

13. 在正方体1111D C B A ABCD -中,1BB K ∈,1CC M ∈,且

141BB BK =

1

43

CC CM =..求:平面AKM 与ABCD 所成角的大小.

14. 如图,将边长为a 的正三角形ABC 按它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'. (1)若二面角C AD C --'是直二面角,求C C '的长; (2)求C A '与平面CD C '所成的角;

(3)若二面角C AD C --'的平面角为120°,求二面角D C C A -'-的平面角的正切值.

参考答案

解:由已知条件,D 是BC 的中点

∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2

∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形, ∴ AB ⊥AC , 又 PC ⊥面ABC

∴ PA ⊥AB (三垂线定理)

∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角, 易求 ∠PAC =30°

2、解:∵ BS =BC ,又DE 垂直平分SC

∴ BE ⊥SC ,SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ,又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ,BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ,且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ,

则 BC =SB =2a 且 AC = 3

易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60° 3、解:取OC 之中点N ,则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD

∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2

过 N 作 NR ⊥BD 于 R ,连MR ,

则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =2

1CE 在 Rt △BCD 中, ∴ 5

8

BD BC CD CE =⋅=

A

B

A

∴ 5

4RN =

2

5

RN MN MRN tan ==

∠ ∴ 2

5

arctan

MRN =∠ 4. 解:过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E , 连结 DE , ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD

∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影

∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影

设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=

a 2

3 ∴ AD =

4

1ABD cos 26=∠, ∴ sin ∠ABD =

4

15

∴ 22ABD a 815415a 21S =⨯=

∆ 又 a 21BE = ∴ 2BDE a 8

3a 21a 2321S =⋅⋅=

∆ ∴ 5

5

S S cos ABD BDE =

=

θ∆∆ 5. 解:设边长为a ,易证 ANC'N 是菱形 且MN =a 2,A'C =a 3 ∴S□AMC'N = 2

a 2

6'AC 21MN =⋅

由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即 为正方形ABCD ∴ S□ABCD =2

a

A

C ’

A ’

C

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