信号处理与数据分析 邱天爽作业答案 Part

1.（P24,课后习题1.5（a,c,e ））试确定下列系统的（1）记忆性；（2）时不变性；（3）线性；（4）因果性；（5）稳定性。 （a ）(t)(t -2)+(1-t)y x x = （c ）()(t)sin 2(t)y t x =⎡⎤⎣⎦ （e ）()(1)()y n n x n =+

解： （a ）记忆，时变，线性，非因果性，稳定性；

（c ）无记忆，时变，线性，因果性，稳定性； （e ）无记忆，时变，线性，因果性，不稳定性；

备注：本题中关于时变与时不变系统的判定，错误率较高，故特以（a ）为例，时变性质解答如下： 设：()0g (t )t x t =-，且有()T (t 2)+(1t)x t x x ⎡⎤=--⎣⎦，则：

()()()()()0000T (t 2)+(1t)t 2+1t =(t 2)+(1t )g t g g x t x t x t x t ⎡⎤=--=--------⎣⎦

又：()()()()00000(t )t 2+1t =(t 2)+1t +y t x t x t x t x t -=------- 显然：()0T (t )g t y t ⎡⎤≠-⎣⎦，故为时变系统。

又注：对于()T g t ⎡⎤⎣⎦，信号先经过系统再做时移；0(t )y t -，信号先做时移动再经过系统。

如果还不理解，做题可以这样判断：只要信号(t)x 中t 的系数不为1，则该系统必定为时变系

统，如本题中(1-t)x ，t 的系数为-1，不是1，时变系统。此外，若信号(t)x 的系数含有t ，该系统也为时变系统，如()sin 2(t)t x ⎡⎤⎣⎦，系数为()sin 2t 含有t ，为时变系统。这是我做题自己积累的经验，大家选择性使用。

2.（P24,课后习题1.7）计算卷积并画出结果曲线

-1()(1),()(1)3n

x n u n h n u n ⎛⎫

=--=- ⎪⎝⎭

解：利用定义可知，

1

1

()()()()()

1

()

(1)(1)

31

()(1)31

()(1)

3k k

k k k k

k y n x n h n x k h n k u k u n k u n k u n k ∞

=-∞

∞

-=-∞--=-∞∞

=-=*=

-=

----=--=

+-∑∑∑∑

用p 代替-1k 则，

101

()()()3

p p y n u n p ∞

+==+∑

对于0n ≥，则有

101111

()()13

3213

p p y n ∞

+====-∑

对于0n <，则有

1110

111113()()()()()13333213

n

p n p n p n p y n ∞

∞+-+-+=-=====

-∑∑ 因此：

3,02

()1(),02

n

n y n n ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩

n

1/61/2

3.（P24,课后习题1.8）设

1,01

(),

()(/)0, t x t h t x t t

α≤≤⎧==⎨⎩其余，

（1）计算并画出卷积()()()y t x t h t =* （2）若d()d y t

t

仅含有3个不连续点，则?α=

解：

（a ）画出()x t 和()h t 的图形如下图所示：01α<<

利用该图形，得到()()()y t x t h t =* 如图所示：

因此，

,0,t 1()1,1(1)0,t t y t t t otherwise

ααααα≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨+-≤≤+⎪

⎪

⎩

(b) 画出()x t 和()h t 的图形如下图所示：1α≥

0 α

h(t)

1

卷积后的图形如下图所示：

1

0 1

α 1+α

所以

,01

1,1t ()1,(1)0,t t y t t t otherwise

αααα≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨+-≤≤+⎪⎪⎩

同理可以得到当1α≤-与10α-≤<时的结果，这里不再详细给出。 （b ）通过()y t 的图形可以看出，d ()

dt

y t 在0，α，1，1α+ 处不连续，为保证有三个连续点，需要保证1α=±。

4.( P24,课后习题1.19，对n 的范围进行了限制，必须利用MATLAB 编程并画图) 试利用MATLAB 编程实现

()()(y n x n h n

=*的卷积运算，其中

3()(),()e ()n x n u n h n u n -==，[]8,8n ∈-,

并绘出计算结果的波形图。

解： clear all m=0; for n=-8:1:8 m=m+1; if n<0

x(m)=0; h(m)=0; else

x(m)=1; h(m)=exp(-3*n); end end y=conv(x,h);

m=-(length(y)-1)/2:(length(y)-1)/2; figure,stem(m,y)

00.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4