高考数学专题五“17题～19题

合集下载

2020高考数学(文)二轮课件：大题6“17题～19题”+“二选一” 46分练

第12页
乙小区租户的月收入(单位：千元)的频数分布表如下：
月收入 [0,3) [3,6) [6,9) [9,12) [12,15]
户数 38 27 24
9
2
(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记 M 表示事件“甲小区租户
的月收入低于 6 千元，乙小区租户的月收入不低于 6 千元”，把频率视为概率，
第7页
解
(1)证明：取 BD 的中点 F，连接 AF，SF。因为∠SBD＝∠SDB，所以 SB＝SD，
第8页
因为 BF＝DF，所以 SF⊥BD。因为∠ABD＝∠ADB，所以 AB＝AD，因为 BF＝DF，所以 AF⊥BD。因为 SF∩AF＝F，SF⊂平面 SAF，AF⊂平面 SAF，所以 BD⊥平面 SAF。因为 SA⊂平面 SAF，所以 SA⊥BD。
第19页
23．(本小题满分 10 分)(选修 4－5：不等式选讲) 设函数 f(x)＝|ax＋1|＋|x－a|(a>0)，g(x)＝x2－x。 (1)当 a＝1 时，求不等式 g(x)≥f(x)的解集； (2)已知 f(x)≥2 恒成立，求 a 的取值范围。
解 (1)当 a＝1 时，f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝2－，2－x，1x<≤x<－1，1， 2x，x≥1，
由(1)知，△ABC 的外接圆直径为 1，
根据正弦定理得sinaA＝sinbB＝sincC＝1，
所以 a＋c＝sinA＋sinC＝sinA＋sin23π－A
＝

3

23sinA＋12cosA＝
3sinA＋π6。
因为 0<A<23π，所以π6<A＋6π<56π，
所以12<sinA＋π6≤1，

高考理科数学17题知识点

高考理科数学17题知识点一、题目描述高考理科数学17题是一个较为复杂的题目，需要运用多种数学知识和解题技巧进行分析和解答。

题目描述如下：已知函数f(x)为定义在R上的可导函数，且对于任意的实数x，都满足f'(x)+f''(x)=x。

若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与y轴和x轴分别交于A和B，则直线AB的斜率的绝对值为多少？二、解题思路对于这道题目，我们需要运用到以下几个数学知识点：可导函数的定义、斜率的计算、切线方程的求解等。

通过理解和应用这些知识点，我们可以得出解题的思路。

首先根据题目描述可知，函数f(x)是一个可导函数，即对于任意实数x，f(x)在该点处存在导数。

其次，题目中给出了f'(x)+f''(x)=x的关系式，我们可以通过求导来求得函数f(x)的表达式。

根据已知，函数f(x)在点P(1,f(1))处的切线与y轴和x轴分别交于A和B。

我们需要求解直线AB的斜率的绝对值。

根据切线的性质，切线的斜率即为函数在该点处的导数值。

因此，我们需要求解函数f(x)在x=1处的导数值。

三、解答过程1. 求导根据题目已知条件f'(x)+f''(x)=x，我们可以得到f''(x)=x-f'(x)。

将此式代入到f'(x)+f''(x)=x中，得到f'(x)+(x-f'(x))=x。

化简得到f'(x)=x/2。

2. 求解斜率根据切线的性质，函数f(x)在x=1处的导数值即为切线的斜率。

因此，直线AB的斜率的绝对值即为f'(1)的绝对值，即1/2的绝对值，即1/2。

3. 结论经过以上计算，我们得出直线AB的斜率的绝对值为1/2。

四、思考拓展除了解决题目本身，我们还可以对题目进行一些拓展思考，进一步深入理解和应用数学知识。

1. 利用求导来求解相关方程在解决这道题目的过程中，我们利用到了求导的知识。

高考数学解答题(17、18、19)答案

17答案解)2cos 1(32sin )32,(cos )cos ,sin 2()(2x x x x x b a x f ωωωωω++=⋅=⋅= 3)32sin(2++=πωx ………………………………………………………………3分∵相邻两对称轴的距离为21,222,=∴=∴ωπωππ3)3sin(2)(++=∴πx x f …………………………………………………………6分（II ）]32,2[3],3,6[πππππ∈+∴∈x x ………………………………………………7分 32)(32+≤≤∴x f ，…………………………………………………………8分又m x f m m x f +<<+-∴<-2)(2,2|)(|……………………………………10分若对任意]3,6[ππ∈x ，恒有⎪⎩⎪⎨⎧+≥+≤+-<-322322,2|)(|m m m x f 则有成立解得3223+≤≤m ……………………………………………………………12分18. 解：（I ）X 的所有可能取值为0，1，2，依题意得： ;51)2(;53)1(;51)0(3622143612243634=========C C C X P C c C X P C C X P …………3分 ∴X 的分布列为∴E （X ）=0×5+1×5+2×5=1.…………………………………………4分（II ）设“甲、乙都不被选中”的事件为C ，则.51204)(3634===C C C P ……6分∴所求概率为.54511)(1)(=-=-=C P C P …………………………………8分（III ）记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，.51)(;212010)(36143625==⋂===C C A B P C C A P ………………………………10分)52104)|(.(52)()()|(2514=====C C A B P A P BA P A B P 或直接得……………12分19.解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形．因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥．而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A = ，所以AE ⊥平面PAD．又PD ⊂平面PAD ，所以AE PD ⊥． 4分（Ⅱ）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，．由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角．在Rt EAH △中，AE =所以当AH 最短时，EHA ∠最大，即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．此时tan AE EHA AH ∠===因此AH =2AD =，所以45ADH ∠=，所以2PA =． 8分解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，在Rt AOE △中，sin 30EO AE ==3cos302AO AE == ，又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，sin 454SO AO ==，又SE == 在Rt ESO △中，cos SO ESO SE ∠=== 12分解法二：由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以 (000)10)(020)A B C D -，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F ⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以10)1AE AF ⎫== ，，，，．设平面AEF 的一法向量为),,(111z y x =，P B EC F AH O S则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，因此11110102x y z =++=，．取11z =-，则)1,2,0(-=，因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A = ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC的一法向量．又(0)BD =，，所以51512532||||,cos =⨯⨯=>=<BD m ．因为二面角E AF C --． 12分17.解：（I ）11),(1=-++nyn x S S n n 在直线上， ,111=-+∴+nS n S nn …………………………………………（1分） ∴{nS n}构成以S 1=a 1=2为首项，公差为1的等差数列， )6(*).(2,2,2)1()1(,2)3(.,1)1(212212分而时当分 N n n a a n n n n n S S a n n n S n n nS n n n n n n∈=∴==----+=-=≥+=∴+=⨯-+=∴-证明：（II ）n n S n +=218. （Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“函数()f x 没有极值”为事件A ，“函数()f x 有极值的”为事件B ，则{}()126a b a b Ω==，，，，…，，2()32f x x ax b '=++，函数无极值的条件是()0f x '=有一个实数根或无根，)12(.322123)]211()4121()311[(2)10().1(34,0)2(4,*)8(,22222122122221121分又分时取等号时分 <+-+-=+-++-+-=+++==≥+++∴>+=∈+-=-+++-=-+++=∴n n n n T T T n T T T T n n T N n n n n n n n n n T n n n n即△=22(2)434(3)a b a b -⨯⨯=-0≤。

高考数学特色专项大题标准练：解答4 “17~19”+“二选一”46分练

解答4 “17~19”+“二选一”46分练1.（2018广西桂林、百色、崇左三模）记公差0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，312S =+.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）试问：在数列{}n a 中是否存在三项r a ，s a ，t a (r s t <<，r ，s ，t ∈N *)恰好成等比数列？若存在，求此三项；若不存在，请说明理由.1.【解析】（1）由12a =31123312S a d =+=+=+，得2d =.…2分所以1(1)2n a a n d n =+-=，……………………………3分21()1)2n n n a a S n n +===+.……………………………5分（2）假设存在三项r a ，s a ，t a 成等比数列，则2s r t a a a =，………………………6分即有2(2(2s r t =，整理得2(2rt s s r t -=--，若20rt s -≠22s r trt s--=-， ………………………………………………8分因为r s t <<，r ，s ，t ∈N *，所以22s r trt s---是有理数，. ……………………………………………………10分若20rt s -=，则20s r t --=，从而e s t ==，这与r s t <<矛盾. ………………11分综上可知，不存在满足题意的三项r a ，s a ，t a . ……………………………………12分 2.（2018广东深圳二模）在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，90BAD ∠=，M 是PC 的中点，N 在线段AB 上，且3AB AN =，已知2CD AD PA ===，3AB =. （1）证明：MN ⊥平面PCD ；（2）将过D ，M ，N 三点的平面α与侧棱PB 的交点记为Q ，（i ）确定点Q 的位置，并说明理由；（ii ）求四棱锥P DMQN -的体积.2.【解析】（1）证明：取PD 的中点E ，连接AE ，ME .所以//ME CD ，12ME CD =，//AN CD ，12AN CD =，所以//ME AN ，ME AN =，即四边形AEMN 为平行四边形.所以//MN AE ，…………………………………………………………………… 2分因为PA AD =，E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥， ……………………………………………3分所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥，所以AD CD ⊥，AD PA A =，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD AE ⊥， ………………………………………………4分因为CD PD D =，所以AE ⊥平面PCD ，即MN ⊥平面PCD . …………………………5分（2）（i ）设Q 为PB 的中点， ………………………6分则//DN CB ，CB α⊄，DN α⊂，所以//BC α.所以BC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面αMQ =，所以//BC MQ ，因为M 是PC 的中点，所以Q 是PB . ……………………………………………7分112333P MND N PMD PMD V V S NM --∆====⋅.……9分13P MND M PND PND M V V S d --∆==⋅，其中，111(22)1222PNQ PNB S S ∆∆==⨯⨯⨯=，………………10分因为//MQ DN ，12MQ DN =，所以点M 到平面PNQ 的距离等于点D 到平面PNQ 的距离的一半，等于1. 所以11111333P MNQ M PNQ PNQ M V V S d --∆===⨯⨯=⋅.…………………………………11分所以21133P DMQN P MND P MNQ V V V ---=+=+=. …………………………………12分3.（2018山西大同、阳泉5月联考）为了保证食品的安全卫生，食品监督管理部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图(单位:毫克).规定:当食品中的有害微量元素的含量在[0,10]时为一等品，在(10,20]为二等品，20以上为劣质品.（1）用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个，求抽到食品甲包含劣质品的概率和抽到食品乙全是一等品的概率；（2）在概率和统计学中，数学期望（或均值）是基本的统计概念，它反映随机变量取值的平均水平.变量的一切可能的取值i x 与对应的概率()i p x 乘积之和称为该变量的数学期望，记为()E X .参考公式：变量X 的取值为123,,,n x x x x ，X 对应取值的概率()()()()123,,,,n p x p x p x p x ，可理解为数据123,,,n x x x x 出现的频率()()()()123,,,,n f x f x f x f x ，()()()()1122n n E X x p x x p x x p x =⋅+⋅++⋅()()()1122n n x f x x f x x f x =⋅+⋅++⋅.①每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率，若分别从甲、乙食品中各抽取1件,求这两件食品各自能给该厂带来的盈利期望()(),E X E X 甲乙.②若生产食品甲初期需要一次性投入10万元，生产食品乙初期需要一次性投人16 万元，但是以目前企业的状况，甲乙两条生产线只能投资其中一条.如果你是该食品厂负责人，以一年为期限，盈利为参照，请给出合理的投资方案.3.【解析】（1）用分层抽样方法抽到食品甲是一等品、二等品、劣质品的样本个数分别为1212,,,,A A B B C ， ……………………………1分抽到食品乙是一等品、二等品、劣质品的样本个数分别为3，1，1，记为123,,,,a a a b c ，…………………………………………………………2分食品甲5个样本抽取 2 个有1211121212221212,,,,,,,,,A A A B A B AC A B A B A C B B B C B C 共 10 种，包含劣质品的有1212,,,AC A C B C B C 共4种. ……………………………3分所以142105P ==. ……………………………………………………4分食品乙5个样本抽取2个有121311232233,,,,,,,,,a a a a a b a c a a a b a c a b a c bc 共 10 种，全是一等品的有121323,,a a a a a a 共3种. ……………………………5分所以2310P =. …………………………………………………………6分（2）①()()22150202024555E x =⨯+⨯+-⨯=甲元，()()31150202030555E x =⨯+⨯+-⨯=乙元，……………………………8分②假设一年都生产x 件甲和乙()*x N ∈，则甲的利润函数为24100000y x =-甲，则乙的利润函数为30160000y x =-乙. 当 010000x <≤时，y y ≥甲乙；当10000x >时，y y <甲乙， ……………………………………………………10分即年产量小于10000件时投资甲生产线，等于10000件时投资两条生产线一样，大于10000件时投资乙生产线. ……………………………12分4.（2018东北三省三校第三次联考）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为:2cos ρθ=. （1）若曲线2C 的参数方程为:cos (1sin x t y t ααα=⎧⎨=+⎩为参数)，求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程（2）若曲线2C 的参数方程为：cos (1sin x t y t ααα=⎧⎨=+⎩为参数)，(0,1)A ，且曲线1C 与曲线2C交点分别为P 、Q ，求11AP AQ+的取值范围. 4.【解析】（1）因为2cos ρθ=，所以22cos ρρθ=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以曲线1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=， ……………………………2分曲线2C 的普通方程为：222(1)x y t +-=. ……………………………4分（2）将2C 的参数方程：cos (1sin x t y t ααα=⎧⎨=+⎩为参数)代入1C 的方程：2220x y x +-=得：()22sin 2cos 1=0t t αα+-+，因为2(2sin 2cos )48sin 20ααα∆=--=->，所以(,)(2k k k παππ∈-+∈Z ），此时方程有两不同实根1t ，2t ，对应点P ，Q .12(2sin 2cos )t t αα+=--，1210t t =>， ……………………………6分则1t ，2t 同号，由t 的几何意义可得：12121212121111t t t t PA PB t t t t t t +++=+==⋅⋅ 12t t =+cos()|4πα=+， ……………………………8分因为(,)(2k k k παππ∈-+∈Z ），所以(,)(444k k k πππαππ+∈-++∈Z ），所以cos()|(2,4πα+∈，所以11AP AQ+(2,∈. ……………………………10分 5.（2018四川、云南、广西、贵州四省名校第三次联考）已知函数|12||2|)(-++=x a x x f ,1256)(--=x x x g . （1）当3=a 时，解不等式6)(≤x f ；（2）若对任意]25,1[1∈x ，都存在2x ∈R ，使得)()(21x f x g =成立，求实数a 的取值范围. 5.【解析】（1）当3=a 时，|12||32|)(-++=x x x f ，……………………………1分⎪⎩⎪⎨⎧≤-++--<⇔≤621)32(236)(x x x x f 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++≤≤-621322123x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>612)32(21x x x …………………………………………………………3分解得12≤≤-x ，即不等式解集为}12|{≤≤-x x . …………………………………………………………5分（2）因为|1||122||12||2|)(+=+-+≥-++=a x a x x a x x f ，………………………6分当且仅当0)12)(2(≤-+x a x 时取等号，所以)(x f 的值域为)|,1[|+∞+a ， ……………………………………………………7分又1256)(--=x x x g 1223--=x 在]25,1[∈x 上单调递增，所以)(x g 的值域为]25,1[， ……………………………………………………8分要满足条件，必有)|,1[|]25,1[+∞+⊆a ，所以1|1|≤+a ，解得02≤≤-a ，所以实数a 的取值范围为]0,2[-. ……………………………………………………10分。

高考理科数学二轮复习练习：大题规范练1“17题～19题+二选一”46分练

大题规范练(一)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45 分钟分值：46 分)解答题(本大题共 4 小题，共46 分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{ a n} 的前n项和为S n，且知足a1＋a5＝2a723，S7＝63.(1)求数列{a n} 的通项公式a n；(2)若数列{b n}知足b1＝a1 且b n＋1－b n＝a n＋1，求数列1b n的前n项和T n.【导学号：07804229】[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，易知a n＞0，2a1＋a1＋4d＝1＋2d7 a则2，7a1＋21d＝63a＝31解得，d 2＝∴a n＝2n＋1.22法二：(等差数列的性质)∵{ a n} 是等差数列且a1＋a5＝3，∴2a3＝a7 272 a3，又a n＞0，∴a3＝7.∵S7＝a1＋a72＝7a4＝63，∴a4＝9，∴d＝a4－a3＝2，∴a n＝a3＋( n－3)d＝2n＋1.＋1－b n＝a n＋1 且a n＝2n＋1，(2)∵b n∴b n＋1－b n＝2n＋3，当n≥2时，b n＝( b n－b n －1－b n－2)＋⋯＋(b2－b1)＋b1＝(2 n＋1)＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＝－1)＋(b nn(n＋2)，当n＝1时，b1＝3知足上式，故b n＝n( n＋2)．1 1 ∴＝b nn n＋＝121 1－n n＋2.1 ∴T n＝＋b11＋⋯＋b21＋b n－1－11b n1＝2 1－13＋1 1－2 4＋1－315＋⋯＋1－n－11n＋1＋1n－1n＋212＝1＋12－1 1－n＋1 n＋23 ＝－42n＋3n＋n＋.18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB＝AD＝12CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为C D 的中点，沿AE 把△DAE 折起到△PAE 的地点(D 折后变成P)，使得PB＝2，如图2.(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O，连结PO，OB，BE.因为在平面图形中，如题图(图1)，连结BD，BE，易知四边形ABED为正方形，图(1)因此在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，因此PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝2，因为PB＝2，因此PO2＋OB2＝PB2，因此PO⊥OB，又AE∩OB＝O，因此PO⊥平面ABCE，因为PO? 平面PAE，因此平面PAE⊥平面ABCE .(2)由(1)知，OB，OE，OP 两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OE，OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，2)，B( 2，0,0)，E(0，→→→＝( 2，0，－2)，EP＝(0，－2，2)，EC＝( 2，2，0)．2，0)，C( 2，2 2，0)，PB图(2)设平面PCE 的法向量为n＝(x，y，z)，→n·EP则→＝0，＝0，n·EC 即－2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．→因此cos〈PB，n〉＝→PB·n 2 2＝＝→2 3|PB| ·|n|6，36因此直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值为.319.某学校为鼓舞家校互动，与某手机通信商合作，为教师办理流量套餐．为认识该校教师手机流量使用状况，经过抽样，获得100 位教师近 2 年每人手机月均匀使用流量L(单位：M) 的数据，其频次散布直方图以下：图3若将每位教师的手机月均匀使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频次视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取 3 人，求这3人中至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率；(2)现该通信商推出三款流量套餐，详情以下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 20 300B 30 500C 38 700这三款套餐都有以下附带条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦高出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元；假如又高出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元，以此类推，假如当月流量有节余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购此中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并肩负系统自动充值的流量资费的75%，其他部分由教师个人肩负，问学校正购哪一款套餐最经济？说明原因．[解] (1)记“从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量不超出300 M ”为事件 D.依题意，P(D )＝(0.000 8＋0.002 2) ×100＝0.3.X～这3 人中手机月使用流量不超出300 M 的人数为X，则中随机抽取 3 人，设从该校教师B(3,0.3)，中随机抽取 3 人，至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率为P(X＝校教师因此从该0 03＋C31×0.3 ×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.0)＋P(X＝1)＝C3×0.3 ×(1－0.3)(2)依题意，从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500] 的概率为(0.002 5(0.000 8＋0.000 2) ×100＝0.1.＋0.003 5) ×100＝0.6，L∈(500,700] 的概率为X1 元，则X1 的全部可能取值为当学校正购A 套餐时，设为学校为1位教师肩负的月花费20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P( X1＝50)＝0.1，因此X1 的散布列为X1 20 35 50P 0.3 0.6 0.1因此E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．费X2元，则X2的全部可能取值为30,45，肩负的月花为当学校正购B 套餐时，设学校为1位教师且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，因此X2 的散布列为X2 30 45P 0.9 0.1因此E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．为费X3 元，则X3 的全部可能取值为38，当学校正购C 套餐时，设学校为1位教师肩负的月花且P(X3＝38)＝1，因此E(X3)＝38×1＝38(元)．因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，．济因此学校正购B 套餐最经(请在第22～23题中选一题作答，假如多做，则依据所做第一题计分)22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标方程为ρ系中，圆C的极坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在成立平面直角坐标系.为x轴直线【导学号：07804230】(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y 的最大值，并求出此时点P 的．直角坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，[解] (1)因为ρ因此x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5为方程，圆C 的直角坐标(θ为参数)．x＝2＋5cos θy＝2＋5sin θC的参数方程为因此圆2＋y2－4x－4y＋3＝0，整理得5y2＋4(1－t)y＋t2 (2)法一：设x＋2y＝t，得x＝t－2y，代入x－4t＋3＝0 (*) ，则对于y 的方程必有实数根．因此Δ＝16(1－t)2－20(t2－4t＋3) ≥0，化简得t2－12t＋11≤0，解得1≤t≤ 1 1，即x＋2y 的最大值为11.将t＝11 代入方程(*) 得y2－8y＋16＝0，解得y＝4，代入x＋2y＝11，得x＝3，故x＋2y 的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4)．法二：由(1)可设点P(2＋5cos θ，2＋5sin θ)，则x＋2y＝6＋5cos θ＋2 5sin θ＝6＋55 2 55 cos θ＋ 5 sin θ，设s in α＝5 2 5，则c os α＝，因此x＋2y＝6＋5sin(θ＋α)，5 5当sin(θ＋α)＝1时，(x＋2y)max＝11，π此时，θ＋α＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝2 π－α＋2kπk(∈Z)，2因此sin θ＝cos α＝2 55，cos θ＝sin α＝5，故点P 的直角坐标为(3,4)．523．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．(1)解对于x 的不等式f( x)＞5；(2)若不等式f(x) ≥g(x)对随意x∈R恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)由f(x)＞5，得|x－2|＞3，∴x－2＜－3 或x－2＞3，解得x＜－1 或x＞5.故原不等式的解集为{ x|x＜－1 或x＞5} ．(2)由f(x) ≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对随意x∈R恒成立，当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥0恒成立，|x－2|＋2当x≠0时，问题等价于m≤对随意非零实数恒成立，|x||x－2|＋2 |x－2＋2|∵＝1，∴m≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．≥|x| |x|。

2020版新高考理科数学专项22： “17～19题”+“二选一”

专项小测：“17～19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝1，S n ＋1－1＝S n ＋a n ，数列{b n }为等比数列，满足b 1＝4b 3，b 2＝14＜b 1，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为W n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较W n 与1T n的大小．解：(1)由a 1＝1，S n ＋1－1＝S n ＋a n ，可得a n ＋1＝a n ＋1，即数列{a n }为首项和公差均为1的等差数列，可得a n ＝n . (3分) 数列{b n }为等比数列，满足b 1＝4b 3，b 2＝14＜b 1，n ∈N *. 设公比为q ，可得b 1＝4b 1q 2，可得q ＝±12，当q ＝12时，12b 1＝14，可得b 1＝12＞14，q ＝－12不成立，舍去，所以b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .(6分) (2)因为1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，(8分)所以W n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1＜1，(10分)所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ∈(0,1)，则1T n ＞1，即有W n ＜1T n .(12分) 18．(12分)在五边形AEBCD 中，BC ⊥CD ，CD ∥AB ，AB ＝2CD ＝2BC ，AE ⊥BE ，AE ＝BE (如图)，将△ABE 沿AB 折起，使平面ABE ⊥平面ABCD ，线段AB 的中点为O (如图)．(1)求证：平面ABE ⊥平面DOE ；(2)求平面EAB 与平面ECD 所成的锐二面角的大小．解：(1)由题意AB ＝2CD ，O 是线段AB 的中点，则OB ＝CD . 又CD ∥AB ，则四边形OBCD 为平行四边形，又BC ⊥CD ，则AB ⊥OD .(2分)因为AE ＝BE ，OB ＝OA ，则EO ⊥AB . 又EO ∩DO ＝O ，则AB ⊥平面EOD . (4分) 又AB ⊂平面ABE ，故平面ABE ⊥平面EOD .(6分) (2)由(1)易知OB ，OD ，OE 两两垂直，以O 为坐标原点，以OB ，OD ，OE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，△EAB 为等腰直角三角形，且AB ＝2CD ＝2BC ，则OA ＝OB ＝OD ＝OE ，取CD ＝BC ＝1，则O (0,0,0)，A (－1,0,0)，B (1,0,0)， C (1,1,0)，D (0,1,0)，E (0,0,1)，则CD→＝(－1,0,0)，DE →＝(0，－1,1)．设平面ECD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CD→＝0，n ·DE→＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，－y ＋z ＝0，令z ＝1，得平面ECD 的一个法向量n ＝(0,1,1)． (8分)因为OD ⊥平面ABE ，所以平面ABE 的一个法向量为OD →＝(0,1,0)．(10分)设平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为θ，则 cos θ＝|cos 〈OD →，n 〉|＝|0×0＋1×1＋0×1|1×12＋12＝22. 因为θ∈(0°，90°)，所以θ＝45°，故平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为45°. (12分) 19．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ()2，0是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且AC →·BC →＝0，|OC →－OB →|＝2|AB →＋BC →|.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ →＝λAB →？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．解：(1)∵AC →·BC →＝0，∴∠ACB ＝90°. ∵|OC→－OB →|＝2|AB →＋BC →|，即|BC →|＝2|AC →|， ∴△AOC 是等腰直角三角形．∵A ()2，0，∴C ()1，1，而点C 在椭圆上， ∴1a 2＋1b 2＝1，a ＝2，∴b 2＝43， ∴所求椭圆方程为x 24＋y 243＝1.(2)对于椭圆上两点P ，Q .∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，∴PC 与CQ 所在直线关于x ＝1对称，令k PC ＝k ，则k CQ ＝－k . ∵C ()1，1，∴PC 的直线方程为y ＝k ()x －1＋1，① QC 的直线方程为y ＝－k ()x －1＋1, ②将①代入x 24＋3y 24＝1，得()1＋3k 2x 2－6k ()k －1x ＋3k 2－6k －1＝0，③∵C ()1，1在椭圆上，∴x ＝1是方程③的一个根， ∴x P ＝3k 2－6k －11＋3k 2，以－k 替换k ，得到x Q ＝3k 2＋6k －13k 2＋1，∴k PQ ＝k ()x P ＋x Q －2k x P －x Q＝13.∵∠ACB ＝90°，A ()2，0，C ()1，1，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴A ()2，0，B ()－1，－1，∴k AB ＝13， ∴k PQ ＝k AB ，∴PQ ∥AB ， ∴存在实数λ，使得PQ →＝λAB →， |PQ→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋3k 22＝1609k 2＋1k 2＋6≤2303，当9k 2＝1k 2时，即k ＝±33时取等号，|PQ →|max ＝2303.又|AB →|＝10，λmax ＝230310＝233 ， ∴λ取得最大值时的PQ 的长为2303.(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2.(1)设点M ，N 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|MN |的最大值；(2)设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与曲线C 1交于P ，Q 两点，且|PQ |＝1，求直线l 的方程．解：(1)由题意知，曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)，半径r 1＝2.曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，圆心C 2(0,0)，半径r 2＝2. ∴|MN |max ＝|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝3＋2＋2＝7. (5分)(2)将直线l 的参数方程代入(x －3)2＋y 2＝4中，得(t cos α－4)2＋(t sin α)2＝4，整理得t 2－8t cos α＋12＝0，∴Δ＝64cos 2α－48>0.设P ，Q 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝8cos α，t 1t 2＝12.由|PQ |＝1及参数t 的几何意义，得|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(8cos α)2－4×12＝1，解得cos α＝±78，满足Δ>0，∴直线l 的斜率为tan α＝±157，∴直线l 的方程为15x ±7y ＋15＝0. (10分) 23．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f (x )＝2|x ＋1|－|x －a |(a ∈R )．(1)当a ＝2时，作出函数f (x )的图象，并写出不等式f (x )≥6的解集； (2)当x ∈[－1,1]时，若不等式f (x )≤2恒成立，求实数a 的取值范围．思路分析：(1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －4，x ＜－1，3x ，－1≤x ≤2，x ＋4，x ＞2，利用分段函数求解；(2)由x ∈[－1,1]，可得f (x )＝2x ＋2－|x －a |，所以f (x )≤2转化为2x ＋2－|x －a |≤2，即|x －a |≥2x 可解．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －4，x ＜－1，3x ，－1≤x ≤2，x ＋4，x ＞2，作出的函数图象如下：(3分) 从图中可知，不等式f (x )≥6的解集为(－∞，－10]∪[2，＋∞)．(5分)(2)因为x ∈[－1,1]，所以f (x )＝2|x ＋1|－|x －a |＝2x ＋2－|x －a |，所以f (x )≤2转化为2x ＋2－|x －a |≤2，即得|x －a |≥2x 对x ∈[－1,1]恒成立，即x －a ≥2x 或x －a ≤－2x ，也就是a≤－x或a≥3x对x∈[－1,1]恒成立，(8分) 所以a≤－1或a≥3，故实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(10分)。

2020版新高考理科数学专项17： “17～19题”+“二选一”

专项小测：“17～19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a b ＋b a ＝sin 2Csin A sin B ＋1.(1)求角C 的大小；(2)若S △ABC ＝32且a ＝2b ，求c 的值．解：(1)由正弦定理得a b ＋b a ＝c 2ab ＋1，即a 2＋b 2ab ＝c 2ab ＋1，(2分) 化简得a 2＋b 2－c 22ab ＝12，由余弦定理得cos C ＝12 (4分) 所以C ＝π3.(5分)(2)由题意知S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ＝32，所以ab ＝2. (7分) 又a ＝2b ，所以a ＝2，b ＝1.(9分) 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋1－2＝3， (11分) 得c ＝ 3. (12分)18．(12分)如图，△ABC ，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把AEF 折起，使点A 到达点P 的位置，且PB ＝BE .(1)证明：EF ⊥平面PBE ；(2)设N 为线段PF 上的动点，求直线BN 与平面PCF 所成角的正弦值的最大值．解：(1)因为E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，所以EF ∥BC . 因为∠ABC ＝90°，所以EF ⊥BE ，EF ⊥PE . 又因为BE ∩PE ＝E ，所以EF ⊥平面PBE . (2)取BE 的中点O ，连接PO .由(1)知EF ⊥平面PBE ，EF ⊂平面BCFE ，所以平面PBE ⊥平面BCFE .因为PB ＝BE ＝PE ，所以PO ⊥BE .又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ∩平面BCFE ＝BE ，所以PO ⊥平面BCFE .过O 作OM ∥BC 交CF 于点M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，0， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0，PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，－32，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，－32，N 为线段PF 上一动点，设N (x ，y ，z )，由PN→＝λPF →(0≤λ≤1)，得 N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ2，λ，32(1－λ)，BN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－λ＋12，λ，32(1－λ). 设平面PCF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧PC →·m ＝0PF →·m ＝0⇒⎩⎨⎧12x ＋2y －32z ＝0，－12x ＋y －32z ＝0，取y ＝1，则m ＝(－1,1，3)．设直线BN 与平面PCF 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈BN →，m 〉|＝BN →·m |BN →|·|m |＝25·2λ2－λ＋1＝25·2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－142＋78≤25·78＝47035，所以直线BN 与平面PCF 所成角的正弦值的最大值为47035.19．(12分)从某公司生产线生产的某种产品中抽取1 000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：(1)求这1 000件产品质量指标的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.(ⅰ)利用该正态分布，求P (175.6＜Z ＜224.4)；(ⅱ)已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品(质量指标值Z ∈(175.6,224.4))的定价为16元；若为次品(质量指标值Z ∉(175.6,224.4))，除了全额退款外且每件次品还需赔付客户48元．若该公司卖出100件这种产品，记Y 表示这批产品的利润，求E (Y )．附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)≈0.68，P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)≈0.95.解：(1)由题意得x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.(2分)∴s 2＝(170－200)2×0.02＋(180－200)2×0.09＋(190－200)2×0.22＋(200－200)2×0.33＋(210－200)2×0.24＋(220－200)2×0.08＋(230－200)2×0.02＝150，即样本平均数为200，样本方差为150. (4分)(2)(ⅰ)由(1)可知，μ＝200，σ＝150≈12.2， ∴Z ～N (200,12.22)，∴P (175.6＜Z ＜224.4)＝P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)≈0.95， (8分) (ⅱ)设X 表示100件产品的正品数，由题意得X ～B (100,0.95)，∴E (X )＝100×0.95＝95， ∴E (Y )＝16E (X )－48×5－100×10＝280. (12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)设P ，Q 是圆C 上的两个动点，且∠POQ ＝π3，求|OP |＋|OQ |的最大值．解：(1)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，所以圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ. (5分)(2)设P 的极坐标为(ρ1，θ)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π3，则|OP |＝ρ1＝2cos θ，|OQ |＝ρ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，所以|OP |＋|OQ |＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6. 又⎩⎪⎨⎪⎧－π2＜θ＜π2，－π2＜θ＋π3＜π2，所以－π2＜θ＜π6，所以当θ＝－π6时，|OP |＋|OQ |取最大值2 3. (10分)23．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知a 2＋b 2＝1，其中a ，b ∈R . (1)求证：|a －b ||1－ab |≤1；(2)若ab ＞0，求(a ＋b )(a 3＋b 3)的最小值．解：(1)所证不等式等价于|a －b |≤|1－ab |，即(a －b )2≤(1－ab )2，即(a 2－1)(1－b 2)≤0. ∵a 2＋b 2＝1，∴a 2≤1，b 2≤1， ∴(a 2－1)(1－b 2)≤0，故原不等式成立．(5分)(2)(a ＋b )·(a 3＋b 3)＝a 4＋ab 3＋a 3b ＋b 4≥a 4＋2ab 3·a 3b ＋b 4＝(a 2＋b 2)2＝1，当且仅当a ＝b ＝22或a ＝b ＝－22时，取“＝”，∴(a ＋b )·(a 3＋b 3)的最小值为1.(10分)。

2023年河南高考数学理科17题解析

2023年河南高考数学理科17题解析导言2023年河南高考数学理科17题在很多考生和教师中引起了广泛关注，这是一道既有一定难度，又具有一定深度的题目。

在本文中，我将对这道题目进行深入解析，并探讨其中涉及的概念和原理。

一、题目概述2023年河南高考数学理科17题是一道关于概率与数理统计的题目，涉及到条件概率、独立事件、样本空间等内容。

该题要求考生计算在一定条件下事件发生的概率，考查了考生对概率计算的理解和应用能力。

二、基本概念解析在解答2023年河南高考数学理科17题时，首先需要理解和掌握一些基本的概念。

其中，条件概率是解答这道题目的核心概念之一。

条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

在题目中，需要考生根据已知条件计算出所求事件的条件概率，并将其应用到具体的问题中去。

另一个重要的概念是独立事件。

如果两个事件的发生不会相互影响，那么它们就是独立事件。

在解答该题时，需要考生判断所涉及的事件是否为独立事件，并据此进行相关计算。

三、解题方法及步骤针对2023年河南高考数学理科17题，解题方法及步骤如下：1. 充分理解题目要求，明确已知条件和所求事件。

2. 根据条件概率的定义和公式，计算所求事件的条件概率。

3. 判断所涉及的事件是否为独立事件，若是则直接计算，若不是则应用相关原理计算。

4. 对计算结果进行验证和分析，得出最终结论。

在解答该题时，需要注意理清思路，严谨计算，确保每一步推导和计算都是准确无误的。

四、个人观点及总结从这道题目可以看出，2023年河南高考数学理科的出题水平越来越高，更加注重考察学生的综合运用能力和解决问题的能力。

对于考生来说，除了掌握基本的概率与数理统计知识外，更要注重在解题过程中的思维能力和数学建模能力的培养。

这是一道富有挑战性和深度的题目，需要考生在平时的学习中多加积累和练习，才能在考试中游刃有余地解答出来。

结语通过对2023年河南高考数学理科17题的深入解析，希望能为各位考生提供一些借鉴和参考，也希望大家在备战高考的过程中能够更加深入地理解和掌握相关知识，取得优异的成绩。

三年高考(2017-2019)文数真题分项专题19不等式选讲Word版含解析

专题19 不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++．（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞．（2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----．所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．【答案】（1）43；（2）见详解．【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-；当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1．综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知()|1||1|f x x ax =+--．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1{|}2x x >；（2）(0,2]．【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞．【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥．由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞． 7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【答案】（1）图像见解析；（2）a b +的最小值为5．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5． 8．【2018年高考江苏卷数学】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【答案】222x y z ++的最小值为4．【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ．（1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-．【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x -+-≤≤．（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-．【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解． 10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【解析】（1）()()556556a b a b a ab a b b ++=+++()()()2333344222244.a b a b ab a b ab a b =+-++=+-≥（2）因为()3322333a b a a b ab b +=+++()()()()232332432,4ab a b a b a b a b =+++≤+++=+所以()38a b +≤，因此2a b +≤．【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．11．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】（1）{}1x x ≥；（2）54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，【解析】（1）()31211232,x f x x ,x ,x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩，当1x <-时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤；当2x >时，由()1f x ≥解得2x >．所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥．（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而2223551212244x x x x x x x x x ⎛⎫+---+≤++--+=-+≤ ⎪⎝⎭-，且当32x =时，25124x x x x +---+=．故m 的取值范围为54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，．【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．12．【2017年高考江苏卷数学】已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得22222()()()ac bd a b c d +≤++，因为22224,16a b c d +=+=，所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤．【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则（22212n a a a +++）（22212n b b b +++）≥（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ）2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i （i ＝1，2，…，n ）时，等号成立．本题中，由柯西不等式可得22222()()()ac bd a b c d +≤++，代入即得结论．。

2017-2019年高考真题数学(文)分项汇编_专题19 不等式选讲

专题19不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++．（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞．（2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----．所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．【答案】（1）43；（2）见详解．【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-；当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1．综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知()|1||1|f x x ax =+--．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1{|}2x x >；（2）(0,2]．【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞．【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥．由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞． 7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【答案】（1）图像见解析；（2）a b +的最小值为5．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5． 8．【2018年高考江苏卷数学】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【答案】222x y z ++的最小值为4．【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ．（1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-．【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112x -+<≤．所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x -+-≤≤．（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-．【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解． 10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【解析】（1）()()556556a b a b a ab a b b ++=+++()()()2333344222244.a ba b ab a b ab a b =+-++=+-≥（2）因为()3322333a b a a b ab b +=+++()()()()232332432,4ab a b a b a b a b =+++≤+++=+所以()38a b +≤，因此2a b +≤．【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．11．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】（1）{}1x x ≥；（2）54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，【解析】（1）()31211232,x f x x ,x ,x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩，当1x <-时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤；当2x >时，由()1f x ≥解得2x >．所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥．（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而2223551212244x x x x x x x x x ⎛⎫+---+≤++--+=-+≤ ⎪⎝⎭-，且当32x =时，25124x x x x +---+=．故m 的取值范围为54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，．【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．12．【2017年高考江苏卷数学】已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得22222()()()ac bd a b c d +≤++，因为22224,16a b c d +=+=，所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤．【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则（22212n a a a +++）（22212n b b b +++）≥（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ）2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i （i ＝1，2，…，n ）时，等号成立．本题中，由柯西不等式可得22222()()()ac bd a b c d +≤++，代入即得结论．。

2023全国新高考一卷数学17题解读

2023全国新高考一卷数学17题解读
2023年全国新高考一卷数学第17题是一道多项式函数的求导题，要求计算函数$f(x) = (x^3 - 4x + 1)^2$的导数。

这道题目的解析过程如下：
1. 多项式函数是由多个系数乘以不同次方的变量构成的函数。

求导是求函数在某一点处的斜率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。

在求导多项式函数时，需要掌握多项式函数的求导法则，包括链式法则和乘法法则。

2. 对于函数$f(x) = (x^3 - 4x + 1)^2$，我们首先应用乘法法则，对$(x^3 - 4x + 1)^2$进行展开，得到$f(x) = x^6 - 8x^4 + 8x^3 + 1 - 16x^2$。

3. 然后，我们应用链式法则，对多项式中的每一项求导，得到$f'(x) =
6x^5 - 32x^3 + 24x^2 - 32x$。

通过以上解析过程，我们可以得出多项式函数$f(x) = (x^3 - 4x + 1)^2$的导数$f'(x) = 6x^5 - 32x^3 + 24x^2 - 32x$。

在解答这道题目时，需要注意以下几点：
1. 掌握多项式函数的求导法则，包括链式法则和乘法法则。

2. 对函数进行展开和化简，以便求导。

3. 注意计算过程中符号和系数的正确使用。

通过以上解析过程和注意事项，我们可以更好地理解这道题目并掌握多项式函数的求导方法。