第十七章多元函数微分学

第十七章 多元函数微分学

§1 可微性

1．求下列函数的偏导数

（1）y x z 2= （2）x y z cos = （3）2

21y x z +=

（4）)ln(22y x z +=

（5）xy e z = （6）x

y z arctan = （7）)sin(xy xyz z = （8）z

x y z x y u -+=

（9）z xy u )(= （10）z

y x u = 解（1）xy z x 2=，

2x z y =；

（2）x y z x sin -=，x z y cos =； （3）2/322)(y x x z x +-=

，2

/322)(y x y

z y +-=； （4）222y x x z x +=

，2

22y x y

z y

+=； （5）xy x ye z =，xy y xe z =； （6）2222)

(11y x y

x y x

y z x +-=-⋅+=

，22y x x z y +=； （7）)]cos(1[)cos()sin()sin(2)sin(xy xy ye xy e xy ye z xy xy xy x +=+=，)sin()]cos(1[xy y xe xy xy z +=； （8）z x

y u x 1

2

--

=，21y z x u y -=，21z x y u z +=； （9）1)(-=z x xy zy u ，1)(-=z y xy zx u ，)ln()(xy xy u z z =； （10）1

-=z

y

z x x y u ，x x zy u z y z y ln 1-=，y x y x u z y z z

ln ln =；

2．设y

x

y x y x f arcsin

)1(),(-+=；求)1,(x f x 解 x x x x f =⋅+=arcsin

0)1,(，1)()1,(='=x x f x

3．设⎪⎩

⎪⎨⎧

+=01sin ),(22y x y y x f ,0,02

222=+≠+y x y x 考察函数f 在原点)0,0(处的偏导数。 解 因为

000lim )0,0()0,0(lim

00

=∆-=∆-∆+→∆→∆x x

f x f x x ， 200

)

(1

sin lim )0,0()0,0(lim

y y f y f y y ∆=∆-∆+→∆→∆不存在， 所以，),(y x f 在原点关于x 的偏导数为0，关于y 的偏导数不存在。 4．证明函数22y x z +=在点)0,0(连续但偏导数不存在。 因为)0,0(0lim

22)

0,0(),(z y x y x ==+→，所以22y x z +=在点)0,0(连续，

又

x

x

x z x z ∆∆=

∆-∆+)0,0()0,0(，当0→∆x 时，极限不存在，因此)0,0(x z 不存在，同理)0,0(y z 不存在。

5．考察函数⎪⎩

⎪⎨⎧+=01sin ),(22

y x xy y x f 002

22

2=+≠+y x y x 在点处的可微性。 解 由00

0lim )0,0()0,0(lim

00

=∆-=∆-∆+→∆→∆x

x f x f x x 知，0)0,0(=x f ，同理可得0)0,0(=y f 因此 ,

02

2)()(1sin )0,0()0,0(),(2

2222

22222→∆+∆=∆+∆∆+∆≤∆+∆∆+∆∆∆=

∆-∆-∆y x y x y x y x y x y

x y

f x f y x f y x ρ

022→∆+∆=y x ρ故)(0)0,0()0,0(ρ=∆-∆-∆y f x f f y x )0(→ρ即),(y x f 在点)

0,0(处可微。

6．证明函数⎪⎩

⎪⎨⎧+=0

),(22

2y x y x y x f 002

22

2=+≠+y x y x 在点)0,0(连续且偏导数存在，但在此点不可微。

证 因为222222x y

x xy x y x y

x ≤+=+，所以)0,0(0lim 222)0,0(),(f y x y x y x ==+→，即),(y x f 在)0,0(连续，00

0lim )0,0()0,0(lim

)0,0(00

=∆-=∆-∆+=→∆→∆x x

f x f f x x x 同理0)0,0(=y f 2

/3222])()[()()0,0()0,0(y x y

x y

f x f f y x ∆+∆∆∆=∆-∆-∆ρ

① 当y x ∆=∆时，①式的值为

8

1；当0=∆y 时，其值为0 所以①式的极限不存在，故)

,(y x f

在点)0,0(不可微。

7．证明函数⎪⎩

⎪⎨

⎧++=01

sin

)(),(2

2

2

2y x y x y x f 0

2

222=+≠+y x y x 在点)0,0(处连续且偏导数存在，但偏导数在)0,0(不连续，而f 在原点)0,0(可微。 证 由于

)0,0(01sin

)(lim

2

2

22)

0,0(),(f y

x y x y x ==++→，所以),(y x f 在点)0,0(连续。

当022=+y x 时，)0,0(01

sin lim )0,0()0,0(lim

00

x x x f x

x x f x f ==∆∆=∆-∆+→∆→∆ 当022≠+y x 时，2

2

2

2

2

2

1cos

1sin

2),(y

x y x x y x x y x f x ++-

+=

而

01sin

2lim 2

2

)

0,0(),(=+→y

x x y x ，

2

2

2

2)

0,0(),(1cos

lim

y

x y

x x

y x ++→不存在（可考察0=y 情

况）。因此，

),(lim

)

0,0(),(y x f x y x →不存在，从而),(y x f x 在点)0,0(不连续。同理可证),(y x f y 在

点)0,0(不连续， 然而

01sin

lim

)0,0()0,0(lim

2

2

2

2

22)

0,0(),(2

2

)

0,0(),(=∆+∆∆+∆∆+∆=

∆+∆∆-∆-∆→∆∆→∆∆y

x y

x y x y

x y

f x f f y x y x y x

所以f 在点)0,0(可微。

8．求下列函数在给定点的全微分： （1）22444y x y x z -+=在点)1,1(),0,0(； （2）2

2

y

x x z +=

在点)1,0(),0,1(

解 （1）因为y x y z xy x z y x 232384,84-=-=在点)1,1(),0,0(连续，所以函数在)1,1(),0,0(可微。由4)0,0(,4)1,1(,0)0,0(,0)0,0(-=-===y x y x z z z z 得)(4,0)1,1()0,0(dy dx dz dz +-==。

（2）因为2

/3222/3222)

(,)(y x xy

z y x y z y x +-=+=在点)1,0(),0,1(连续，所以函数在)1,0(),0,1( 可微，由0)1,0(,0)0,1(,1)1,0(,0)0,1(====y y x x z z z z 得dx dz

dz =

=

)1,0()0,1(,0。

9．求下列函数的全微分：

（1）)sin(y x y z +=； （2）y e xe u z yz ++=- 解 显然函数z 和u 的偏导数连续，于是z 和u 可微，且