通信系统#原理-郭宇春-第2章作业答案

C ( x, y )
2 2 a 2 X b 2 Y 2ab ( x, y) X Y
（式中 ( x, y )
X Y
）
结果表明，二高斯随机变量的线性组合仍为高斯型
2-16 设以下两个随机过程：
X (t ) A cos 0 t B sin 0 t Y (t ) B cos 0 t A sin 0 t

本例表明，X、Y 统计独立，则也不相关，即独立比不相关更严格。 （2） R( x, y) E[ x, y]
1




xyp( x, y)dxdy
x 3 p( x)dx
1
1 1 1 1 ， mX xp( x)dx xdx 0 1 2 2 1 1 1 R ( x , y ) x 3 dx 0 1 2
EB
2 2
2
，因此，只剩第 2、3
2 2 RXY (t , t ) E B sin 0 t cos 0t 0 E A cos 0t sin 0t 0
2 sin(20 t 0 )
p( x)
此结果表明：由 R ( x, y ) 0 ，说明，虽然 Y X ，二随机变量不独立，但也并不因此就一
2
定相关。这里不但不相关，同时也正交。 （3）X 与 Y 均为高斯型，且互相关系数为 ，则二维分布为：
p( x, y)
1 2π X Y
( x mX ) 2 ( y mY ) 2 2 ( x mX )( y mY ) / 2(1 2 ) exp 2 2 X Y Y X 1 2
其中 均方值
1 2π Y
e ( y mY )
2
2 2 Y
（由平稳， pY ( y, t ) pY y ）
mY EY EBX A A
2 2 2 2 2 2 2 E Y E B X A 2 ABX B X A 2 ABX
2 = PX mX 1 mX RX () 1 方差 X
协方差函数 CX ( ) RX ( ) mX 2 e 自相关系数 X ( )
CX ( )e

1 2
e

；
（2） mY E[2 X 1] 3
2 Y E[(Y mY )2 ] E[(2 X 1 3)2 ] 4 = 2 PY mX2 Y 9 4 13


2-18 均值为 0，自相关函数为 e

的高斯噪声 X (t ) ，通过传输特性为 Y A BX 的线性
网络，试求 （1）输入噪声的一维概率密度函数； （2）输出噪声的一维概率密度函数； （3）输出噪声功率； （4）在 0.5 时，输出噪声自相关系数是多少？ 解：这属于随机过程的一维变换，前面的一维随机变量变换的方法仍然可用。 （1）
2-6 （1）求冲激信号的希尔伯特变换及希尔伯特变换频谱，说明希尔伯特变换对正负频谱 信号相移作用的差异。 （2）求余弦信号的希尔伯特变换，说明希尔伯特变换对实际信号不同频率成分的相移作用 是否一致，并与（1）的分析进行比较。 答： （1）冲激信号的希氏变换是 1/pi*t，冲激信号是广频信号（覆盖整个频率域） ，变换后 的信号波形与变换前差异大，因为不同的频率分量（正频率和负频率）相移不同所造成。 （2）

2 mY 2 Y

A 2 B 2 RX ( ) A 2 2 B2 B
Y (0.5)
A 2 B 2 RX (0.5) A 2 A2 A2 1 0.5 e e 0.5 0.61。 2 2 2 2 B B B B e
2-19 信号在信道介入了 AWGN 为 n (t)，通过接收滤波器（带通 BPF）为理想带通高斯白 噪 声 ni (t ) ， 中 心 频 率 f 0 1 MHz ， 带 宽 W 10 KHz ， 白 噪 声 功 率 谱 （ 单 边 ） 为
n0 的理想功率谱，其余三点情况分别为 2
2
输入过程 X (t ) 均值为 0，R( ) e

，是个广义平稳过程，它的总平均功率，
即方差 X R(0) 1，所以可以直接写出高斯密度函数为
p X ( x, t ) p X ( x)
1 2π X
ex
2
2 2 x

1 2π
e x
2
2
（2）经过 Y A BX 的网络传输（或称映射） ，有 x
（2-49） 若不相关时，则 ( x, y ) 0 代入上式，
p ( x, y )
( x mX ) 2 ( y mY ) 2 exp 2 2 2 π X Y X Y 1
/ 2
2 2 2 2 1 1 e ( x mX ) / 2 X e ( y mY ) / 2 Y p ( x) p ( y ) （2-50） 2π X 2π Y
（2）由 RXY 的结果表达式，说明 X (t ) 与 Y (t ) 联合非广义平稳。
（3）
RZ (t , t ) E Z (t ) Z (t ) E X (t ) Y (t ) X (t ) Y t 2 2 [cos 0 sin(20 t 0 )]
结果表明，二高斯变量若不相关，则同时统计独立。这是高斯随机变量的“反常”性质。 （4） mz E[Z ] E[aX bY ] a E[ X ] b E[Y ] amX bmY
2 2 D[ Z ] Z E (aX bY ) m Z E (aX bY ) 2 m Z 2m Z (aX bY ) 2
yA B
由于是广义平稳过程的一维变换，所以完全可以用一维随机变量变换公式，即
p Y y p X ( x)
dx dy

p Y y p X ( x)
1 B
1 2π B
e ( y A)
2
2B2
另一种方法是：不用一维变换公式，而根据高斯过程的线性组合仍为高斯型，则
pY y
2
试证明 X、Y 是否相关。 （3）给出当 X 与 Y 相关系数为 （即 ( x, y ) ）的二维高斯 pdf。试给出当 X、Y 不相关）时的结果，表明什么结论？ （4）高斯随机变量 X、Y 的 pdf 分别为 N ( m x , x ) 与 N (m y , y ) ，计算 Z aX bY
2 （1） 求该随机过程的均值 mX 、方差 X 、平均功率 PX 、协方差函数 CX ( ) 、

自相关系数 X ( ) ；
2 （2） 若该 X (t ) 通过 Y 2 X 1的系统，求输出过程 Y (t ) 的均值 mY 、 Y 、平均
功率 PY 、协方差函数 CY ( ) 、自相关系数 Y ( ) ， X (t ) 与 Y (t ) 互相关函数 RXY ( ) 、 互协方差函数 CXY ( ) 及互相关系数 XY ( ) 。 （2）求 W1 (t ) 及 W2 (t ) 互相关函数表达 式？ 答： （1） PX RX (0) 2
2 2 E B sin 0 t cos 0 t E A cos 0 t sin 0 t
2
E AB sin 0 t sin 0 t
式中， EAB 0 （ A 、 B 不相关） ，且由题设 E A 项，则


XY ( )
CXY ( )
X Y
e

2-12 计算下列三种情况下 X、Y 两随机变量的统计关系。 （1）X、Y 统计独立，即 p ( x, y ) p ( x ) p ( y ) ，X、Y 是否相关？ （2）若 Y X ，X 是在（-1，1）均匀分布的随机变量，此时 X 与 Y 不是统计独立的。
E A 2 E B 2 X (t ) X (t ) EAB X (t ) EABX (t ) A 2 B 2 RX ( )
2 RY C Y mY


Y
当 0.5 时，有
RY
2 Y
2
0 （即
2
的均值 mz 与方差 z ，Z 是否为高斯随机变量？
2
解： （1）由 p ( x, y ) p ( x) p ( y ) 条件，计算 X、Y 互相关：
R( x, y) E[ x, y]





xyp( x, y)dxdy
xp( x)dx yp( y)dy mX mY
n0 2 10 10 W/Hz。通过乘法器后，以基带带宽 B=5KHz 理想低通 LPF 输出。
信号 S (t ) 信道 ① BPF ②
ni (t )
③
n p (t )
LPF
④
f0 1 MHz
载波 cos 0t （a）
n (t)
（1）画出图 2-9（a）中四个点处的噪声功率谱。 （2）计算②、④点噪声功率。 解： （1）图中①点为 S n ( f )
cos 0 t π[δ( 0 ) δ( 0 )]
F ( ) j sgn( ) F ( ) jπ[δ( 0 ) δ( 0 )] ，结果是正弦信号频谱。
因此，余弦信号的希氏变换为正弦信号，即 H (cos 0t ) sin 0t 。余弦信号是单频信号， 变换后波形不变。 2-10 随机过程 X (t ) 的自相关函数为 RX ( ) 1 e ，