三角形三边关系的巧用
直角三角形三边的关系
解：如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90゜
AC=12， BC=5,
根据勾股定理得：
12
AB AC2BC2
5
122 52
13
答：要用13米长的直角钢三角丝形三边绳的关才系 能把电线杆固定.
例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上， ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直 距离ＡＢ．（精确到0.01米）
（2）等腰直角三角形的三边关系：AC2 + BC2 =AB2
说明:在等腰直角三角形ＡＢＣ中， 两直角边的平方和等于斜小
方
格 表 示
A
R c bQ
Sp 9
SQ 16
1 平 方
B aC
SR 25
Sp SQSR
厘
P
BC2 + AC2 =AB2
米
a2 b2 c2
直角三角形三边的关系
勾股定理： 对于任意的直角三角形，如果 它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c， 那么一定有a2＋b2＝c2。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
b
c
a
勾股定理揭示了直角三
角形三边之间的关系
直角三角形三边的关系
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
cb
┏
a
a2+b2=c2
直角三角形三边的关系
24m
9m
?
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
初中数学三角形有关的线段讲解及习题
(2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．
【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．
所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.
所以∠DAC＝∠EBC.
10．三角形中线应用拓展
三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：
(1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.
9．三角形高的应用
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．
【例7－1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？
(1)6 cm,8 cm,10 cm；
(2)三条线段长之比为4∶5∶6；
(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．
分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．
方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.
江苏省淮安市三树镇第一初级中学七年级数学下册 第七章 小结与思考(2) 课件 苏科版
∴ ∠ACD＝∠A＋∠B
B
C D（2）三角形的一个外角大于任何一个
与它不相邻的内角。
∵∠ACD是△ABC的外角 ∴ ∠ACD＞∠A
∠ACD＞∠B
6.多边形的内角和
An
A5 （1）n边形内角和等于（ n－2）·180 0
A1 A2
A4（2）n边形从一个顶点出发的对角线条数
巧
慧
；
我们，还在路上……
A3
为n－3
An A1
A2
A5 （3）n边形对角线总条数为 n（n－3） 2
A4 7.多边形的外角和 A3 任意多边形的外角和都为3600
例1 如图，AE∥BD，∠CBD＝56 ，0 ∠AEF ＝128 ，0
求x的值。
例2
如图，六边形ABCDEF的内角都相等， ∠1＝∠2＝60 ，0 AB与DE有总样的位置 关系？AD与EF有怎样的位置关系？为 什么？
1
2
图2
（3）如图3，点P是△ABC中内角∠ABC平分线与 外角∠ACD平分线的交点。试探索∠BPC与∠A的数 量关系。
1
2
图3
阅
读
使
You made my day!
数 学 使 人 精 细 ； 博 物 使 人 深 沉 ； 伦 理 使 人 庄 重 ； 逻 辑 与 修 辞 使 人 善 辩 。
人 充 实 ； 会 谈 使 人 敏 捷 ； 写 作 与 笔 记 使 人 精 确 ； 史 鉴 使 人 明 智 ； 诗 歌 使 人
3.三角形的三线
(3) 三 角 形 的 中 线
4.三角形的内角和 A （1）三角形的内角和等于180 ；0
在△ABC中，
B
C
有15度的直角三角形的三边关系
有15度的直角三角形的三边关系示例文章篇一：《探索有15度角的直角三角形三边关系》嗨，大家好！今天咱们来一起研究一个特别有趣的东西——有15度角的直角三角形三边关系。
这可不是那种干巴巴的数学题哦，这里面可藏着好多好玩的秘密呢。
咱们先画一个直角三角形，其中一个角是90度，另一个角是15度，那剩下的那个角就是75度啦。
这个15度的角看起来小小的，可它对三角形的三边影响可大了呢。
我记得有一次，我和我的好朋友小明在做数学作业的时候就碰到这个问题。
我当时就有点懵，心想这可咋整啊？这15度的角好奇怪哦。
小明就跟我说：“咱们可以把这个15度的角变得更熟悉一点呀。
”我就问他：“咋变呢？”他说：“你看啊，45度减去30度不就是15度嘛。
”哇，我当时就觉得他好聪明啊，就像突然点亮了一盏灯一样。
那咱们就按照小明说的这个思路来看看。
我们都知道在有30度角的直角三角形里，三边关系是1：√3：2。
在45度角的直角三角形里，三边关系是1：1：√2。
那现在我们就把这个15度的直角三角形和我们熟悉的这两个三角形联系起来。
我们可以构造一个大的三角形来帮忙理解。
比如说，我们先画一个45度角的直角三角形，然后在这个45度角里，再分出一个30度角的直角三角形。
咱们假设那个45度角的直角三角形的直角边是1，那斜边就是√2啦。
然后在这个45度角里面的30度角的直角三角形，30度所对的直角边是1/2，那另一条直角边就是√3/2。
现在我们来看看这个15度角的直角三角形的三边。
咱们就把这个构造出来的图形当成是一个大拼图，从里面找出我们想要的那部分。
这个15度角的直角三角形的一条直角边呢，我们可以看成是45度角的直角三角形的直角边减去30度角的直角三角形的直角边，也就是1 - 1/2 = 1/2。
那另一条直角边呢？这就有点复杂啦。
我们要通过计算来得到。
我们可以利用勾股定理，先算出大三角形里面一部分的边长，然后再进行相减之类的计算。
算出来之后发现它是（√6 - √2）/4。
含十五度角的直角三角形三边关系
含十五度角的直角三角形三边关系示例文章篇一：哎呀，同学们，你们知道吗？今天老师给我们讲了一个超级有趣的知识，那就是含十五度角的直角三角形三边关系！一提到三角形，大家可能会想到那些常见的等边三角形、等腰三角形，可这含十五度角的直角三角形可不一样哟！咱们先来说说直角三角形，就是那个有一个角是90 度的三角形。
那含十五度角的直角三角形又是啥样呢？就好像我们在一个大花园里找一朵特别的花，它就是那个与众不同的存在。
我们来假设一下这个三角形的三条边分别是a、b、c，其中c 是斜边。
老师说，要找到它们之间的关系，就得用一些神奇的数学方法。
我一开始可迷糊啦，这三边能有啥关系呀？不就是三条线嘛！可老师一讲，我才发现这里面大有文章。
就像我们搭积木，每一块积木都有它特定的位置和作用，这三角形的三条边也是这样。
老师给我们画了图，还一步一步地推导。
我瞪大眼睛，竖起耳朵，生怕错过一点点。
“同学们，你们想想，如果我们知道一个角是15 度，一个角是90 度，那另一个角不就出来了嘛？”老师笑着问我们。
“是75 度！”大家齐声回答。
然后老师就带着我们用三角函数来计算。
哎呀，这三角函数就像是一把神奇的钥匙，能打开这个三边关系的秘密大门。
你们说，这数学是不是很神奇？就这么一个小小的三角形，里面藏着这么多的奥秘。
我就在想啊，这数学世界就像一个巨大的宝藏库，我们每学一个新知识，就像是找到了一颗闪闪发光的宝石。
经过老师的讲解和我们的计算，最后我们终于得出了含十五度角的直角三角形三边的关系。
这可太有意思啦！我觉得数学不再是那些枯燥的数字和公式，而是充满了惊喜和乐趣的探险之旅。
同学们，你们是不是也这么觉得呢？反正我是爱上数学啦！示例文章篇二：嘿，同学们！今天咱们来聊聊一个超级有趣的数学话题——含十五度角的直角三角形三边关系！你们想想啊，直角三角形咱们都熟悉，那这个有十五度角的直角三角形是不是有点特别呢？咱们先来说说一般的直角三角形，比如一个角是30 度，另一个角是60 度的那种。
直角三角形的边角关系
A
C
13.在梯形ABCD中 ,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18.
┌ BE
┌ FD
求:sinB,cosB,tanB,cotB.
小结 拓展
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
1 根据下列条件求∠θ的大小: (1)tanθ=2.988 8;(2)sinθ=0.395 7; (3)cosθ=0.785 0;(4)tanθ=0.897 2.
怎 么解?
老师提示:上表的显示结果是以度为 单位的,再按 dms 键即可显示以 “度,分,秒”为单位的结果.
例题欣赏P159
洞察力与内秀
按键的顺序
SinA=0.9816 2ndf Sin 0 . 9 8 1 6 =
CosA=0.8607 2ndf cos 0 . 8 6 0 7 =
tanA=0.1890 2ndf tan 0 . 1 8 9 0 =
tanA=56.78 2ndf tan 5 6 . 7 8 =
tan 键的第二
显示结果
小结 拓展
1.锐角三角函数定义:
tanA=
A的对边 A的邻边
sinA=
A的对边 斜边
cosA=
A的邻边 斜边
B
斜边 ∠A的对边
┌ A ∠A的邻边 C
请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系?
30°、45°、60°角的三角函数值
例1 计算：（1）sin30°+ cos45°；
（21） 3 cos 30
人教版四年级数学下册教案 第5单元 三角形的三边关系
第课时三角形的三边关系1.通过创设问题情境、观察比较,初步感知三角形边的关系,体验学数学的乐趣。
2.运用“三角形任意两边的和大于第三边”的性质,解决生活中的实际问题。
3.通过实践操作、猜想验证、合作探究,经历发现“三角形任意两边的和大于第三边”这一性质的活动过程,发展空间观念,培养逻辑思维能力,体验“做数学”的成功。
4.发现生活中的数学美,会从美观和实用的角度解决生活中的数学问题。
【重点】理解、掌握“三角形任意两边的和大于第三边”的性质。
【难点】引导探索三角形的边的关系,并发现“三角形任意两边的和大于第三边”的性质。
【教师准备】PPT课件。
【学生准备】直尺,小棒,统计表。
方法一师:请看,我这里有两根小棒,猜一猜,这是干什么用的?预设生:不知道。
师:今天我想用这两根小棒围成一个三角形,能围成吗?预设生:不能。
师:为什么?围成一个三角形最少需要几根小棒?预设生:至少需要3根小棒。
师:那谁能说一说什么叫做三角形?预设生:三角形是由三条线段首尾相接围成的平面图形。
师:那我们就再加一根,围一个三角形,好吗?这个盒子里面有很多根长度不同的小棒,是不是随便取出一根就能和这两根小棒围成三角形呢?揭示课题:今天这节课我们就一起学习“三角形的三边关系”。
(板书课题)创设有趣的、具有生活实践意义和挑战性的问题情境,可以激发学生强烈的求知欲和探索兴趣,使学生积极主动地参与操作活动,进行探索,感受数学学习的价值,体现了“数学知识来源于生活”。
方法二师:谁来说说什么是三角形?预设生:由三条线段围成的图形叫做三角形。
师:3根小棒或3条线段能不能围成一个三角形,与什么有关? 这节课我们就一起来研究“三角形的三边关系”。
(板书课题)首先回忆什么是三角形,然后老师点明这节课要学习的内容,3条线段能否围成一个三角形与所给定的3条线段的长度有关,为学生进一步学习“三角形的三边关系”指明探索方向。
一、教学例3,两点间所有连线中线段最短以及两点间的距离的概念。
四 巧手小工匠：《三角形三边关系》(教案)四年级上册数学青岛版(五四学制)
巧手小工匠：《三角形三边关系》（教案）四年级上册数学青岛版（五四学制）一、教学目标1. 知识与技能：理解并掌握三角形三边关系，能够运用三角形的特性解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、推理和交流，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们合作交流、积极探究的学习态度。
二、教学内容1. 三角形的特性：稳定性、内角和为180°。
2. 三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3. 三角形的分类：按边分、按角分。
三、教学重点与难点1. 教学重点：三角形的三边关系及其应用。
2. 教学难点：如何运用三边关系解决实际问题，理解三角形的稳定性。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、三角板、直尺、圆规。
2. 学具：三角板、直尺、圆规、彩纸、剪刀。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生关注三角形的稳定性，激发学生的学习兴趣。
2. 新课：引导学生观察、操作，发现三角形的三边关系，并运用三角形的特性解决实际问题。
3. 练习：设计不同层次的练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
4. 小结：总结本节课所学内容，强调三角形的三边关系及其应用。
六、板书设计1. 三角形的特性：稳定性、内角和为180°。
2. 三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3. 三角形的分类：按边分、按角分。
七、作业设计1. 基础题：运用三角形的三边关系判断一些图形是否为三角形。
2. 提高题：运用三角形的特性解决实际问题。
3. 拓展题：研究三角形的稳定性在生活中的应用。
八、课后反思本节课通过引导学生观察、操作、推理和交流，使学生掌握了三角形的三边关系，并能运用三角形的特性解决实际问题。
在教学过程中，注重培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，激发他们对数学的兴趣。
同时，通过设计不同层次的练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
几何法巧解三角形“三线”问题(两篇)2024
引言概述：三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。
其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。
通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。
本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。
正文内容:1. 角平分线1.1 定义角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。
1.2 性质三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。
1.3 求解方法通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。
首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。
连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。
2. 中位线2.1 定义中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。
2.2 性质三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。
2.3 求解方法同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。
首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。
通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。
3. 垂心线3.1 定义垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。
3.2 性质三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。
3.3 求解方法在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。
首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。
然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。
4. 重心线4.1 定义重心线是指从一个三角形的顶点分别作出三角形的对边的中垂线，即垂直于对边的直线并且通过对边的中点。
4.2 性质三角形的三条重心线交于一点，称为三角形的重心，且重心到三边的距离与各边的长度成正比。
解题技巧专题：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线压轴题三种模型全攻略(解析版)
解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】1如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，过D 作直线DE 交直线AB 与E ，过D 作直线DF ⊥DE ，并交直线AC 与F ．(1)若E点在线段AB 上(非端点)，则线段DE 与DF 的数量关系是；(2)若E 点在线段AB 的延长线上，请你作图(用黑色水笔)，此时线段DE 与DF 的数量关系是，请说明理由．【答案】(1)DE =DF(2)图见解析，DE =DF ，理由见解析【分析】(1)连接AD ，先根据等腰直角三角形的性质可得AD =BD =CD ,∠B =∠DAF =45°，AD ⊥BC ，再根据垂直的定义、等量代换可得∠BDE =∠ADF ，然后根据三角形全等的判定证出△BDE ≅△ADF ，根据全等三角形的性质即可得出结论；(2)分①当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的下方时，②当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的上方时两种情况，参考(1)的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论．【详解】(1)解：如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =BD =CD ,∠B =∠DAF =45°,AD ⊥BC ，∴∠BDE +∠ADE =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠ADF+∠ADE =90°，∴∠BDE =∠ADF ，在△BDE 和△ADF 中，∠B =∠DAFBD =AD ∠BDE =∠ADF，∴△BDE ≅△ADF ASA ，∴DE =DF ，故答案为：DE =DF ．(2)解：DE =DF ，理由如下：①如图，当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的下方时，如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =BD ,∠ABD =∠DAC =45°,AD ⊥BC ，∴∠DBE =∠DAF =135°,∠ADF +∠BDF =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠BDE +∠BDF =90°，∴∠BDE =∠ADF ，在△BDE 和△ADF 中，∠DBE =∠DAFBD =AD ∠BDE =∠ADF，∴△BDE ≅△ADF ASA ，∴DE =DF ；②如图，当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的上方时，如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =CD ,∠ACD =∠DAB =45°,AD ⊥BC ，∴∠DCF =∠DAE =135°,∠ADE +∠CDE =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠CDF +∠CDE =90°，∴∠ADE =∠CDF ，在△ADE 和△CDF 中，∠DAE =∠DCFAD =CD ∠ADE =∠CDF，∴△ADE ≅△CDF ASA ，∴DE =DF ；综上，线段DE 与DF 的数量关系是DE =DF ，故答案为：DE =DF ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．【变式训练】1如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，AC =a ，点E 为边AC 上任意一点，点D 为AB 的中点，过点D 作DF ⊥DE 交BC 于点F ．求证：CE +CF为定值．【答案】证明见解析【分析】连接CD ，证明△CDE ≌△BDF ，得CE =BF ，进一步证明CE +CF =BC =AC =a ，从而得到结论．【详解】证明：连接CD ，如图，∵△ABC 是等腰直角三角形，且D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，CD 平分∠ACB ，AD =BD =CD∴∠DCA =∠DCB =∠DBC =45°又DE ⊥DF∴∠EDC +∠FDC =90°而∠FDC +∠FDB =90°∴∠EDC =∠FDB在△CDE 和△BDF 中，∠DCE =∠DBFCD =CD∠EDC =∠BDF∴△CDE ≌△BDF∴CE =BF∵BC =AC =a ∴CE +CF =BE +CF =BC =AC =a ，故：CE +CF 为定值．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明CE =BF 是解答此题的关键．2如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点P 是斜边AB 的中点，点D ，E 分别在边AC ,BC 上，连接PD ,PE ，若PD ⊥PE．(1)求证：PD =PE ；(2)若点D ，E 分别在边AC ,CB 的延长线上，如图2，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？并加以证明；(3)在(1)或(2)的条件下，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出∠PEB 的度数(不用说理)；若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)能成为等腰三角形，此时∠PEB 的度数为22.5°或67.5°或90°或45°【分析】(1)连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得∠DCP =45°=∠B ，从而得到CP =BP ，再由PD ⊥PE ，可得∠DPC =∠EPB ，可证得△DPC ≌△EPB ，即可求证；(2)连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得∠ECP =45°=∠ABC =∠A =∠ACP ，从而得到CP =AP ，再由∵PD ⊥PE ,CP ⊥AB ，可得∠APD =∠CPE ，可证得△APD ≌△CPE ，即可；(3)根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．【详解】(1)明∶连接PC，∵∠ACB =90°,AC =BC ，∴∠A =∠B =45°，∵P 为斜边AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∴∠DCP =45°=∠B ，∴CP =BP ，∵PD ⊥PE ，∴∠DPC +∠CPE =∠CPE +∠EPB =90°，∴∠DPC =∠EPB ，在△DPC 和△EPB 中，∠DCP =∠BPC =PB ∠DPC =∠EPB，∴△DPC ≌△EPB ASA ，∴PD =PE ；(2)解：PD =PE 仍成立，理由如下：连接CP，∵∠C =90°,AC =BC ，∴∠A =∠ABC =45°，∵P 为斜边AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∴∠ECP =45°=∠ABC =∠A =∠ACP ，∴CP =AP ，又∵PD ⊥PE ,CP ⊥AB ，∴∠DPE =∠CPA =90°，∴∠DPE +∠CPD =∠CPA +∠CPD ，∴∠APD =∠CPE ，在△APD 和△CPE 中，∠PAD =∠PCEPC =PA ∠APD =∠CPE，∴△APD ≌△CPE ASA ，∴PD =PE ；(3)解：△PBE 能成为等腰三角形，①当BE =BP ，点E 在CB 的延长线上时，则∠E =∠BPE ，又∵∠E +∠BPE =∠ABC =45°，∴∠PEB =22.5°；②当BE =BP ，点E 在CB 上时，则∠PEB =∠BPE =12180°-45° =67.5°；③当EP =EB 时，则∠B =∠BPE =45°，∴∠PEB =180°-∠B -∠BPE =90°；④当EP =PB ，点E 和C 重合，∴∠PEB =∠B =45°；综上所述，△PBE 能成为等腰三角形，∠PEB 的度数为22.5°或67.5°或90°或45°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．3在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点．(1)若∠EOF=90°，两边分别交AC,BC于E，F两点．①如图1，当点E，F分别在边AC和BC上时，求证：OE=OF；②如图2，当点E，F分别在AC和CB的延长线上时，连接EF，若OE=6，则S△EOF=．(2)如图3，若∠EOF=45°，两边分别交边AC于E，交BC的延长线于F，连接EF，若CF=3,EF=5，试求AE的长．【答案】(1)①见解析；②18(2)2【分析】(1)①由“ASA”可证△AOE≌△COF，可得OE=OF；②由“ASA”可证△COE≌△BOF，可得OE=OF=6，即可求解；(2)由“ASA”可证△COF≌△AOH，可得CF=AH=3，OF=OH，由“SAS”可证△EOF≌△EOH.，可得EF=EH=5，即可求解．【详解】(1)①证明：如图1，连接OC，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠=∠B=45°.∵点O为AB的中点，∴∠AOC=∠EOF=90°，∴△AOC和△BOC是等腰直角三角形，∴AO=CO=BO，∴∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE=OF；②解：如图2，连接OC，同理可证：AO=CO=BO，∠ABC=∠ACO=45°，∴∠OCE=∠OBF=135°，∵∠AOC=∠EOF=90°，∴∠COE=∠BOF，∴△COE≌△BOF(ASA)，∴OE=OF=6，×OE⋅OF=18，∴SΔEOF=12故答案为：18；(2)解：如图3，连接CO，过点O作HO⊥FO，交CA的延长线于点H，∵AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点，∴AO=CO=B0,∠AOC=∠FOH=90°,∠BAC=∠BCO=45°，∴.∠COF=∠AOH,∠OCF=∠OAH=135°，∴△COF≌△AOH(ASA)，∴CF=AH=3,OF=OH，∵∠EOF=45°,∠FOH=90°，∴∠EOF=∠EOH=45°，又∵OF=OH,EO=EO，∴△EOF≌△EOH(SAS)，∴EF=EH=5，∴.AE=EH-AH=2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】1如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．(1)如图1，求证：BD=CE；(2)如图2，当AD=CD时，过点C作CM⊥AD于点M，如果DM=2，求CD-BD的值．【答案】(1)见解析(2)4【分析】(1)过A作AH⊥BC于点H，根据三线合一可得：BH=CH，DH=EH，即可证明；(2)过A作AH⊥BC于点H，易证△AHD≌△CMD，可得MD=DH，即可求解．【详解】(1)证明：如图过A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AE，∴DH=EH，∴BD=CE；(2)解：过A作AH⊥BC于点H，在△AHD 和△CMD 中，∠CDM =∠ADH∠CMD =∠AHD =90°CD =AD∴△AHD ≌△CMD AAS ，∴DH =MD ，∴CD -BD =CH +DH -BH -DH =2DH =2MD =4．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式训练】1如图，△ADB 与△BCA 均为等腰三角形，AD =AB =CB ，且∠ABC =90°，E 为DB 延长线上一点，∠DAB =2∠EAC．(1)若∠EAC =20°，求∠CBE 的度数；(2)求证：AE ⊥EC ；(3)若BE =a ，AE =b ，CE =c ，求△ABC 的面积(用含a ，b ，c 的式子表示)．【答案】(1)20°(2)见解析(3)12a 2+12bc 【分析】(1)先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出∠D =∠DBA =70°，即可由∠CBE =180°-∠DBA -∠ABC 求解；(2)过点A 作AF ⊥DE 于点F ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，证明△BAF ≌△CBG AAS ，得出AF =BG ，BF =CG ，进而求得∠AEF =∠ACB =45°，∠CEG =∠AEF =45°，即可得出∠AEC =90°，从而得出结论；(3)由(2)可知CG =BF ，AF =EF ，从而有CG =BF =EF -BE =AF -BE ，再根据S △ABC =S △AEB +S △AEC -S △BEC ，则有S △ABC =12BE ⋅AF +12AE ⋅EC -12BE ⋅CG =12BE AF -CG +12AE ⋅EC =12BE ⋅BE +12AE ⋅EC ，即可求解．【详解】(1)解：∵∠EAC =20°，∠DAB =2∠EAC ，∴∠BAD =40°，∵AD =AB ，∴∠D =∠DBA =12180°-∠BAD =12180°-40° =70°，又∵∠ABC =90°，∴∠CBE =180°-70°-90°=20°．(2)证明：过点A 作AF ⊥DE 于点F ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，∴∠AFB =∠ABC =∠CGB =90°，又∵AD =AB =CB ，∴∠BAC =∠ACB =45°，∠FAB =12∠DAB =∠CAE ，∵∠FAB +∠FBA =∠FBA +∠CBG =90°，∴∠FAB =∠CBG =∠CAE ，∴在△BAF 和△CBG 中，∠BAF =∠CBG∠AFB =∠CGB AB =BC，∴△BAF ≌△CBG AAS ，∴AF =BG ，BF =CG ，∵∠CBG =∠CAE ，设AE 、BC 交于点O ，则∠AEF =180°-∠CBG -∠BOE∠ACB =180°-∠CAE -∠AOC又∠BOE =∠AOC ，∴∠AEF =∠ACB =45°，∴AF =EF =BG ，BF =CG ，∴BF =EG =CG ，∴∠CEG =∠AEF =45°，∴∠AEC =90°，∴AE ⊥EC ．(3)解：由(2)可知CG =BF ，AF =EF ，∴CG =BF =EF -BE =AF -BE ，∵S △ABC =S △AEB +S △AEC -S △BEC ，∴S △ABC =12BE ⋅AF +12AE ⋅EC -12BE ⋅CG ．=12BE AF -CG +12AE ⋅EC =12BE ⋅BE +12AE ⋅EC =12a 2+12bc ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中．2已知OP 平分∠MON ，如图1所示，点B 在射线OP 上，过点B 作BA ⊥OM 于点A ，在射线ON 上取一点C ，使得BC =BO ．(1)若线段OA =3cm ，求线段OC 的长；(2)如图2，点D 是线段OA 上一点，作∠DBE ，使得∠DBE =∠ABO ，∠DBE 的另一边交ON 于点E ，连接DE ．①∠OBC =2∠DBE 是否成立，请说明理由；②请判断三条线段CE ，OD ，DE 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)6cm(2)①∠OBC =2∠DBE 成立，理由见解析；②CE =OD +DE ，理由见解析【分析】(1)如图所示，过点B作BH⊥OC于H，由三线合一定理得到OC=2OH，由角平分线的定义得到∠BOA=∠BOH，进一步证明△BAO≌△BHO，得到OH=OA=3cm，则OC=2OH=6cm；(2)①如图所示，过点B作BH⊥OC于H，由三线合一定理得到∠OBC=2∠OBH，同(1)可得△BAO≌△BHO，则∠OBH=∠OBA，由∠DBE=∠ABO，即可推出∠OBC=2∠OBH=2∠DBE；②如图所示，在CE上截取CQ=OD，连接BQ，先证明∠BOD=∠BCQ，进而证明△BOD≌△BCQ，得到BD=BQ，∠OBD=∠CBQ，进一步证明∠EBQ=∠EBD，从而证明△EBD≌△EBQ，得到DE=QE，由CE=CQ+QE可证明CE=OD+DE．【详解】(1)解：如图所示，过点B作BH⊥OC于H，∵BC=OB，BH⊥OC，∴OH=CH，即OC=2OH，∵OP平分∠MON，∴∠BOA=∠BOH，∵BA⊥OM，BH⊥OC，∴∠BAO=∠BHO=90°，又∵OB=OB，∴△BAO≌△BHO AAS，∴OH=OA=3cm，∴OC=2OH=6cm(2)解：①∠OBC=2∠DBE成立，理由如下：如图所示，过点B作BH⊥OC于H，∵BC=OB，BH⊥OC，∴∠OBH=∠CBH，即∠OBC=2∠OBH，同(1)可得△BAO≌△BHO，∴∠OBH=∠OBA，∵∠DBE=∠ABO，∴∠DBE=∠OBH，∴∠OBC=2∠OBH=2∠DBE；②CE=OD+DE，理由如下：如图所示，在CE上截取CQ=OD，连接BQ，∵OB=BC，∴∠BOC=∠BCO，∵△BAO≌△BHO，∴∠BOA=∠BOH，∴∠BOD=∠BCQ，∴△BOD≌△BCQ SAS，∴BD=BQ，∠OBD=∠CBQ，∠OBC，∵∠DBE=12∠OBC，∴∠OBD+∠ODE=12∴∠CBQ+∠ODE=1∠OBC，∴∠EBQ =12∠OBC ，∴∠EBQ =∠EBD ，又∵EB =EB ，∴△EBD ≌△EBQ SAS ，∴DE =QE ，∵CE =CQ +QE ，∴CE =OD +DE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】1如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 的中点，过点E 作FG ⊥AD 交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF =AG ；(2)BF =CG ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据ASA 证明△AHF ≌△AHG ，即可得出AF =AG ；(2)过点C 作CM ∥AB 交FG 于点M ，由△AHF ≌△AHG 可得∠AFH =∠G ，根据平行线的性质得出∠CMG =∠AFH ，可得∠CMG =∠G ，进而得出CM =CG ，再根据据ASA 证明△BEF ≌△CEM ，得出BF =CM ，等量代换即可得到BF =CG ．【详解】(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAH =∠GAH ，∵FG ⊥AH ，∴∠AHF =∠AHG =90°，在△AHF 和△AHG 中，∠FAH =∠GAHAH =AH ∠AHF =∠AHG，∴△AHF ≌△AHG ASA，∴AF =AG ；(2)证明：过点C 作CM ∥AB 交FG 于点M ，∵△AHF ≌△AHG ，∴∠AFH =∠G ，∵CM ∥AB ，∴∠CMG =∠AFH ，∴∠CMG =∠G ，∴CM =CG ，∵E 是BC 的中点，∴BE =CE ，∵CM ∥AB ，∴∠B =∠ECM ，在△BEF 和△CEM 中，∠B =∠ECMBE =CE ∠BEF =∠CEM，∴△BEF ≌△CEM ASA ，∴BF =CM ，∴BF =CG ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1如图所示，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A =∠ABD ，若BD =1，BC =3，求：线段AC的长．【答案】5【分析】延长BD 交AC 于点E ，由题意可推出BE =AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC =CE ，AE =BE =2BD ，根据BD =1，BC =3，即可求出AC 的长度．【详解】解∶延长BD 交AC 于点E ，∵∠A =∠ABD ，∴BE =AE ，∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD ，∴∠BDC =∠EDC =90°，∴∠BCD +∠EBC =∠ECD +∠BEC =90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD =∠ECD ，∴∠EBC =∠BEC ，∴BC =CE，∵BE ⊥CD ，∴BE =2BD ，∵BD =1，BC =3，∴BE =2，CE =3，∴AE =BE =2，∴AC =AE +EC =2+3=5．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．2如图，AD 为△ABC的角平分线．(1)如图1，若CE ⊥AD 于点F ，交AB 于点E ，AB =8，AC =5．则BE =．(2)如图2，若∠C =2∠B ，点E 在AB 上，且AE =AC ，AB =a ，AC =b ，求CD 的长；(用含a 、b 的式子表示)(3)如图3，BG ⊥AD ，点G 在AD 的延长线上，连接CG ，若△ACG 的面积是7，求△ABC 的面积．【答案】(1)3(2)a -b(3)14【分析】(1)利用ASA 证明△AEF ≌△ACF ，得出AE =AC =5，再利用BE =AB -AE 即可求得答案；(2)利用SAS 证明△AED ≌△ACD ，得出∠AED =∠C ，ED =CD ，由题意可得出BE =AB -AE =a -b ，再利用等角对等边证得DE =BE ，即可得出答案；(3)延长AC 、BG 交于H ，先证明△ABG ≌△AHG ，得出：BG =GH ，S △ABG =S △AHG ，利用等底等高的两个三角形面积相等可得S △CBG =S △CGH ，设S △CBG =S △CGH =x ，即可得出答案．【详解】(1)解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAF =∠CAF ，∵CE ⊥AD ，∴∠AFE =∠AFC =90°，在△AEF 和△ACF 中，∠EAF =∠CAFAF =AF ∠AFE =∠AFC，∴△AEF ≌△ACF ASA ∴AE =AC =5，∵AB =8，∴BE =AB -AE =8-5=3；故答案为：3．(2)解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD =∠CAD ，在△AED 和△ACD 中，AE =AC∠EAD =∠CAD AD =AD，∴△AED ≌△ACD SAS ，∴∠AED =∠C ，ED =CD ，∵AE =AC ，AB =a ，AC =b ，∴BE =AB -AE =a -b ，在△BDE 中，∠AED =∠B +∠BDE ，∴∠C =∠B +∠BDE ，∵∠C =2∠B ，∴∠B =∠BDE ，∴DE =BE =a -b ，∴CD =a -b ；(3)解：如图，延长AC 、BG 交于H ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAG =∠HAG ，∵BG ⊥AD ，∴∠AGB =∠AGH =90°，在△ABG 和△AHG 中，∠BAG =∠HAGAG =AG ∠AGB =∠AGH，∴△ABG ≌△AHG ASA ,∴BG =GH ，S △ABG =S △AHG ，∴S △CBG =S △CGH ，设S △CBG =S △CGH =x ，∵S △ACG =7，∴S △AGH =S △ACG +S △CGH =7+x ，∴S △ABG =S △AHG =7+x ，∴S △ABH =27+x =14+2x ，∴S △ABC =S △ABH -S △CBG +S △CGH =14+2x -x +x =14．【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．3△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 是BC 边上的一个动点，连接AD 并延长，过点B 作BF ⊥AD 交AD 延长线于点F．(1)如图1，若AD 平分∠BAC ，AD =6，求BF 的值；(2)如图2，M 是FB 延长线上一点，连接AM ，当AD 平分∠MAC 时，试探究AC 、CD 、AM 之间的数量关系并说明理由；(3)如图3，连接CF ，①求证：∠AFC =45°；②S △BCF =354，S △ACF =21，求AF 的值．【答案】(1)3(2)AC +CD =AM ，理由见解析(3)①证明见解析；②12【分析】(1)如图，分别延长AC ，BF 交于点E ．证明△ADC ≌△BEC ASA ，得到BE =AD =6，再证明△ABF ≌△AEF ，即可得到BF =EF =12BE =3；(2)如图，分别延长BF ，AC 交于点E ，由(1)可得△ACD ≌△BCE ，得CD =CE ，再证△AFM ≌△AFE 得到AM =AE ，由此可得结论；(3)如图所示，在AD 上截取AH =BF ，证明△ACH ≌△BCF ，得到CH =CF ，∠ACH =∠BCF ，进一步证明∠HCF =90°，则∠CFH =∠CHF =180°-∠HCF 2=45°；②如图所示，过点C 作CG ⊥HF 于G ，则△CGH 、△CGF 都是等腰直角三角形，可得GH =GF =GC ，由全等三角形的性质得到S △ACH =S △BCF =354则S △CHF =S △ACF -S △ACH =494，据此求出HF =7，则CG =3.5，进一步求出AH =5则AF =AH +HF =12．【详解】(1)解：如图，分别延长AC ，BF 交于点E ．∵BF ⊥AD ，∴∠AFB =∠ACB=90°，又∵∠ADC =∠BDF ，∴∠DAC =∠EBC ．在△ADC 和△BEC 中，∠DAC =∠EBCAC =BC∠ACD =∠BCE =90°∴△ADC ≌△BEC ASA ．∴BE =AD =6；∵BF ⊥AD ，∴∠AFB =∠AFE =90°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAF =∠EAF ．在△ABF 和△AEF 中，∠BAF =∠EAFAF =AF∠AFB =∠AFE∴△ABF ≌△AEF ASA ．∴BF =EF =12BE =3；(2)解：AC +CD =AM ，理由如下：如图所示，延长MF ，AC 交于点E ．由(1)可得，△ADC ≌△BCE ，∴CD =CE ．∵BF ⊥AD ，∴∠AFM =∠AFE =90°，∵AF 平分∠MAE ，∴∠MAF =∠EAF ．在△AMF 和△AEF 中，∠MAF =∠EAFAF =AF∠AFM =∠AFE∴△AFM ≌△AFE ASA ．∴AM =AE ．∵AE =AC +CE =AC +CD ．∴AC +CD =AM ．(3)解：①如图所示，在AD 上截取AH =BF ，在△ACH 和△BCF 中，AH =BF∠CAH =∠CBF AC =BC，∴△ACH ≌△BCF SAS ，∴CH =CF ，∠ACH =∠BCF ，∵∠ACH +∠BCH =90°，∴∠BCF +∠BCH =90°，即∠HCF =90°，∴∠CFH =∠CHF =180°-∠HCF 2=45°；②如图所示，过点C 作CG ⊥HF 于G ，∴∠GCH =GCF =45°，∴△CGH 、△CGF 都是等腰直角三角形，∴GH =GF =GC ，∵△ACH ≌△BCF ，∴S △ACH =S △BCF =354∴S △CHF=S △ACF -S △ACH =494，∴12HF ⋅CG =494，即12HF ⋅12HF =494，∴HF =7，∴CG=3.5，∴1 2AH×3.5=354，∴AH=5，∴AF=AH+HF=12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．4(2022春·河北石家庄·八年级校考期中)(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据证明△AOC≌△BOC，则AO=BO，AC= BC(即点C为AB的中点)．(2)【类比解答】如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC=63°，∠B=37°，通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE=．(3)【拓展延伸】如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取∠ACB的角平分线CD；②过点A作AD⊥CD于D．已知BC=13，AC=10，△ABC面积为20，则划出的△ACD的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26°(3)BE=12CD，证明见解析(4)△ACD的面积是10013【分析】(1)证△AOC≌△BOC(ASA)，得AO=BO，AC=BC即可；(2)延长AE交BC于点F，由问题情境可知，AC=FC，再由等腰三角形的性质得∠EFC=∠EAC=63°，然后由三角形的外角性质即可得出结论；(3)拓展延伸延长BE、CA交于点F，证△ABF≌△ACD(ASA)，得BF=CD，再由问题情境可知，BE=FE =12BF ，即可得出结论；(4)实际应用延长AD 交BC 于E ，由问题情境可知，AD =ED ，EC =AC =10，则S △ACD =S △ECD ，再由三角形面积关系得S △ACE =1013S △ABC =20013，即可得出结论．【详解】(1)解：∵OP 平分∠MON ，∴∠AOC =∠BOC ，∵AC ⊥OP ，∴∠ACO =∠BCO ，∵OC =OC ，∴△AOC ≌△BOC (ASA )，∴AO =BO ，AC =BC ，故答案为：ASA ；(2)解：如图2，延长AE 交BC 于点F ，由可知，AC =FC ，∴∠EFC =∠EAC =63°，∵∠EFC =∠B +∠DAE ，∴∠DAE =∠EFC -∠B =63°-37°=26°，故答案为：26°；(3)解：BE =12CD ，证明如下：如图3，延长BE 、CA 交于点F ，则∠BAF =180°-∠BAC =90°，∵BE ⊥CD ，∴∠BED =90°=∠BAC ，∵∠BDC =∠ABF +∠BED =∠ACD +∠BAC ，∴∠ABF =∠ACD ，又∵AB =AC ，∴△ABF ≌△ACD (ASA )，∴BF =CD ，由问题情境可知，BE =FE =12BF ，∴BE =12CD ；(4)解：如图4，延长AD 交BC 于E ，由问题情境可知，AD =ED ，EC =AC =10，∴S △ACD =S △ECD ，∵S △ABC =20，∴S △ACE =1013S △ABC =20013，∴S △ACD =12S △ACE =10013，答：△ACD 的面积是10013．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．。
含有45度的直角三角形三边关系
含有45度的直角三角形三边关系示例文章篇一：《探索含有45度角的直角三角形三边关系》嘿，你知道吗？三角形就像一个小小的魔法世界，每一种三角形都有它独特的秘密呢。
今天呀，我就想和大家好好讲讲含有45度角的直角三角形，这个特别有趣的三角形三边的关系。
我记得我们在数学课上，老师在黑板上画了一个直角三角形，那个三角形有一个角是90度，还有一个角是45度。
当时我就在想，这个三角形看起来好特别呀。
旁边的同桌就小声嘀咕：“这个三角形看起来有点对称呢。
”我仔细一看，还真是。
后来老师告诉我们，因为有一个角是45度，另一个锐角也是45度，这就意味着这个直角三角形是等腰直角三角形。
等腰，这就说明了两条直角边是相等的呀。
这时候，班上的数学小天才就举手问老师：“老师，那它的三条边之间有没有什么特别的数量关系呢？”老师笑了笑，说：“那我们就来探究一下吧。
”老师在黑板上给这个三角形的两条直角边都标上了字母a。
那斜边呢？老师说我们可以用勾股定理来找到斜边和直角边的关系。
勾股定理就像一个神奇的魔法公式，对于直角三角形来说，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
那在这个等腰直角三角形里，就是a² + a²等于斜边的平方。
我旁边的同学皱着眉头说：“这怎么算呀？”我就想，a² + a²不就是2a²嘛。
老师看到我们的表情，就接着说：“那现在我们设斜边为c，就有2a² = c²。
”这时候我就想，那c 不就等于根号下2a²嘛，化简一下就是a倍的根号2。
哇，原来这个等腰直角三角形的三边关系这么简单又神奇呀。
我又想起来有一次，我们做数学小组活动。
小组里有个同学画了一个很大的等腰直角三角形，他把直角边画得特别长，还说：“你们看，这个三角形的直角边这么长，斜边肯定也很长。
”另一个同学就不服气地说：“那当然了，根据我们之前算的三边关系，直角边变长，斜边肯定也会按照那个规律变长啊。
《三角形三边关系》说课稿
《三角形三边关系》说课稿《三角形三边关系》说课稿1尊敬的各位评委、老师大家下午好：今天说客的内容是：直角三角形三边关系。
下面我就从教材分析、教法与学法分析、教学过程和和教学设计四方面来说明：一、教材分析1．教材的地位和作用华师大版八年级上直角三角形三边关系是学生在学习数的开方和整式的乘除后的一段内容，它是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，为后面解直角三角形的作好铺垫，它也是几何中最重要的定理，它将形和数密切联系起来，在数学的发展中起着重要的作用。
因此他的教育教学价值就具体体现在如下三维目标中：知识和技能目标：能说出勾股定理，并能应用其进行简单的计算和实际应用。
过程和方法目标：经历观察——猜想——归纳——验证的教学发展过程，发展合情推理的能力，体会数形结合、数学建模和由特殊到一般的数学思想。
情感与态度目标：通过对勾股定理历史的了解和实际应用，体会勾股定理的文化价值，同时增强他们爱国主义情感。
通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。
由于八年级的学生具有一定分析能力，但活动经验不足，所以本节课教学重点：对直角三角形三边关系的探究教学难点：对直角三角形三边关系的探究及用割补法求正方形的面积。
二．.教法学法分析：要上好一堂课，就是要把所确定的三维目标有机地溶入到教学过程中去，所以我采用了“引导探究式”的教学方法：先从学生熟知的生活实例出发，以生活实践为依托，将生活图形数学化，然后由特殊到一般地提出问题，引导学生在自主探究与合作交流中解决问题，同时也真正体现了数学课堂是学生自己的课堂。
学法：我想通过“操作+思考”这样方式，有效地让学生在动手、动脑、自主探究与合作交流中来发现新知，同时让学生感悟到：学习任何知识的最好方法就是自己去探究。
三、教学程序设计1．情境创设，以趣引新以汶川地震为背景，从小小消防员引入，如图，在震后重建中一根木制旗杆开裂，消防员决定从断裂处将旗杆折断，现要划出一个安全警戒区域，如果你是消防员，你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗？从四川地震引入，激发学生的爱国热情，而问题的设计具有一定的挑战性，目的是激发学生的探究欲望，和学习兴趣，兴趣是学生学习的源动力，让学生带着问题进入课堂，教师引导学生将实际问题转化为数学问题（数学建模思想），也就是在直角三角形中已知一条直角边与一条斜边，求另一条直角边的问题。
华师大版-数学-八年级上册--第十四章第二节直角三角形三边的关系 教案--
华东师大版八年级第十四章第二节直角三角形三边的关系 教案三维教学目标知识与技能：经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，掌握勾股定理和它的简单应用。
过程与方法：通过学生熟悉的几何拼图进一步理解勾股定理，学会简单的数学推理与数学说理。
情感态度与价值观：在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯，激发学生学习的兴趣。
教学重点：勾股定理的简单应用。
教学难点：用几何拼图进一步理解勾股定理。
课堂导入我们已经通过数格子的方法、计算面积的方法，发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容。
教学过程一、勾股定理的证明。
（1）下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形。
（2）大正方形的面积可表示为什么？如图1：①2)(b a +②2421c ab +⋅显然2421)(c ab b a +⋅=+化简，得到： 图1 图2 22222c ab b ab a +=++即 222c b a =+这就可以从理论上说明了勾股定理存在。
二、勾股定理的简单应用例2如图14.1.9，为了求出位于湖两岸的两点A 、 B 之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160米，ＢＣ长128米．问从点A 穿过湖到点B 有多远? 图14.1.9解 如图14.1.9，在直角三角形ＡＢＣ中，AC ＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，根勾股定理可得ＡＢ＝22BC AC -＝22128160-＝96（米）． 答： 从点A 穿过湖到点B 有96米．例3、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。
如右图，图中△ABC 的∠C ＝90°，AC = 4000米，AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20 秒时间里飞行的路程，即图中的CB 的长，由于△ ABC 的斜边AB =5000米，AC= 4000 米，这样BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。
初中数学重点梳理：三角形中的巧合点
三角形中的巧合点知识定位三解形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础，而其中的三角形中几个重要点主要是内心，外心，重心，垂心在初中竞赛三角形中占据非常大的地位，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中三角形巧合点中相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，都等于三角形的外接圆半径．锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等，都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ． 特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点，所以把这样的四个点称为一个“垂心组”5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点，称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．AB COABC DEFGABCDEFI aI K HE FD ABCM例题精讲【试题来源】【题目】证明重心定理【答案】如下解析【解析】证明：证法1 如图，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G，连接EF，显然EF∥=12BC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF．又设AD、BE交于G'，同理可证G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE上从B到E的三分之二处的点，故G'、G重合．即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．证法2 设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I．连EF、FH、HI、IE，因为EF∥=12BC，HI∥=12BC，所以EFHI为平行四边形．所以HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF．同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点．即定理证毕．【知识点】三角形中的巧合点【适用场合】当堂例题【难度系数】3IHGEFAB C【试题来源】 【题目】证明垂心定理 【答案】如下解析【解析】 证明：如图，AD 、BE 、CF 为ΔABC 三条高，过点A 、B 、C 分别作对边的平行线相交成ΔA 'B 'C '，X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CYYA =1．2）对于三角形的五心，还可以推广到n 边形，例如，如果我们称n （≥3）边形某顶点同除该点以外的n -1个顶点所决定的n -1边形的重心的连线，为n 边形的中线，（当n -1=2时，n -1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：n 边形的各条中线(若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n -1）∶1的两条线段，这点叫n 边形的重心． 【知识点】三角形中的巧合点 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3FEB'A'C'DCBA【试题来源】杭州大学《中学数学竞赛习题》【题目】过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上 【答案】如下解析【解析】 证明: 已知可得MP '=MP =MB ，NP '=NP =NC ，故点M 是△P 'BP 的外心，点N 是△P 'PC 的外心. 于是有∠BP 'P =12∠BMP =12∠BAC ， ∠PP 'C =12∠PNC =12∠BAC . ∴∠BP 'C =∠BP 'P +∠P 'PC =∠BAC .从而，P '点与A 、B 、C 共圆，即P '在△ABC 外接圆上【知识点】三角形中的巧合点 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】第26届莫斯科数学奥林匹克【题目】AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和A BCPP MN'AA 'F F 'GEE 'D 'C 'PCBD【答案】如下解析【解析】 证明：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A '，C '，D '，E '，F '.易证 AA '=2DD '，CC '=2FF '， 2EE '=AA '+CC '，∴EE '=DD '+FF '.有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF 得证【知识点】三角形中的巧合点 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4【试题来源】1989，加拿大数学奥林匹克训练题【题目】H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.【答案】如下解析【解析】 解：设BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M .A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(12AH 1)2-(AH -12AH 1)2=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABHAH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,H H H MA B BA ABC CC F12111222D EAasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A=r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=12 (a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2， 21CC =12 (a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1.【知识点】三角形中的巧合点 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5【试题来源】【题目】图，已知点I 是ABC ∆的内心，延长AI 交ABC ∆的外接圆于点D ，交BC 于点E ．求证：DI 是DE 、AD 的比例中项．I EDCBA【答案】如下解析【解析】 证明：连接BI ．因为I 是ABC ∆的内心，所以1122BAC ∠=∠=∠，1342ABC ∠=∠=∠．()15132BAC ABC ∠=∠+∠=∠+∠，()164242DBI BAC ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以5DBI ∠=∠，于是DB DI =． 因为26∠=∠， 所以16∠=∠． 又因为BEA AEB ∠=∠， 所以DBE DAB ∆∆∽， 所以2BD DE DA =⋅．所以2DI DE AD =⋅，即DI 是DE 、AD 的比例中项．654321IED CBA【知识点】三角形中的巧合点 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4【试题来源】【题目】（1）如图，在ABC ∆中，A ∠、B ∠，C ∠的平分线分别交外接圆于点P 、Q 、R ．证明：AP BQ CR BC CA AB ++>++．ABCRPQIB'C'A'ABCI（2） 如图，设I 为ABC ∆的内心，且'A 、'B 、'C 分别为IBC ∆、IAC ∆、IAB ∆的外心，证明：ABC ∆与'''A B C ∆有相同的外心．（3）已知I 是ABC ∆的内心，AI 、BI 、CI 的延长线分别交ABC ∆的外接圆于D 、E 、F ．求证：EF AD ⊥．MFEDICBAIOD CB（4） 已知一等腰三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，证明：两圆心的距离为(2)d R R r =-【答案】如下解析【解析】 证明：⑴ 连接AR 、RB 、BP 、PC 、CQ 、QA ．因为12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，所以AP 、BQ 、CR 相交于一点I ， 即I 为ABC ∆的内心，则PB PI PC ==，QA QI QC ==，RA RI RB ==． 在BPC ∆中，因为PB PC BC +>， 所以2PI BC >．同理可证2QI AC >，2RI AB >． 将这三个式子相加并整理，得()12PI QI RI BC CA AB ++>++…①因为BI CI BC +>，AI BI AB +>，AI CI CA +>，所以()12AI BI CI BC CA AB ++>++ …②⑵ 作ABC ∆的外接圆，延长AI 交圆心于"A ， 连接"A B 、"A C ．因为I 是ABC ∆的内心，所以"""A B A I A C ==． 从而"A 为IBC ∆的外心．又因为'A 为IBC ∆外心，所以"A 与'A 两点重合， 即点'A 在ABC ∆的外接圆上．ABCIDEFMICBAA'(A'')C'B'123456ABCRPQI同理可证点'B 、'C 也都在ABC ∆的外接圆上． 所以A 、'C 、B 、'A 、C 、'B 六点共圆， 因此，ABC ∆与'''A B C ∆有相同的外心． ⑶ 连接DE ．∵I 是ABC ∆的内心∴ADF ABF CBF ∠=∠=∠，BFE BCE ACE ∠=∠=∠， BFD BAD CAD ∠=∠=∠ ∴ADF BFE BFD ∠+∠+∠()1902ABC ACB BAC =∠+∠+∠=︒ ∴EF AD ⊥⑷ 如图，设AB AC =，O 为ABC ∆的外接圆圆心，I 为ABC ∆的内切圆圆心(即I 为ABC ∆的内心)，连接AI 并延长AI ，交圆O 于D ，则易知AD 是圆O 的直径．设AC 与圆O 相切于E ，连接IE 、DC ，则90AEI ACD ∠=∠=︒，所以IE DC ∥，从而AI IEAD DC=， 于是2AI DC AD IE Rr ⋅=⋅=，由此，得DC DI =． 因为AI OA OI R d =+=+，DI OD OI R d =-=-，所以()()2R d R d Rr +-=，整理，得()2d R R r -．【知识点】三角形中的巧合点 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5【试题来源】【题目】如图，ABC ∆的三边满足关系()12BC AB AC =+，O 、I 分别为ABC ∆的外心，内心，BAC ∠的外角平分线交圆O 于E ，AI 的延长线交圆O 于D ，DE 交BC 于H ．求证：⑴AI BD =；⑵ 12OI AE =． IH OEDCBAIOED CB【答案】如下解析【解析】 证明：⑴ 作IG AB ⊥，连接BI ，有()12AG AB AC BC =+-． 因为()12BC AB AC =+，所以12AG BC =．由I 为ABC ∆的内心，BD CD =，且DE 为圆O 的直径，得DE BC ⊥，12BH BC =．所以AG BH =．易证：Rt Rt AGI BHD ∆∆≌． 故AI BD =⑵ 因为IBD IBH HBD ∠=∠+∠ABI BAI BID =∠+∠=∠． 由中位线定理，得12OI AE =． BGACDEOH I【知识点】三角形中的巧合点 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】设ABC ∆的内切圆O 切BC 于点D ，过点D 作直径DE ，连接AE ，并延长交BC 于点F证明：BF CD =EF DBH GNMEF DB AH GI 1ABCD FE【答案】如下解析【解析】 证明：解法1：如图，令圆O 分别切AB 、AC 于点M 、N ．过点E 作GH BC ∥，分别交AB 、AC 于点G 、H ， 则GH 切圆O 于点E ，且AGE ABF ∆∆∽，AGH ABC ∆∆∽．记AGH ∆与ABC ∆的周长分别为2'p 、2p ，则AG GE AG GM +=+AM AN =='AH HN AH HE p =+=+=．于是'2'2p p AG p p AB =='GF AG GE p BF AB BF AB BF +===++ 即有p AB BF =+， 故BF p AB CD =-=．解法2：设AB c =，AC b =，BC a =，则()12BD b a b c +=++，∴()12BD a c b =+-下面仅需证明()12CF a c b =+-．为此，作1FI BC ⊥交AI 的延长线于1I ，1I G AC ⊥于G ， 即仅需证明1I 是ABC ∆旁切圆在A ∠内的旁心．事实上，由111I F AI I GIE AI IH==（H 是边AC 与圆I 的切点）但IE IH =，可知11I F I G =，即1I 确是旁心， ∴()12CF a b c =+-， 即BD CF =【知识点】三角形中的巧合点 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》【题目】在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似 【答案】如下解析【解析】 证明：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ，∠QO 2P =2∠B ，∠SO 3Q =2∠C . ∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360° 将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3， 易判断△KSO 1≌△O 2PO 1， 同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=12∠O 2O 1K=12 (∠O 2O 1S +∠SO 1K ) = 12 (∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) = 12∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .【知识点】三角形中的巧合点 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】5NDOMK H A习题演练【试题来源】加拿大数学奥林匹克训练题【题目】△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD 【答案】如下解析【解析】 解：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连G E ，MF ，MF 交DC 于K .易证：DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1. ∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF .∵OD 丄AB ，MF ∥AB ， ∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心.易证OE 丄CD .【知识点】三角形中的巧合点 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4【试题来源】1988，中国数学奥林匹克集训题【题目】△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE . 【答案】如下解析【解析】 证明：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB .ABCDE FOKG利用内心张角公式，有 ∠AIB =90°+12∠C =105°， ∴∠DIE =360°-105°×3=45°.∵∠AKB =30°+12∠DAO=30°+12 (∠BAC -∠BAO )=30°+12 (∠BAC -60°) =12∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高.同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE .由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .【知识点】三角形中的巧合点 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】5【试题来源】【题目】在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似 【答案】如下解析【解析】 解：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外O ABCDEFI K30°心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ，∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1， 同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3.∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 【知识点】三角形中的巧合点 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4【试题来源】【题目】H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.【答案】如下解析【解析】 解：设BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r .H H H MA B BA ABC CC F12111222D E连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)，①又AM 2-HM 2 =(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2 =cos A ·bc -AH 2，②而ABH AH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A=r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1.【知识点】三角形中的巧合点 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】5。
巧用三角形的外角解题
巧用三角形的外角解题
巧用三角形的外角解题
今天我们要学习如何使用三角形的外角来解决相关的数学问题。
当中学生们通常容易在计算三角形的面积和判断三角形的形状时遇到困惑。
那么，我们怎样才能解决这些问题呢？
首先，要计算三角形的面积，我们需要知道三角形的三个角的尺寸。
只有当我们知道三个内角和外角之和总共有180度时，才可以借助三角形的外角解决问题。
其次，通过三角形的外角可以很轻松地判断该三角形的形状。
如果所有的三角形的外角相加等于360度，那么就是一个完美的三角形；而如果所有外角之和比360度少，则说明这是一个不规则的三角形。
最后，三角形的外角也可以用来解决有关三角函数的有关问题。
尤其是当我们要求求一个三角形的高度和底边长度时，用三角形的外角就可以解决这类问题。
因此，要想轻松解决这些数学题，三角形的外角就是一个有效的解决办法。
这是由于外角和内角总是等于180度，所以可以用来求解各种数学问题。
所以，以后遇到类似的数学问题，尽量先试着利用三角形的外角来解决，能有效节省时间并解决难题。
(完整版)初中数学三角形有关的线段讲解及习题
11.1 与三角形有关的线段1．三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．(2)构成：如图所示，三角形ABC 有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边．②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点．(3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC .注：顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示．(4)分类：①三角形按角分类如下：三角形⎩⎪⎨⎪⎧ 直角三角形锐角三角形钝角三角形②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点 等边三角形和等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．【例1】 如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．分析：根据三角形的定义及构成得出结论．解：图中有三个三角形，分别是：△ABC ，△ABD ，△ADC .△ABC 的三边是：AB ，BC ，AC ，三个内角分别是：∠BAC ，∠B ，∠C ； △ABD 的三边是：AB ，BD ，AD ，三个内角分别是：∠BAD ，∠B ，∠ADB ； △ADC 的三边是：AD ，DC ，AC ，三个内角分别是：∠ADC ，∠DAC ，∠C .2．三角形的三边关系(1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a ＋b ＞c ，c ＋b ＞a ，a ＋c ＞b .三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c －b <a ，b －a <c ，c －a <b .(2)作用：①利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形．“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据.破疑点 三角形三边关系的理解 三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立．【例2】下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是()．A．1,2,3.5 B．4,5,9C．5,8,15 D．6,8,9解析：选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形．答案：D3．三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)描述方法：高的描述方法有三种，这三种方法都能得出AD是BC边上的高．如图所示．①AD是△ABC的高；②AD⊥BC，垂足为D；③D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°.(3)性质特点：①因为高是通过作垂线得出的，因而有高一定有垂直和直角．常用关系式为：因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.②“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部．如图所示．破疑点三角形的高线的理解三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．【例3】三角形的三条高在()．A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或边上解析：三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确．答案：D4．三角形的中线(1)定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．(2)描述方法：三角形中线的描述方法有两种方式，如图．①直接描述：AD 是BC 边上的中线；②间接描述：D 是BC 边上的中点．(3)性质特点：①由三角形中线定义可知，有中线就有相等的线段，如上图中，因为AD 是BC 边上的中线，所以BD ＝CD (或BD ＝12BC ，DC ＝12BC )． ②如下图所示，一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，三角形的三条中线都交于三角形内部一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．破疑点 三角形的中线的理解 三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点．【例4】 如图，AE 是△ABC 的中线，EC ＝6，DE ＝2，则BD 的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析：因为AE 是△ABC 的中线，所以BE ＝EC ＝6.又因为DE ＝2，所以BD ＝BE －DE ＝6－2＝4.答案：C5．三角形的角平分线(1)定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．(2)描述方法：角平分线的描述有三种，如图．①直接描述：AD 是△ABC 的角平分线；②在△ABC 中，∠1=∠2，且D 在BC 上；③AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.(3)性质特点：①由三角形角平分线的定义可知，有角平分线就有相等的角，如上图中，因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠1=∠2(或∠1=∠2= ∠BAC ，或∠BAC=2∠1=2∠2)．②一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，这个交点都在三角形内部．解技巧 三角形的角平分线的理解 三角形的角平分线也是一条线段，角的顶点是一个端点，另一个端点在对边上．【例5】 下列说法正确的是( )．①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、高和角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．③④B．③C．②③D．①④解析：任何一个三角形都有三条高、中线和角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有③正确，故选B.答案：B6．三角形的稳定性(1)定义：三角形的三边确定后，这个三角形的大小、形状就确定不变了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．(2)理解：三角形的稳定性指的是三角形的大小和形状不变，这说明一个三角形确定后它的附属性质也不变，这不同于四边形，因而在实际生活中，都是用三角形做支架的．【例6】在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据()．A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．三角形的稳定性D．矩形的四个角都是直角解析：这是三角形稳定性在日常生活中的应用，C正确．答案：C解技巧三角形的稳定性的理解三角形稳定性的问题都是以实际生活为原型，说明这样做的道理，一般较为简单．7．三角形三边关系的应用三角形中“两边之和大于第三边(两边之差小于第三边)”，这是三角形中最基本的三边关系．这里的“两边之和”指的是“任意两边的和”，满足这一关系是三条线段能否构成三角形的前提．三角形三边关系的运用主要有两方面，一是在已知两边的情况下确定第三边的取值范围；二是根据所给三条线段的长度判断这三条线段能否构成三角形．解技巧三角形三边关系的应用①当线段a，b，c满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；②已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这两边之和，来确定第三条线段的取值范围．【例7－1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？(1)6 cm,8 cm,10 cm；(2)三条线段长之比为4∶5∶6；(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．解：(1)因为6＋8＞10，所以长为6 cm,8 cm,10 cm的三条线段能组成三角形；(2)设这三条线段长分别为4x,5x,6x(x＞0)，因为4x＋5x大于6x，所以三条线段长之比为4∶5∶6时，能组成三角形；(3)因为a＋1＋a＋2＝2a＋3，当a＞0时，2a＋3＞a＋3，所以a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)长的线段能组成三角形．【例7－2】已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则此三角形的第三边的长x的取值范围是__________．解析：根据三角形三边关系可知，第三条边的长x应大于已知两边之差且小于已知两边之和，所以3 cm<x<13 cm.答案：3 cm<x<13 cm8.三角形的高、中线、角平分线的画法三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，因此画出它们高、中线、角平分线经常用到，是必须掌握的基本技能．(1)高的画法：类似于垂线的画法，用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线，交对边于一点，所得到的垂线段就是这条边上的高．(2)中线的画法：取一边中点，连接这点和这边相对的顶点的线段，就是所求中线．(3)角平分线的画法：类似于画角平分线，作三角形一个角的平分线，交对边于一点，这点和角的顶点之间的线段就是所求的角平分线．9．三角形高的应用从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．解技巧巧证直角背景下两锐角相等图形中含有高时，经常用“同角(或等角)的余角相等”来证明角相等，这既是一种方法，也是一个规律．【例8】如图(1)，已知△ABC，画出△ABC中，BC边上的高、中线和∠BAC的平分线．图(1) 图(2)分析：因为三角形的高、中线、角平分线都是描述性定义，它们的定义就蕴含了它们的画法，根据总结的画法画出图形即可，如图(2)．解：画法如下：(1)过A作BC的垂线，垂足为D，AD即为BC边上的高；(2)取BC的中点E，连接AE，AE即为BC边上的中线；(3)作∠BAC的平分线，交BC于点F，连接AF，AF即为△ABC中∠BAC的平分线．【例9】如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC 的关系．分析：因为有三角形中的高就有垂直、直角，所以∠ADC，∠BEC都是直角．根据小学所学三角形的内角和为180°，所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°，根据同角的余角相等，即可得出∠DAC＝∠EBC.解：∠DAC＝∠EBC.因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°.所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.所以∠DAC＝∠EBC.10．三角形中线应用拓展三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：(1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC.因为BD＝CD，△ABD和△ADC等底同高，所以面积相等，因此通过作三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分．(2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．分析：根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分的特征，先把原三角形分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分．解：答案不唯一，如方案1：如图(1)，在BC上取点D，E，F，使BD＝DE＝EF＝FC，连接AD，AE，AF.方案2：如图(2)，分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，DF.方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.方案4：如图(4)，分别取BC的中点D、AB的中点E、AC的中点F，连接AD，DE，DF.11.等腰三角形中的三边关系等腰三角形是特殊的三角形，它最大的特点是两条边相等，所以反映在三边关系中，就是底与腰的关系：①只要两腰之和大于底就一定能构成三角形；②在等腰三角形中，底的取值范围是大于0且小于两腰之和．因为等腰三角形的特殊性，所以在涉及等腰三角形问题时，只要不明确哪是底，哪是腰，就必须分情况讨论，并且要验证是否能构成三角形．如一个等腰三角形的两边长是2 cm 和5 cm，它的周长是多少？情况一：当腰是2 cm底是5 cm时，因为2＋2<5，两边之和小于第三边，所以此等腰三角形不存在；情况二：当腰是5 cm底是2 cm时，5＋2＞5，所以此等腰三角形存在，此时周长为12 cm.解技巧利用三边关系求等腰三角形的边长根据两边之和大于第三边，结合底和腰的关系先判断等腰三角形是否存在是求解的前提．【例11－1】等腰三角形的两边长分别为6 cm和9 cm，则腰长为__________．解析：两种情况，一是腰长为6 cm时，底边就是9 cm，此时6＋6＞9，此三角形存在，所以腰长可以是6 cm；二是腰长为9 cm，此时9＋6＞9，此三角形也存在，所以腰长也可以是9 cm，故腰长为6 cm或9 cm.答案：9 cm或6 cm【例11－2】已知等腰三角形的周长是24 cm，(1)腰长是底边长的2倍，求腰长；(2)若其中一边长为6 cm，求其他两边长．分析：(1)可以通过设未知数，利用周长作为相等关系，列出方程，通过求方程的解从而求出答案；(2)因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，要分两种情况考虑，并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边．解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据题意，得x＋2x＋2x＝24，解得x＝4.8，所以腰长为2x＝2×4.8＝9.6(cm)．(2)当长为6 cm的边为腰时，则底边为24－6×2＝12(cm)．因为6＋6＝12，两边之和等于第三边，所以6 cm长为腰不能组成三角形，故腰长不能为6 cm.当长为6 cm的边为底边时，则腰长为(24－6)÷2＝9(cm)，因为6 cm,9 cm,9 cm可以组成三角形，所以等腰三角形其他两边长均为9 cm.12.与三角形有关的线段易错点分析在本节内容中，易错点主要表现在以下三个方面：(1)三角形的高、中线、角平分线都是线段，它们都有长度，这与前面所学的垂线是直线、角平分线是射线容易混淆．(2)画钝角三角形的高时易出错，如下图三种画法都是错误的．三种情况错误的原因都是对三角形的高的定义理解不透彻．图1中BE不垂直于边AC，错因是受锐角三角形的影响，误认为高的垂足必落在对边上；图2错在没有过点B画AC 的垂线段；图3错在把三角形的高与AC边上的垂线混淆，把线段画成了射线．正确的作法是过点B向对边AC所在的直线画垂线，垂足为E.因为三角形是钝角三角形，所以垂足落在CA 的延长线上，如下图所示：(3)运用三角形三边关系时出错，只有两边之和大于第三边，才能构成三角形，才能进行其他运算，这是前提．特别是等腰三角形在没指明哪是底哪是腰时更易出错，一定要分类讨论，且必须考虑“不同情况下是否能构成三角形”．【例12－1】 下列说法正确的是( )．A ．三角形的角平分线是射线B ．三角形的高是一条垂线C ．三角形的三条中线相交于一点D ．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部解析：A ，B ，D 都是错误的，A 选项一个角的平分线与三角形的角平分线有本质区别：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；三角形的高也是线段，是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段；三角形的中线、角平分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，所以D 也是错误的．只有C 正确．答案：C【例12－2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm 和15 cm 两部分，求三角形的底边长．分析：有两种可能，一种是锐角三角形，如图(1)所示，这时AB ＋AD ＝15 cm ，BC ＋CD ＝12 cm ；另一种是钝角三角形，如图(2)，这时AB ＋AD ＝12 cm ，BC ＋CD ＝15 cm.图(1) 图(2) 解：(1)当三角形是锐角三角形时，因为D 是AC 的中点，所以AD ＝12AC ＝12AB ，所以AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝15，解得AB ＝10(cm)．所以AC ＝10 cm ，所以底边BC ＝15＋12－10×2＝7(cm)，此时能构成三角形，且底边长为7 cm.(2)当三角形是钝角三角形时，AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝12，解得AB ＝8(cm)，所以AC ＝8 cm ，所以BC ＝15＋12－8×2＝11(cm)．因为8＋8＞11，所以能构成三角形，此时底边为11 cm.答：底边的长为7 cm 或11 cm.。
八年级上阶段方法技巧训练课件：三角形三边关系的巧用
|c－3|＝0，
所以(b－2) 2＝0，|c－3|＝0， 解得b＝2，c＝3.
由a为方程|x－4|＝2的解，可知a－4＝2或 a－4＝－2，即a＝6或a＝2. 当a＝6时，有2＋3＜6，不能组成三角形，
故舍去；
当a＝2时，有2＋2＞3，符合三角形的三 边关系． 所以a＝2，b＝2，c＝3. 所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
长度，能用它们摆成三角形的是( D ) A．3 cm，4 cm，8 cm B．8 cm，7 cm，15 cm C．5 cm，Байду номын сангаас cm，11 cm
D．13 cm，12 cm，20 cm
同类变式
2．【河池】下列长度的三条线段不能组成 三角形的是( A．5，5，10 C．4，4，4 ) B．4，5，6 D．3，4，5
习题课 阶段方法技巧训练（一）
专训1
三角形三边关 系的巧用
三角形的三边关系应用广泛，利用三边关系可 以判断三条线段能否组成三角形、已知两边长求第 三边的长或取值范围、证明线段不等关系、化简绝
对值、求解等腰三角形的边长及周长等问题．
类型
1
判断三条线段能否组成三角形
1. 【西宁】下列每组数分别是三根木棒的
类型
3
解答等腰三角形相关问题
7．【宿迁】若等腰三角形中有两边长分别为 2和5，则这个三角形的周长为( B ) A．9 C．7或9 B．12 D．9或12
同类变式
8．【衡阳】已知等腰三角形的两边长分别为5和 6，则这个等腰三角形的周长为( A．11 B．16 )
C．17
D．16或17
同类变式
9．已知在△ABC中，AB＝5，BC＝2，且AC的长为 奇数． (1)求△ABC的周长；
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专项训练一：三角形三边关系的巧用
名师点金：三角形的三边关系应用广泛，利用三边关系可以判定三条线段能否组成三角形、已知两边求第三边的取值范围、证明线段不等关系、化简绝对值、求解等腰三角形的边长及周长等问题．
判断三条线段能否组成三角形
1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾顺次连结后，不能摆成三角形的一组是()
A．4，4，8 B．5，5，1
C．3，7，9 D．2，5，4
2．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？
求三角形第三边的长或周长的取值范围
3．一个三角形的两边长分别为5和3，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是()
A．2或4 B．4或6
C．4 D．2或6
4．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是()
A．6＜l＜15 B．6＜l＜16
C．11＜l＜13 D．10＜l＜16
5．若三角形的三边长是三个连续自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有________个．
三角形的三边关系在等腰三角形中的应用
6．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为() A．25 B．25或32 C．32 D．19
7．已知，等腰三角形ABC的底边BC＝8 cm，|AC－BC|＝2 cm，则AC＝________．
8．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是____________．
三角形的三边关系在代数中的应用
9．已知三角形三边长分别为a，b，c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|＝10，求b的值．
10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a 为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．
利用三角形的三边关系证明边的不等关系
11．如图，已知D，E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.。